dr Mariola Chrzanowska

[e-mail]

Wykład 1

PODSTAWY TEORII ESTYMACJI

1

METODY PROGNOZOWANIA WYKŁAD 1

Forecasting is the art of
saying what will happen, and
then explaining why it didn't!

   
 Anonymous
(communicated by Balaji
Rajagopalan)

2

METODY PROGNOZOWANIA WYKŁAD 1

ZASADY ZALICZEŃ

•

Obecność na ćwiczeniach jest

OBOWIĄZKOWA

•

Koloqium 28.05.2012

•

Koloqium poprawkowe 11.06.2012

•

Warunkiem dopuszczenia do egzaminu

jest zaliczenie ćwiczeń

•

Egzamin zerowy 11.06.2012

•

Egzamin I termin 18.06.2012

3

METODY PROGNOZOWANIA WYKŁAD 1

TREŚCI KSZTAŁCENIA

•

powtórzenie wiadomości z zakresu wnioskowania

statystycznego;

•

modele regresji;

•

ocena jakości modelu regresji;

•

wybrane modele nieliniowe;

•

modele zmiennych jakościowych

•

prognozowanie na podstawie szeregów

czasowych;

•

modele wielorównaniowe

•

analiza mnożnikowa

•

sztuczne sieci neuronowe;

•

modelowanie rozmyte

4

METODY PROGNOZOWANIA WYKŁAD 1

LITERATURA

•

Cieślak Maria Prognozowanie gospodarcze,

Wydawnictwo Naukowe PWN, Warszawa 2008
(wersja elektroniczna na ibuk.pl);

•

Witkowska Dorota Podstawy ekonometrii i

teorii prognozowania, Oficyna Ekonomiczna
2006;

•

Zeliaś Aleksander, Pawełek Barbara, Wanat

Stanisław

Prognozowanie ekonomiczne, Teoria,

przykłady, zadania. Wydawnictwo Naukowe

PWN

2008.

5

METODY PROGNOZOWANIA WYKŁAD 1

Literatura uzupełniająca



Żółtowska Elżbieta, Sieczko Anna.

Chrzanowska Mariola: Ekonometria.
Wykład ilustrowany przykładami,
Wydawnictwo Wyższej Szkoły Ekonomii i
Prawa, Kielce 2009.



Lula Paweł: Jednokierunkowe sieci

neuronowe w modelowaniu zjawisk
ekonomicznych, Wydawnictwo Akademii
Ekonomicznej w Krakowie, Kraków 1999.

METODY PROGNOZOWANIA WYKŁAD 1

WPROWADZENIE

Przykład 1
Niech zmienna losowa X oznacza dzienne
zapotrzebowanie na energię elektryczną gospodarstwa
domowego. Przypuśćmy, że obserwując miesięczne
zużycie pięciu gospodarstw otrzymano następujące
realizacje zmiennej losowej X:
31,0 35,1 29,4 36,0 26,8 [KWh]
Na podstawie tych informacji możemy wyznaczyć
przeciętne miesięczne zużycie energii elektrycznej
w badanych gospodarstwach domowych (31,66 KW/h)
Czy można w takiej sytuacji uważać, że gospodarstwa
domowe w Polsce zużywają miesięcznie 61,66 kW/h?

7

METODY PROGNOZOWANIA WYKŁAD 1

WPROWADZENIE

Przykład 1 cd
Oczywiście nie można odpowiedzieć dokładnie,
ile wynosi średnie zużycie gospodarstw
domowych E(X). Można jedynie prawie
wyznaczyć  jego wartość.
Jakie warunki musi zatem spełniać próba, aby
oszacowana wartość była jak najbardziej zbliżona
do wartości prawdziwej?

