Aula 02

RACIOCÍNIO LÓGICO QUANTITATIVO PARA AFRFB

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Aula 2

Equivalências Lógicas 2

Condição Necessária e Condição Suficiente 7

Negação de proposições compostas 12

Negação de proposições quantificadas 15

Equivalência Lógica importante para ESAF.. 35

Exercícios ESAF - Equivalências e Negações 43

Diagramas de Euler-Venn 64

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Equivalências Lógicas

Estudaremos agora um conceito importantíssimo em Lógica: as famosas equivalências lógicas. E o

que são proposições logicamente equivalentes?

Grosso modo, duas proposições são logicamente equivalentes quando elas "dizem a mesma
coisa".

Por exemplo:

Eu joguei o lápis.

q: O lápis foi jogado por mim.

As duas proposições acima têm o mesmo significado. Elas querem dizer a mesma coisa!! Quando

uma delas for verdadeira, a outra também será. Quando uma delas for falsa, a outra também será.

Dizemos, portanto, que elas são logicamente equivalentes.

Em símbolos dizemos:

Assim, acabamos de mostrar que uma proposição bicondicional equivale à conjunção de dois

condicionais.

Há algumas equivalências notáveis que são muito cobradas em concursos. Vamos enunciar as

equivalências, demonstrá-las e aplicá-las.

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Duas proposições são logicamente equivalentes se e somente se possuem a mesma tabela

verdade.

lógicos das duas proposições são sempre iguais.

Demonstração:

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Como os valores lógicos das três proposições são iguais, elas são ditas logicamente equivalentes.

Em uma linguagem informal, poderíamos construir o seguinte algoritmo para construir essas

proposições equivalentes notáveis, dada a proposição condicional p ^ q .

~ q —p

Negue o antecedente e o consequente,

troque a ordem e mantenha o conectivo
"se....então"

~pvq

Negue apenas o antecedente e troque o
conectivo por "ou".

Por exemplo, dada a proposição "Se bebo, então não dirijo", temos que as seguintes proposições

são equivalentes a ela:

i) Se dirijo, então não bebo.

ii) Não bebo ou não dirijo.

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Resolução

Como comentei anteriormente, estas duas proposições são equivalentes. O item está certo.

02. (Agente Penitenciário SJDH-BA 2010/FCC) Uma afirmação equivalente à afirmação "Se bebo,
então não dirijo" é
(A) Se não bebo, então não dirijo.
(B) Se não dirijo, então não bebo.
(C) Se não dirijo, então bebo.
(D) Se não bebo, então dirijo.
(E) Se dirijo, então não bebo.

Resolução

Como foi dito anteriormente, há duas proposições equivalentes (notáveis):

i) Se dirijo, então não bebo.

ii) Não bebo ou não dirijo.

Letra E

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03. (Polícia Civil 2007/lpad) A sentença "Penso, logo existo" é logicamente equivalente a:

a) Penso e existo.
b) Nem penso, nem existo.
c) Não penso ou existo.
d) Penso ou não existo.
e) Existo, logo penso

Resolução

Dada a proposição "penso -> existo", temos, trivialmente, duas proposições equivalentes a ela:

i) Se não existo, então não penso. (Nega o antecedente e o consequente, troca a ordem e mantém
o conectivo.)

ii) Não penso ou existo. (Nega o antecedente e troca o conectivo por "ou").

Letra C

04. (Administrador DNOCS 2010/FCC) Considere a seguinte proposição:

"Se uma pessoa não faz cursos de aperfeiçoamento na sua área de trabalho, então ela não

melhora o seu desempenho profissional."

Uma proposição logicamente equivalente à proposição dada é:
(A) É falso que, uma pessoa não melhora o seu desempenho profissional ou faz cursos de

aperfeiçoamento na sua área de trabalho.
(B) Não é verdade que, uma pessoa não faz cursos de aperfeiçoamento profissional e não melhora
o seu desempenho profissional.
(C) Se uma pessoa não melhora seu desempenho profissional, então ela não faz cursos de
aperfeiçoamento na sua área de trabalho.
(D) Uma pessoa melhora o seu desempenho profissional ou não faz cursos de aperfeiçoamento na
sua área de trabalho.
(E) Uma pessoa não melhora seu desempenho profissional ou faz cursos de aperfeiçoamento na
sua área de trabalho.

Resolução

Temos, trivialmente, duas proposições equivalentes a ela:

i) Se a pessoa melhora o seu desempenho profissional, então ela faz cursos de aperfeiçoamento
na sua área de trabalho. (Nega o antecedente e o consequente, troca a ordem e mantém o
conectivo.)

ii) Uma pessoa faz cursos de aperfeiçoamentos na sua área de trabalho ou ela não melhora o seu
desempenho profissional. (Nega o antecedente e troca o conectivo por "ou").

O que a FCC fez foi trocar a ordem das proposições no caso ii. Isto é perfeitamente permitido, já
que a o conectivo "ou" permite a troca da ordem das frases sem alterar o seu sentido.

Letra E

05. (MPE-AM 2007/CESPE-UnB) As proposições (^A)v(--B) e -«A—>B têm exatamente as mesmas
valorações V ou F, independentemente das valorações V ou F atribuídas às proposições básicas A

eB.

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valorações V ou F, independentemente das valorações V ou F atribuídas às proposições básicas A

eB.

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Resolução

Vamos construir uma tabela-verdade para as duas proposições. Há 2

= 4 linhas. Começamos com

as proposições A,B e suas respectivas negações.

conectivo "ou". A composta será verdadeira em todas as linhas que houver pelo menos uma
verdadeira.

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devemos conectar a terceira coluna com a quarta coluna através do

(MPE-AM 2007/CESPE-UnB)Texto II - para os itens 06 e 07
Duas proposições são denominadas equivalentes quando têm exatamente as mesmas valorações

A partir das informações dos textos I e II acima, e supondo que A simboliza a proposição "Alice

perseguiu o Coelho Branco" e B simboliza a proposição "O Coelho Branco olhou o relógio", julgue
os itens a seguir.

06. A proposição "Se o Coelho Branco não olhou o relógio, então Alice não perseguiu o Coelho

Resolução

O item está certo.

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B: "O Coelho Branco olhou o relógio"
(-^B): "O Coelho Branco não olhou o relógio"

A: Alice perseguiu o Coelho Branco.

(-•A): Alice não perseguiu o Coelho Branco.

Portanto, (->B)->(-«A): "Se o Coelho Branco não olhou o relógio, então Alice não perseguiu o Coelho
Branco".

07. A proposição "Se o Coelho Branco olhou o relógio, então Alice não perseguiu o Coelho Branco"
é equivalente à proposição "O Coelho Branco não olhou o relógio ou Alice não perseguiu o Coelho

Branco".

Resolução

Lembremos o que foi dito na exposição teórica.

Negue o antecedente e o consequente, troque a ordem
e mantenha o conectivo "se...,então"

~pvq

Negue apenas o antecedente e troque o conectivo por

"ou".

Então dada a proposição "Se o Coelho Branco olhou o relógio, então Alice não perseguiu o Coelho
Branco", devemos negar apenas o primeiro componente e trocar o conectivo por "ou". Obtemos: "O

Coelho Branco não olhou o relógio ou Alice não perseguiu o Coelho Branco". O item está certo.

08. (BB 2009/CESPE-UnB) A proposição Se x é um número par, então y é um número primo é
equivalente à proposição Se y não é um número primo, então x não é um número par.

Resolução

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Se o Coelho Branco não olhou o relógio, então Alice não perseguiu o Coelho

permanecemos com o conectivo "se..., então...", negamos os dois componentes e trocamos a
ordem das frases.

O item está certo.

09. (EMBASA 2010/CESPE-UnB) Caso a proposição "Se a EMBASA promover ações de educação
ambiental, então a população colaborará para a redução da poluição das águas" seja V, a
proposição "Se a EMBASA não promover ações de educação ambiental, então a população não
colaborará para a redução da poluição das águas" também será V.

Resolução

Novamente uma questão envolvendo equivalência do conectivo "se..., então..." com o conectivo
"se..., então...". Vimos na questão anterior que devemos negar os dois componentes e trocar a
ordem. O problema negou os dois componentes, mas não trocou a ordem das frases. O item está

errado.

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10. (TRE-RJ 2012/CESPE-UnB) A proposição "Se o vereador Vitor não participou do esquema,

então o prefeito Pérsio não sabia do esquema." é logicamente equivalente à proposição "Se o
prefeito Pérsio sabia do esquema, então o vereador Vitor participou do esquema".

Resolução

Ou seja, para transformar uma frase de "se..., então..." para "ou", devemos negar o primeiro
componente e repetir o segundo.

Proposição

Se o vereador Vitor não
participou do esquema

então o chefe de gabinete não foi o mentor do

esquema.

Equivalente

O vereador Vitor participou
do esquema

o chefe de gabinete não foi o mentor do
esquema.

O item está certo.

C o n d i ç ã o N e c e s s á r i a e C o n d i ç ã o S u f i c i e n t e

V a m o s considerar as seguintes proposições:

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O item está certo. Esta questão aborda a equivalência
equivalência, permanecemos com o conectivo "se..., então...", negamos os dois componentes e
trocamos a ordem das frases.

11. (TRE-RJ 2012/CESPE-UnB) A proposição "Se o vereador Vitor não participou do esquema,

então o chefe de gabinete não foi o mentor do esquema." é logicamente equivalente à proposição
"O vereador Vitor participou do esquema ou o chefe de gabinete não foi o mentor do esquema".

Resolução

Nesta questão temos uma equivalência do conectivo "se..., então..." com o conectivo "ou". Vamos

relembrar:

Considere agora a proposição c o m p o s t a

I m a g i n e que a l g u é m te informou que de fato G u i l h e r m e é p e r n a m b u c a n o . V o c ê

já pode garantir que G u i l h e r m e é brasileiro? Sim!!

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Desta forma, dizemos que Guilherme ser pernambucano é condição

suficiente para Guilherme ser brasileiro.

Por que é condição suficiente? Porque basta saber que Guilherme é
pernambucano para garantir que Guilherme é brasileiro.

Generalizando, dizemos que no condicional p -> q, p é condição suficiente
para q.

Imagine agora que alguém te informou que Guilherme é brasileiro. Você
garante que Guilherme é pernambucano? Não!!

Ou seja, saber que Guilherme é brasileiro NÃO É SUFICIENTE para saber que
Guilherme é pernambucano.

Mas uma coisa podemos garantir: para que Guilherme seja pernambucano, ele
necessariamente tem que ser brasileiro. Ou seja,

Guilherme ser brasileiro é condição necessária para Guilherme ser
pernambucano.

Exemplo: Considere a frase "Penso, logo existo". Esta frase significa que "Se
penso, então existo'

Lembre-se que o primeiro componente do "se..., então" é a condição suficiente.

Desta forma: Pensar é condição suficiente para existir.

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Diz-se que p é condição suficiente de (ou para) q sempre que
palavras, uma condição suficiente aparece como antecedente de uma
proposição condicional. Usando a mesma expressão, q se diz condição
necessária de (ou para) p. Em outras palavras, uma condição necessária

aparece como consequente de uma condicional. Por exemplo, a proposição

"Se Guilherme é pernambucano, então Guilherme é brasileiro" pode ser lida das

seguintes maneiras:

Guilherme ser pernambucano é condição suficiente para Guilherme ser
brasileiro.

Guilherme ser brasileiro é condição necessária para Guilherme ser
pernambucano.

Resumindo.

p é condição suficiente para q

q é condição necessária para p

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O segundo componente do "se..., então..." é a condição necessária.

Desta forma: Existir é condição necessária para pensar.

p^q

p é condição suficiente para q

q é condição necessária para p

p<^q

p é condição necessária e suficiente para q

q é condição necessária e suficiente para p

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bem, a proposição "Se penso, então existo." é equivalente à proposição

"Se não existo, então não penso", que pode ser escrita como:

Não existir é condição suficiente para não pensar.

Não pensar é condição necessária para não existir.

Vamos agora considerar as seguintes proposições:

Guilherme é

recifense.

q: Guilherme nasceu no Recife.

Considere agora a proposição composta

Esta frase tem o seguinte significado:

"Se Guilherme é recifense, então Guilherme nasceu no Recife e se Guilherme

nasceu no Recife, então Guilherme é recifense.". Trata-se, portanto, de um
bicondicional.

Diz-se que p é condição necessária e suficiente de (ou para) q, ou que q é

condição necessária e suficiente de (ou para) p sempre que
exemplo, a proposição "Guilherme é recifense se e somente se nasceu no

Recife" pode ser lida das seguintes maneiras:

Guilherme ser recifense é condição necessária e suficiente para ter
Guilherme nascido no Recife.

Guilherme ter nascido no Recife é condição necessária e suficiente para
Guilherme ser recifense.

Em resumo:

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12. (MEC/2008/FGV) Com relação à naturalidade dos cidadãos brasileiros,

assinale a alternativa logicamente correta:

a) Ser brasileiro é condição necessária e suficiente para ser paulista.

b) Ser brasileiro é condição suficiente, mas não necessária para ser
paranaense.

c) Ser carioca é condição necessária e suficiente para ser brasileiro.
d) Ser baiano é condição suficiente, mas não necessária para ser brasileiro.
e) Ser maranhense é condição necessária, mas não suficiente para ser

brasileiro.

Resolução

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brasileira e não ser paulista. Contradição, pois os valores lógicos das
proposições componentes de uma bicondicional devem ser iguais. Uma
proposição bicondicional equipara-se a dois condicionais: Se uma pessoa é
brasileira, então ela é paulista e, se uma pessoa é paulista, então ela é
brasileira.

paulista. Falso, pois pode ocorrer o caso de uma pessoa ser

paranaense. Falso, pois pode ocorrer o caso de uma pessoa ser

brasileira e não ser paranaense. Como vimos, não pode ocorrer VF em uma

condicional.

brasileiro. Falso, pela mesma razão da alternativa A.

brasileiro. Verdadeiro, pois é impossível que uma pessoa seja

baiana e não seja brasileira. Neste caso é impossível ocorrer VF. E impossível
que o antecedente seja verdadeiro e o consequente falso.

maranhense. Falso, pela mesma razão da alternativa B.

