1

MECHANIKA BUDOWLI

Wykład nr 5

1. Kontrola geometryczna

2. Wpływ sił osiowych

3. Kratownice

4. Wpływ temperatury

5. Wpływ przemieszczeń podpór

2

MECHANIKA BUDOWLI

Wykład nr 5

1. Kontrola geometryczna

0





iP

ij

j

X









s

j

i

ij

ds

EJ

M

M







s

P

i

iP

ds

EJ

M

M



0









s

P

i

s

j

i

j

ds

EJ

M

M

ds

EJ

M

M

X

0









s

P

i

s

j

i

j

ds

EJ

M

M

ds

EJ

M

M

X





0







s

P

j

j

i

ds

EJ

M

M

X

M

0





s

i

ds

EJ

M

M

3

MECHANIKA BUDOWLI

Wykład nr 5

1. Kontrola geometryczna

Zadanie: Dokonać kontroli geometrycznej rozwiązania schematu.

Dane: Schemat statyczny, q, L, EJ = const

L

L/2

L

2L

qL

qL

2

q

M

qL

2

0.5 qL

2

0.402 qL

2

0.163 qL

2

MECHANIKA BUDOWLI

Wykład nr 5

1. Kontrola geometryczna

M

qL

2

0.5 qL

2

0.402 qL

2

0.163 qL

2

L

L/2

L

2L

1

1

M





















































2

1

1

8

1

3

2

3

1

1

163

.

0

2

1

3

2

1

402

.

0

2

1

3

2

2

402

.

0

2

1

3

1

2

1

2

1

3

1

EJ

qL

M



qL

2

0.402 qL

2



qL

2

0.402 qL

2

MECHANIKA BUDOWLI

Wykład nr 5

1. Kontrola geometryczna





















































2

1

1

8

1

3

2

3

1

1

163

.

0

2

1

3

2

1

402

.

0

2

1

3

2

2

402

.

0

2

1

3

1

2

1

2

1

3

1

EJ

qL

M







0417

.

0

0272

.

0

1340

.

0

268

.

0

333

.

0

3

1











EJ

qL

M



0

0001

.

0

3

1







EJ

qL

M



6

MECHANIKA BUDOWLI

Wykład nr 5

1. Kontrola geometryczna

Zadanie: Dokonać kontroli geometrycznej rozwiązania schematu.

Dane: Schemat statyczny, q, L, EJ = const

L

L/2

L

2L

qL

qL

2

q

M

qL

2

0.5 qL

2

0.402 qL

2

0.163 qL

2

0

0001

.

0

3

1







EJ

qL

M



7

MECHANIKA BUDOWLI

Wykład nr 5

2. Wpływ sił osiowych









s

s

ds

EA

N

N

ds

EJ

M

M

u

1

1

Założenie:
- brak przemieszczeń podpór i wpływów
termicznych
- pomijalnie mały wpływ sił tnących









s

j

i

s

j

i

ij

ds

EA

N

N

ds

EJ

M

M











s

P

i

s

P

i

iP

ds

EA

N

N

ds

EJ

M

M



8

MECHANIKA BUDOWLI

Wykład nr 5

2. Wpływ sił osiowych

Zadanie: Sporządzić wykres momentów zginających

dla ramy o schemacie przedstawionym na rysunku.
Uwzględnić wpływ sił osiowych.

Dane: Schemat statyczny, q, L, b, h, k

A - A

b

h

B - B

b

h

2L

kL

q

A

A

B B

9

MECHANIKA BUDOWLI

Wykład nr 5

2. Wpływ sił osiowych

Układ rzeczywisty
- jednokrotnie
statycznie
niewyznaczalny

Układ zastępczy
- statycznie
wyznaczalny

2L

kL

q

A

A

B B

L

L

q

X

1

10

MECHANIKA BUDOWLI

Wykład nr 5

2. Wpływ sił osiowych

Układ pomocniczy P

L

L

kL

q

1/2 qL

2

1/2 qL

2

P

M

1/2 qL/k

qL

qL

_

_

_

P

N

11

MECHANIKA BUDOWLI

Wykład nr 5

2. Wpływ sił osiowych

Układ pomocniczy
X

1

=1

1

M

1

N

L

L

kL

X =1

1

1

1

1

1/kL

0

0

+

12

MECHANIKA BUDOWLI

Wykład nr 5

2. Wpływ sił osiowych

Układ rzeczywisty
- jednokrotnie statycznie
niewyznaczalny

Równanie
kanoniczne:

