1

MECHANIKA BUDOWLI

Wykład nr 4

1. Układy statycznie niewyznaczalne

2. Metoda sił

3. Algorytm metody sił

4. Belki ciągłe

2

MECHANIKA BUDOWLI

Wykład nr 4

1. Układy statycznie niewyznaczalne

W = 3E - 2P
– R

• W > 0

układ

geometrycznie zmienny

• W = 0

układ geometrycznie

niezmienny,

(?)
statycznie wyznaczalny

• W < 0

układ geometrycznie

niezmienny,

(?)
statycznie niewyznaczalny

3

MECHANIKA BUDOWLI

Wykład nr 4

1. Układy statycznie niewyznaczalne

W = 3E - 2P
– R

• W < 0

układ geometrycznie

niezmienny,

(?)
statycznie niewyznaczalny

R

C

4

MECHANIKA BUDOWLI

Wykład nr 4

2. Metoda sił

5

MECHANIKA BUDOWLI

Wykład nr 4

2. Metoda sił

X

P

0

)

(

)

(



 X

u

P

u

6

MECHANIKA BUDOWLI

Wykład nr 4

2. Metoda sił

X

P

A

P

0

)

(

)

(



 X

u

P

u

7

MECHANIKA BUDOWLI

Wykład nr 4

2. Metoda sił

A

P

P

M

0

)

(

)

(





X

u

P

u

A

A

A

1

1

M





s

P

A

ds

EJ

M

M

P

u

1

)

(

8

MECHANIKA BUDOWLI

Wykład nr 4

2. Metoda sił

X

M

A

1

1

M

0

)

(

)

(





X

u

P

u

A

A

A

X





s

X

A

ds

EJ

M

M

X

u

1

)

(

1

M

X

M

X











s

A

ds

EJ

M

M

X

X

u

1

1

)

(

9

MECHANIKA BUDOWLI

Wykład nr 4

2. Metoda sił

0

)

(

)

(





X

u

P

u

A

A







s

A

ds

EJ

M

M

X

X

u

1

1

)

(

P

M

1

M





s

P

A

ds

EJ

M

M

P

u

1

)

(





s

P

P

ds

EJ

M

M

1

1







s

ds

EJ

M

M

1

1

11



0

1

11





P

X





11

1





P

X 



MECHANIKA BUDOWLI

Wykład nr 4

2. Metoda sił

P

R

C

P

B

C

0



BC



N

Strona
statyczna

Strona geometryczna

Strona fizyczna





i

i

i

i

BC

EA

L

N



P

M

1

M

0

1

11





P

X









s

P

P

ds

EJ

M

M

1

1







s

ds

EJ

M

M

1

1

11



11

MECHANIKA BUDOWLI

Wykład nr 4

2. Metoda sił

P

X

1

X

2

X

3

P

P

M

1

M

2

M

3

M

0

)

(

...

)

(

)

(

)

(

3

2

1











P

u

X

u

X

u

X

u

j

j

j

j

0

...

3

3

2

2

1

1











jP

j

j

j

X

X

X









Dla j = 1, 2, 3,
…

W zapisie
wskaźnikowym:

0





jP

ji

i

X





12

MECHANIKA BUDOWLI

Wykład nr 4

2. Metoda sił

W zapisie wskaźnikowym – układ równań kanonicznych:

0





jP

ji

i

X





Układ 2-krotnie statycznie
niewyznaczalny:



















0

0

2

22

2

21

1

1

12

2

11

1

P

P

X

X

X

X















































0

0

0

3

33

3

32

2

31

1

2

23

3

22

2

21

1

1

13

3

12

2

11

1

P

P

P

X

X

X

X

X

X

X

X

X

























Układ 3-krotnie statycznie
niewyznaczalny:







s

ds

EJ

M

M

2

1

21

12











s

k

i

ki

ik

ds

EJ

M

M





13

MECHANIKA BUDOWLI

Wykład nr 4

3. Algorytm metody sił

1. Analiza kinematyczna – układ n-krotnie statycznie
niewyznaczalny

2. Stworzenie statycznie wyznaczalnego układu
zastępczego
przez odrzucenie n więzów - układu obciążonego
obciążeniem rzeczywistym oraz n siłami nadliczbowymi.

3. Analiza statyczna n+1 układów pomocniczych – od
obciążenia rzeczywistego i sił jednostkowych.
4. Obliczenie przemieszczeń od poszczególnych obciążeń
– wyznaczenie współczynników układu równań
kanonicznych.

5. Sformułowanie i rozwiązanie układu równań
kanonicznych.

6. Analiza statyczna rzeczywistego układu.

(7. Kontrola geometryczna rozwiązania.)