Letra D

13. (Bacen/2006/FCC) Sejam as proposições:

p: atuação compradora de dólares por parte do Banco Central.

q: fazer frente ao fluxo positivo.
Se p implica q, então:

a) Fazer frente ao fluxo positivo é condição necessária e suficiente para a
atuação compradora de dólares por parte do Banco Central.

b) A atuação compradora de dólares por parte do Banco Central não é condição
suficiente e nem necessária para fazer frente ao fluxo positivo.

c) A atuação compradora de dólares por parte do Banco Central é condição

necessária para fazer frente ao fluxo positivo.

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d) Fazer frente ao fluxo positivo é condição suficiente para a atuação
compradora de dólares por parte do Banco Central.
e) A atuação compradora de dólares por parte do Banco Central é condição
suficiente para fazer frente ao fluxo positivo.

Resolução

"p implica q" é o mesmo que p -> q.

Desta forma:

p é condição suficiente para q.

A atuação compradora de dólares por parte do Banco Central é
condição suficiente para fazer frente ao fluxo positivo.

Letra E

14. (BB/2008-2/CESPE) A proposição "Se as reservas internacionais em moeda

forte aumentam, então o país fica protegido de ataques especulativos" pode
também ser corretamente expressa por "O país ficar protegido de ataques
especulativos é condição necessária para que as reservas internacionais
aumentem".

Resolução

"Se as reservas internacionais em moeda forte aumentam, então o país
fica protegido de ataques especulativos".

O primeiro componente é condição suficiente.

Aumentar as reservas internacionais em moeda forte é condição

suficiente para o país ficar protegido de ataques especulativos.

O segundo componente é condição necessária.

"O país ficar protegido de ataques especulativos é condição necessária

para que as reservas internacionais em moeda forte aumentem".

Observe que a frase que nós construímos não foi a mesma do enunciado. A
frase do enunciado é a seguinte:

"O país ficar protegido de ataques especulativos é condição necessária para que

as reservas internacionais aumentem".

Está faltando a expressão "em moeda forte". Mesmo assim, o CESPE considerou

o item como certo.

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O item está certo.

Negação de proposições compostas

Aprenderemos agora a construir a negação de proposições compostas.

Dada uma proposição p qualquer, uma outra proposição, chamada negação de

p, pode ser formada escrevendo-se "É falso que ..." antes de p ou, se possível,

inserindo a palavra "não". Simbolicamente, a negação de p é designada por ~p
ou - p . Para que -p seja uma proposição, devemos ser capazes de classificá-la
em verdadeira (V) ou falsa (F). Para isso vamos postular (decretar) o seguinte

critério de classificação: A proposição ~p tem sempre o valor lógico
oposto de p, isto é, ~p é verdadeira quando pé falsa e ~p é falsa
quando p é verdadeira.

: Paris está na França.

É falso que Paris está na França.

Paris não está na França.

Não é verdade que Paris está na França.

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Exemplo

Devemos ter certo cuidado ao negar as proposições. Em termos de lógica, a
negação de uma proposição p será a proposição ~p. A negação de "A parede

é branca" é "A parece não é branca". A negação efetua a simples troca do valor
verdade de p. Assim, quando pé verdadeira, -p é falsa; quando pé falsa, ~p
é verdadeira. Essa simplicidade lógica se opõe às várias complicações que a

negação coloca nos discursos. Considere então a proposição:

"Guilherme jogou um livro na perna de João".

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A negativa, de acordo com a Lógica, limita-se a trocar o valor-verdade da
afirmação feita. Limita-se a dizer que a afirmativa é falsa. Entretanto, essa
falsidade pode recair em vários itens da afirmação.

i) Não foi Guilherme quem jogou o livro, foi Alberto.

ii) Não jogou, apenas encostou.

iii) Não foi um livro, e sim um caderno.

iv) Não foi na perna, foi na barriga.

v) Não foi em João, foi em Paulo.

Como nos revela este exemplo, há uma negação "externa", aplicável a uma
proposição inteira, e uma negação interna, aplicável a algum componente da
proposição. Queremos com isso mostrar que, por exemplo, não são

Negação das proposições usuais

Poderíamos montar esta tabela em uma linguagem informal para um melhor

entendimento do leitor iniciante.

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enunciaremos as "fórmulas" de negação das proposições compostas,
demonstraremos e, em seguida, aplicaremos nas diversas questões de
concurso.

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Observe que há várias maneiras de negar a proposição composta pelo "se e
somente se".

Afirmação

Negação

pAq

Negue as duas proposições e troque o

conectivo "e" pelo conectivo "ou"

pvq

Negue as duas proposições e troque o

conectivo "ou" pelo conectivo "e"

PV<7

Troque o conectivo "ou...ou..." pelo conectivo

"se e somente se

p^q

Afirme o antecedente, troque o conectivo

condicional pelo conectivo "e" e negue o

consequente.

Afirme a primeira

" e " negue a segunda,

coloque o conectivo "ou" e em seguida afirme a

segunda

" e " negue a primeira.

p^q

Negue apenas o segundo componente e

mantenha o conectivo.

Negue apenas o primeiro componente e

mantenha o conectivo.

Troque o conectivo "se e somente se" pelo

conectivo "ou exclusivo".

Vejamos alguns exemplos.

Exemplo 1: Conjunção

Afirmação: Vou ao cinema e vou ao teatro.

Negação: Não vou ao cinema ou não vou ao teatro.

Exemplo 2: Disjunção

Afirmação: Eu te ensino Lógica ou meu nome não é Guilherme.

Negação: Não te ensino Lógica e meu nome é Guilherme.

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Exemplo 3: Condicional

Afirmação: Se bebo, então não dirijo.

Negação: Bebo e dirijo.

Negação de proposições quantificadas

Observe as seguintes expressões:

a) 2x+6 = 0

b)x-3>0

Elas contêm variáveis e seus valores lógicos (verdadeira ou falsa) dependem do

valor atribuído à variável.

a) 2x+6 = 0 é verdadeira se trocarmos * por -3 e é falsa para qualquer outro
valor atribuído a x.

x—3>0 é verdadeira, por exemplo, para x = 8 e falsa, por exemplo, para x = l

Expressões que contêm variáveis são chamadas de sentenças abertas ou

funções proposicionais. Como já comentamos, tais expressões não são

proposições, pois seus valores lógicos dependem dos valores atribuídos às

variáveis. Entretanto, temos duas maneiras de transformar funções

proposicionais em proposições: atribuir valor às variáveis ou utilizar
quantificadores.

Quantificadores são palavras ou expressões que indicam que houve
quantificação. São exemplos de quantificadores as expressões: existe, algum,
todo, cada, pelo menos um, nenhum. Note que os dicionários, de modo geral,
não registram "quantificador'

. Esse termo, no entanto, é de uso comum na

Lógica.

Uma proposição é dita categórica quando é caracterizada por um quantificador
seguido por uma classe ou de atributos, um elo e outra classe de atributos.

Vejamos exemplos de proposições quantificadas.

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Proposição universal

afirmativa

Todo recifense é pernambucano.

Proposição universal
negativa

Nenhum recifense é pernambucano.

Proposição particular

afirmativa

Algum recifense é pernambucano.

Proposição particular
negativa

Algum recifense não é pernambucano.

Observe que a proposição universal negativa "Nenhum recifense é
pernambucano" equivale a dizer que "Todo recifense não é pernambucano".

Dessa forma, a expressão "nenhum" pode ser substituída pela expressão

"todo... não ...".

O quantificador universal é indicado pelo símbolo V, que se lê: "todo",

"qualquer que seja", "para todo".

O quantificador existencial é indicado pelo símbolo 3, que se lê: "algum",

"existe", "existe pelo menos um", "pelo menos um", "existe um".

Note que uma função proposicional (ou sentença aberta) quantificada é uma
proposição. Então, como proposição, pode ser negada.

Negação de proposições quantificadas

O quantificador existencial é indicado pelo símbolo 3, que se lê: "algum",

"existe", "existe pelo menos um", "pelo menos um", "existe um".

Note que uma função proposicional (ou sentença aberta) quantificada é uma
proposição. Então, como proposição, pode ser negada.

Negação de proposições quantificadas

Em resumo, temos o seguinte quadro para negação de proposições

quantificadas.

Afirmação

Negação

Particular afirmativa ("algum...")

Universal negativa ("nenhum..." ou

"todo... não ...")

Universal negativa ("nenhum..." ou

"todo... não...")

Particular afirmativa ("algum...")

Universal afirmativa ("todo...")

Particular negativa ("algum... não")

Universal afirmativa ("todo...")

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O quantificador universal é indicado pelo símbolo

"qualquer que seja", "para todo".

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Observe que se a proposição original utiliza o quantificador UNIVERSAL, a sua
negação terá um quantificador PARTICULAR. Se a proposição original tem um
quantificador PARTICULAR, sua negação utilizará o quantificador UNIVERSAL.

Verifique ainda que se a proposição original é AFIRMATIVA, sua negação será

NEGATIVA. Se a proposição original é NEGATIVA, sua negação será

AFIRMATIVA.

Vejamos alguns exemplos:

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p : Algum político é honesto.

p : Existe político honesto.

A proposição dada é uma PARTICULAR AFIRMATIVA. Sua negação será uma

UNIVERSAL NEGATIVA.

~p: Nenhum político é honesto.
~p: Todo político não é honesto.

q: Nenhum brasileiro é europeu.

q: Todo brasileiro não é europeu.

A proposição dada é uma UNIVERSAL NEGATIVA. Sua negação será uma

PARTICULAR AFIRMATIVA.

~q: Algum brasileiro é europeu.
~q: Existe brasileiro que é europeu.

r: Todo concurseiro é persistente.

A proposição dada é uma UNIVERSAL AFIRMATIVA. Sua negação será uma

PARTICULAR NEGATIVA.

~ r : Algum concurseiro não é persistente.
~ r : Existe concurseiro que não é persistente.

t : Algum recifense não é pernambucano.

t : Existe recifense que não é pernambucano.

A proposição dada é uma PARTICULAR NEGATIVA. Sua negação será uma

UNIVERSAL AFIRMARTIVA.

~t: Todo recifense é pernambucano.

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Observação: Como saberemos se uma questão qualquer se refere à negação?

De três maneiras:

i) A questão explicitamente pede a negação de uma proposição dada.
ii) A questão fornece uma proposição verdadeira e pede uma falsa.
iii) A questão fornece uma proposição falsa e pede uma verdadeira.

15. (ANCINE 2012/CESPE-UnB) A negação da proposição "Todo ator sabe cantar e

dançar" é equivalente a "Existe ator que não sabe cantar ou que não sabe dançar".

Resolução

A proposição dada no enunciado utiliza o quantificador universal "todo". Para negar

uma proposição como esta, devemos trocar o quantificador pelo particular (algum,

existe,...) e negar o resto da frase. Observe que o "resto" da frase é composta pelo
conectivo "e". Sabemos, pelas Leis de DeMorgan, que para negar uma proposição
composta pelo conectivo "e" devemos modificar os verbos e trocar o conectivo por

"ou".

O item está certo.

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Resolução

proposição é negar (já que temos o símbolo da negação fora das chaves) a proposição

Ora, e como negamos uma proposição composta pelo conectivo "se...,

então../'? Devemos repetir a primeira proposição, trocar o conectivo "se..., então..."

pelo conectivo "e" e negar o segundo componente (negar o consequente). Desta

O item está errado.

Observe que o enunciado negou os dois componentes e manteve o conectivo "se...,
então...".

17. (ANCINE 2012/CESPE-UnB) A proposição "Se todo diretor é excêntrico e algum

excêntrico é mau ator, então algum diretor é mau ator" é logicamente equivalente à

proposição "Algum diretor não é excêntrico ou todo excêntrico é bom ator ou algum

diretor é mau ator".

Resolução

Nós estudamos duas equivalências importantes envolvendo o conectivo "se..., então...".
Uma delas tem como objetivo transformar uma proposição do "se..., então..." em outra
proposição do "se..., então...".

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A outra equivalência nos ensina como transformar uma proposição do "se..., então..."
em uma proposição composta pelo conectivo "ou".

Para tanto, devemos negar o primeiro componente, trocar o conectivo "ou" pelo "se...,

então..." e copiar o segundo componente.

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Vamos negar o primeiro componente. Temos uma proposição composta pelo conectivo
"e". Devemos negar as duas partes e trocar o conectivo "e" pelo conectivo "ou".

Para negar uma proposição com "todo", trocamos pelo quantificador particular (existe,

algum,...) e modificamos o verbo.

Para negar uma proposição com "algum", trocamos pelo quantificador universal (todo)

e modificamos o verbo.

Assim, a proposição dada é equivalente a "Algum diretor não é excêntrico ou todo
excêntrico é bom ator ou algum diretor é mau ator". Lembre-se que o segundo
componente deve ser copiado.

O item está certo.

Uma ressalva: não aceito 100% o gabarito desta questão. Se João não é um ator ruim,
isso não significa dizer que ele é um bom ator. Existe um meio termo. Da mesma

forma, se João não é rico, isto não significa dizer que ele é pobre. Existe um meio
termo. De qualquer forma, esta questão serve de respaldo para eventuais recursos no
futuro.

18. (PREVIC 2011/CESPE-UnB) A negação da proposição "Se um trabalhador tinha

qualidade de segurado da previdência social ao falecer, então seus dependentes têm
direito a pensão" é logicamente equivalente à proposição "Um trabalhador tinha
qualidade de segurado da previdência social ao falecer, mas seus dependentes não têm
direito a pensão".

Resolução

Queremos negar uma proposição composta pelo conectivo "se..., então...". Devemos
copiar o primeiro componente, negar o segundo e trocar o conectivo pelo "e".

Ficamos com: Um trabalhador tinha qualidade de segurado da previdência social ao

falecer e seus dependentes não têm direito a pensão. O item está certo. A palavra

MAS tem o mesmo sentido do conectivo "e".

