1

MECHANIKA BUDOWLI

Wykład nr 8

1. Płaskie ustroje obciążone przestrzennie

2. Siły wewnętrzne

3. Podpory, reakcje i połączenia

4. Warunek statycznej wyznaczalności

5. Warunki równowagi

6. Wykresy sił wewnętrznych

2

MECHANIKA BUDOWLI

Wykład nr 8

1. Płaskie ustroje obciążone przestrzennie

Płaski ustrój obciążony przestrzennie
– ustrój, w którym osie wszystkich prętów (oprócz
podporowych)
leżą w jednej płaszczyźnie, zaś obciążenie nie
działa w tej płaszczyźnie.

L

L

L/2

P

L

L/2

P

3

MECHANIKA BUDOWLI

Wykład nr 8

2. Siły wewnętrzne

M

s

M

T

N

x

1

x

2

x

3

M

N

N M

s

M

s

T

T

M

4

MECHANIKA BUDOWLI

Wykład nr 8

2. Siły wewnętrzne

P

y

1

y

2

y

3

y

1

y

2

y

3

A

B

C

A

B

C

L

L/2

P

L/2

P

y

1

y

2

y

3

L/2

P

y

1

y

2

y

3

M

T

A

B

A

B

5

MECHANIKA BUDOWLI

Wykład nr 8

2. Siły wewnętrzne

P

y

1

y

2

y

3

y

1

y

2

y

3

A

B

C

A

B

C

L / 2

P

y

1

y

2

y

3

M

T

L

P

PL/2

L

P

PL/2

s

M

y

1

y

2

y

3

6

MECHANIKA BUDOWLI

Wykład nr 8

2. Siły wewnętrzne

0



M

0



T

Płaski ustrój obciążony przestrzennie
– ustrój, w którym osie wszystkich prętów (oprócz
podporowych)
leżą w jednej płaszczyźnie, zaś obciążenie nie działa
w tej płaszczyźnie.

P

y

1

y

2

y

3



0

2

P



0

1

P

0



N

0



s

M

7

MECHANIKA BUDOWLI

Wykład nr 8

3. Podpory, reakcje i połączenia

P

y

1

y

2

y

3

P

PL/2

y

1

y

2

y

3

y

1

y

2

y

3

P

PL/2

Sztywne
zamocowanie
– 3 składowe
reakcji
podporowych

8

MECHANIKA BUDOWLI

Wykład nr 8

3. Podpory, reakcje i połączenia

Podpora
przegubowa
– jedna reakcja
podporowa
normalna
do płaszczyzny
ustroju

L/2 L/2

L/2

P

y

1

y

2

y

3

P

y

1

y

2

y

3

9

MECHANIKA BUDOWLI

Wykład nr 8

3. Podpory, reakcje i połączenia

Przegub kulisty

0



M

0



T

0



s

M

Przegub walcowy

0



M

0



T

0



s

M

Przegub walcowy

0



M

0



T

0



s

M

10

MECHANIKA BUDOWLI

Wykład nr 8

4. Warunek statycznej wyznaczalności

R

P

E

W







2

3

R

P

P

E

W

k

w









2

3

0

2

3











R

P

P

E

W

k

w

Płaski ustrój obciążony
przestrzennie
statycznie wyznaczalny:

