1

MECHANIKA BUDOWLI

Wykład nr 2

1. Przemieszczenia

2. Zapis wskaźnikowy

3. Zasada prac wirtualnych

4. Całka Mohra

5. Metoda Wereszczagina

6. Przemieszczenia w elementach

belkowych

2

MECHANIKA BUDOWLI

Wykład nr 2

1. Przemieszczenia

x

1

d x

1

x

2

d x

2

x

3

d x

3

 2

 

 

Odkształcenia

x

1

d x ’

1

d x ’

3

d x ’

2

x

2

x

3

- liniowe

- kątowe

3

MECHANIKA BUDOWLI

Wykład nr 2

1. Przemieszczenia

Deformacje osi pręta

d x

d x ’

P

r

dx

dx

dx

dx







'

lim

0

0



Wydłużenie jednostkowe

Krzywizna

r

1





4

MECHANIKA BUDOWLI

Wykład nr 2

1. Przemieszczenia

Przemieszczenia

P

u

5

MECHANIKA BUDOWLI

Wykład nr 2

2. Zapis wskaźnikowy

Tensor – układ liczb zależnych od punktu i układu współrzędnych,

które przy zmianie układu podlegają transformacji.

Tensor o walencji 1  3

1

= 3

b

i

, P

j

,

q

k

Tensor o walencji 0  3

0

= 1

a, T, 

Tensor o walencji 2  3

2

= 9

A

ij

, H

jk

,

Z

ik

6

MECHANIKA BUDOWLI

Wykład nr 2

2. Zapis wskaźnikowy

x

1

x

2

x

3

T

y

1

y

2

y

3

T

Tensor o walencji 0  3

0

= 1

7

MECHANIKA BUDOWLI

Wykład nr 2

2. Zapis wskaźnikowy

Tensor o walencji 1  3

1

= 3

x

1

x

1

x

2

x

2

x

3

x

3

x

1

x

1

x

2

x

2

x

3

x

3

y

2

y

3

y

1

MECHANIKA BUDOWLI

Wykład nr 2

2. Zapis wskaźnikowy

Przykłady równań w zapisie wskaźnikowym:

 

- iloczyn skalarny

i

i

b

a

C 

j

i

ij

b

a

C 

ij

i

j

b

a

C 

k

jk

i

ij

c

B

a

D 

ij

ij

ij

C

B

D 

jk

ik

k

ij

C

B

a

D 

ik

k

ij

B

a

D 

jk

i

km

jm

i

ijk

E

a

c

B

a

D







MECHANIKA BUDOWLI

Wykład nr 2

2. Zapis wskaźnikowy

Konwencja sumacyjna

3

3

2

2

1

1

b

a

b

a

b

a

b

a

C

i

i









j

j

j

ij

i

j

b

a

b

a

b

a

b

a

C

3

3

2

2

1

1









np.

32

3

22

2

12

1

2

2

b

a

b

a

b

a

b

a

C

i

i









10

MECHANIKA BUDOWLI

Wykład nr 2

3. Zasada prac wirtualnych

Punkt wyjścia – zasada zachowania energii

Praca wirtualna:

- iloczyn rzeczywistej siły uogólnionej i

przynależnego jej

wirtualnego przemieszczenia (odkształcenia),

- iloczyn rzeczywistego przemieszczenia

(odkształcenia)

i przynależnej mu wirtualnej siły uogólnionej.

Praca zewnętrznych wirtualnych sił uogólnionych

na rzeczywistych przemieszczeniach jest równa

pracy

wirtualnych sił wewnętrznych na rzeczywistych

odkształceniach.

11

MECHANIKA BUDOWLI

Wykład nr 2

3. Zasada prac wirtualnych

Praca zewnętrznych wirtualnych sił uogólnionych

na rzeczywistych przemieszczeniach jest równa

pracy

wirtualnych sił wewnętrznych na rzeczywistych

odkształceniach.







V

ij

ij

F

i

i

dV

dF

u

q

















s A

ij

ij

j

j

i

i

ds

dA

w

R

u

P





















12

MECHANIKA BUDOWLI

Wykład nr 2

3. Zasada prac wirtualnych











s A

ij

ij

j

j

i

i

ds

dA

w

R

u

P





















Jeżeli:









i

P

i

i

P 1



















s A

ij

i

i

ij

j

i

i

j

i

i

ds

dA

P

w

P

R

u

)

1

(

)

1

(

1

















13

MECHANIKA BUDOWLI

Wykład nr 2

3. Zasada prac wirtualnych























33

32

31

23

22

21

13

12

11





















ij





A

dA

N

11







A

dA

x

M

2

11

3







A

dA

T

12

2



x

1

x

2

x

3















s A

ij

i

i

ij

j

i

i

j

i

i

ds

dA

P

w

P

R

u

)