19. (ABIN 2010/CESPE-UnB) A negação da proposição "estes papéis são rascunhos ou

não têm mais serventia para o desenvolvimento dos trabalhos" é equivalente a "estes
papéis não são rascunhos e têm serventia para o desenvolvimento dos trabalhos".

Resolução

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Aula 02

Prof. Guilherme Neves

Para negar uma proposição composta pelo conectivo "ou", devemos negar os dois

componentes e trocar o conectivo pelo "e".

Afirmação

Estes papéis são
rascunhos

não têm mais serventia para o
desenvolvimento dos trabalhos

Negação

Estes papéis não são
rascunhos

têm mais serventia para o
desenvolvimento dos trabalhos

O item está certo.

20. (Banco da Amazônia 2010/CESPE-UnB) A negação da proposição "se Paulo está
entre os 40% dos homens com mais de 30 anos, então Luísa tem mais de 30 anos" é
"se Paulo não está entre os 40% dos homens com mais de 30 anos, então Luísa não
tem mais de 30 anos".

Resolução

Queremos negar uma proposição composta pelo conectivo "se..., então...". Devemos
copiar o primeiro componente, negar o segundo e trocar o conectivo pelo "e". O item
está errado, já que ele negou os dois componentes (deveria ter negado apenas o
segundo) e manteve o conectivo "se..., então..." (deveria ter trocado pelo "e").

21. (BB 2008/CESPE-UnB) A negação da proposição "As palavras mascaram-se" pode

ser corretamente expressa pela proposição "Nenhuma palavra se mascara".

Resolução

A proposição "As palavras mascaram-se" tem um quantificador universal implícito, ou
seja, ela significa "Todas as palavras mascaram-se". Para negar uma proposição com
o quantificador universal "todo", devemos trocar pelo quantificador particular (existe,
algum,...) e negar o restante da frase. Ou seja, a correta negação é "Alguma palavra

não se mascara" ou "Existe palavra que não se mascara". O item está errado.

22. (TRE-RJ 2012/CESPE-UnB) A negação da proposição "Se eu não registrar minha

candidatura dentro do prazo, também não poderei concorrer a nenhum cargo" estará
corretamente expressa por "Se eu registrar minha candidatura dentro do prazo, então

poderei concorrer a algum cargo".

Resolução

Queremos negar uma proposição composta pelo conectivo "se..., então...". Devemos
copiar o primeiro componente, negar o segundo componente e trocar o conectivo pelo

"e". O item está errado, já que ele negou os dois componentes (deveria ter negado

apenas o segundo) e manteve o conectivo "se..., então..." (deveria ter trocado pelo

"e").

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Aula 02

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23. (Câmara dos Deputados 2012/CESPE-UnB) A negação da proposição "Não conheço
esse empresário nem ouvi falar de sua empresa" pode ser expressa por "Conheço esse
empresário e ouvi falar de sua empresa".

Resolução

A proposição dada no enunciado significa "Não conheço esse empresário e não ouvi
falar de sua empresa". A negação desta proposição é "Conheço esse empresário ou
ouvi falar de sua empresa". O item está errado, pois foi utilizado o conectivo "e" na

negação. Lembre-se das Leis de De Morgan: para negar uma proposição composta pelo

"e", devemos negar os dois componentes e trocar o conectivo "e" pelo conectivo "ou".

24. (PC-CE 2012/CESPE-UnB) A negação da proposição "Se houver corrupção, os
níveis de violência crescerão" é equivalente a "Se não houver corrupção, os níveis de

violência não crescerão".

Resolução

Para negar uma proposição composta pelo conectivo "se..., então..." devemos copiar o
primeiro componente, negar o segundo e trocar o conectivo pelo "e".

O item está completamente errado. O CESPE negou os dois componentes e manteve o
conectivo "se..., então...", A correta negação da proposição dada é "Há corrupção e os

níveis de violência não crescem".

25. (PC-CE 2012/CESPE-UnB) A negação da proposição "Toda pessoa pobre é violenta"
é equivalente a "Existe alguma pessoa pobre que não é violenta".

Resolução

O item está certo. Para negar uma proposição com o quantificador universal, devemos

utilizar o quantificador particular (existe, algum, existe algum, pelo menos um, etc.) e
modificar o verbo.

Afirmação

Toda

pessoa pobre é violenta.

Negação

Existe alguma

pessoa pobre que não é violenta.

26. (PC-CE 2012/CESPE-UnB) Considerando que Jorge não seja pobre, mas pratique
atos violentos, é correto afirmar que Jorge é um contraexemplo para a afirmação:

"Todo indivíduo pobre pratica atos violentos".

Resolução

O que é um contraexemplo? Ora, é um "exemplo" que torne a proposição falsa. E como
vamos saber quando a proposição é falsa? Basta construir a sua negação!!

A negação de "Todo indivíduo pobre pratica atos violentos" é "Existe indivíduo pobre
que não pratica atos violentos" (trocamos o tipo de quantificador e modificamos o
verbo).

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Assim, um contraexemplo será um indivíduo pobre que não pratique atos violentos.
Jorge não é um contraexemplo. Para que ele fosse um contraexemplo para a frase, ele
deveria ser pobre e não praticar atos violentos. O item está errado.

27. (TRE-RJ 2012/CESPE-UnB) A negação da proposição "Se eu não registrar minha
candidatura dentro do prazo, também não poderei concorrer a nenhum cargo" estará
corretamente expressa por "Se eu registrar minha candidatura dentro do prazo, então
poderei concorrer a algum cargo".

Resolução

Qualquer tentativa de negar uma proposição composta pelo "se..., então..." utilizando o

próprio conectivo "se..., então..." estará errada. Assim, o item está errado.

(TRE-RJ 2012/CESPE-UnB) P: Se não há autorização legislativa ou indicação dos
recursos financeiros correspondentes, então, não há abertura de créditos

suplementares ou de créditos especiais.

Considerando a proposição acima, que tem por base o art. 167, inciso V, da
Constituição Federal de 1988, julgue os itens seguintes.

28. Na proposição P, a negação do consequente estaria corretamente expressa por:

"Há abertura de créditos suplementares ou há abertura de créditos especiais".

Resolução

O consequente é a segunda proposição de uma proposição composta pelo conectivo

"se..., então...", ou seja, é a proposição que fica depois do "então".

Queremos, portanto, negar a proposição "não há abertura de créditos suplementares
ou de créditos especiais.". Para negar uma proposição composta pelo "ou", devemos

negar os componentes e trocar o conectivo pelo "e". O item está errado, já que o

conectivo não foi trocado.

29. (FCC-2011-Banco do Brasil - Escriturário) Um jornal publicou a seguinte
manchete:

"Toda Agência do Banco do Brasil tem déficit de funcionários."

Diante de tal inverdade, o jornal se viu obrigado a retratar-se, publicando
uma negação de tal manchete. Das sentenças seguintes, aquela que

expressaria de maneira correta a negação da manchete publicada é:

a) Qualquer Agência do Banco do Brasil não têm déficit de funcionários.

b) Nenhuma Agência do Banco do Brasil tem déficit de funcionários.

c) Alguma Agência do Banco do Brasil não tem déficit de funcionários.
d) Existem Agências com déficit de funcionários que não pertencem ao Banco
do Brasil.
e) O quadro de funcionários do Banco do Brasil está completo.

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Resolução

A negação de uma proposição universal afirmativa ("todo...

) é a particular

negativa ("algum... não").

Afirmação

Toda

Agência do Banco do Brasil tem déficit de

funcionários.

Negação

Alguma

Agência do Banco do Brasil não tem déficit

de funcionários.

Letra C

30. (FCC - 2009 - TJ-SE - Técnico Judiciário - Programação de Sistemas )
Considere as seguintes premissas:

p : Trabalhar é saudável
q : O cigarro mata.

A afirmação "Trabalhar não é saudável" ou "o cigarro mata" é FALSA se

a) p é falsa e ~ q é falsa.

b) p é falsa e q é falsa.

c) p e q são verdadeiras.
d) p é verdadeira e q é falsa.
e) ~p é verdadeira e q é falsa.

Resolução

A afirmação dada foi "Trabalhar não é saudável ou o cigarro mata". Em

símbolos, a proposição dada foi ~p v q. A proposição é composta pelo conectivo

"ou".

Quando é que uma proposição composta pelo conectivo "ou" é falsa? Quando os
dois componentes são falsos. Assim, concluímos que ~p é falsa (ou seja, p é
verdadeira) e q é falsa.

Letra D

31. (FCC - 2008 - TRT - 18

Região (GO) - Técnico Judiciário - Tecnologia da

Informação) Considere as proposições:

p: Sansão é forte.

q: Dalila é linda.

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a) Se Dalila não é linda, então Sansão é forte.

b) Se Sansão não é forte, então Dalila não é linda.

c) Não é verdade que Sansão é forte e Dalila é linda.
d) Sansão não é forte ou Dalila é linda.
e) Sansão não é forte e Dalila é linda.

Resolução

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Queremos negar a proposição
proposição composta pelo conectivo "e". Como fazer?

De acordo com as leis de DeMorgan, devemos negar os dois componentes e

trocar o conectivo por "ou".

Passando para a linguagem corrente, a proposição da resposta é

Sansão não é forte ou Dalila é linda.

Letra D

mesmos valores V e F. Considere que A simbolize a proposição "Pedro tem 20

anos de idade" e B simbolize "Pedro é assistente administrativo". Assinale a
opção equivalente à negação da proposição "Pedro tem 20 anos de idade e é
assistente administrativo".
A) Pedro não tem 20 anos de idade e não é assistente administrativo.

B) Pedro não tem 20 anos de idade ou Pedro não é assistente administrativo.

C) Pedro tem 20 anos de idade e não é assistente administrativo.

D) Pedro não tem 20 anos de idade ou Pedro é assistente administrativo.

Resolução

Para negar uma proposição composta pelo "e", devemos negar os dois

componentes e trocar o conectivo pelo "ou".

Desta forma, a negação da proposição "Pedro tem 20 anos de idade e é

assistente administrativo" é "Pedro não tem 20 anos de idade ou não é
assistente administrativo.

Letra B

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33. (FCC - 2008 - TRT - 2

REGIÃO (SP) - Técnico Judiciário ) A negação da

sentença "A Terra é chata e a Lua é um planeta." é:

a) Se a Terra é chata, então a Lua não é um planeta.

b) Se a Lua não é um planeta, então a Terra não é chata.

c) A Terra não é chata e a Lua não é um planeta.
d) A Terra não é chata ou a Lua é um planeta.
e) A Terra não é chata se a Lua não é um planeta.

Resolução

Essa questão foi muito boa!! E foi copiada depois pelo CESPE (veja a próxima

questão).

Para negar a proposição composta pelo "e", devemos negar os dois

componentes e trocar o conectivo pelo "ou". Desta forma, a negação de "A

Terra é chata e a Lua é um planeta." é "A Terra não é chata ou a Lua não é

um planeta."

O que devemos fazer então?

Ora, devemos marcar uma alternativa que tenha o mesmo significado lógico de

"A Terra não é chata ou a Lua não é um planeta/'

Vamos, portanto, assinalar uma proposição equivalente a ela.

Para transformar uma proposição composta pelo conectivo "ou" em uma

condicional, devemos negar apenas o primeiro componente e trocar o
conectivo.

Desta forma, são equivalentes as proposições:

"A Terra não é chata ou a Lua não é um planeta."

Se a Terra é chata, então a Lua não é um planeta.

Letra A

34. (TRE-MA 2009/CESPE-UnB) Com base nas regras da lógica sentenciai,

assinale a opção que corresponde à negação da proposição "Mário é contador e

Norberto é estatístico."

A) Se Mário não é contador, então Norberto não é estatístico.

B) Mário não é contador e Norberto não é estatístico.

C) Se Mário não é contador, então Norberto é estatístico.

D) Se Mário é contador, então Norberto não é estatístico.
E) Se Mário é contador, então Norberto é estatístico.

Resolução

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Para negar a proposição composta pelo "e", devemos negar os dois

componentes e trocar o conectivo pelo "ou". Desta forma, a negação de "Mário
é contador e Norberto é estatístico." é "Mário não é contador ou Norberto

não é estatístico/'

O problema é que esta frase não se encontra nas alternativas. Observe que há
várias alternativas com o conectivo "se...,então...". O que devemos fazer
então?

Ora, devemos marcar uma alternativa que tenha o mesmo significado lógico de

"Mário não é contador ou Norberto não é estatístico/

Vamos, portanto,

assinalar uma proposição equivalente a ela.

Para transformar uma proposição composta pelo conectivo "ou" em uma

condicional, devemos negar apenas o primeiro componente e trocar o
conectivo.

Desta forma, são equivalentes as proposições:

"Mário não é contador ou Norberto não é estatístico/'

Se Mário é contador, então Norberto não é estatístico.

Letra D

35. (Administrador - FUNASA - CESGRANRIO 2009) Qual é a negação da
proposição "Alguma lâmpada está acesa e todas as portas estão fechadas"?

(A) Todas as lâmpadas estão apagadas e alguma porta está aberta.
(B) Todas as lâmpadas estão apagadas ou alguma porta está aberta.
(C) Alguma lâmpada está apagada e nenhuma porta está aberta.
(D) Alguma lâmpada está apagada ou nenhuma porta está aberta.
(E) Alguma lâmpada está apagada e todas as portas estão abertas.

Resolução

Vamos negar os componentes separadamente e, em seguida, trocar o conectivo

pelo "ou".

P: Alguma lâmpada está acesa.

A negação da proposição particular afirmativa é a universal negativa.

~P: Todas as lâmpadas não estão acesas. Ou seja, todas as lâmpadas estão

apagadas.

Q: Todas as portas estão fechadas.

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A negação da proposição universal afirmativa é a particular negativa.

~Q: Alguma porta não está fechada. Ou seja, alguma porta está aberta.

A negação da proposição dada é:

Todas as lâmpadas estão apagadas ou alguma porta está aberta.