8

METODY PROGNOZOWANIA WYKŁAD 1

DOBÓR PRÓBY DO BADAŃ
CZĘŚCIOWYCH

próba reprezentatywna –
odwzorowująca strukturę zbiorowości
z przyjętą dokładnością,
dobór losowy: każda jednostka
może wejść do próby z tym samym
prawdopodobieństwem (wówczas
próba jest nieobciążona),
próba reprezentatywna –
nieobciążona i odpowiednio liczna

9

METODY PROGNOZOWANIA WYKŁAD 1

ESTYMACJA PARAMETRÓW ZBIOROWOŚCI
GENENERALNEJ

Przykład 1 nawiązuje do problemów
przybliżania nieznanych wartości
parametrów, który charakteryzuje rozkład
pewnej zmiennej losowej.
Estymacja, czy też ocena lub szacowanie to
proces, który w badaniach częściowych
umożliwia wnioskowanie o rozkładzie
i podstawowych charakterystykach
zbiorowości generalnej wykorzystując w tym
celu metody wnioskowania statystycznego,

10

METODY PROGNOZOWANIA WYKŁAD 1

ESTYMACJA

W ogólniejszym sformułowaniu chodzi tu o

estymację nieznanego parametru, który

charakteryzuje rozkład pewnej zmiennej

losowej.

Rozróżnia się estymację punktową i

estymację przedziałową.

W pierwszym przypadku wynikiem estymacji

jest jedna (konkretna) liczba. Wartość

estymatora obliczana jest na podstawie n

elementowej próby

W drugim przypadku wynik wyraża się w

postaci przedziału. który z ustalonym

prawdopodobieństwem zawiera nieznaną

wartość szacowanego parametru zbiorowości

generalnej.

11

METODY PROGNOZOWANIA WYKŁAD 1

PODSTAWOWE POJĘCIA

•

Estymatorem nazywa się dowolną statystykę T

n

wyznaczoną na podstawie n-elementowej próby i służącą do

oszacowania nieznanej wartości parametru w populacji

generalnej



. Inaczej mówiąc, estymatorem jest zmienna

losowa (każdej próbie n-elementowej przypisujemy liczbę t

n

),

której rozkład zależy od rozkładu szacowanego parametru.

•

Przez rozkład estymatora rozumie się rozkład

prawdopodobieństwa zmiennej losowej T

n

, którego

parametrami są wartość oczekiwana E(T

n

) oraz wariancja

D

2

(T

n

).

•

Wartość liczbową t

n

, jaką przyjmuje estymator T

n

(parametru



) dla określonej próby nazywa się oceną

estymatora parametru



. Oznacza to, że, wartość t

n,

będąca oceną estymatora parametru



, jest realizacją

zmiennej losowej T

n

.

 Statystyka to miara opisowa pochodząca z n-elementowej

próby losowej, np. średnia arytmetyczna, odchylenie

standardowe, wskaźnik struktury.

12

METODY PROGNOZOWANIA WYKŁAD 1

O wyborze takiego lub innego estymatora decydują

jego własności. Szczególnie ważne są dwa kryteria:
Estymator Tn nazywamy nieobciążonym

estymatorem parametru



, jeśli jego wartość

oczekiwana równa jest szacowanemu parametrowi,

czyli jest spełniony warunek:

Wariancja D

2

(U) estymatora powinna być mała; im

jest mniejsza, tym estymator ma większą

efektywność.
Stosowanie estymatora najbardziej efektywnego

oznacza, że w trakcie estymacji popełnia się

najmniejszy błąd szacunku.

13

 





n

T

E

WŁASNOŚCI

ESTYMATORÓW

METODY PROGNOZOWANIA WYKŁAD 1

WŁASNOŚCI ESTYMATORÓW

Estymator Tn nazywamy zgodnym z

estymatorem parametru



, jeśli jest on

zbieżny według prawdopodobieństwa do

wartości szacowanego parametru



, tzn. gdy:

Korzystanie z estymatora Tn posiadającego

własności zgodności, nieobciążoności

i będącego najbardziej efektywnym pozwala

najlepiej oszacować nieznaną wartość

parametr



, ponieważ z dużym

prawdopodobieństwem można przyjąć, że

wyznaczona ocena estymatora Tn jest bliska

rzeczywistej wartości

14





0

lim

0





















n

n

T

P

METODY PROGNOZOWANIA WYKŁAD 1

W przypadku badania częściowego
wartości parametrów zbiorowości
generalnej są szacowane z pewnym
błędem.
Standardowy błąd szacunku jest
odchyleniem standardowym, czyli
pierwiastkiem kwadratowym z
wariancji D

2

(T

n

) rozkładu estymatora

T

n

, za pomocą którego szacuje się

parametr



populacji generalnej.