0

1

11

1





P

X





1

M

1

N

1

1

1

1/kL

0

0

+































1

2

1

2

3

2

1

2

1

1

11

L

kL

EJ























kL

L

kL

EA

1

2

1

1

2

2

1

2

3

2

k

LEA

k

EJ

L





















13

MECHANIKA BUDOWLI

Wykład nr 5

2. Wpływ sił osiowych

1

M

1

N

1

1

1

1/kL

0

0

+





































2

3

2

2

1

2

1

2

1

2

1

3

1

1

2

2

1

kL

qL

L

qL

EJ

P























kL

L

k

qL

EA

1

2

2

1

1

1/2 qL

2

1/2 qL

2

P

M

1/2 qL/k

qL

qL

_

_

_

P

N

EA

qL

k

k

EJ

qL

2

3

1

3

1

3

1













 





14

MECHANIKA BUDOWLI

Wykład nr 5

2. Wpływ sił osiowych

EA

qL

k

k

EJ

qL

P

2

3

1

1

3

1

3

1













 







0

1

11

1





P

X





2

11

2

1

2

3

2

k

LEA

k

EJ

L























2

2

2

11

1

1

1

2

2

3

2

1

1

3

1

3

1

qL

LA

k

k

J

L

LA

k

k

J

L

X

P

















































A - A

b

h









2

2

2

2

2

2

2

1

2

24

8

1

4

4

qL

k

k

h

L

k

k

h

L

X













0

0.5

1

1.5

2

0

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

0.3

0.35

0.4

0.45

0.5

15

MECHANIKA BUDOWLI

Wykład nr 5

2. Wpływ sił osiowych









2

2

2

2

2

2

2

1

2

24

8

1

4

4

qL

k

k

h

L

k

k

h

L

X













 

2

1

qL

X 

2L

kL

q

A

A

B B

k

5

/



H

L

15

/



H

L

25

/



H

L

0

2

4

6

8

10

0

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

0.3

0.35

0.4

0.45

16

MECHANIKA BUDOWLI

Wykład nr 5

2. Wpływ sił osiowych









2

2

2

2

2

2

2

1

2

24

8

1

4

4

qL

k

k

h

L

k

k

h

L

X













 

2

1

qL

X 

2L

kL

q

A

A

B B

k

5

/



H

L

15

/



H

L

25

/



H

L

0

2

4

6

8

10

0.97

0.975

0.98

0.985

0.99

0.995

1

1.005

17

MECHANIKA BUDOWLI

Wykład nr 5

2. Wpływ sił osiowych









2

2

2

2

2

2

2

1

2

24

8

1

4

4

qL

k

k

h

L

k

k

h

L

X













)

,

(

/

)

(

1

1

N

M

X

M

X

2L

kL

q

A

A

B B

k

5

/



H

L

15

/



H

L

25

/



H

L

18

MECHANIKA BUDOWLI

Wykład nr 5

2. Wpływ sił osiowych

Zadanie: Sporządzić wykres

momentów zginających
dla ramy o schemacie
przedstawionym na rysunku.
Uwzględnić
wpływ sił osiowych.

Dane: Schemat statyczny,

q, L, b, h, k

2L

kL

q

A

A

B B

1/4 qL

2

1/4 qL

2

1/4 qL

2

M

Rozwiązanie przybliżone dla k=1

19

MECHANIKA BUDOWLI

Wykład nr 5

3. Kratownice

20

MECHANIKA BUDOWLI

Wykład nr 5

3. Kratownice

21

MECHANIKA BUDOWLI

Wykład nr 5

N = 0

X

1

3. Kratownice

22

MECHANIKA BUDOWLI

Wykład nr 5

Zadanie: Obliczyć siły osiowe w prętach kratownicy.

Dane: Schemat statyczny, P, L, EA = const

4L

3L

P

3. Kratownice

23

MECHANIKA BUDOWLI

Wykład nr 5

4L

3L

P

Układ rzeczywisty
- jednokrotnie
statycznie
niewyznaczalny

Układ zastępczy
- statycznie
wyznaczalny

4L

P

X

1

3. Kratownice

24

MECHANIKA BUDOWLI

Wykład nr 5

Układ pomocniczy P

4L

3L

P

Nr

L

N

P

N

1

1.

4L

2.

3L

3.

4L

4.

3L

5.

5L

6.

5L

3. Kratownice

25

MECHANIKA BUDOWLI

Wykład nr 5

Układ pomocniczy P

4L

3L

P

Nr

L

N

P

N

1

1.