Letra B

36. (Analista CAPES CESGRANRIO 2008) Sejam p e q proposições simples e

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Resolução

A proposição dada pelo enunciado é a seguinte

Para negar uma proposição composta pelo "se...,então..." devemos negar

apenas o segundo componente e trocar o conectivo pelo "e".

Lembre que a negação de ~q é q.

Portanto, a negação da proposição composta

Letra E

37. (Agente de Estação - Metro - SP 2010/FCC) Considere as proposições
simples:
p: Maly é usuária do Metrô e q: Maly gosta de dirigir automóvel

A negação da proposição composta p

A ~ q é:

(A) Maly não é usuária do Metrô ou gosta de dirigir automóvel.
(B) Maly não é usuária do Metrô e não gosta de dirigir automóvel.
(C) Não é verdade que Maly não é usuária do Metrô e não gosta de dirigir

automóvel.

(D) Não é verdade que, se Maly não é usuária do Metrô, então ela gosta de
dirigir automóvel.

(E) Se Maly não é usuária do Metrô, então ela não gosta de dirigir automóvel.

Resolução

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Lembre-se que o símbolo

A representa o conectivo "e". Para negar uma

proposição composta pelo "e", negue as duas proposições e troque o conectivo

"e" pelo conectivo "ou".

Desta forma, a negação d e p A ~ q é ~ p v q .

~p : Maly não é usuária do Metrô,
q: Maly gosta de dirigir automóvel.

~ p

v q; Maly não é usuária do Metrô ou Maly gosta de dirigir automóvel.

Letra A

38. (METRO-SP 2009/FCC) São dadas as seguintes proposições simples:
p : Beatriz é morena;
q : Beatriz é inteligente;
r : Pessoas inteligentes estudam.
Se a implicação

( p A ~ r ) -> é FALSA, então é verdade que

(A) Beatriz é uma morena inteligente e pessoas inteligentes estudam.
(B) Pessoas inteligentes não estudam e Beatriz é uma morena não inteligente.
(C) Beatriz é uma morena inteligente e pessoas inteligentes não estudam.
(D) Pessoas inteligentes não estudam mas Beatriz é inteligente e não morena.
(E) Beatriz não é morena e nem inteligente, mas estuda.

Resolução

O enunciado fornece uma proposição falsa e pede uma verdadeira. Devemos
negar a proposição dada. E como negamos uma proposição composta pelo

"se..., então..."?

Afirme o antecedente, troque o conectivo condicional pelo conectivo "e"
e negue o consequente.

Na proposição

(p A -> o antecedente é (p A ~ r ) e o consequente é

Afirmamos o antecedente

( p A - r ) . Colocamos o conectivo "e".

(p A ~ r ) A

Negamos o consequente Ora, a negação de -q éa proposição q.

(p A A

p : Beatriz é morena;

Pessoas inteligentes não estudam,

q: Beatriz é inteligente;

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Desta forma, a negação de p

~ p

v q: Maly não é usuária do Metrô ou Maly gosta de dirigir automóvel.

Letra A

38. (METRO-SP 2009/FCC) São dadas as seguintes proposições simples:
p : Beatriz é morena;
q : Beatriz é inteligente;
r : Pessoas inteligentes estudam.

Resolução

O enunciado fornece uma proposição falsa e pede uma verdadeira. Devemos
negar a proposição dada. E como negamos uma proposição composta pelo

"se..., então.."?

Afirme o antecedente, troque o conectivo condicional pelo conectivo "e"
e negue o consequente.

Afirmamos o antecedente

Negamos o consequente

Afirmação Ruy Barbosa é abolicionista

Senador Dantas é baiano.

Negação

Ruy Barbosa não é abolicionista ou Senador Dantas não é baiano.

Letra C

40. (TRT 19

Região 2014/FCC) Considere a seguinte afirmação: Se José

estuda com persistência, então ele faz uma boa prova e fica satisfeito. Uma
afirmação que é a negação da afirmação acima é

(A) José estuda com persistência e ele não faz uma boa prova e ele não fica
satisfeito.
(B) José não estuda com persistência e ele não faz uma boa prova ou fica
satisfeito.
(C) José estuda com persistência ou ele faz uma boa prova ou ele não fica
satisfeito.
(D) José estuda com persistência e ele não faz uma boa prova ou ele não fica
satisfeito.
(E) Se José fica satisfeito então ele fez uma boa prova e estudou com
persistência.

Resolução

Para negar uma proposição composta pelo conectivo "se..., então..." devemos

afirmar o antecedente, colocar o conectivo "e" e negar o consequente.

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Beatriz é morena e pessoas inteligentes não estudam e Beatriz é

inteligente.

(C) Beatriz é uma morena inteligente e pessoas inteligentes não

estudam.

39. (PGE-BA 2013/FCC) A negação de "Ruy Barbosa é abolicionista e Senador
Dantas é baiano'

é:

(A) Ruy Barbosa não é abolicionista e Senador Dantas não é baiano.
(B) Ruy Barbosa é baiano e Senador Dantas é abolicionista.
(C) Ruy Barbosa não é abolicionista ou Senador Dantas não é baiano.
(D) Ruy Barbosa é baiano ou Senador Dantas não é abolicionista.
(E) Ruy Barbosa é Senador Dantas e Senador Dantas é Ruy Barbosa.

Resolução

Para negar uma proposição composta pelo conectivo "e", devemos negar os

dois componentes e trocar o conectivo "e" pelo conectivo "ou".

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Observe que o consequente é uma proposição composta pelo conectivo "e".

Para negar uma proposição composta pelo conectivo "e", devemos negar os

dois componentes e trocar o conectivo "e" pelo conectivo "ou".

Afirmação Se José estuda com persistência então ele faz uma boa prova e fica satisfeito.

Negação

José estuda com persistência

ele não faz uma boa prova ou não fica satisfeito.

Letra D

41. (PGE-BA 2013/FCC) Se todas as bananas têm asas, então o ouro não é um
fruto seco. Se o ouro não é um fruto seco, então todas as bananas têm asas.

Logo,

(A) todas as bananas não têm asas se e somente se o ouro não for um fruto
seco.
(B) todas as bananas têm asas se e somente se o ouro for um fruto seco.
(C) todas as bananas não têm asas se o ouro é um fruto seco.
(D) todas as bananas têm asas se e somente se o ouro não for um fruto seco.
(E) algum ouro não é um fruto seco se e somente se todas as bananas tiverem

asas.

Resolução

Vimos que a proposição p ^ q equivale à proposição

(p ^ g) A ( g p ) . Isto

significa que podemos pegar as proposições (p -> q) e (q -> p) e substituí-las por
uma única proposição composta pelo conectivo "se e somente se".

Se todas as bananas têm asas, então o ouro não é um fruto seco.
Se o ouro não é um fruto seco, então todas as bananas têm asas.

Portanto, todas as bananas têm asas se e somente se o ouro não for um fruto

seco.

Letra D

42. (PGE-BA 2013/FCC) Ao se admitir por verdadeira a declaração "Se Paulo é
alto, então Gabriela não é alta", conclui-se, de maneira correta e necessária,
que se

(A) Gabriela é alta, então Paulo não é alto.
(B) Gabriela é alta, então Paulo é alto.
(C) Gabriela não é alta, então Paulo não é alto.
(D) Gabriela não é alta, então Paulo é Gabriela.
(E) Paulo não é alto, então Gabriela é maior que Paulo.

Resolução

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Queremos transformar uma proposição composta pelo conectivo "se...,
então..." em outra proposição composta pelo "se..., então...". Para tanto,

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alto, então Gabriela não é alta" é o mesmo que dizer que "Se Gabriela é alta,
então Paulo não é alto".

Letra A

43. (TRT I

Região 2013/FCC) Um vereador afirmou que, no último ano,

compareceu a todas as sessões da Câmara Municipal e não empregou parentes
em seu gabinete. Para que essa afirmação seja falsa, é necessário que, no

último ano, esse vereador

(A) tenha faltado em todas as sessões da Câmara Municipal ou tenha
empregado todos os seus parentes em seu gabinete.
(B) tenha faltado em pelo menos uma sessão da Câmara Municipal e tenha

empregado todos os seus parentes em seu gabinete.

(C) tenha faltado em pelo menos uma sessão da Câmara Municipal ou tenha
empregado um parente em seu gabinete.
(D) tenha faltado em todas as sessões da Câmara Municipal e tenha
empregado um parente em seu gabinete.
(E) tenha faltado em mais da metade das sessões da Câmara Municipal ou

tenha empregado pelo menos um parente em seu gabinete.

Resolução

A proposição dada é falsa. Para saber a proposição verdadeira, devemos negá-

la. Assim, queremos negar a proposição "O vereador compareceu a todas as
sessões da Câmara Municipal e não empregou parentes em seu gabinete.".

Para negar uma proposição composta pelo conectivo "e", devemos negar os

dois componentes e trocar o conectivo "e" pelo conectivo "ou".

Vejamos o primeiro componente: O vereador compareceu a todas as sessões da

Câmara Municipal.

Esta é uma proposição UNIVERSAL AFIRMATIVA. Para negá-la, devemos utilizar
um quantificador PARTICULAR NEGATIVO, ou seja, dizer que o vereador faltou
PELO MENOS uma sessão da Câmara Municipal.

Vejamos o segundo componente: não empregou parentes em seu gabinete.

Esta frase significa dizer que nenhum parente foi empregado, ou seja, é uma
proposição UNIVERSAL NEGATIVA. Para negá-la, devemos utilizar um

quantificador PARTICULAR AFIRMATIVO, ou seja, dizer que ele empregou pelo
menos um parente seu.

Letra

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44. (TRT-SP 2014/FCC) Um dia antes da reunião anual com os responsáveis por
todas as franquias de uma cadeia de lanchonetes, o diretor comercial recebeu

um relatório contendo a seguinte informação:

Todas as franquias enviaram o balanço anual e nenhuma delas teve prejuízo

neste ano.

Minutos antes da reunião, porém, ele recebeu uma mensagem em seu celular

enviada pelo gerente que elaborou o relatório, relatando que a informação não
estava correta. Dessa forma, o diretor pôde concluir que, necessariamente,

(A) nem todas as franquias enviaram o balanço anual ou pelo menos uma delas

teve prejuízo neste ano.

(B) nenhuma franquia enviou o balanço anual e todas elas tiveram prejuízo
neste ano.
(C) alguma franquia não enviou o balanço anual e todas elas tiveram prejuízo
neste ano.
(D) nenhuma franquia enviou o balanço anual ou pelo menos uma delas teve
prejuízo neste ano.
(E) nem todas as franquias enviaram o balanço anual ou todas elas tiveram
prejuízo neste ano.

Resolução

A informação não estava correta. Para sabermos o que é verdade, devemos

negar a proposição dada. Queremos negar uma proposição composta pelo

conectivo "e". Devemos negar os dois componentes e trocar o conectivo "e"

pelo conectivo "ou". Já podemos excluir as alternativas B e C.

(A) nem todas as franquias enviaram o balanço anual ou pelo menos uma delas

teve prejuízo neste ano.

(D) nenhuma franquia enviou o balanço anual ou pelo menos uma delas teve
prejuízo neste ano.

(E) nem todas as franquias enviaram o balanço anual ou todas elas tiveram
prejuízo neste ano.

O primeiro componente é uma proposição que utiliza um quantificador universal
afirmativo (Todas as franquias enviaram o balanço anual). Assim, sua negação
deve conter um quantificar particular negativo. Podemos excluir a alternativa D.

(A) nem todas as franquias enviaram o balanço anual ou pelo menos uma delas

teve prejuízo neste ano.

(E) nem todas as franquias enviaram o balanço anual ou todas elas tiveram
prejuízo neste ano.

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O segundo componente é uma proposição que utiliza um quantificador universal
negativo (nenhuma delas teve prejuízo neste ano.). Para negá-la, devemos
utilizar um quantificador particular afirmativo.

Podemos excluir a alternativa E.

Gabarito: A

45. (DPE-RS 2013/FCC) Ao ser questionado por seus alunos sobre a justiça da
avaliação final de seu curso, um professor fez a seguinte afirmação: "Não é
verdade que todos os alunos que estudaram foram reprovados". Considerando
verdadeira a afirmação do professor, pode-se concluir que, necessariamente,

(A) pelo menos um aluno que estudou não foi reprovado.
(B) todos os alunos que estudaram não foram reprovados.
(C) pelo menos um aluno que não estudou foi reprovado.
(D) todos os alunos que não estudaram foram reprovados.
(E) somente alunos que não estudaram foram reprovados.

Resolução

Já que a proposição do professor não é verdade, devemos negá-la para saber a
verdade. Assim, queremos negar a proposição "todos os alunos que estudaram
foram reprovados'

Esta é uma proposição universal afirmativa. Sua negação é uma proposição
particular negativa, ou seja, "pelo menos um aluno que estudou não foi
reprovado".

Letra A

46. (TRT 11

Região 2012/FCC) O diretor comercial de uma companhia,

preocupado com as numerosas reclamações de clientes sobre a falta de
produtos do catálogo nas lojas da empresa, deu a seguinte ordem a todos os
gerentes:

"Pelo menos uma de nossas lojas deve ter em seu estoque todos os produtos

de nosso catálogo."

Dois meses depois, o diretor constatou que sua ordem não estava sendo

cumprida. Com essas informações, conclui-se que, necessariamente,

(A) nenhum produto do catálogo estava disponível no estoque de todas as lojas
da empresa.
(B) no estoque de apenas uma loja da empresa não havia produtos do catálogo

em falta.

catálogo.

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(D) algum produto do catálogo estava em falta no estoque de todas as lojas da
empresa.
(E) no estoque de cada loja da empresa faltava pelo menos um produto do

catálogo.

Resolução

Queremos negar a proposição "Pelo menos uma de nossas lojas deve ter em
seu estoque todos os produtos de nosso catálogo."