14

MECHANIKA BUDOWLI

Wykład nr 4

3. Algorytm metody sił

3L

L

P

Zadanie: Sporządzić wykresy sił wewnętrznych dla belki

o schemacie przedstawionym na rysunku.

Dane: Schemat statyczny, P, L, EJ = const

15

MECHANIKA BUDOWLI

Wykład nr 4

3. Algorytm metody sił

3L

L

P

Układ zastępczy
- statycznie
wyznaczalny

X

1

P

X

1

P

Układ zastępczy
(alternatywny)
- statycznie
wyznaczalny

Układ rzeczywisty
- jednokrotnie
statycznie
niewyznaczalny

16

MECHANIKA BUDOWLI

Wykład nr 4

3. Algorytm metody sił

Układ pomocniczy P

3L

L

X

1

P

P

X =1

1

Układ pomocniczy
X

1

=1

Układ zastępczy
- statycznie
wyznaczalny

17

MECHANIKA BUDOWLI

Wykład nr 4

3. Algorytm metody sił

Układ pomocniczy P

X =1

1

Układ pomocniczy
X

1

=1

3PL

P

M

4L

3L

L

P

1

M

18

MECHANIKA BUDOWLI

Wykład nr 4

3. Algorytm metody sił

3PL

P

M

4L

1

M

Układ rzeczywisty - jednokrotnie statycznie
niewyznaczalny

Równanie
kanoniczne:

0

1

11

1





P

X





3L

L























L

L

PL

EJ

P

3

3

3

2

1

1

1



EJ

PL

3

2

27





19

MECHANIKA BUDOWLI

Wykład nr 4

3. Algorytm metody sił

4L

1

M

Układ rzeczywisty - jednokrotnie statycznie
niewyznaczalny

Równanie
kanoniczne:

0

1

11

1





P

X





3L

L





















L

L

L

EJ

3

8

4

4

2

1

1

11



EJ

L

3

3

64



4L

1

M

20

MECHANIKA BUDOWLI

Wykład nr 4

3. Algorytm metody sił

Układ rzeczywisty - jednokrotnie statycznie
niewyznaczalny

Równanie
kanoniczne:

0

1

11

1





P

X





EJ

L

3

11

3

64





EJ

PL

P

3

1

2

27







EJ

L

EJ

PL

X

P

3

3

11

1

1

3

64

2

27















P

128

81



21

MECHANIKA BUDOWLI

Wykład nr 4

3. Algorytm metody sił

P

X

128

81

1



3L

L

P

PL

128

81

PL

32

15

M

P

M

M

X

M





1

1

A

22

MECHANIKA BUDOWLI

Wykład nr 4

3. Algorytm metody sił

P

X

128

81

1



P

M

M

X

M





1

1

3PL

P

M

4L

1

M

PL

L

X

M

A

3

4

1







PL

L

P

M

A

3

4

128

81







PL

32

15





23

MECHANIKA BUDOWLI

Wykład nr 4

3. Algorytm metody sił

3L

L

P

Zadanie: Sporządzić wykresy sił
wewnętrznych dla belki

o schemacie przedstawionym na

rysunku.

Dane:
Schemat statyczny,
P, L, EJ = const

PL

128

81

PL

32

15

M

T

+

-

P

128

47

P

128

81

24

MECHANIKA BUDOWLI

Wykład nr 4

4. Belki ciągłe

P

Układ zastępczy
- statycznie
wyznaczalny

Układ rzeczywisty
- statycznie
niewyznaczalny

P

X

1

X

2

X

3

P

25

MECHANIKA BUDOWLI

Wykład nr 4

4. Belki ciągłe

Zadanie: Sporządzić wykresy sił wewnętrznych dla belki

o schemacie przedstawionym na rysunku.

Dane: Schemat statyczny, q, L, EJ = const

L

L/2

L

2L

qL

qL

2

q

26

MECHANIKA BUDOWLI

Wykład nr 4

4. Belki ciągłe

L

L/2

L

2L

qL

qL

2

q

Układ zastępczy
- statycznie
wyznaczalny

Układ rzeczywisty
- dwukrotnie
statycznie
niewyznaczalny

X

1

X

2

qL

qL

2

q

27

MECHANIKA BUDOWLI

Wykład nr 4

4. Belki ciągłe

Układ pomocniczy P

P

M

L

L/2

L

2L

qL

qL

2

q

qL

2

1/8 qL

2

1/2 qL

2

28

MECHANIKA BUDOWLI

Wykład nr 4

4. Belki ciągłe

Układ pomocniczy
X

1

=1

1

M

L

L/2

L

2L

X =1

1

X =1

2

1

1

Układ pomocniczy
X

2

=1

2

M

29

MECHANIKA BUDOWLI

Wykład nr 4

4. Belki ciągłe

Układ dwukrotnie statycznie
niewyznaczalny:



















