1
generowanie liczb losowych
y = h (x
1
, x
2
, ... x
n
)
DANE
losowanie
X
2
X
n
X
1
X
2
X
n
X
1
Y = h (X
1
, X
2
, ... X
n
)
F
Y
= ?
typ rozkładu = ?
Y
= ?
Y
= ?
x
2
x
n
x
1
Metoda Monte Carlo
Metoda Monte Carlo
y
1
, y
2
, y
3
... y
N
1
generowanie liczb losowych
y = h (x
1
, x
2
, ... x
n
)
DANE
losowanie
X
2
X
n
X
1
X
2
X
n
X
1
Y = h (X
1
, X
2
, ... X
n
)
F
Y
= ?
typ rozkładu = ?
Y
= ?
Y
= ?
x
2
x
n
x
1
Metoda Monte Carlo
Metoda Monte Carlo
y
1
, y
2
, y
3
... y
N
2
generowanie liczb losowych
DANE
losowanie
X
2
X
n
X
1
X
2
X
n
X
1
A –
zdarzenie losowe:
X
1
, X
2
, ... X
n
spełniają pewien warunek
P(A) = ?
x
2
x
n
x
1
Metoda Monte Carlo
Metoda Monte Carlo
porazka
x
,
x
,
x
sukces
x
,
x
,
x
iony
ln
spe
nie
warunek
iony
ln
spe
warunek
n
2
1
n
2
1
N
N
A
P
0
N
0
– liczba sukcesów
N – liczba prób
f
f
N
P
P
lim
3
Eksperyment:
Eksperyment:
Ile wynosi prawdopodobieństwo wylosowania orła
w wyniku jednokrotnego rzutu monetą ?
George Leclerc de Buffon (1707-1788)
N = 4040
N
0
= 2048
P = 0.5069
Karl Pearson (1857-1936)
N = 12 000
N
0
= 6 019 P = 0.5016
N = 24 000
N
0
= 12 012 P = 0.5005
Metoda Monte Carlo
Metoda Monte Carlo
- metoda orła i reszki
- metoda orła i reszki
N
N
P
0
4
Metoda Monte Carlo
Metoda Monte Carlo
- błąd metody
- błąd metody
Aby oszacować prawdopdobieństwo zdarzenia losowego P rzędu 10
-3
metodą Monte-Carlo „orła i reszki” i w 95 eksperymentach na 100
nie popełnić większego błędu niż 10% (+/- 10
-4
)
należy w każdym eksperymencie przeprowadzić ok. 400 000 prób.
5
Metoda Monte Carlo
Metoda Monte Carlo
- generowanie liczb losowych
- generowanie liczb losowych
Generowanie wartości x
i
zmiennej losowej X
o dowolnym rozkładze o dystrybuancie F
X
(x):
1. generujemy wartość u
i
zmiennej losowej U
o rozkładzie jednostajnym
w przedziale (0, 1)
2. odwracamy dystrybuantę
zmiennej losowej X:
i
1
X
i
u
F
x
x
F
u
X
x
u
x
i
u
i
6
Liczby losowe o rozkładzie jednostajnym z przedziału (0, 1)
Liczby losowe o rozkładzie jednostajnym z przedziału (0, 1)
0.783117
0.812497
0.298542
0.781516
0.443669
0.345165
0.413994
0.837837
0.636142
0.668635
0.245442
0.988235
0.914158
0.060742
0.049296
0.450726
0.871003
0.286397
0.106226
0.559697
0.915101
0.634151
0.840762
0.402220
0.826663
0.855023
0.610382
0.951794
0.505148
0.343788
0.156501
0.275764
0.432105
0.583201
0.076799
0.229070
0.990502
0.430133
0.976895
0.662192
0.377269
0.019264
0.442687
0.100550
0.477469
0.006922
0.399568
0.326321
0.164089
0.302419
0.778799
0.798128
0.252594
0.722379
0.320352
0.410976
0.586223
0.124205
0.535651
0.580606
0.953833
0.747543
0.043455
0.649685
0.849082
0.675584
0.321661
0.655498
0.375518
0.775297
0.176068
0.773969
0.982838
0.661738
0.560271
0.727679
0.975180
0.604067
0.723958
0.935592
0.627197
0.048509
0.036133
0.198667
0.898221
0.574515
0.808496
0.984814
0.476066
0.083395
0.443925
0.915508
0.812258
0.523432
0.615414
0.039315
0.906048
0.431806
0.447924
0.857217
0.766879
0.585551
0.715763
0.944227
0.644562
0.901033
0.275387
0.879205
0.007319
0.118138
0.564570
0.939221
0.583137
0.795207
0.179942
0.749713
0.254067
0.521194
0.273162
0.225102
0.768704
0.046589
0.275850
0.822118
0.566753
0.835728
0.640417
0.275713
0.288984
0.675511
0.902367
0.753397
0.690707
0.404441
0.432194
0.609131
0.990578
0.253572
0.854629
0.177114
0.089472
0.315555
0.610687
0.060068
0.776890
0.126131
0.996156
0.093421
0.276147
0.851305
0.320011
0.917916
0.214417
0.478321
0.320872
0.489445
0.055827
0.600450
0.725181
0.238619
7
Metoda Monte Carlo
Metoda Monte Carlo
- generowanie liczb losowych
- generowanie liczb losowych
Rozkład normalny:
1. generujemy wartość u
i
zmiennej losowej U