A frase utiliza um quantificador particular afirmativo. Sua negação utilizará um

quantificador negativo. Assim, sua negação diz que todas as suas lojas não têm
em estoque todos os produtos do catálogo, ou seja, no estoque de todas as
lojas falta pelo menos um produto do catálogo.

47. (TRT 11

Região 2012/FCC) Um analista esportivo afirmou:

"Sempre que o time X joga em seu estádio marca pelo menos dois gois."

De acordo com essa afirmação, conclui-se que, necessariamente,

(A) o time X marca mais gois em seu estádio do que fora dele.
(B) o time X marca menos de dois gois quando joga fora de seu estádio.
(C) se o time X marcar um único gol em um jogo, este terá ocorrido fora de
seu estádio.
(D) se o time X marcar três gois em um jogo, este terá ocorrido em seu
estádio.

(E) o time X nunca é derrotado quando joga em seu estádio.

Resolução

A expressão "sempre" pode ser substituída pelo condicional "se..., então...".
Ou seja, a proposição acima é equivalente a "Se o time X joga em seu estádio,
então marca pelo menos dois gois".

Esta proposição é equivalente a "Se o time X marca menos de dois gois, então

o time X não jogou em seu estádio", utilizando a equivalência

Podemos concluir que, se o time X marcar apenas um gol em um jogo, este

terá ocorrido fora de seu estádio.

Letra E

Letra C

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48. (TRT 11

Região 2012/FCC) Uma senhora afirmou que todos os novelos de

lã guardados numa gaveta são coloridos e nenhum deles foi usado. Mais tarde,

ela percebeu que havia se enganado em relação à sua afirmação, o que permite
concluir que

(A) pelo menos um novelo de lã da gaveta não é colorido ou algum deles foi
usado.
(B) pelo menos um novelo de lã da gaveta não é colorido ou todos eles foram
usados.
(C) os novelos de lã da gaveta não são coloridos e já foram usados.
(D) os novelos de lã da gaveta não são coloridos e algum deles já foi usado.
(E) existem novelos de lã brancos na gaveta e eles já foram usados.

Resolução

Vamos negar a proposição dada, que é composta pelo conectivo "e". Para
começar, devemos negar os dois componentes e trocar o conectivo "e" pelo
conectivo "ou". Assim, já podemos descartar as alternativas B,C e E.

(A) pelo menos um novelo de lã da gaveta não é colorido ou algum deles

foi usado.

(B) pelo menos um novelo de lã da gaveta não é colorido ou todos eles

foram usados.

Observe que o início das alternativas A e B são iguais. Vamos nos preocupar
apenas com o final. Queremos negar a proposição "nenhum deles foi usado",
que é uma proposição universal negativa. Sua negação será uma proposição

PARTICULAR AFIRMATIVA.

Letra A

Equivalência Lógica importante para ESAF

Acabamos de nos familiarizar com as seguintes equivalências.

q) <=> (r-q

~p)

( p ^ q ) d (~p v q)

A primeira diz que para transformar uma proposição dada pelo conectivo "Se...,
então..." em outra proposição composta pelo "Se..., então..." devemos negar os
dois componentes e trocar a ordem das frases. Algumas pessoas gostam de
dizer que devemos "negar voltando" ou "negar de trás para frente".

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Por exemplo, as proposições

"Se chove, então o dia não está bonito."

"Se o dia está bonito, então não chove."

são logicamente equivalentes.

A segunda fórmula de equivalência nos ensina a transformar uma proposição
composta pelo "Se..., então..." em uma proposição composta pelo "ou". Para
tanto, devemos negar o primeiro componente do condicional (antecedente),
colocar o conectivo "ou" e repetir o segundo componente (consequente).

Por exemplo, as proposições

"Se chove, então o dia não está bonito."

"Não chove ou dia não está bonito."

são logicamente equivalentes.

E o que quer dizer a expressão "logicamente equivalentes"?

Que elas possuem a mesma tabela-verdade. Ou seja, quando uma proposição
for verdadeira, a sua equivalente também será e quando uma proposição for
falsa, a sua equivalente também será.

Numa linguagem informal, diríamos que as proposições "querem dizer a mesma

coisa", têm o mesmo significado.

Pois bem, nos últimos anos a ESAF vem cobrando com frequência duas

equivalências envolvendo o conectivo "... se e somente se..." - o conectivo
bicondicional.

O que significa uma proposição composta pelo "...se e somente se..."?

Considere a seguinte frase: "Chove se e somente se faz frio".

Como o próprio nome do conectivo diz (bicondicional), nós temos dois
condicionais. Na verdade uma conjunção de dois condicionais, ou seja, duas
frases de "se..., então..." ligadas pelo conectivo "e".

Ou seja, a frase "Chove se e somente se faz frio" significa que "Se chove, então
faz frio e se faz frio então chove".

Em suma, temos a seguinte equivalência:

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V V V

V F F

F V V

F F V

Outra equivalência notável do "...se e somente se..." é a que segue:

49. (MPOG 2010/ESAF) Sejam F e G duas proposições e ~F e ~G suas

repectivas negações. Marque a opção que equivale logicamente à proposição

composta: F se e somente G.

a) F implica G e ~G implica F.

b) F implica G e ~ F implica ~G.

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Esta equivalência notável pode ser facilmente verificada através da construção

de uma tabela-verdade.

Ou seja, podemos construir uma equivalente do "...se e somente se..."
simplesmente negando os dois componentes.

Por exemplo, as seguintes proposições são equivalentes:

"Chove se e somente se faz frio".

"Não chove se e somente se não faz frio."

A segunda proposição, por sua vez, equivale a "Se não chove, então não faz frio
e se não faz frio, então não chove."

Além disso, lembre-se que o "...se e somente se..." não faz questão de ordem
entre suas proposições. Ou seja, "p se e somente se q" e "q se e somente se p"
são equivalentes.

Vamos agora treinar um pouco?

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Resolução

Observação: Dizer que p implica q é o mesmo que dizer "Se p, então q".

A proposição dada no enunciado é a seguinte

Nas quatro primeiras alternativas, a ESAF tenta transformar a proposição dada

em dois condicionais (Se..., então...) ligados pelo "e".

Na alternativa E, a ESAF tenta transformar a proposição dada em outra
proposição composta pelo "...se e somente se...".

Comecemos pela alternativa E, que é mais fácil.

Vimos que para transformar uma proposição dada pelo "...se e somente se..."
em outra composta pelo "...se e somente se...", devemos negar os dois
componentes.

está errada (ele negou apenas o segundo componente).

Vamos agora transformar a proposição
então..." ligadas pelo conectivo "e".

implica F".

Nenhuma das alternativas contém esta proposição.

Vejamos o que acontece em cada alternativa,

a) F implica G e ~G implica F.

A alternativa começa da mesma maneira. "F implica G". Ok. A segunda parte
está errada. No lugar de ~G implica F deveria ser G implica F. Por isso, a
alternativa A está errada.

Vejamos a alternativa B.

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Novamente ele começa com "F implica G". Perfeito.

Vejamos a segunda parte, que está em vermelho.

Nós colocamos como segunda parte a proposição G implica F. A ESAF colocou
~F implica ~G. Pode?

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Pode!! Estas duas proposições são equivalentes, já que ele "negou voltando".
Lembra da equivalência que vimos no início do artigo?

Pronto. Esta é a nossa resposta. Letra B.

Vejamos outro exemplo:

50. (SMF-RJ 2010/ESAF) A proposição "um número inteiro é par se e somente
se o seu quadrado for par" equivale logicamente à proposição:

a) se um número inteiro for par, então o seu quadrado é par, e se um número

inteiro não for par, então o seu quadrado não é par.

b) se um número inteiro for ímpar, então o seu quadrado é ímpar.

c) se o quadrado de um número inteiro for ímpar, então o número é ímpar.

d) se um número inteiro for par, então o seu quadrado é par, e se o quadrado
de um número inteiro não for par, então o número não é par.

e) se um número inteiro for par, então o seu quadrado é par.

Resolução

Vamos começar transformando a proposição do enunciado em uma conjunção

de dois condicionais.

Se um número inteiro for par, então o seu quadrado é par e se o
quadrado de um número inteiro for par, então o número é par.

Observe a alternativa A.

a) se um número inteiro for par, então o seu quadrado é par, e se um

número inteiro não for par, então o seu quadrado não é par.

As partes vermelhas são idênticas. Não precisamos mexer nelas.

Vejamos as partes verdes. Elas são equivalentes, verifique:

Se o quadrado de um número inteiro for par, então o número é par.

Se um número inteiro não for par, então o seu quadrado não é par.

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Aqui nós utilizamos a equivalência de "se..., então..." com "se..., então...".

Devemos negar os dois componentes e trocar a ordem, ou seja "negar

voltando", "negar de trás para frente".

Assim, a nossa resposta é a letra A.

Vamos para mais um exemplo?

51. (CGU 2012/ESAF) Seja D um conjunto de pontos da reta. Sejam K, F e L

categorias possíveis para classificar D. Uma expressão que equivale

logicamente à afirmação "D é K se e somente se D é F e D é L" é:

a) Se D é F ou D é L, então D é K e, se D não é K, então D não é F e D não é L.

b) Se D é F e D é L, então D é K e, se D não é K, então D não é F ou D não é L.

c) Se D é K, então D é F e D é L e , se D não é K, então D não é F ou D não é L.

d) D é K se e somente se D é F ou D é L.

e) D não é F e D não é L se e somente se D não é K.

Resolução

As alternativas ficaram muito grandes. Vamos simplificar:

Chamemos de f a proposição "D é F", I a proposição "D é L" e k a proposição "D
é K".

O enunciado e as alternativas ficam:

(CGU 2012/ESAF) Seja D um conjunto de pontos da reta. Sejam K, F e L

categorias possíveis para classificar D. Uma expressão que equivale

logicamente à afirmação "k se e somente se f e I" é:

Resolução

A proposição do enunciado é "k se e somente se f e l".

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Vejamos logo as alternativas D e E , pois são mais fáceis.

A alternativa D simplesmente trocou o conectivo "e" do segundo componente

por um conectivo "ou". Não podemos fazer isso.

Vejamos agora a alternativa E.

Para transformar uma proposição composta pelo "...se e somente se..." por

outro "...se e somente se..." podemos negar os dois componentes.

Assim,

"k se e somente se f e I" equivale a "~k se e somente se ~(f e l)".

Só que para negar uma proposição composta pelo conectivo "e", devemos
negar os dois componentes e trocar o conectivo "e" pelo conectivo "ou" (Leis de

DeMorgan).

Assim, ficamos com:

"~k se e somente se ~f ou ~l".

Além disso, podemos trocar a ordem das componentes do "...se e somente se..."

sem que a frase perca o seu significado original.

Ficamos com "~f ou se e somente se ~k".

Agora observe a alternativa e) ~f e se e somente se ~k.

No lugar do "e" deveria ser "ou". Portanto, a alternativa E está errada.

Vamos agora analisar as alternativas A, B e C.

A frase do enunciado é "k se e somente se f e l" e as alternativas são:

a) Se f ou l, então k e, se ~k, então ~f e

b) Se f e l, então k e, se ~k, então ~f ou

c) Se k, então f e l e, se ~k, então ~f ou

A alternativa A está errada. Vejamos os motivos:

A proposição "k se e somente se f e l" equivale a "Se k, então f e l e se f e l,
então k".

Como podemos trocar a ordem, ficaríamos com:

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Compare com a alternativa A:

D não é L.

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Na primeira parte a ESAF trocou "e" por "ou". Já está errado, portanto.

A segunda parte também está errada, pois no "se...,então..." ele negou os dois
componentes e não trocou a ordem. Além disso, ao negar o conectivo "e"

devemos trocar por "ou".

Estamos agora em dúvida entre B e C.

Esta não pode ser a alternativa correta, já que a proposição vermelha é

equivalente à proposição verde. Ou seja, é como se ele estivesse escrevendo

b) Se f e l, então k e, se f e l, então k.

Como a frase vermelha está sendo repetida, podemos eliminar e ficar com:

Esta, obviamente, não é equivalente a proposição dada no enunciado.

Assim, a resposta da questão é a letra C.

As partes vermelhas são idênticas e as partes verdes são equivalentes.

E por que são equivalentes?

Ora, devemos negar os dois componentes e trocar a ordem. Além disso, a

Resposta: c) Se D é K, então D é F e D é L e , se D não é K, então D não é F ou

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Exercícios ESAF - Equivalências e Negações

Pronto, pessoal. Agora vamos destruir a ESAF. Vou colocar aqui um resuminho

das principais fórmulas de equivalências e negações e resolver as questões.

Equivalências com "se..., então...

Negação das proposições usuais

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A primeira diz que para transformar uma proposição dada pelo conectivo "Se...,
então..." em outra proposição composta pelo "Se..., então..." devemos negar os

dois componentes e trocar a ordem das frases. Algumas pessoas gostam de
dizer que devemos "negar voltando" ou "negar de trás para frente".

Equivalências com "se e somente se"

Outra equivalência notável do "...se e somente se..." é a que segue

Ou seja, podemos construir uma equivalente do "...se e somente se..."
simplesmente negando os dois componentes.

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Poderíamos montar esta tabela em uma linguagem informal para um melhor

entendimento do leitor iniciante.

Observe que há várias maneiras de negar a proposição composta pelo "se e
somente se".

Negação

Negue as duas proposições e troque o

conectivo "e" pelo conectivo "ou"

Negue as duas proposições e troque o

conectivo "ou" pelo conectivo "e"

Troque o conectivo "ou...ou..." pelo conectivo

"se e somente se

Afirme o antecedente, troque o conectivo

condicional pelo conectivo "e" e negue o

consequente.

Afirme a primeira "e" negue a segunda,

coloque o conectivo "ou" e em seguida afirme a

segunda "e" negue a primeira.

Negue apenas o segundo componente e

mantenha o conectivo.

Negue apenas o primeiro componente e

mantenha o conectivo.

Troque o conectivo "se e somente se" pelo

conectivo "ou exclusivo".

Negação de proposições quantificadas

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Em resumo, temos o seguinte quadro para negação de proposições

quantificadas.