4L

0

2.

3L

3.

4L

0

4.

3L

0

5.

5L

6.

5L

0

3. Kratownice

26

MECHANIKA BUDOWLI

Wykład nr 5

Układ pomocniczy P

4L

3L

P

Nr

L

N

P

N

1

1.

4L

0

2.

3L

3.

4L

0

4.

3L

0

5.

5L

6.

5L

0

P

4

3



P

4

5



3. Kratownice

27

MECHANIKA BUDOWLI

Wykład nr 5

Układ pomocniczy
X

1

=1

Nr

L

N

P

N

1

1.

4L

0

2.

3L

3.

4L

0

4.

3L

0

5.

5L

6.

5L

0

1

P

4

3



P

4

5



4L

3L

X =1

1

5

3



5

3



5

4



5

4



3. Kratownice

1

28

MECHANIKA BUDOWLI

Wykład nr 5

Nr

L

N

P

N

1

1.

4L

0

2.

3L

3.

4L

0

4.

3L

0

5.

5L

1

6.

5L

0

1

P

4

3



P

4

5



5

3



5

3



5

4



5

4



Układ rzeczywisty
- jednokrotnie statycznie
niewyznaczalny

Równanie
kanoniczne:

0

1

11

1





P

X



















L

EA

N

N

u

1

















L

EA

N

N

P

P

1

1

Dane: Schemat statyczny, P, L, EA = const



























L

P

L

P

EA

P

5

4

5

1

3

4

3

5

3

1

1



EA

PL

5

38





3. Kratownice

29

MECHANIKA BUDOWLI

Wykład nr 5

Nr

L

N

P

N

1

1.

4L

0

2.

3L

3.

4L

0

4.

3L

0

5.

5L

1

6.

5L

0

1

P

4

3



P

4

5



5

3



5

3



5

4



5

4



Układ rzeczywisty
- jednokrotnie statycznie
niewyznaczalny

Równanie
kanoniczne:

0

1

11

1





P

X



















L

EA

N

N

u

1

















L

EA

N

N

1

1

11

Dane: Schemat statyczny, P, L, EA = const

2

5

1

1

3

5

3

5

3

4

5

4

5

4

1

11

































L

L

L

EA



EA

L

25

432



3. Kratownice

30

MECHANIKA BUDOWLI

Wykład nr 5

Układ rzeczywisty
- jednokrotnie statycznie
niewyznaczalny

Równanie
kanoniczne:

0

1

11

1





P

X





EA

L

25

432

11





EA

PL

P

5

38

1







EA

L

EA

PL

X

25

432

5

38

1







P

216

95



P

N

N

X

N





1

1

Nr

N

N

P

N

1

1.

- 0.352

P

0

2.

0.486 P

3.

- 0.352

P

0

4.

- 0.264

P

0

5.

- 0.810

P

1

6.

0.440 P

0

1

P

4

3



P

4

5



5

3



5

3



5

4



5

4



3. Kratownice

31

MECHANIKA BUDOWLI

Wykład nr 5

Kontrola
geometryczna

Nr

N

N

1

L

1.

- 0.352

P

4L

2.

0.486 P

3L

3.

- 0.352

P

4L

4.

- 0.264

P

3L

5.

- 0.810

P

1

5L

6.

0.440 P

1

5L

5

3



5

3



5

4



5

4



3. Kratownice

0

1

1



















L

EA

N

N

N













































5

1

440

.

0

5

1

810

.

0

3

5

3

264

.

0

3

5

3

486

.

0

2

4

5

4

352

.

0

1

EA

PL

N



?





20

.

2

05

.

4

475

.

0

875

.

0

25

.

2

1











EA

PL

N



0



32

MECHANIKA BUDOWLI

Wykład nr 5

Zadanie: Obliczyć siły osiowe w prętach kratownicy.

Dane: Schemat statyczny, P, L, EA = const

Nr

N

1.

- 0.352 P

2.

0.486 P

3.

- 0.352 P

4.

- 0.264 P

5.

- 0.810 P

6.