15

METODY PROGNOZOWANIA WYKŁAD 1

ESTYMACJA PRZEDZIAŁOWA

Wyznacza się przedział liczbowy, który z

ustalonym prawdopodobieństwem zawiera

nieznaną wartość szacowanego parametru

zbiorowości generalnej.

Prawdopodobieństwo to nosi nazwę

współczynnika ufności i oznaczane jest

jako 1-



, a znaleziony przedział nazywany

jest przedziałem ufności. Innymi słowy,

przedział ufności informuje, w jakich

granicach należy spodziewać się wartości

dla poszukiwanego parametru



z zadanym

z góry prawdopodobieństwem.

16

METODY PROGNOZOWANIA WYKŁAD 1

ESTYMACJA PRZEDZIAŁOWA

Konstruując przedział ufności jesteśmy w stanie

określić prawdopodobieństwo, z jakim

oszacowaliśmy przedział dla wartości

nieznanego parametru, czego nie daje

estymacja punktowa. Należy przy tym

pamiętać, że:

•

przy zadanym poziomie ufności 1-



im

większa jest liczebność, tym krótszy przedział

ufności,

•

przy ustalonej liczebności próby wraz ze

wzrostem poziomu ufności rośnie rozpiętość

(długość) przedziału ufności,

•

im krótszy przedział, tym mniejszy błąd

szacunku, co oznacza większą dokładność

oszacowania

17

METODY PROGNOZOWANIA WYKŁAD 1

ESTYMACJA PRZEDZIAŁOWA

Podstawowymi parametrami, które
szacowane są dla populacji
generalnej są:

•

wartość oczekiwana (średnia)

E(X)=



, wariancja D

2

(X)=



2

,

•

odchylenie standardowe



•

frakcja (wskaźnik struktury) p.

METODY PROGNOZOWANIA WYKŁAD 1

18

PRZYPADEK 1. PRZEDZIAŁ UFNOŚCI DLA
WARTOŚCI OCZEKIWANEJ, GDY ZNANA JEST
WARIANCJA



2

Załóżmy, iż populacja generalna ma
rozkład normalny i znamy jego
zróżnicowanie mierzone
odchyleniem standardowym (



).

Wylosowano z niej w sposób
nieograniczony i niezależny próbę
losową n-elementową. W tym
przypadku przedział ufności jest
postaci:

METODY PROGNOZOWANIA 2011/2012

19





































1

n

u

x

n

u

x

P

PRZYPADEK 1. PRZEDZIAŁ UFNOŚCI DLA
WARTOŚCI OCZEKIWANEJ, GDY ZNANA JEST
WARIANCJA



2

gdzie:



 - szacowana wartość oczekiwana (średnia) w

populacji generalnej,



 - znana wartość odchylenia standardowego w

populacji generalnej,
  - średnia arytmetyczna obliczona dla n-
elementowej próby statystycznej na podstawie
jednej z relacji
- wartość zmiennej losowej u odczytana z tablic
dystrybuanty rozkładu normalnego
standaryzowanego tak, aby spełniony był warunek

20

x



















































1

u

n

x

P

u

u

P

u



METODY PROGNOZOWANIA 2011/2012

Innymi słowy z tablic dystrybuanty

standaryzowanego rozkładu normalnego

odczytujemy taką wartość , która spełnia

równanie:

Przedziałem ufności dla parametru  jest

przedział
który z prawdopodobieństwem 1- pokrywa

nieznaną wartość parametru .

21



u

 

2

1









 u

n

u

x

n

u

x













;

METODY PROGNOZOWANIA 2011/2012

PRZYKŁAD 2

W wyniku badania przeprowadzonego na 16-

elementowej próbie losowo wybranych

pracowników firmy NORNIK, dotyczącego

wieku okazało się, że przeciętny wiek

pracownika to 27 lat. Wiadomo, że wielkość

ta ma ona rozkład normalny. W wyniku tego

badania stwierdzono, że zróżnicowanie

wieku pracowników mierzone odchyleniem

standardowym wynosiło 3. Z wiarygodnością

95% wyznaczyć przedział ufności dla

średniego wieku pracowników.