Afirmação

Negação

Particular afirmativa ("algum...")

Universal negativa ("nenhum..." ou

"todo... não ...")

Universal negativa ("nenhum..." ou

"todo... não...")

Particular afirmativa ("algum...")

Universal afirmativa ("todo...")

Particular negativa ("algum... não")

Universal afirmativa ("todo...")

Verifique ainda que se a proposição original é AFIRMATIVA, sua negação será

NEGATIVA. Se a proposição original é NEGATIVA, sua negação será

AFIRMATIVA.

52. (Ministério do Turismo 2014/ESAF) A proposição "se Catarina é turista,

então Paulo é estudante" é logicamente equivalente a

a) Catarina não é turista ou Paulo não é estudante.

b) Catarina é turista e Paulo não é estudante.

c) Se Paulo não é estudante, então Catarina não é turista.
d) Catarina não é turista e Paulo não é estudante.
e) Se Catarina não é turista, então Paulo não é estudante.

Resolução

Foi dada uma proposição composta pelo "se..., então...". Basicamente temos

duas possibilidades: construir outra equivalente com o "se..., então..." ou
construir uma equivalente com o conectivo "ou".

Para construir a equivalente com o "se..., então..." devemos "negar de trás pra

frente".

Se Paulo não é estudante, então Catarina não é turista.

Gabarito:

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Eu sempre tento construir primeiro a composta do "se..., então../'. Ela é mais

frequente do que a composta do "ou".

De qualquer forma, para construir a composta do "ou", devemos negar o
primeiro componente, colocar o conectivo "ou" e repetir o segundo

componente.

"Catarina não é turista ou Paulo é estudante".

53. (PECFAZ 2013/ESAF) A negação da proposição "Brasília é a Capital Federal

e os Territórios Federais integram a União" é:

a) Brasília não é a Capital Federal e os Territórios Federais não integram a

União.
b) Brasília não é a Capital Federal ou os Territórios Federais não integram a
União.

c) Brasília não é a Capital Federal ou os Territórios Federais integram a União.
d) Brasília é a Capital Federal ou os Territórios Federais não integram a União.
e) Brasília não é a Capital Federal e os Territórios Federais integram a União.

Resolução

Esta questão também foi bem trivial. Queremos negar uma proposição

composta pelo conectivo "e". A regra que fornece a negação de uma proposição
composta pelo conectivo "e" é conhecida como Lei de De Morgan, em

homenagem ao matemático Augustus De Morgan.

Pois bem, para negar uma proposição composta pelo conectivo "e", devemos
negar os dois componentes e trocar o conectivo "e" pelo conectivo "ou".

Afirmação

Brasília é a Capital
Federal

os Territórios Federais

integram a União

Negação

Brasília não é a Capital
Federal

ou os Territórios Federais

não integram a União

Letra B

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Resolução

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Quando aparecer uma proposição que você não conheça, nem perca tempo: comece a
construir uma tabela-verdade. A tabela terá 4 linhas.

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Começamos a tabela com p,q. Colocarei também as proposições

55. (AFC-STN 2013/ESAF) A negação da proposição "se Curitiba é a capital do
Brasil, então Santos é a capital do Paraná" é logicamente equivalente à
proposição:

a) Curitiba não é a capital do Brasil e Santos não é a capital do Paraná.

b) Curitiba não é a capital do Brasil ou Santos não é a capital do Paraná.

c) Curitiba é a capital do Brasil e Santos não é a capital do Paraná.

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d) Se Curitiba não é a capital do Brasil, então Santos não é a capital do Paraná.
e) Curitiba é a capital do Brasil ou Santos não é a capital do Paraná.

Resolução

Para negar uma proposição composta pelo conectivo "se..., então../', repetimos o
primeiro componente, colocamos o conectivo "e" e negamos o segundo componente. A
negação pedida é "Curitiba é a capital do Brasil e Santos não é a capital do Paraná".

Gabarito: C

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56. (ATA-MF 2012/ESAF) A proposição
proposição

Resolução

A proposição do enunciado não é comum. Vamos construir a tabela-verdade.

só é falsa na última linha, quando p e q são F.

só é V na primeira linha, quando p e q são V.

só é F na segunda linha, quando ocorre VF.

equivalentes.

Gabarito: E

57. (MPOG 2006/ESAF) Dizer que "André é artista ou Bernardo não é
engenheiro" é logicamente equivalente a dizer que:

a) André é artista se e somente se Bernardo não é engenheiro.

b) Se André é artista, então Bernardo não é engenheiro.

c) Se André não é artista, então Bernardo é engenheiro.
d) Se Bernardo é engenheiro, então André é artista.
e) André não é artista e Bernardo é engenheiro.

Resolução

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Vamos agora ligar a proposição p (primeira coluna) com a proposição
coluna) através do conectivo "e". A proposição
em que os dois componentes

Observe agora que as colunas de

podemos construir uma proposição logicamente

Dada uma proposição

equivalente negando o antecedente e trocando o conectivo por "ou" obtendo a

Podemos seguir o caminho contrário; dada uma proposição

com o conectivo "ou", construímos uma equivalente negando a primeira

proposição e trocando o conectivo por "se..., então". Assim, a proposição

"André é artista ou Bernardo não é engenheiro" é equivalente a "Se André não

é artista, então Bernardo não é engenheiro", que, por sua vez, é equivalente a

"Se Bernardo é engenheiro, então André é artista".

Gabarito: D

58. (SMF-RJ 2010/ESAF) Qual das proposições abaixo tem a mesma tabela

verdade que a proposição: " Se |a| < 3, então b < 4 ", onde a e b são números

reais?

verdade que a proposição

reais?

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Resolução

Dizer que duas proposições têm a mesma tabela-verdade é o mesmo que dizer

que as proposições são equivalentes. O enunciado fornece uma proposição
composta pelo "se..., então...". Observe as alternativas: todas utilizam os
conectivos e, ou.

Sabemos como transformar uma proposição do "se..., então..." em conectivo

"ou". Basta negar o primeiro componente, trocar o conectivo e repetir o

segundo componente.

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Assim, a equivalente pedida é

Gabarito: E

59. (CGU 2008/ESAF) Um renomado economista afirma que "A inflação não
baixa ou a taxa de juros aumenta". Do ponto de vista lógico, a afirmação do
renomado economista equivale a dizer que:

a) se a inflação baixa, então a taxa de juros não aumenta.

b) se a taxa de juros aumenta, então a inflação baixa.

c) se a inflação não baixa, então a taxa de juros aumenta.
d) se a inflação baixa, então a taxa de juros aumenta.
e) se a inflação não baixa, então a taxa de juros não aumenta.

Resolução

Temos uma proposição composta pelo conectivo "ou" e queremos uma

equivalente do "se..., então...". Basta negar o primeiro componente:

"Se a inflação baixa, então a taxa de juros aumenta".

Gabarito: D

Se não houvesse esta resposta, poderíamos pegar a frase obtida e construir
outra equivalente com o "se..., então...":

"Se a taxa de juros não aumenta, então a inflação não baixa".

60. (Enap 2006/ESAF) Dizer que "Ana não é alegre ou Beatriz é feliz" é do
ponto de vista lógico, o mesmo que dizer:

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a) se Ana não é alegre, então Beatriz é feliz.

b) se Beatriz é feliz, então Ana é alegre.

c) se Ana é alegre, então Beatriz é feliz.
d) se Ana é alegre, então Beatriz não é feliz.
e) se Ana não é alegre, então Beatriz não é feliz.

Resolução

Temos uma proposição composta pelo conectivo "ou" e queremos uma

equivalente do "se..., então...". Basta negar o primeiro componente:

"Se Ana é alegre, então Beatriz é feliz".

Gabarito: C

61. (ANEEL 2006 ESAF) Uma sentença logicamente equivalente a " Se Ana é
bela, então Carina é feia" é:

a) Se Ana não é bela, então Carina não é feia.

b) Ana é bela ou Carina não é feia.

c) Se Carina é feia, Ana é bela.
d) Ana é bela ou Carina é feia.
e) Se Carina não é feia, então Ana não é bela.

Resolução

Foi dada uma proposição composta pelo "se..., então...". Basicamente temos

duas possibilidades: construir outra equivalente com o "se..., então..." ou
construir uma equivalente com o conectivo "ou".

Para construir a equivalente com o "se..., então..." devemos "negar de trás pra

frente".

Se Carina não é feia, então Ana não é bela.

Gabarito: E

De qualquer forma, para construir a composta do "ou", devemos negar o
primeiro componente, colocar o conectivo "ou" e repetir o segundo

componente.

"Ana não é bela ou Carina é feia".

62. (Fiscal do Trabalho 1998/ESAF) Dizer que "Pedro não é pedreiro ou Paulo é
paulista" é, do ponto de vista lógico, o mesmo que dizer que:

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a) se Pedro é pedreiro, então Paulo é paulista.

b) se Paulo é paulista, então Pedro é pedreiro.

c) se Pedro não é pedreiro, então Paulo é paulista.
d) se Pedro é pedreiro, então Paulo não é paulista.
e) se Pedro não é pedreiro, então Paulo não é paulista.

Resolução

Temos uma proposição composta pelo conectivo "ou". Queremos uma composta

pelo "se..., então...". Vamos negar o primeiro componente:

"Se Pedro é pedreiro, então Paulo é Paulista"

Gabarito: A

63. (AFRFB 2009/ESAF) Considere a seguinte proposição: "Se chove ou neva,
então o chão fica molhado". Sendo assim, pode-se afirmar que:

a) Se o chão está molhado, então choveu ou nevou.

b) Se o chão está molhado, então choveu e nevou.

c) Se o chão está seco, então choveu ou nevou.
d) Se o chão está seco, então não choveu ou não nevou.
e) Se o chão está seco, então não choveu e não nevou.

Resolução

Na verdade esta é uma questão de lógica de argumentação, já que o problema

diz no final: "pode-se afirmar que...". Contudo, é prática da ESAF considerar um
enunciado assim como se fosse uma questão de equivalência. Portanto, daqui
pra frente, se aparecer um enunciado com APENAS UMA PROPOSIÇÃO e alguma
expressão que dê a ideia de conclusão (logo, portanto, pode-se concluir que,
etc.), basta que você encontre a equivalente da proposição dada.

Temos uma proposição composta pelo conectivo "se..., então..." e queremos

encontrar sua equivalente que também utiliza o conectivo "se..., então...". Para
tanto, vamos "voltar negando". Observe apenas que a primeira frase é
composta pelo "ou". Quando estivermos negando o antecedente, deveremos
trocar o conectivo "ou" pelo conectivo "e".

"Se o chão não está molhado, então não choveu e não nevou".

e) Se o chão está seco, então não choveu e não nevou.

Gabarito: E

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64. (ATA-MF/2009/ESAF) X e Y são números tais que
Sendo assim:

Resolução

Lembra o que falei? Sempre que a ESAF der apenas uma proposição no

enunciado e pedir uma conclusão, você deve construir uma proposição
equivalente.

Temos uma proposição composta pelo "se..., então..." e vamos construir

composta pelo "se..., então...". Basta "voltar negando". Observe que a n<

Gabarito: A

65. (AFRFB 2012/ESAF) A afirmação "A menina tem olhos azuis ou o menino é
loiro" tem como sentença logicamente equivalente:

a) se o menino é loiro, então a menina tem olhos azuis.

b) se a menina tem olhos azuis, então o menino é loiro.

c) se a menina não tem olhos azuis, então o menino é loiro.
d) não é verdade que se a menina tem olhos azuis, então o menino é loiro.
e) não é verdade que se o menino é loiro, então a menina tem olhos azuis.

Resolução

A proposição dada é composta pelo conectivo "ou". Para construir uma
equivalente com o conectivo "se..., então...", devemos negar o primeiro
componente.

"Se a menina não tem olhos azuis, então o menino é loiro".

Gabarito: C

66. (Prefeitura de Natal 2008/ESAF) Durante uma prova de matemática,

Joãozinho faz uma pergunta para a professora. Mariazinha - que precisa obter

nota alta e, portanto, qualquer informação na hora da prova lhe será muito

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valiosa não escutou a pergunta de Joãozinho. Contudo, ela ouviu quando a

professora respondeu para Joãozinho afirmando que: se
Sabendo que a professora sempre fala a verdade, então Mariazinha conclui

corretamente que:

Resolução

Vamos construir as proposições equivalentes de
Temos duas possibilidades: construir uma equivalente com o conectivo
então..." ou construir uma equivalente com o conectivo "ou".

Gabarito: C

67. (SMF-RJ 2010/ESAF) Sendo x um número real, a proposição:

Resolução

Lembra daquelas equivalências que vimos envolvendo o conectivo "se e

somente se"?

A proposição dada no enunciado é

Temos duas possibilidades a priori: construir outra equivalente com o "se e

somente se" ou trocar o "se e somente se" por duas proposições compostas
pelo "se..., então...".

Desta maneira, já podemos eliminar as letras A,B,C.

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Como as alternativas D e E não envolvem o conectivo "se e somente se"
vamos transformar a proposição
duas proposições compostas pelo "se..., então..."

Observe a alternativa D.

Observe que as partes verdes são idênticas. Vou trabalhar com o início da
proposição (a parte que está em vermelho), para ver se consigo encontrar a
equivalente.

Toda proposição composta pelo "se..., então..." pode ser transformada em

outra composta pelo "se..., então...". Basta negar de trás pra frente. Observe
que o segundo componente é composto pelo "ou

. Na hora de negar, devemos

trocá-lo pelo "e"

pode ser reescrita de uma maneira mais

Observe que a expressão

Assim, mostramos que as proposições seguinte são equivalentes.

Gabarito: D

68. (EPPGG MPOG 2009/ESAF) Considere que: "se o dia está bonito, então não

chove". Desse modo:

a) não chover é condição necessária para o dia estar bonito.

b) não chover é condição suficiente para o dia estar bonito.

c) chover é condição necessária para o dia estar bonito.
d) o dia estar bonito é condição necessária e suficiente para chover.
e) chover é condição necessária para o dia não estar bonito.