o rozkładzie jednostajnym
w przedziale (0, 1)
2. odwracamy dystrybuantę
rozkładu normalnego
standaryzowanego:
3. ponieważ
więc
i
1
i
u
z
X
X
X
Z
X
i
X
i
z
x
0.00
0.50
1.00
u
i
z
i
u = (z)
z
dystrybuanta
zmiennej Z
rozkładu
normalnego
standaryzowanego
8
Metoda Monte Carlo
Metoda Monte Carlo
- generowanie liczb losowych
- generowanie liczb losowych
Rozkład logarytmiczno-normalny:
1. generujemy wartość z
i
zmiennej losowej Z o rozkładzie
normalnym standaryzowanym
2. Obliczamy parametry rozkładu
log-normalnego:
3. ponieważ
więc
i
1
i
u
z
2
lnX
X
lnX
0,5
ln
2
X
2
lnX
V
1
ln
lnX
lnX
lnX
Z
X
ln
i
X
ln
z
i
e
x
9
Metoda Monte Carlo
Metoda Monte Carlo
- generowanie liczb losowych
- generowanie liczb losowych
Rozkład ekstremalny typu I:
1. generujemy wartość u
i
zmiennej losowej U o rozkładzie
jednostajnym w normalnym w (0, 1)
2. Obliczamy parametry rozkładu
ekstremalnego typu I
3. ponieważ
więc
X
1,282
σ
α
α
μ
0,5772
X
u
)
(x
e
X
e
x
F
u
i
i
u
ln
ln
1
x
u
10
Przykład 1
Przykład 1
Dany jest wspornik o długości l = 2 m, poddany działaniu
siły skupionej P i obciążenia ciągłego q.
Obciążenia te są niezależnymi zmiennymi losowymi
o rozkładach normalnych, o parametrach:
P
= 10 kN
P
= 1,0 kN
q
= 3 kN/m
q
= 0,6 kN/m
Wyznaczyć parametry statystyczne i typ rozkładu prawdopodobieństwa
największego momentu zginającego, M występującego we wsporniku.
l = 2 m
P
q
11
Przykład 1
Przykład 1
Rozwiązanie analityczne:
l = 2 m
q
= 3 kN/m
q
= 0,6 kN/m
P
= 10 kN
P
= 1,0 kN
Ponieważ największy moment zginający, M występujący we wsporniku
jest funkcją liniową zmiennych losowych P i q, o rozkładach normalych,
jego rozkład też jest normalny, a parametry statystyczne wynoszą:
2
l
q
l
P
M
2
i
i
i
kNm
26
10
2
2
3
2
2
l
l
a
2
q
2
P
n
1
i
X
i
M
i
kNm
33
,
2
0
,
1
2
2
6
.
0
2
2
l
l
a
2
2
2
2
2
2
P
2
2
2
P
2
n
1
i
2
X
2
i
M
i
12
Przykład 1
Przykład 1
Metoda Monte Carlo:
Generujemy po 10 wartości każdej ze zmiennych P i q
i
u
i
--------------------------------------------
1
0.783117
0.783
3.47
2
0.636142
0.348
3.21
3
0.871003
1.131
3.68
4
0.826663
0.941
3.56
5
0.432105
-0.171
2.90
6
0.377269
-0.313
2.81
7
0.164089
-0.978
2.41
8
0.586223
0.218
3.13
9
0.849082
1.033
3.62
10 0.982838
2.116
4.27
i
1
i
u
z
q
i
q
i
z
q
i
u
i
----------------------------------------------
1
0.627197
0.324
10.32
2
0.476066
-0.060
9.94
3
0.906048
1.317
11.32
4
0.644562
0.371
10.37
5
0.583137
0.210
10.21
6
0.768704
0.735
10.73
7
0.288984
-0.556
9.44
8
0.990578
2.349
12.35
9
0.776890
0.762
10.76
10 0.214417
-0.791
9.21
i
1
i
u
z
P
i
P
i
z
P
P
= 10 kN
P
= 1,0 kN
q
= 3 kN/m
q
= 0,6 kN/m
13
Przykład 1
Przykład 1
Dla każdej z 10 par zmiennych q i P obliczamy wartość momentu zginającego M
a następnie wartość średnią i odchylenie standardowe:
i
P
i
q
i
M
i
-------------------------------------------
1
10.32 3.47
27.59
2
9.94 3.21
26.30
3
11.32 3.68
29.99
4
10.37 3.56
27.87
5
10.21 2.90
26.21
6
10.73 2.81
27.09
7
9.44 2.41
23.71
8
12.35 3.13
30.96
9
10.76 3.62
28.76
10
9.21 4.27
26.96
2
l
q
l
P
M
2
i
i
i
kNm
5
,
27
M
10
1
M
10
1
i
i
kNm
05
,
2
1
10
M
10
M
S
2
10
1
i
i
M
14
Przykład 1
Przykład 1
i
M
i
M
i sort
----------------------------------------------------
1
27.59 23.71 0.091 -1.335
2
26.30 26.21 0.182 -0.908
3
29.99 26.30 0.273 -0.605
4
27.87 26.96 0.364 -0.349
5
26.21 27.09 0.455 -0.114
6
27.09 27.59 0.545 0.114
7
23.71 27.87 0.636 0.349
8
30.96 28.76 0.727 0.605
9
28.76 29.99 0.818 0.908
10
26.96 30.96 0.909 1.335
Nanosimy poszczególne wartości momentu zginającego M
na arkusz probabilistyczny rozkładu normalnego, określamy typ rozkładu,
określamy graficznie wartość średnią i odchylenie standardowe.