1

(

)

1

(

1

















14

MECHANIKA BUDOWLI

Wykład nr 2

3. Zasada prac wirtualnych























33

32

31

23

22

21

13

12

11





















ij





A

dA

N

11







A

dA

x

M

2

11

3



2

3

0

11

x















A

dA

T

12

2



12

12

2

1







3

M

M 

2

T

T 

3





















s A

ij

i

i

ij

j

i

i

j

i

i

ds

dA

P

w

P

R

u

)

1

(

)

1

(

1

















15

MECHANIKA BUDOWLI

Wykład nr 2

4. Całka Mohra





























s

i

i

s

i

i

s

i

i

j

i

i

j

i

i

ds

P

T

ds

P

N

ds

P

M

w

P

R

u

0

0

)

1

(

)

1

(

)

1

(

)

1

(

1











































s A

ij

i

i

ij

j

i

i

j

i

i

ds

dA

P

w

P

R

u

)

1

(

)

1

(

1

















16

MECHANIKA BUDOWLI

Wykład nr 2

4. Całka Mohra



























s

i

i

s

i

i

s

i

i

j

i

i

j

i

i

ds

P

T

ds

P

N

ds

P

M

w

P

R

u

0

0

)

1

(

)

1

(

)

1

(

)

1

(

1





























Jeżeli:

0





EJ

M





EA

N



0



GA

T

k



0



1

)

1

(

M

P

M

i

i









1

)

1

(

N

P

N

i

i









1

)

1

(

T

P

T

i

i









1

)

1

(

j

i

i

j

R

P

R









i

s

s

s

j

j

i

ds

GA

T

T

k

ds

EA

N

N

ds

EJ

M

M

w

R

u



































1

1

1

1







17

MECHANIKA BUDOWLI

Wykład nr 2

4. Całka Mohra

i

s

s

s

j

j

i

ds

GA

T

T

k

ds

EA

N

N

ds

EJ

M

M

w

R

u



































1

1

1

1











A

dA

b

S

J

A

k

2

2

*

2

Dla prostokąta:

2

.

1



k

18

MECHANIKA BUDOWLI

Wykład nr 2

4. Całka Mohra

Zadanie: Obliczyć ugięcie belki w połowie jej rozpiętości.

L

q

Dane: Schemat statyczny, przekrój prostokątny,

q, L, b, h, E, G

19

MECHANIKA BUDOWLI

Wykład nr 2

4. Całka Mohra

2

2

1

2

1

)

(

qx

qLx

x

M





qx

qL

x

T





2

1

)

(

L

q

x

L

1

x

x

x

M

2

1

)

(

1



2

1

)

(

1



x

T

2

0

L

x 



20

MECHANIKA BUDOWLI

Wykład nr 2

4. Całka Mohra

2

2

1

2

1

)

(

qx

qLx

x

M





qx

qL

x

T





2

1

)

(

x

x

M

2

1

)

(

1



2

1

)

(

1



x

T

i

s

s

s

j

j

i

ds

GA

T

T

k

ds

EA

N

N

ds

EJ

M

M

w

R

u



































1

1

1

1







2

0

L

x 

































































2

/

0

2

/

0

2

2

1

2

1

2

1

2

1

2

1

2

L

L

dx

GA

qx

qL

k

dx

EJ

qx

qLx

x

u

21

MECHANIKA BUDOWLI

Wykład nr 2

4. Całka Mohra































































2

/

0

2

/

0

2

2

1

2

1

2

1

2

1

2

1

2

L

L

dx

GA

qx

qL

k

dx

EJ

qx

qLx

x

u



































2

/

0

2

/

0

3

2

2

1

4

1

4

1

4

1

2

L

L

dx

GA

qx

qL

k

dx

EJ

qx

qLx

u

22

MECHANIKA BUDOWLI

Wykład nr 2

4. Całka Mohra



































2

/

0

2

/

0

3

2

2

1

4

1

4

1

4

1

2

L

L

dx

GA

qx

qL

k

dx

EJ

qx

qLx

u

2

/

0

2

4

3

4

1

4

1

16

1

12

1

2

L

GA

qx

qLx

k

EJ

qx

qLx

u



































GA

qL

k

EJ

qL

u

2

4

8

384

5





23

MECHANIKA BUDOWLI

Wykład nr 2

4. Całka Mohra

GA

qL

k

EJ

qL

u

2

4

8

384

5





Dane: Schemat statyczny, przekrój prostokątny,

q, L, b, h, E, G

Gbh

qL

Ebh

qL

u

2

3

4

20

3

32

5





Zadanie: Obliczyć ugięcie belki w połowie jej rozpiętości.