Resolução

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A proposição acima pode ser reescrita de duas maneiras:

O dia estar bonito é condição suficiente para não chover.

Não chover é condição necessária para o dia está bonito.

Gabarito: A

69. (STN 2005/ESAF) Se Marcos não estuda, João não passeia. Logo,

a) Marcos estudar é condição necessária para João não passear.

b) Marcos estudar é condição suficiente para João passear.

c) Marcos não estudar é condição necessária para João não passear.
d) Marcos não estudar é condição suficiente para João passear.
e) Marcos estudar é condição necessária para João passear.

Temos que:

i) Marcos não estudar é condição suficiente para João não passear.
ii) João não passear é condição necessária para Marcos não estudar.

Como não há alternativas com essas proposições, procederemos da seguinte
maneira. Construiremos uma proposição equivalente à proposição dada e em
seguida escreveremos na linguagem de condição suficiente e condição
necessária.

A proposição "Se Marcos não estuda, João não passeia" é equivalente a "Se
João passeia, Marcos estuda". Temos que:

i) João passear é condição suficiente para Marcos estudar.
ii) Marcos estudar é condição necessária para João passear.

Letra E

70. (Aneel/2006/ESAF) Se Elaine não ensaia, Elisa não estuda. Logo:

a) Elaine ensaiar é condição necessária para Elisa não estudar.

b) Elaine ensaiar é condição suficiente para Elisa estudar.

c) Elaine não ensaiar é condição necessária para Elisa não estudar.
d) Elaine não ensaiar é condição suficiente para Elisa estudar.
e) Elaine ensaiar é condição necessária para Elisa estudar.

Resolução

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Temos que:

i) Elaine não ensaiar é condição suficiente para Elisa não estudar.
ii) Elisa não estudar é condição necessária para Elaine não ensaiar.

Como não há alternativas com essas proposições, procederemos da seguinte

maneira. Construiremos uma proposição equivalente à proposição dada e em
seguida escreveremos na linguagem de condição suficiente e condição
necessária.

A proposição "Se Elaine não ensaia, Elisa não estuda" é equivalente a "Se Elisa
estuda, então Elaine ensaia". Temos que:

i) Elisa estudar é condição suficiente para Elaine ensaiar.
ii) Elaine ensaiar é condição necessária para Elisa estudar.

Letra E

71. (APOFP- SEFAZ/SP 2009/ESAF) A negação de: Milão é a capital da Itália ou
Paris é a capital da Inglaterra é:

a) Milão não é a capital da Itália e Paris não é a capital da Inglaterra.

b) Paris não é a capital da Inglaterra.

c) Milão não é a capital da Itália ou Paris não é a capital da Inglaterra.
d) Milão não é a capital da Itália.

e) Milão é a capital da Itália e Paris não é a capital da Inglaterra.

Resolução
Para negar uma proposição composta pelo conectivo "ou", devemos negar os
dois componentes e trocar o conectivo pelo "e".

Afirmação: Milão é a capital da Itália ou Paris é a capital da Inglaterra.

Negação: Milão não é a capital da Itália e Paris não é a capital da Inglaterra.

Gabarito: A

72. (AFC/2002/ESAF) Dizer que não é verdade que Pedro é pobre e Alberto é

alto é logicamente equivalente a dizer que é verdade que:

a) Pedro não é pobre ou Alberto não é alto.

b) Pedro não é pobre e Alberto não é alto.

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c) Pedro é pobre ou Alberto não é alto.
d) se Pedro não é pobre, então Alberto é alto.
e) se Pedro não é pobre, então Alberto não é alto.

Resolução

Para negar uma proposição composta pelo conectivo "e" devemos negar os dois

componentes e trocar o conectivo pelo "ou".

Gabarito: A

73. (Fiscal Trabalho/1998/ESAF) A negação da afirmação condicional "se estiver

chovendo, eu levo o guarda-chuva" é:

a) se não estiver chovendo, eu levo o guarda-chuva.

b) não está chovendo e eu levo o guarda-chuva.

c) não está chovendo e eu não levo o guarda-chuva.
d) se estiver chovendo, eu não levo o guarda-chuva.
e) está chovendo e eu não levo o guarda-chuva.

Resolução

Para negar uma proposição composta pelo "se..., então...", devemos afirmar
(copiar) o antecedente, colocar o conectivo "e" e negar o consequente.

Observe:

Afirmação Se estiver chovendo, então eu levo o guarda-chuva.

Negação

Está chovendo

eu não levo o guarda-chuva

Gabarito: E

74. (ANEEL 2006 ESAF) A negação da afirmação condicional "se Ana viajar,
Paulo vai viajar" é:

a) Ana não está viajando e Paulo vai viajar.

b) se Ana não viajar, Paulo vai viajar.

c) Ana está viajando e Paulo não vai viajar.
d) Ana não está viajando e Paulo não vai viajar.
e) se Ana estiver viajando, Paulo não vai viajar.

Resolução

Para negar uma proposição composta pelo "se..., então...", devemos afirmar
(copiar) o antecedente, colocar o conectivo "e" e negar o consequente.

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Observe:

Afirmação Se Ana viajar, então Paulo vai viajar.

Negação

Ana viaja

Paulo não viaja.

Gabarito: C

Observação: Não se preocupe com os tempos verbais.

75. (ATA-MF/2009/ESAF) A negação de "Ana ou Pedro vão ao cinema e Maria

fica em casa" é:

a) Ana e Pedro não vão ao cinema ou Maria fica em casa.

b) Ana e Pedro não vão ao cinema ou Maria não fica em casa.

c) Ana ou Pedro vão ao cinema ou Maria não fica em casa.
d) Ana ou Pedro não vão ao cinema e Maria não fica em casa.
e) Ana e Pedro não vão ao cinema e Maria fica em casa.

Resolução

Lembre-se das Leis de De Morgan. Na negação, devemos trocar os conectivos

"ou" e "e" entre si. Observe:

Afirmação Ana ou Pedro vão ao cinema

Maria fica em casa

Negação

Ana e

Pedro não vão ao cinema ou Maria não fica em casa

Gabarito: B

76. (MPOG 2009/ESAF) A negação de "Maria comprou uma blusa nova e foi ao

cinema com José" é:

a) Maria não comprou uma blusa nova ou não foi ao cinema com José.

b) Maria não comprou uma blusa nova e foi ao cinema sozinha.

c) Maria não comprou uma blusa nova e não foi ao cinema com José.
d) Maria não comprou uma blusa nova e não foi ao cinema.
e) Maria comprou uma blusa nova, mas não foi ao cinema com José.

Resolução

Para negar uma proposição composta pelo conectivo "e", negue os

componentes e troque o conectivo "e" pelo conectivo "ou".

Gabarito: A

77. (CGU 2008/ESAF) Maria foi informada por João que Ana é prima de Beatriz
e Carina é prima de Denise. Como Maria sabe que João sempre mente, Maria

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tem certeza que a afirmação é falsa. Desse modo, e do ponto de vista lógico,

Maria pode concluir que é verdade que:

a) Ana é prima de Beatriz ou Carina não é prima de Denise.

b) Ana não é prima de Beatriz e Carina não é prima de Denise.

c) Ana não é prima de Beatriz ou Carina não é prima de Denise.
d) se Ana não é prima de Beatriz, então Carina é prima de Denise.
e) se Ana não é prima de Beatriz, então Carina não é prima de Denise.

Resolução

Se temos uma proposição falsa e queremos construir uma verdadeira, devemos
negar a proposição dada.

Assim, a negação de "Ana é prima de Beatriz e Carina é prima de Denise" é
"Ana não é prima de Beatriz ou Carina não é prima de Denise". Lembre de
trocar o conectivo!!

Gabarito: C

78. (MPOG 2008/ESAF) Dois colegas estão tentando resolver um problema de
matemática. Pedro afirma para Paulo que X = B e Y = D. Como Paulo sabe que
Pedro sempre mente, então, do ponto de vista lógico, Paulo pode afirmar

corretamente que:

Resolução

Se temos uma proposição falsa e queremos construir uma verdadeira, devemos
negar a proposição dada.

Gabarito: C

79. (Fiscal Recife/2003/Esaf) Pedro, após visitar uma aldeia distante, afirmou:

"Não é verdade que todos os aldeões daquela aldeia não dormem a sesta". A

condicão necessária e suficiente para que a afirmação de Pedro seja verdadeira
é que seja verdadeira a seguinte proposição:

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a) No máximo um aldeão daquela aldeia não dorme a sesta.

b) Todos os aldeões daquela aldeia dormem a sesta.

c) Pelo menos um aldeão daquela aldeia dorme a sesta.
d) Nenhum aldeão daquela aldeia não dorme a sesta.
e) Nenhum aldeão daquela aldeia dorme a sesta.

Resolução

Pedro fornece uma proposição em que começa dizendo algo que não é verdade.

O problema pede uma proposição que seja verdadeira. Para tanto, vamos negar
a proposição dada por ele.

A proposição "todos os aldeões daquela aldeia não dormem a sesta" é uma

UNIVERSAL NEGATIVA. Sua negação será uma particular afirmativa.

Gabarito: C

80. (CVM/2000/Esaf) Dizer que a afirmação "todos os economistas são
médicos" é falsa, do ponto de vista lógico, equivale a dizer que a seguinte
afirmação é verdadeira:

a) pelo menos um economista não é médico.

b) nenhum economista é médico.

c) nenhum médico é economista.
d) pelo menos um médico não é economista.
e) todos os não médicos são não economistas.

Resolução

Quando temos uma proposição falsa e queremos construir uma verdadeira,
devemos negar a proposição dada.

A proposição "todos os economistas são médicos" é UNIVERSAL AFIRMATIVA.

Sua negação será uma PARTICULAR NEGATIVA.

Gabarito: A

Cuidado para não marcar a alternativa D. Não devemos mudar a ordem das
palavras.

81. (EPPGG MPOG 2009/ESAF) A negação de "À noite, todos os gatos são
pardos" é:

a) De dia, todos os gatos são pardos.

b) De dia, nenhum gato é pardo.

c) De dia, existe pelo menos um gato que não é pardo.

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d) À noite, existe pelo menos um gato que não é pardo.
e) À noite, nenhum gato é pardo.

Resolução

A proposição dada é uma UNIVERSAL AFIRMATIVA. Sua negação é uma

PARTICULAR NEGATIVA.

Gabarito: D

82. (ATRFB 2012/ESAF) A negação da proposição "se Paulo estuda, então Marta
é atleta" é logicamente equivalente à proposição

a) Paulo não estuda e Marta não é atleta.

b) Paulo estuda e Marta não é atleta.

c) Paulo estuda ou Marta não é atleta.
d) se Paulo não estuda, então Marta não é atleta.
e) Paulo não estuda ou Marta não é atleta.

Resolução

Para negar uma proposição composta pelo "se..., então...", devemos afirmar
(copiar) o antecedente, colocar o conectivo "e" e negar o consequente.

Observe:

Afirmação Se Paulo estuda, então Marta é atleta.

Negação

Paulo estuda

Marta não é atleta.

Gabarito: B

83. (SMF-RJ 2010/ESAF) Considere x um número real. A negação da proposição

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Resolução

Achei esta questão muito interessante.

representa a união de dois intervalos.

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Sempre que tivermos conectivo "ou" envolvendo conjuntos, devemos pensar
em UNIÃO. Se tivermos conectivo "e", devemos pensar em interseção.

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ou seja, exclui as extremidades.

O primeiro intervalo começa em 2/3 e vai até 5/3. O outro intervalo começa em
-1 e vai até 1. Observe que o número 1 está entre 2/3 e 5/3. Assim, podemos
unir os dois intervalos em um só: o intervalo que começa em -1 (sem incluir -1,
porque o intervalo é aberto) e que vai até 5/3 (incluindo 5/3, porque o intervalo
é fechado).

de uma maneira mais simples, só isso.

Queremos negar esta proposição, ou seja, queremos negar

Para tanto, vamos negar os dois componentes e trocar o conectivo "e" pelo

conectivo "ou".

Gabarito: D

Veja que interessante. Negar a proposição acima é a mesma que calcular o
"complementar" do intervalo dado, ou seja, dizer quais são os pontos que não

pertencem àquele intervalo.

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Diagramas de Euler-Venn

O estudo das proposições categóricas pode ser feito utilizando os diagramas de

Euler-Venn. É habitual representar um conjunto por uma linha fechada e não

Relembremos o significado, na linguagem de conjuntos, de cada uma das
proposições categóricas.

A proposição categórica "Todo A é B" é equivalente a:

A é subconjunto de B.
A é parte de B.
A está contido em B.

B contém A.
B é universo de A.
B é superconjunto de A.

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entrelaçada.

Todo elemento de A também é elemento de B.

B são conjuntos disjuntos, ou seja, não possuem

elementos comuns.

Os conjuntos A e B possuem pelo menos 1 elemento em

comum.

O conjunto A tem pelo menos 1 elemento que não é

Vejamos como representar cada uma das proposições categóricas utilizando os

diagramas de Euler-Venn.

Todo A é B

Se sabemos que a proposição "Todo A é B" é verdadeira, qual será o valor
lógico das demais proposições categóricas?

"Algum A é B" é necessariamente verdadeira.
"Nenhum A é B" é necessariamente falsa.
"Algum A não é B" é necessariamente falsa.

Algum A é B

A proposição categórica "Algum A é B" equivale a "Algum B é A".

Se "algum A é B" é uma proposição verdadeira, qual será o valor lógico das
demais proposições categóricas?

"Nenhum A é B" é necessariamente falsa.

"Todo A é B" e "Algum A não é B" são indeterminadas.

Observe que quando afirmamos que "Algum A é B" estamos dizendo que existe
pelo menos um elemento de A que também é elemento de B.

Nenhum A é B

A proposição categórica "Nenhum A é B" equivale a:

Nenhum B é A.

Todo A não é B.
Todo B não é A.
A e B são conjuntos disjuntos.

Se "nenhum A é B" é uma proposição verdadeira, qual será o valor lógico das
demais proposições categóricas?