1
N
i
p
i
i
1
i
p
z
0
,
2
0
,
27
M
M
M
z
15
Przykład 2
Przykład 2
Dana jest funkcja stanu granicznego:
Nośność R i obciążenie Q są zmiennymi losowymi nieskorelowanymi
o rozkładach normalnych, o parametrach:
R
= 80 kNm
R
= 8,0 kNm
Q
= 50 kNm
Q
= 6,0 kNm
Okreslić prawdopodobieństwo awarii.
Rozwiązanie analityczne:
Q
R
)
Q
,
R
(
g
0
,
3
10
30
6
8
50
80
2
2
2
Q
2
R
Q
R
00135
,
0
10
35
,
1
0
,
3
P
3
f
16
Przykład 2
Przykład 2
Metoda Monte Carlo:
Generujemy po 10 wartości każdej ze zmiennych R i Q
R
= 80 kNm
R
= 8,0 kNm
Q
= 50 kNm
Q
= 6,0 kNm
Dla każdej pary R
i
, Q
i
obliczamy wartość funkcji stanu granicznego:
g
i
= R
i
– Q
i
Określamy liczbę sukcesów N
0
(g<0) w N próbach.
u
i
z
i
R
i
---------------------------------
0.783117 0.783 86.26
0.636142 0.348 82.79
0.871003 1.131 89.05
0.826663 0.941 87.53
0.432105 -0.171 78.63
0.377269 -0.313 77.50
0.164089 -0.978 72.18
0.586223 0.218 81.74
0.849082 1.033 88.26
0.982838 2.116 96.93
u
i
z
i
Q
i
---------------------------------
0.627197 0.324 51.95
0.476066 -0.060 49.64
0.906048 1.317 57.90
0.644562 0.371 52.22
0.583137 0.210 51.26
0.768704 0.735 54.41
0.288984 -0.556 46.66
0.990578 2.349 64.09
0.776890 0.762 54.57
0.214417 -0.791 45.25
g
i
---------
34.32
33.15
31.15
35.30
27.37
23.09
25.52
17.65
33.69
51.68
i
---
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
N
N
A
P
0
f
f
N
P
P
lim
17
Przykład 2
Przykład 2
u
i
z
i
R
i
---------------------------------
0.783117 0.783 86.26
0.636142 0.348 82.79
0.871003 1.131 89.05
0.826663 0.941 87.53
0.432105 -0.171 78.63
0.377269 -0.313 77.50
0.164089 -0.978 72.18
0.586223 0.218 81.74
0.849082 1.033 88.26
0.982838 2.116 96.93
u
i
z
i
Q
i
---------------------------------
0.627197 0.324 51.95
0.476066 -0.060 49.64
0.906048 1.317 57.90
0.644562 0.371 52.22
0.583137 0.210 51.26
0.768704 0.735 54.41
0.288984 -0.556 46.66
0.990578 2.349 64.09
0.776890 0.762 54.57
0.214417 -0.791 45.25
g
i
g
i sort
p
i
z
i
------------------------------------
34.32 17.65 0.091 -1.335
33.15 23.09 0.182 -0.908
31.15 25.52 0.273 -0.605
35.30 27.37 0.364 -0.349
27.37 31.15 0.455 -0.114
23.09 33.15 0.545 0.114
25.52 33.69 0.636 0.349
17.65 34.32 0.727 0.605
33.69 35.30 0.818 0.908
51.68 51.68 0.909 1.335
i
---
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Metoda Monte Carlo:
Nanosimy g
i
na arkusz probabilistyczny rozkładu normalnego:
18
Przykład 2
Przykład 2
g
z
00135
,
0
10
35
,
1
0
,
3
0
F
0
g
P
P
3
g
f