przenosi 2 siły

wewnętrzne

przenosi 1 siłę

wewnętrzną

11

MECHANIKA BUDOWLI

Wykład nr 8

4. Warunek statycznej wyznaczalności

Dane: Schemat statyczny

Zadanie: Przeprowadzić analizę kinematyczną układu
prętowego

o schemacie jak na rysunku

12

MECHANIKA BUDOWLI

Wykład nr 8

4. Warunek statycznej wyznaczalności

R

P

P

E

W

k

w









2

3

2



E

1



w

P

0



k

P

4



R

4

0

1

2

2

3













W

0



W

13

MECHANIKA BUDOWLI

Wykład nr 8

4. Warunek statycznej wyznaczalności

Układ prętowy statycznie
wyznaczalny

Dane: Schemat statyczny

Zadanie: Przeprowadzić analizę kinematyczną układu
prętowego

o schemacie jak na rysunku

14

MECHANIKA BUDOWLI

Wykład nr 8

4. Warunek statycznej wyznaczalności

Dane: Schemat statyczny

Zadanie: Przeprowadzić analizę kinematyczną układu
prętowego

o schemacie jak na rysunku

15

MECHANIKA BUDOWLI

Wykład nr 8

4. Warunek statycznej wyznaczalności

R

P

P

E

W

k

w









2

3

4



E

2



w

P

1



k

P

7



R

7

1

2

2

4

3













W

0



W

16

MECHANIKA BUDOWLI

Wykład nr 8

4. Warunek statycznej wyznaczalności

Układ prętowy statycznie
wyznaczalny

Dane: Schemat statyczny

Zadanie: Przeprowadzić analizę kinematyczną układu
prętowego

o schemacie jak na rysunku

17

MECHANIKA BUDOWLI

Wykład nr 8

5. Warunki równowagi



0

j

M



0

3

P

L/2 L/2

L/2

P

L

L/2

P

y

1

y

2

y

3



0

k

M

Warunek:
osie j i k nie są
równoległe.

albo



0

j

M



0

i

M



0

k

M

Warunek:
osie j i k nie są
równoległe.

18

MECHANIKA BUDOWLI

Wykład nr 8

5. Warunki równowagi

Przegub kulisty

0



M

0



s

M

Przegub walcowy

0



s

M

Przegub walcowy

0



M

19

MECHANIKA BUDOWLI

Wykład nr 8

5. Warunki równowagi

Dane: Schemat statyczny, P, L

Zadanie: Obliczyć reakcje w podporach układu
prętowego

o schemacie jak na rysunku

L/2 L/2

L/2

P

20

MECHANIKA BUDOWLI

Wykład nr 8

5. Warunki równowagi

L/2 L/2

L/2

P



0

j

M



0

3

P



0

k

M



0

j

M



0

i

M



0

k

M

C

B

A

y

1

y

2

y

3

j









0

2

:

0

L

R

M

C

j

0



C

R

k













0

4

2

4

2

:

0

L

P

L

R

M

A

k

P

R

A

















0

:

0

3

P

R

R

R

P

C

B

A

P

R

B

2



21

MECHANIKA BUDOWLI

Wykład nr 8

5. Warunki równowagi

L/2 L/2

L/2

P



0

j

M



0

3

P



0

k

M



0

j

M



0

i

M



0

k

M

C

B

A

y

1

y

2

y

3

j

0



C

R

k













0

2

1

:

0

L

R

L

R

M

B

A

i

P

R

A





P

R

B

2



Sprawdzenie:

i

?

0

2

1

2











L

P

L

P

22

MECHANIKA BUDOWLI

Wykład nr 8

5. Warunki równowagi

Dane: Schemat statyczny, P, L

Zadanie: Obliczyć reakcje w podporach układu
prętowego

o schemacie jak na rysunku

L/2 L/2

L/2

P

0



C

R

P

R

A





P

R

B

2



23

MECHANIKA BUDOWLI

Wykład nr 8

5. Warunki równowagi

Dane: Schemat statyczny, q, L

Zadanie: Obliczyć reakcje w podporach układu
prętowego

o schemacie jak na rysunku

L

L

2L

L/2
L/2

q

24

MECHANIKA BUDOWLI

Wykład nr 8

5. Warunki równowagi

L

L

2L

L/2
L/2

q

A

B

C

D

E

j









0

2

:

0

)

(

L

R

M

E

d

j

0



E

R

k









0

:

0

)

(

L

R

M

A

d

k

0



A

R

i













0

:

0

L

R

L

R

M

B

A

i

0



B

R

y

1

y

2

y

3

25

MECHANIKA BUDOWLI

Wykład nr 8

5. Warunki równowagi

L

L

2L

L/2
L/2

q

A

B

C

D

E

k

m





















0

2

:

0

L

qL

L

R

L

R

L

R

M

E

D

C

m

0



E

R

0



A

R

0



B

R

















0

2

2

3

:

0

)

(

L

qL

L

R

L

R

M

D

E

g

k

qL

R

D



y

1

y

2

y

3

qL

R

C



Sprawdzenie:

















0

2

:

0

3

qL

R

R

R

R

R

P

E

D

C

B

A

26

MECHANIKA BUDOWLI

Wykład nr 8

5. Warunki równowagi

Dane: Schemat statyczny, q, L

Zadanie: Obliczyć reakcje w podporach układu
prętowego

o schemacie jak na rysunku

L

L

2L

L/2
L/2

q

0



E

R

0



A

R

0



B

R

qL

R

D



qL

R

C



27

MECHANIKA BUDOWLI

Wykład nr 8

5. Warunki równowagi

Dane: Schemat statyczny, P, L

Zadanie: Obliczyć reakcje w podporach układu
prętowego

o schemacie jak na rysunku

L

L

2L

P

L

L

2L

P

28

MECHANIKA BUDOWLI

Wykład nr 8

5. Warunki równowagi

y

1

y

2

y

3

A

B

C

k













0

2

2

:

0

)

(

L

P

L

R

M

C

p

k

P

R

C



j













0

:

0

)

(

L

P

L

R

M

B

p

j

P

R

B















0

:

0

3

P

R

R

R

P

C

B

A

P

R

A





L

L

2L

P

29

MECHANIKA BUDOWLI

Wykład nr 8

5. Warunki równowagi

y

1

y

2

y

3

A

B

C

k











0

:

0

)

2

(

A

C

m

M

L

R

M

P

R

C



j



















0

3

3

:

0

)

1

(

A

B

C

j

M

L

R

L

P

L

R

M

P

R

B



P

R

A





m

PL

M

A





)

2

(

)

2

(

A

M

)

1

(

A

M

PL

M

A





)

1

(

30

MECHANIKA BUDOWLI

Wykład nr 8

5. Warunki równowagi

Dane: Schemat statyczny, P, L

Zadanie: Obliczyć reakcje w podporach układu
prętowego

o schemacie jak na rysunku

P

R

C



P

R

B



P

R

A





PL

M

A





)

2

(

PL

M

A





)

1

(

L

L

2L

P

31

MECHANIKA BUDOWLI

Wykład nr 8

5. Warunki równowagi

Dane: Schemat statyczny, P, L

Zadanie: Obliczyć reakcje w podporach układu
prętowego

o schemacie jak na rysunku

L

L

L

L

L

P

32

MECHANIKA BUDOWLI

Wykład nr 8

5. Warunki równowagi

L

L

L

L

L

P

y

1

y

2

y

3

A

B

C

D

j













0

2

:

0

)

(

L

R

L

R

M

D

C

p

j

k

















0

2

2

2

2

2

:

0

L

P

L

R

L

R

M

D

C

k

33

MECHANIKA BUDOWLI

Wykład nr 8

5. Warunki równowagi













0

2

:

0

)

(

L

R

L

R

M

D

C

p

j

















0

2

2

2

2

2

:

0

L

P

L

R

L

R

M

D

C

k

D

C

R

R

2





0

2

2

2

2

2

2















L

P

L

R

L

R

D

D

0

2

2







L

P

Układ prętowy geometrycznie zmienny

34

MECHANIKA BUDOWLI

Wykład nr 8

5. Warunki równowagi

L

L

L

L

L

P

A

B

C

D

j

k

m

35

MECHANIKA BUDOWLI

Wykład nr 8

5. Warunki równowagi

Dane: Schemat statyczny, P, L

Zadanie: Obliczyć reakcje w podporach układu
prętowego

o schemacie jak na rysunku

L

L

L

L

L

P

Układ prętowy geometrycznie zmienny

36

MECHANIKA BUDOWLI

Wykład nr 8

6. Wykresy sił wewnętrznych

Dane: Schemat statyczny, P, L

Zadanie: Sporządzić wykresy sił wewnętrznych

w układzie o schemacie jak na rysunku

L

L/2

P

37

MECHANIKA BUDOWLI

Wykład nr 8

6. Wykresy sił wewnętrznych

A

B

C

L

L/2

P

M

N

N M

s

M

s

T

T

M

Wspornik zakrzywiony

y

1

y

2

y

3

38

MECHANIKA BUDOWLI

Wykład nr 8

6. Wykresy sił wewnętrznych

P

y

1

y

2

y

3

y

1

y

2

y

3

A

B

C

A

B

C

L

L/2

P

L/2

P

L/2

P

y

1

y

2

y

3

M

T

A

B

A

B

39

MECHANIKA BUDOWLI

Wykład nr 8

6. Wykresy sił wewnętrznych

P

y

1

y

2

y

3

y

1

y

2

y

3

A

B

C

A

B

C

L

L/2

P

P

_

T

M

PL/2

_

40

MECHANIKA BUDOWLI

Wykład nr 8

6. Wykresy sił wewnętrznych

P

y

1

y

2

y

3

A

B

C

A

B

C

L / 2

P

M

T

L

P

PL/2

L

P

PL/2

s

M

y

1

y

2

y

3

y

1

y

2

y

3

41

MECHANIKA BUDOWLI

Wykład nr 8

6. Wykresy sił wewnętrznych

P

y

1

y

2

y

3

A

B

C

A

B

C

L / 2

P

M

T

L

P

PL/2

s

M

y

1

y

2

y

3

y

1

y

2

y

3

T

P

P

_

+

42

MECHANIKA BUDOWLI

Wykład nr 8

6. Wykresy sił wewnętrznych

P

y

1

y

2

y

3

A

B

C

A

B

C

L / 2

P

y

1

y

2

y

3

T

P

P

_

+

PL/2

PL

_

_

L

P

PL/2

M

43

MECHANIKA BUDOWLI

Wykład nr 8

6. Wykresy sił wewnętrznych

A

B

C

L / 2

P

y

1

y

2

y

3

T

P

P

_

+

PL/2

PL

_

_

L

P

PL/2

M

PL/2

+

s

M

44

MECHANIKA BUDOWLI

Wykład nr 8

6. Wykresy sił wewnętrznych

Dane: Schemat statyczny, P, L

Zadanie: Sporządzić
wykresy
sił wewnętrznych w
układzie
o schemacie jak na
rysunku

L

L/2

P

T

P

P

_

+

PL/2

PL

_

_

PL/2

+

M

s

M

45

MECHANIKA BUDOWLI

Wykład nr 8

6. Wykresy sił wewnętrznych

Dane: Schemat statyczny, P, L

Zadanie: Sporządzić wykresy sił wewnętrznych

w układzie o schemacie jak na rysunku

L

L

2L

P

46

MECHANIKA BUDOWLI

Wykład nr 8

P

R

C



P

R

B



P

R

A





PL

M

A





)

2

(

PL

M

A





)

1

(

6. Wykresy sił wewnętrznych

L

L

2L

P

MECHANIKA BUDOWLI

Wykład nr 8

P

R

C



P

R

B



P

R

A





PL

M

A



)

2

(

PL

M

A



)

1

(

6. Wykresy sił wewnętrznych

y

1

y

2

y

3

A

B

C

D

E

F

M

N

N

M

s

M

s

T

T

M

M

N

N M

s

M

s

T

T

M

P

P

P

P

_

_

_

+

T

L

L

2L

P

MECHANIKA BUDOWLI

Wykład nr 8

P

R

C



P

R

B



P

R

A





PL

M

A



)

2

(

PL

M

A



)

1

(

6. Wykresy sił wewnętrznych

y

1

y

2

y

3

A

B

C

D

E

F

M

N

N

M

s

M

s

T

T

M

M

N

N M

s

M

s

T

T

M

M

PL

PL PL

PL

_

+

+

+

L

L

2L

P

MECHANIKA BUDOWLI

Wykład nr 8

P

R

C



P

R

B



P

R

A





PL

M

A



)

2

(

PL

M

A



)

1

(

6. Wykresy sił wewnętrznych

y

1

y

2

y

3

A

B

C

D

E

F

M

N

N

M

s

M

s

T

T

M

M

N

N M

s

M

s

T

T

M

s

M

PL

PL

_

+

L

L

2L

P

MECHANIKA BUDOWLI

Wykład nr 8

6. Wykresy sił wewnętrznych

y

1

y

2

y

3

F

M

PL

PL PL

PL

_

+

+

+

Kontrola równowagi – węzeł F

s

M

PL

PL

_

+









0

0

0

:

0

)

2

(

F

M







0

PL

-

PL

:

0

)

1

(

F

M

PL

PL

50

L

L

2L

P

51

MECHANIKA BUDOWLI

Wykład nr 8

6. Wykresy sił wewnętrznych

Dane: Schemat statyczny, P, L

Zadanie: Sporządzić
wykresy sił
wewnętrznych w układzie
o schemacie jak na
rysunku

P

P

P

P

_

_

_

+

T

M

PL

PL PL

PL

_

+

+

+

s

M

PL

PL

_

+

L

L

2L

P