1

generowanie liczb losowych

y = h (x

1

, x

2

, ... x

n

)

DANE

losowanie

X

2

X

n

X

1

X

2

X

n

X

1

Y = h (X

1

, X

2

, ... X

n

)

F

Y

= ?

typ rozkładu = ?


Y

= ?



Y

= ?

x

2

x

n

x

1

Metoda Monte Carlo

Metoda Monte Carlo

y

1

, y

2

, y

3

... y

N

2

generowanie liczb losowych

DANE

losowanie

X

2

X

n

X

1

X

2

X

n

X

1

A –

zdarzenie losowe:

X

1

, X

2

, ... X

n

spełniają pewien warunek

P(A) = ?

x

2

x

n

x

1

Metoda Monte Carlo

Metoda Monte Carlo













porazka

x

,

x

,

x

sukces

x

,

x

,

x

iony

ln

spe

nie

warunek

iony

ln

spe

warunek

n

2

1

n

2

1





 

N

N

A

P

0





N

0

– liczba sukcesów

N – liczba prób

f

f

N

P

P

lim 







3

Eksperyment:

Eksperyment:

Ile wynosi prawdopodobieństwo wylosowania orła
w wyniku jednokrotnego rzutu monetą ?

George Leclerc de Buffon (1707-1788)

N = 4040

N

0

= 2048

P = 0.5069

Karl Pearson (1857-1936)

N = 12 000

N

0

= 6 019 P = 0.5016

N = 24 000

N

0

= 12 012 P = 0.5005

Metoda Monte Carlo

Metoda Monte Carlo

- metoda orła i reszki

- metoda orła i reszki

N

N

P

0





4

Metoda Monte Carlo

Metoda Monte Carlo

- błąd metody

- błąd metody

Aby oszacować prawdopdobieństwo zdarzenia losowego P rzędu 10

-3

metodą Monte-Carlo „orła i reszki” i w 95 eksperymentach na 100
nie popełnić większego błędu niż 10% (+/- 10

-4

)

należy w każdym eksperymencie przeprowadzić ok. 400 000 prób.

5

Metoda Monte Carlo

Metoda Monte Carlo

- generowanie liczb losowych

- generowanie liczb losowych

Generowanie wartości x

i

zmiennej losowej X

o dowolnym rozkładze o dystrybuancie F

X

(x):

1. generujemy wartość u

i

zmiennej losowej U
o rozkładzie jednostajnym
w przedziale (0, 1)

2. odwracamy dystrybuantę

zmiennej losowej X:

 

i

1

X

i

u

F

x





 

x

F

u

X



x

u

x

i

u

i

6

Liczby losowe o rozkładzie jednostajnym z przedziału (0, 1)

Liczby losowe o rozkładzie jednostajnym z przedziału (0, 1)

0.783117

0.812497

0.298542

0.781516

0.443669

0.345165

0.413994

0.837837

0.636142

0.668635

0.245442

0.988235

0.914158

0.060742

0.049296

0.450726

0.871003

0.286397

0.106226

0.559697

0.915101

0.634151

0.840762

0.402220

0.826663

0.855023

0.610382

0.951794

0.505148

0.343788

0.156501

0.275764

0.432105

0.583201

0.076799

0.229070

0.990502

0.430133

0.976895

0.662192

0.377269

0.019264

0.442687

0.100550

0.477469

0.006922

0.399568

0.326321

0.164089

0.302419

0.778799

0.798128

0.252594

0.722379

0.320352

0.410976

0.586223

0.124205

0.535651

0.580606

0.953833

0.747543

0.043455

0.649685

0.849082

0.675584

0.321661

0.655498

0.375518

0.775297

0.176068

0.773969

0.982838

0.661738

0.560271

0.727679

0.975180

0.604067

0.723958

0.935592

0.627197

0.048509

0.036133

0.198667

0.898221

0.574515

0.808496

0.984814

0.476066

0.083395

0.443925

0.915508

0.812258

0.523432

0.615414

0.039315

0.906048

0.431806

0.447924

0.857217

0.766879

0.585551

0.715763

0.944227

0.644562

0.901033

0.275387

0.879205

0.007319

0.118138

0.564570

0.939221

0.583137

0.795207

0.179942

0.749713

0.254067

0.521194

0.273162

0.225102

0.768704

0.046589

0.275850

0.822118

0.566753

0.835728

0.640417

0.275713

0.288984

0.675511

0.902367

0.753397

0.690707

0.404441

0.432194

0.609131

0.990578

0.253572

0.854629

0.177114

0.089472

0.315555

0.610687

0.060068

0.776890

0.126131

0.996156

0.093421

0.276147

0.851305

0.320011

0.917916

0.214417

0.478321

0.320872

0.489445

0.055827

0.600450

0.725181

0.238619

7

Metoda Monte Carlo

Metoda Monte Carlo

- generowanie liczb losowych

- generowanie liczb losowych

Rozkład normalny:

1. generujemy wartość u

i

zmiennej losowej U
o rozkładzie jednostajnym
w przedziale (0, 1)

2. odwracamy dystrybuantę

rozkładu normalnego
standaryzowanego:

3. ponieważ

więc

 

i

1

i

u

z







X

X

X

Z









X

i

X

i

z

x









0.00

0.50

1.00

u

i

z

i

u = (z)

z

dystrybuanta

zmiennej Z

rozkładu

normalnego

standaryzowanego

8

Metoda Monte Carlo

Metoda Monte Carlo

- generowanie liczb losowych

- generowanie liczb losowych

Rozkład logarytmiczno-normalny:

1. generujemy wartość z

i

zmiennej losowej Z o rozkładzie
normalnym standaryzowanym

2. Obliczamy parametry rozkładu

log-normalnego:

3. ponieważ

więc

 

i

1

i

u

z







 

2
lnX

X

lnX

0,5

ln















2

X

2
lnX

V

1

ln 





lnX

lnX

lnX

Z













X

ln

i

X

ln

z

i

e

x









9

Metoda Monte Carlo

Metoda Monte Carlo

- generowanie liczb losowych

- generowanie liczb losowych

Rozkład ekstremalny typu I:

1. generujemy wartość u

i

zmiennej losowej U o rozkładzie
jednostajnym w normalnym w (0, 1)

2. Obliczamy parametry rozkładu

ekstremalnego typu I

3. ponieważ

więc

X

1,282

σ

α 

α

μ

0,5772

X





u

 

)

(x

e

X

e

x

F

u











 





i

i

u

ln

ln

1

x







u

10

Przykład 1

Przykład 1

Dany jest wspornik o długości l = 2 m, poddany działaniu
siły skupionej P i obciążenia ciągłego q.

Obciążenia te są niezależnymi zmiennymi losowymi
o rozkładach normalnych, o parametrach:



P

= 10 kN



P

= 1,0 kN



q

= 3 kN/m 

q

= 0,6 kN/m

Wyznaczyć parametry statystyczne i typ rozkładu prawdopodobieństwa
największego momentu zginającego, M występującego we wsporniku.

l = 2 m

P

q

11

Przykład 1

Przykład 1

Rozwiązanie analityczne:

l = 2 m



q

= 3 kN/m 

q

= 0,6 kN/m



P

= 10 kN



P

= 1,0 kN

Ponieważ największy moment zginający, M występujący we wsporniku
jest funkcją liniową zmiennych losowych P i q, o rozkładach normalych,
jego rozkład też jest normalny, a parametry statystyczne wynoszą:

2

l

q

l

P

M

2

i

i

i





kNm

26

10

2

2

3

2

2

l

l

a

2

q

2

P

n

1

i

X

i

M

i

































kNm

33

,

2

0

,

1

2

2

6

.

0

2

2

l

l

a

2

2

2

2

2

2

P

2

2

2

P

2

n

1

i

2

X

2
i

M

i





















































12

Przykład 1

Przykład 1

Metoda Monte Carlo:
Generujemy po 10 wartości każdej ze zmiennych P i q

i

u

i

--------------------------------------------
1

0.783117

0.783

3.47

2

0.636142

0.348

3.21

3

0.871003

1.131

3.68

4

0.826663

0.941

3.56

5

0.432105

-0.171

2.90

6

0.377269

-0.313

2.81

7

0.164089

-0.978

2.41

8

0.586223

0.218

3.13

9

0.849082

1.033

3.62

10 0.982838

2.116

4.27

 

i

1

i

u

z







q

i

q

i

z

q









i

u

i

----------------------------------------------
1

0.627197

0.324

10.32

2

0.476066

-0.060

9.94

3

0.906048

1.317

11.32

4

0.644562

0.371

10.37

5

0.583137

0.210

10.21

6

0.768704

0.735

10.73

7

0.288984

-0.556

9.44

8

0.990578

2.349

12.35

9

0.776890

0.762

10.76

10 0.214417

-0.791

9.21

 

i

1

i

u

z







P

i

P

i

z

P











P

= 10 kN



P

= 1,0 kN



q

= 3 kN/m



q

= 0,6 kN/m

13

Przykład 1

Przykład 1

Dla każdej z 10 par zmiennych q i P obliczamy wartość momentu zginającego M

a następnie wartość średnią i odchylenie standardowe:

i

P

i

q

i

M

i

-------------------------------------------
1

10.32 3.47

27.59

2

9.94 3.21

26.30

3

11.32 3.68

29.99

4

10.37 3.56

27.87

5

10.21 2.90

26.21

6

10.73 2.81

27.09

7

9.44 2.41

23.71

8

12.35 3.13

30.96

9

10.76 3.62

28.76

10

9.21 4.27

26.96

2

l

q

l

P

M

2

i

i

i





kNm

5

,

27

M

10

1

M

10

1

i

i









kNm

05

,

2

1

10

M

10

M

S

2

10

1

i

i

M















14

Przykład 1

Przykład 1

i

M

i

M

i sort

----------------------------------------------------
1

27.59 23.71 0.091 -1.335

2

26.30 26.21 0.182 -0.908

3

29.99 26.30 0.273 -0.605

4

27.87 26.96 0.364 -0.349

5

26.21 27.09 0.455 -0.114

6

27.09 27.59 0.545 0.114

7

23.71 27.87 0.636 0.349

8

30.96 28.76 0.727 0.605

9

28.76 29.99 0.818 0.908

10

26.96 30.96 0.909 1.335

Nanosimy poszczególne wartości momentu zginającego M
na arkusz probabilistyczny rozkładu normalnego, określamy typ rozkładu,
określamy graficznie wartość średnią i odchylenie standardowe.

1

N

i

p

i





 

i

1

i

p

z







0

,

2

0

,

27

M

M









M

z

15

Przykład 2

Przykład 2

Dana jest funkcja stanu granicznego:

Nośność R i obciążenie Q są zmiennymi losowymi nieskorelowanymi
o rozkładach normalnych, o parametrach:



R

= 80 kNm 

R

= 8,0 kNm



Q

= 50 kNm 

Q

= 6,0 kNm

Okreslić prawdopodobieństwo awarii.

Rozwiązanie analityczne:

Q

R

)

Q

,

R

(

g





0

,

3

10

30

6

8

50

80

2

2

2
Q

2

R

Q

R



























 





00135

,

0

10

35

,

1

0

,

3

P

3

f























16

Przykład 2

Przykład 2

Metoda Monte Carlo:
Generujemy po 10 wartości każdej ze zmiennych R i Q



R

= 80 kNm



R

= 8,0 kNm



Q

= 50 kNm



Q

= 6,0 kNm

Dla każdej pary R

i

, Q

i

obliczamy wartość funkcji stanu granicznego:

g

i

= R

i

– Q

i

Określamy liczbę sukcesów N

0

(g<0) w N próbach.

u

i

z

i

R

i

---------------------------------
0.783117 0.783 86.26
0.636142 0.348 82.79
0.871003 1.131 89.05
0.826663 0.941 87.53
0.432105 -0.171 78.63
0.377269 -0.313 77.50
0.164089 -0.978 72.18
0.586223 0.218 81.74
0.849082 1.033 88.26
0.982838 2.116 96.93

u

i

z

i

Q

i

---------------------------------
0.627197 0.324 51.95
0.476066 -0.060 49.64
0.906048 1.317 57.90
0.644562 0.371 52.22
0.583137 0.210 51.26
0.768704 0.735 54.41
0.288984 -0.556 46.66
0.990578 2.349 64.09
0.776890 0.762 54.57
0.214417 -0.791 45.25

g

i

---------
34.32
33.15
31.15
35.30
27.37
23.09
25.52
17.65
33.69
51.68

i

---

1
2
3
4
5
6
7
8
9

10

 

N

N

A

P

0





f

f

N

P

P

lim 







17

Przykład 2

Przykład 2

u

i

z

i

R

i

---------------------------------
0.783117 0.783 86.26
0.636142 0.348 82.79
0.871003 1.131 89.05
0.826663 0.941 87.53
0.432105 -0.171 78.63
0.377269 -0.313 77.50
0.164089 -0.978 72.18
0.586223 0.218 81.74
0.849082 1.033 88.26
0.982838 2.116 96.93

u

i

z

i

Q

i

---------------------------------
0.627197 0.324 51.95
0.476066 -0.060 49.64
0.906048 1.317 57.90
0.644562 0.371 52.22
0.583137 0.210 51.26
0.768704 0.735 54.41
0.288984 -0.556 46.66
0.990578 2.349 64.09
0.776890 0.762 54.57
0.214417 -0.791 45.25

g

i

g

i sort

p

i

z

i

------------------------------------
34.32 17.65 0.091 -1.335
33.15 23.09 0.182 -0.908
31.15 25.52 0.273 -0.605
35.30 27.37 0.364 -0.349
27.37 31.15 0.455 -0.114
23.09 33.15 0.545 0.114
25.52 33.69 0.636 0.349
17.65 34.32 0.727 0.605
33.69 35.30 0.818 0.908
51.68 51.68 0.909 1.335

i

---

1
2
3
4
5
6
7
8
9

10

Metoda Monte Carlo:
Nanosimy g

i

na arkusz probabilistyczny rozkładu normalnego:

18

Przykład 2

Przykład 2

g

z





 





00135

,

0

10

35

,

1

0

,

3

0

F

0

g

P

P

3

g

f



