0.440 P

4L

3L

P

3. Kratownice

MECHANIKA BUDOWLI

Wykład nr 5

4. Wpływ temperatury

A

B

P

X

1

P

0

1

1

11

1







T

P

X







Układ rzeczywisty

-jednokrotnie

-statycznie
niewyznaczalny

Przypadek
ogólny:

0







jT

jP

ji

i

X







MECHANIKA BUDOWLI

Wykład nr 5

4. Wpływ temperatury

Jeżeli:

0









h

T

T

EJ

M

g

d

T















0

0

T

T

EA

N

s

T











GA

T

k



0





















s

s

s

j

j

ds

T

ds

N

ds

M

w

R

u

0

1

0

1

1

1





















s

i

j

s

i

j

ji

ds

EA

N

N

ds

EJ

M

M











s

P

j

s

P

j

jP

ds

EA

N

N

ds

EJ

M

M











s

T

j

s

T

j

jT

ds

N

ds

M

0







0







jT

jP

ji

i

X







MECHANIKA BUDOWLI

Wykład nr 5

4. Wpływ temperatury

35

Dane: Schemat statyczny, T

0

, T

1

, T

2

, L, b, h, 

T

, E

A - A

b

h

B - B

b

h

Zadanie: Sporządzić wykresy sił wewnętrznych dla układu

o schemacie przedstawionym na rysunku.

2L

L

T

1

T

2

T

1

T

1

A
A

B B

MECHANIKA BUDOWLI

Wykład nr 5

4. Wpływ temperatury

36

2L

L

T

1

T

2

T

1

T

1

A
A

B B

Układ rzeczywisty

-jednokrotnie
statycznie
niewyznaczalny

L

T

1

T

2

T

1

T

1

X

1

Układ zastępczy
- statycznie
wyznaczalny

MECHANIKA BUDOWLI

Wykład nr 5

4. Wpływ temperatury

37

Założeni
e:

0

1

2

T

T

T









h

T

T

T

1

2





T



T

0



+

+

















0

2

1

2

T

T

T

T







0

1

T

T

T





2L

T

1

T

2

T

1

T

1

Układ pomocniczy T





h

T

T

EJ

M

g

d

T















0

0

T

T

EA

N

s

T











MECHANIKA BUDOWLI

Wykład nr 5

4. Wpływ temperatury

38

L

L

1

1/2

+

+

1

M

1

N

2L

L

X =1

1

Układ pomocniczy
X

1

=1

MECHANIKA BUDOWLI

Wykład nr 5

4. Wpływ temperatury



















































2

1

1

2

2

2

1

2

0

1

0

2

1

1

2

1

L

T

T

L

T

T

T

L

L

h

T

T

T

T

T

T













h

T

T

T

1

2





T



L

L

1

M









s

T

s

T

T

ds

N

ds

M

0

1

1

1







T

0



+

+

















0

2

1

2

T

T

T

T







0

1

T

T

T





1

1/2

+

+

1

N

MECHANIKA BUDOWLI

Wykład nr 5

4. Wpływ temperatury



















































2

1

1

2

2

2

1

2

0

1

0

2

1

1

2

1

L

T

T

L

T

T

T

L

L

h

T

T

T

T

T

T





































0

2

1

2

1

2

2

5

2

3

T

T

T

L

h

L

T

T

T

T





L

L

1

M

1

1/2

+

+

1

N























































2

1

2

1

1

2

1

1

3

2

2

1

3

2

2

2

1

1

11

L

L

EA

L

L

L

L

L

L

EJ



EA

L

EJ

L

4

9

3





MECHANIKA BUDOWLI

Wykład nr 5

4. Wpływ temperatury

41





























0

2

1

2

1

2

1

2

5

2

3

T

T

T

L

h

L

T

T

T

T

T







EA

L

EJ

L

4

9

3

11







A - A

b

h

B - B

b

h

Ebh

L

Ebh

L

4

9

12

3

3























4

9

12

2

2

h

L

Ebh

L

0

1

1

11

1







T

P

X







2L

L

T

1

T

2

T

1

T

1

A
A

B B

3

3

12
Ebh

L











s

i

j

s

i

j

ji

ds

EA

N

N

ds

EJ

M

M



MECHANIKA BUDOWLI

Wykład nr 5

4. Wpływ temperatury

42

Dane: Schemat statyczny, T

0

, T

1

, T

2

, L, b, h, 

T

, E







































0

2

1

1

2

2

3

1

2

5

2

3

12

T

T

T

h

L

T

T

L

Ebh

X

T



3

3

11

12
Ebh

L





0

1

1

11

1







T

P

X



































0

2

1

2

1

2

1

2

5

2

3

T

T

T

L

h

L

T

T

T

T

T







EJ

M

X

T

1

1

)

(











1

1

M

X

M





1

1

N

X

N





MECHANIKA BUDOWLI

Wykład nr 5

4. Wpływ temperatury











































0

2

1

1

2

2

3

1

2

5

2

3

12

T

T

T

h

L

T

T

L

Ebh

X

T



Dane: Schemat statyczny,

T

0

, T

1

, T

2

, L, b, h, 

T

, E

A - A

b

h

B - B

b

h

Zadanie: Sporządzić wykresy
sił

wewnętrznych dla

układu

o schemacie

przedstawionym

na

rysunku.