0

0

2

22

2

21

1

1

12

2

11

1

P

P

X

X

X

X













1

L

L/2

L

2L







s

k

i

ki

ik

ds

EJ

M

M

































3

2

1

2

1

3

2

2

1

2

1

1

11

L

L

EJ



EJ

L



1

M

30

MECHANIKA BUDOWLI

Wykład nr 4

4. Belki ciągłe

1

L

L/2

L

2L

3

1

1

2

1

1

21

12













L

EJ





EJ

L

6

1









s

k

i

ki

ik

ds

EJ

M

M





1

M

1

2

M

31

MECHANIKA BUDOWLI

Wykład nr 4

4. Belki ciągłe

L

L/2

L

2L

2

3

2

1

2

1

1

22























L

EJ



EJ

L

3

2









s

k

i

ki

ik

ds

EJ

M

M





1

2

M

32

MECHANIKA BUDOWLI

Wykład nr 4

4. Belki ciągłe

P

M

L

L/2

L

2L

1

1

M

qL

2

1/8 qL

2

1/2 qL

2





























2

1

8

1

3

2

3

1

2

2

1

1

2

2

1

L

qL

L

qL

EJ

P



EJ

qL

3

8

3



33

MECHANIKA BUDOWLI

Wykład nr 4

4. Belki ciągłe

P

M

L

L/2

L

2L

2

M

qL

2

1/8 qL

2

1/2 qL

2





























3

1

2

1

2

1

2

1

8

1

3

2

1

2

2

2

L

qL

L

qL

EJ

P



EJ

qL

3

24

1





1

34

MECHANIKA BUDOWLI

Wykład nr 4

4. Belki ciągłe

Układ dwukrotnie statycznie
niewyznaczalny:



















0

0

2

22

2

21

1

1

12

2

11

1

P

P

X

X

X

X




































0

24

1

3

2

6

1

0

8

3

6

1

3

2

1

3

2

1

EJ

qL

X

EJ

L

X

EJ

L

EJ

qL

X

EJ

L

X

EJ

L

X

1

X

2

qL

qL

2

q



















2

2

2

1

92

15

92

37

qL

X

qL

X















2

2

2

1

1630

.

0

402

.

0

qL

X

qL

X

35

MECHANIKA BUDOWLI

Wykład nr 4

4. Belki ciągłe

X

1

X

2

qL

qL

2

q

M















2

2

2

1

1630

.

0

402

.

0

qL

X

qL

X

qL

2

0.5 qL

2

0.402 qL

2

0.163 qL

2

36

MECHANIKA BUDOWLI

Wykład nr 4

4. Belki ciągłe

L

L/2

L

2L

qL

qL

2

q

qL

qL

qL

P

R







2

1

2

1

)

(

L

L/2

L

2L

X =1

1

L

L

L

X

R

2

3

1

2

1

)

1

(

1



























2

2

2

1

1630

.

0

402

.

0

qL

X

qL

X

37

MECHANIKA BUDOWLI

Wykład nr 4

4. Belki ciągłe

qL

qL

qL

P

R







2

1

2

1

)

(

L

L

L

X

R

2

3

1

2

1

)

1

(

1













X =1

2

L

X

R

1

)

1

(

2





)

1

(

)

1

(

)

(

2

2

1

1















X

R

X

X

R

X

P

R

R

qL

R

766

.

1



L

L/2

L

2L















2

2

2

1

1630

.

0

402

.

0

qL

X

qL

X

38

MECHANIKA BUDOWLI

Wykład nr 4

4. Belki ciągłe

L

L/2

L

2L

qL

qL

2

q

T

qL

1.065 qL

0.065 qL

0.663 qL

0.701 qL

+

+

-

-

39

MECHANIKA BUDOWLI

Wykład nr 4

4. Belki ciągłe

T

M

qL

1.065 qL

0.065 qL

0.663 qL

0.701 qL

+

+

-

-

qL

2

0.5 qL

2

0.402 qL

2

0.163 qL

2

40

MECHANIKA BUDOWLI

Wykład nr 4

4. Belki ciągłe

T

M

L

L/2

L

2L

qL

qL

2

q

Zadanie: Sporządzić wykresy

sił wewnętrznych
dla belki
o schemacie
przedstawionym
na rysunku.

Dane: Schemat statyczny,

q, L, EJ = const

qL

1.065 qL

0.065 qL

0.663 qL

0.701 qL

+

+

-

-

qL

2

0.5 qL

2

0.402 qL

2

0.163 qL

2