2

.

1



k

24

MECHANIKA BUDOWLI

Wykład nr 2

5. Metoda Wereszczagina

Metoda graficzna - „mnożenie wykresów”.

F(x) – funkcja kwadratowa

lub liniowa

G(x) – funkcja liniowa



 



)

(

)

(

)

(

)

(

x

G

x

F

dx

x

G

x

F

x













25

MECHANIKA BUDOWLI

Wykład nr 2

5. Metoda Wereszczagina

Metoda graficzna - „mnożenie wykresów”.

F(x) – funkcja kwadratowa

lub liniowa

G(x) – funkcja liniowa



 



)

(

)

(

)

(

)

(

x

G

x

F

dx

x

G

x

F

x

















)

(x

F







)

(x

G



26

MECHANIKA BUDOWLI

Wykład nr 2

5. Metoda Wereszczagina

funkcja kwadratowa





ZA

x

F

3

2

)

(





5/8 A

3/8 A

Z

1/4 A

3/4 A

Z





ZA

x

F

3

1

)

(





27

MECHANIKA BUDOWLI

Wykład nr 2

5. Metoda Wereszczagina

funkcja liniowa





ZA

x

F

2

1

)

(









ZA

x

F





)

(

2/3 A

1/3 A

Z

1/2 A

1/2 A

Z

28

MECHANIKA BUDOWLI

Wykład nr 2

5. Metoda Wereszczagina

X

Y

Y





X-Y

1/2 A

Z=1/8 qA

2

1/2 A



ZA

3

2





29

MECHANIKA BUDOWLI

Wykład nr 2

5. Metoda Wereszczagina

L

q

Dane: Schemat statyczny, przekrój prostokątny,

q, L, b, h, E, G

Zadanie: Obliczyć ugięcie belki w połowie jej rozpiętości.

30

MECHANIKA BUDOWLI

Wykład nr 2

5. Metoda Wereszczagina

L

q

1/8 qL

2

1/2 qL

1/2 qL

+

_

1/4 L

1/2

1/2

+

_

L/2

L/2

1

M

T

1

M

1

T

31

MECHANIKA BUDOWLI

Wykład nr 2

5. Metoda Wereszczagina

1/8 qL

2

1/4 L

L/2

L/2

M

1

M



 



)

(

)

(

)

(

)

(

x

G

x

F

dx

x

G

x

F

x













2

4

1

8

5

2

8

1

3

2

2

1















L

L

qL

dx

MM

x

5/8 A

3/8 A

Z

4

384

5

qL



32

MECHANIKA BUDOWLI

Wykład nr 2

5. Metoda Wereszczagina

1/2 qL

1/2 qL

+

_

T

1

T

1/2

1/2

+

_



 



)

(

)

(

)

(

)

(

x

G

x

F

dx

x

G

x

F

x













2

2

1

2

2

1

2

1

1













L

qL

dx

TT

x

2

8

1

qL



33

MECHANIKA BUDOWLI

Wykład nr 2

5. Metoda Wereszczagina

2

1

8

1

qL

dx

TT

x





4

1

384

5

qL

dx

MM

x























s

s

s

j

j

ds

GA

T

T

k

ds

EA

N

N

ds

EJ

M

M

w

R

u

1

1

1

1







GA

qL

k

EJ

qL

u

2

4

8

384

5





Dane: Schemat statyczny,
przekrój prostokątny, q, L, b, h,
E, G

Gbh

qL

Ebh

qL

u

2

3

4

20

3

32

5





Zadanie: Obliczyć ugięcie belki w połowie jej rozpiętości.

34

MECHANIKA BUDOWLI

Wykład nr 2

6. Przemieszczenia w elementach

belkowych



















s

s

s

j

j

ds

GA

T

T

k

ds

EA

N

N

ds

EJ

M

M

w

R

u

1

1

1

1















s

s

ds

GA

T

T

k

ds

EJ

M

M

u

1

1

35

MECHANIKA BUDOWLI

Wykład nr 2

6. Przemieszczenia w elementach

belkowych

Gbh

qL

Ebh

qL

u

2

3

4

20

3

32

5















1

2G

E

2

/

1

0







3

/

2





G

E

0

5

10

15

20

25

30

0.96

0.97

0.98

0.99

1

h

L/

)

(

/

)

(

T

M

u

M

u



Korek

Stal

Guma





s

ds

EJ

M

M

u

1