M

N

X L

1

X L

1

X /2

1

X

1

+

+

2L

L

T

1

T

2

T

1

T

1

A
A

B B

MECHANIKA BUDOWLI

Wykład nr 5

5. Wpływ przemieszczeń podpór

44

1

11

1







X

Układ rzeczywisty

- jednokrotnie
statycznie
niewyznaczalny

L

A



A

A

X

1



A

Układ zastępczy

A









1

A

X







11

1



MECHANIKA BUDOWLI

Wykład nr 5

5. Wpływ przemieszczeń podpór

1

1

1

11

1









T

P

X







Układ rzeczywisty

- jednokrotnie
statycznie
niewyznaczalny

Przypadek
ogólny:

j

jT

jP

ji

i

X















A

P



A

A

P



A

MECHANIKA BUDOWLI

Wykład nr 5

5. Wpływ przemieszczeń podpór

46

Dane: Schemat statyczny, P, , L, EJ = const

Zadanie: Obliczyć reakcje w podporach
przegubowych belki

o schemacie przedstawionym na rysunku.

P



L

L

L/2 L/2

MECHANIKA BUDOWLI

Wykład nr 5

5. Wpływ przemieszczeń podpór

47

P



L

L

L/2 L/2

Układ rzeczywisty

- dwukrotnie
statycznie
niewyznaczalny

Układ zastępczy
- statycznie
wyznaczalny

X

1

X

2

P



MECHANIKA BUDOWLI

Wykład nr 5

5. Wpływ przemieszczeń podpór

48

Układ pomocniczy
P

P

L

L

L/2 L/2

2PL

P

M

MECHANIKA BUDOWLI

Wykład nr 5

5. Wpływ przemieszczeń podpór

49

Układ pomocniczy
X

1

=1

1

M

X =1

1

L

L

L/2 L/2

Układ pomocniczy
X

2

=1

2

M

X =1

2

L

5/2 L

MECHANIKA BUDOWLI

Wykład nr 5

5. Wpływ przemieszczeń podpór

50

P



L

L

L/2 L/2

X

1

X

2

P



j

jT

jP

ji

i

X

























P

X

X

1

12

2

11

1







0

2

22

2

21

1







P

X

X







MECHANIKA BUDOWLI

Wykład nr 5

5. Wpływ przemieszczeń podpór

51

1

M

2

M

L

L

L/2 L/2

L

5/2 L

EJ

L

L

L

L

EJ

3

11

24

125

2

5

3

2

2

5

2

5

2

1

1

















EJ

L

L

L

L

EJ

3

22

3

1

3

2

2

1

1

















EJ

L

L

L

L

EJ

3

12

12

13

6

13

2

1

1

















MECHANIKA BUDOWLI

Wykład nr 5

5. Wpływ przemieszczeń podpór

52

1

M

P

M

L

L

L/2 L/2

5/2 L

EJ

PL

L

L

PL

EJ

P

3

1

3

11

6

11

2

2

2

1

1



















2PL

MECHANIKA BUDOWLI

Wykład nr 5

5. Wpływ przemieszczeń podpór

53

P

M

L

L

L/2 L/2

EJ

PL

L

L

L

EJ

P

3

2

6

5

3

5

2

1

1



















2PL

2

M

L

MECHANIKA BUDOWLI

Wykład nr 5

5. Wpływ przemieszczeń podpór

54















EJ

PL

EJ

L

X

EJ

L

X

3

3

2

3

1

3

11

12

13

24

125

0

6

5

3

1

12

13

3

3

2

3

1











EJ

PL

EJ

L

X

EJ

L

X

3

1

27

16

81

46

L

EJ

P

X







3

2

27

52

81

53

L

EJ

P

X







MECHANIKA BUDOWLI

Wykład nr 5

5. Wpływ przemieszczeń podpór

55

3

1

27

16

81

46

L

EJ

P

X







3

2

27

52

81

53

L

EJ

P

X







Dane: Schemat statyczny, P, , L, EJ = const

Zadanie: Obliczyć reakcje w podporach
przegubowych belki

o schemacie przedstawionym na rysunku.

P



L

L

L/2 L/2

2

X

1

X