"Todo A é B" é necessariamente falsa.
"Algum A não é B" é necessariamente verdadeira.
"Algum A é B" é necessariamente falsa.

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Algum A não é B

Observe que "Algum A não é B" não equivale a "Algum B não é A". Por
exemplo, dizer que "Algum brasileiro não é pernambucano" não equivale a dizer
que "Algum pernambucano não é brasileiro".

Se "algum A não é B" é uma proposição verdadeira, qual será o valor lógico das
demais proposições categóricas?

"Nenhum A é B" é indeterminada, pois poderia haver elementos na

interseção dos conjuntos A e B.

"Algum A é B" é indeterminada, pois pode haver ou não elementos na

interseção dos conjuntos A e B.

"Todo A é B" é necessariamente falsa.

84. (TRF 3

Região 2014/FCC) Diante, apenas, das premissas "Existem juízes",

"Todos os juízes fizeram Direito" e "Alguns economistas são juízes", é correto

afirmar que

(A) todos aqueles que fizeram Direito são juízes.
(B) todos aqueles que não são economistas também não são juízes.
(C) ao menos um economista fez Direito.
(D) ser juiz é condição para ser economista.
(E) alguns economistas que fizeram Direito não são juízes.

Resolução

Nesta questão nem precisamos construir diagramas. Sabemos que Todos os

juízes fizeram Direito. Sabemos também que alguns economistas são juízes.

Ora, para que um economista seja juiz, ele tem que ter cursado Direito

Portanto, ao menos um economista fez Direito.

Gabarito: C

85. (TRF 3

Região 2014/FCC) Diante, apenas, das premissas "Nenhum piloto é

médico", "Nenhum poeta é médico" e "Todos os astronautas são pilotos", então
é correto afirmar que

(A) algum astronauta é médico.
(B) todo poeta é astronauta.

(E) algum poeta é astronauta e algum piloto não é médico.

Resolução

Vamos começar construindo os diagramas das seguintes proposições: "Todos os
astronautas são pilotos" e "Nenhum piloto é médico". Não temos como
desenhar com precisão o diagrama da proposição "Nenhum poeta é médico".

Pelo diagrama, percebemos que nenhum astronauta é médico.

Gabarito: C

86. (PGE-BA 2013/FCC) Se é verdade que "algum X é Y" e que "nenhum Z é Y",
então é necessariamente verdadeiro que:

(A) algum X não é Z.
(B) algum X é Z.
(C) nenhum X é Z.
(D) algum Z é X.
(E) nenhum Z é X.

Resolução

Sempre damos preferência à construção de diagramas que envolvam
quantificadores universais (todo ou nenhum).

Comecemos com a proposição "nenhum Z é Y".

Vamos construir o diagrama de "Algum X é Y". Sabemos que existe uma

interseção entre os conjuntos X e Y, mas não sabemos a relação de X e Z. Por
esta razão, não deixarei completo o diagrama de X.

lédico

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Observe que os elementos da interseção de X e Y, não são Z. Portanto, existe
elemento de X que não é elemento de Z.

Gabarito: A

(A) algum X não é Z.

87. (PGE-BA 2013/FCC) Considere como verdadeiras as seguintes afirmações:

"Algum pândego é trôpego." "Todo pândego é nefelibata."

Deste modo, a assertiva necessariamente verdadeira é:

(A) Todo pândego trôpego não é nefelibata.
(B) Algum pândego trôpego não é nefelibata.
(C) Algum pândego é nefelibata.
(D) Todo pândego nefelibata é trôpego.
(E) Algum pândego que não é trôpego não é nefelibata.

Resolução

Não se preocupe com os nomes envolvidos na questão. A lógica que estudamos

é a lógica formal, a lógica da forma. Não é uma lógica de conteúdo. Estamos
simplesmente interessados na estrutura das proposições.

Comecemos pela proposição "Todo pândego é nefelibata".

Vamos agora à proposição "Algum pândego é trôpego". Sabemos que existe

uma interseção entre o conjunto dos Pândegos e o conjunto dos Trôpegos, mas
não sabemos qual a relação entre os trôpegos e os nefelibatas. Vamos deixar
incompleto o desenho deste diagrama.

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Na verdade, poderíamos ter respondido esta questão sem nem ter construído os

diagramas. Pois se sabemos que todo pândego é nefelibata, já podemos
garantir que algum pândego é nefelibata.

Gabarito: C
(C) Algum pândego é nefelibata.

88. (FNDE/2007/FGV) Considere a afirmação "Todo corintiano é feliz". A partir
dessa afirmação, pode-se concluir que:

a) todo homem feliz é corintiano.

b) todo palmeirense é infeliz.

c) toda pessoa que não é corintiana não é feliz.
d) um infeliz certamente não é corintiano.
e) existem infelizes que são corintianos.

Resolução

A expressão "Todo corintiano é feliz" pode assim ser representada:

A alternativa A é falsa, pois podem existir pessoas felizes que não são
corintianas.

A alternativa B é falsa, pois nada podemos afirmar sobre os palmeirenses.

A alternativa C é falsa, pois podem existir pessoas que não são corintianas e

são felizes.

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A alternativa D é verdadeira, pois o infelizes estão "fora" do conjunto das

pessoas felizes. E como todo corintiano é feliz, podemos afirmar que os infelizes
não são corintianos.

A alternativa E é falsa, pois os infelizes não são corintianos.

Letra D

89. (SAD/PE/2008/FGV) Considere a afirmação: "Toda cobra venenosa é
listrada". Podemos concluir que:

a) Toda cobra listrada é venenosa.

b) Toda cobra que não é listrada não é venenosa.

c) Toda cobra que não é venenosa não é listrada.
d) Algumas cobras venenosas não são listradas.
e) Algumas cobras que não são listradas podem ser venenosas.

Resolução

Questões idênticas! Mesma banca e anos consecutivos.

A expressão "Toda cobra venenosa é listrada" pode assim ser representada:

Desenhei algumas cobras. Obviamente as cobras que não são listradas estão

fora do conjunto das cobras listradas.

Vamos analisar cada uma das alternativas de per si.

a) Toda cobra listrada é venenosa.

A alternativa A é falsa, pois podem existir cobras listradas que não são
venenosas (por exemplo, a cobra 2).

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b) Toda cobra que não é listrada não é venenosa.

A alternativa B é verdadeira. Por exemplo, as cobras 3 e 4.

c) Toda cobra que não é venenosa não é listrada.
A alternativa C é falsa, pois existem cobras que não são venenosas e que são

listradas (por exemplo, a cobra 2).

d) Algumas cobras venenosas não são listradas.

Esta alternativa é falsa, já que todas as cobras venenosas são listradas.

e) Algumas cobras que não são listradas podem ser venenosas.

Esta alternativa é falsa, já que nenhuma cobra não-listrada pode ser venenosa.

90. (TRT/2006/FCC) As afirmações seguintes são resultados de uma pesquisa
feita entre os funcionários de certa empresa. "Todo indivíduo que fuma tem
bronquite". "Todo indivíduo que tem bronquite costuma faltar ao trabalho".

Relativamente a esses resultados, é correto concluir que:

a) existem funcionários fumantes que não faltam ao trabalho.

b) todo funcionário que tem bronquite é fumante.

c) todo funcionário fumante costuma faltar ao trabalho.
d) é possível que exista algum funcionário que tenha bronquite e não falte

habitualmente ao trabalho.

e) é possível que exista algum funcionário que seja fumante e não tenha

bronquite.

Resolução

Pelo diagrama exposto, percebemos que todo funcionário fumante costuma

faltar ao trabalho.

Letra C

Letra B

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91. (TRT-PR 2004/FCC) Sabe-se que existem pessoas desonestas e que existem
corruptos. Admitindo-se verdadeira a frase "Todos os corruptos são
desonestos", é correto concluir que:

a) quem não é corrupto é honesto.

b) existem corruptos honestos.

c) alguns honestos podem ser corruptos.
d) existem mais corruptos do que desonestos.
e) existem desonestos que são corruptos.

Resolução

Vamos analisar cada uma das alternativas de per si.

a) Esta alternativa é falsa, pois podem existir pessoas que não são corruptas e
que são desonestas.

b) Esta alternativa é falsa, pois todo corrupto é desonesto.

c) Esta alternativa é falsa, pois todo corrupto é desonesto.

d) Esta alternativa é falsa, pois podem existir pessoas que não são corruptas e
que são desonestas.

e) Esta alternativa é verdadeira, pois todos os corruptos são desonestos e,

portanto, existem desonestos corruptos.

Letra E

92. (TCE-PB 2006/FCC) Sobre as consultas feitas a três livros X, Y e Z, um
bibliotecário constatou que:

-> Todas as pessoas que haviam consultado Y também consultaram X.
-> Algumas pessoas que consultaram Z também consultaram X.
De acordo com suas constatações, é correto afirmar que, com certeza:

a) pelo menos uma pessoa que consultou Z também consultou Y.

b) se alguma pessoa consultou Z e Y, então ela também consultou X.

c) toda pessoa que consultou X também consultou Y.

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d) existem pessoas que consultaram Y e Z.
e) existem pessoas que consultaram Y e não consultaram X.

Resolução

A proposição "Todas as pessoas que haviam consultado Y também consultaram
X" é representada assim:

Algumas pessoas que consultaram Z também consultaram X. Isto

significa que há elementos comuns aos conjuntos X e Z. Porém, não sabemos
qual a relação que existe entre o conjunto Z e o conjunto Y. Por essa razão,
deixaremos uma parte do conjunto Z pontilhada para demonstrar esta
incerteza.

Observe que não sabemos se o conjunto Z e o conjunto Y possuem elementos
comuns. Vamos analisar as alternativas.

a) pelo menos uma pessoa que consultou Z também consultou Y.

Não temos certeza se os conjuntos Z e Y possuem elementos comuns. Esta

alternativa é falsa.

b) se alguma pessoa consultou Z e Y, então ela também consultou X.

Esta alternativa é verdadeira. Se alguma pessoa consultou Z e Y , então

esta pessoa consultou Y. Se esta pessoa consultou Y, então ela também
consultou X. Concluímos que se alguma pessoa consultou Z e Y, então
ela também consultou X.

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c) toda pessoa que consultou X também consultou Y.

Esta alternativa é falsa. Podemos apenas afirmar que toda pessoa que

consultou Y também consultou X.

d) existem pessoas que consultaram Y e Z.

Não temos certeza se os conjuntos Z e Y possuem elementos comuns. Esta

alternativa é falsa.

e) existem pessoas que consultaram Y e não consultaram X.

Esta alternativa é falsa, pois todas as pessoas que haviam consultado Y

também consultaram X.

Resposta: Letra B

93. (SEFAZ-SP 2009/FCC) Considere o diagrama a seguir, em que U é o
conjunto de todos os professores universitários que só lecionam em faculdades
da cidade X, A é o conjunto de todos os professores que lecionam na faculdade
A, B é o conjunto de todos os professores que lecionam na faculdade B e M é o
conjunto de todos os médicos que trabalham na cidade X.

Em todas as regiões do diagrama, é correto representar pelo menos um
habitante da cidade X. A respeito do diagrama, foram feitas quatro afirmações:

I. Todos os médicos que trabalham na cidade X e são professores universitários
lecionam na faculdade A.

II. Todo professor que leciona na faculdade A e não leciona na faculdade B é
médico.

III. Nenhum professor universitário que só lecione em faculdades da cidade X,
mas não lecione nem na faculdade A e nem na faculdade B, é médico.

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IV. Algum professor universitário que trabalha na cidade X leciona,
simultaneamente, nas faculdades A e B, mas não é médico.

Está correto o que se afirma APENAS em

(A)I.
(B) I e III.
(C) I, III e IV.
(D) II e IV.
(E) IV.

Resolução

Vamos analisar cada uma das alternativas de per si.

I. Todos os médicos que trabalham na cidade X e são professores
universitários lecionam na faculdade A.

O item I é falso, como pode bem ser visto no diagrama acima. A região pintada
de vermelho possui pelo menos um elemento que é médico que trabalha na
cidade X (pois é elemento de M), é professor universitário que só leciona em
faculdades da cidade X e não leciona na faculdade A.

II. Todo professor que leciona na faculdade A e não leciona na

faculdade B é médico.

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O item II é falso, como pode ser visto no diagrama acima. A região pintada de
vermelho possui pelo menos um elemento que leciona na faculdade A, não
leciona na faculdade B e não é médico.

III. Nenhum professor universitário que só lecione em faculdades da
cidade X, mas não lecione nem na faculdade A e nem na faculdade B, é
médico.

A região pintada de vermelho indica o conjunto das pessoas que só lecionam
em faculdades da cidade X (elementos de U), não leciona nem na faculdade A e

nem na faculdade B e não são médicos. O item III é falso.

IV. Algum professor universitário que trabalha na cidade X leciona,
simultaneamente, nas faculdades A e B , mas não é médico.

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De acordo com a região pintada de vermelho, percebemos que todos os
professores universitários que trabalham na cidade X e que lecionam

simultaneamente nas faculdades A e B não são médicos. O item IV é
verdadeiro.

94. (ATA-MF 2012/ESAF) Em uma cidade as seguintes premissas são
verdadeiras: Nenhum professor é rico. Alguns políticos são ricos. Então, pode-
se afirmar que:

a) Nenhum professor é político.

b) Alguns professores são políticos.

c) Alguns políticos são professores.
d) Alguns políticos não são professores.
e) Nenhum político é professor.

Resolução

Começamos pela proposição "Nenhum professor é rico".

Agora vamos à proposição "Alguns políticos são ricos". Sabemos que existe uma

interseção entre o conjunto dos políticos e o conjunto dos ricos, mas não

Letra E

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sabemos qual é a relação entre o conjunto dos políticos e o conjunto dos

professores.

A região vermelha contém políticos que não são professores, porque eles são

ricos.

Gabarito: D

Ficamos por aqui. Espero que tenham gostado da aula.

Um forte abraço,

Guilherme Neves

Político

Professor

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