22

METODY PROGNOZOWANIA 2011/2012

PRZYKŁAD 2

W środku tablicy rozkładu normalnego szukamy prawdopodobieństwa o

wartości 0,99:

Z prawdopodobieństwem 0,98 ,można twierdzić, że średni wiek

pracowników zakładu NORNIK zawiera się między 25,2 a 28,7 lat

METODY PROGNOZOWANIA 2010/2011

23

PRZYPADEK II. PRZEDZIAŁ UFNOŚCI DLA
WARTOŚCI OCZEKIWANEJ, GDY NIEZNANA JEST
WARIANCJA (MAŁA PRÓBA)

Estymator średniej ma wówczas
rozkład
t-Studenta, a przedział ufności jest
postaci:

gdzie:
S - odchylenie standardowe obliczone
dla n-elementowej próby. 

24

1

1













n

S

t

x

m

n

S

t

x





METODY PROGNOZOWANIA 2011/2012

PRZYPADEK II. PRZEDZIAŁ UFNOŚCI DLA
WARTOŚCI OCZEKIWANEJ, GDY NIEZNANA JEST
WARIANCJA (MAŁA PRÓBA)

- wartość zmiennej t odczytana z
tablicy rozkładu t-Studenta dla n-1
stopni swobody w taki sposób, aby
spełniony był warunek:

25



t















1

t

u

P

METODY PROGNOZOWANIA 2011/2012

PRZYKŁAD 3

Oszacować żywotność (w godzinach)

wyprodukowanej partii świetlówek. Wiadomo,

że czas świecenia świetlówek ma rozkład

normalny z odchyleniem standardowym

s=129.7h. Wylosowana niezależnie w tej

partii próba n=25 świetlówek dała

następujące wyniki pomiarów czasu ich

świecenia (w godzinach): 2630, 2820, 2900,

2810, 2770, 2840, 2700, 2950, 2690, 2720,

2800, 2970, 2680, 2660, 2820, 2580, 2840,

3020, 2780, 2920, 3060, 2840, 2550, 2790,

2850. Przyjmując współczynnik ufności 0,98

oszacować metodą przedziałową średni czas

świecenia świetlówek tej partii.

26

METODY PROGNOZOWANIA 2011/2012

PRZYKŁAD 3 - ROZWIĄZANIE

1-=0,98 stąd =0,02
N=25=n
S=129,7
Obliczamy parametry z próby:

Korzystamy ze wzoru II (n=25)

27

2799,6

25

6990

25

2850

2790

2550

....

2900

2820

2630



















x

METODY PROGNOZOWANIA 2011/2012

PRZYKŁAD 3 - ROZWIĄZANIE

Z prawdopodobieństwem 0,98 można twierdzić, że
żywotność żarówek zawiera się między 2733,63 a
2865,57 godzin

.

28

METODY PROGNOZOWANIA 2011/2012

PRZYPADEK III. PRZEDZIAŁ UFNOŚCI DLA
WARTOŚCI OCZEKIWANEJ, GDY NIEZNANA JEST
WARIANCJA (DUŻA PRÓBA N>120)

W tym przypadku estymator ma
rozkład normalny. Przedział ufności
wyznaczamy ze wzoru, w którym w
miejsce nieznanego odchylenia
standardowego w populacji



wstawiamy oszacowaną z próby
wartość S:

29



















n

S

u

x

n

S

u

x







;

METODY PROGNOZOWANIA 2011/2012

PRZYKŁAD 4

Dla ustalenia średniego wieku osób
korzystających z pomocy finansowej
Miejskiego Ośrodka Pomocy Społecznej
w Tychach wylosowano niezależnie do
próby 40 osób i uzyskano wyniki:
średnia 44 lata oraz odchylenie
standardowe s=11,58
Określ dla współczynnika ufności 0,9
średnią wieku osób korzystających z
pomocy finansowej MOPS w Tychach.

30

METODY PROGNOZOWANIA 2011/2012

PRZYKŁAD 4 - ROZWIĄZANIE

METODY PROGNOZOWANIA 2010/2011

31

PRZEDZIAŁ UFNOŚCI DLA ODCHYLENIA
STANDARDOWEGO

Jeżeli posiadamy dużą próbę losową, to
przedział ufności dla nieznanej wartości
odchylenia standardowego wyznaczamy
za pomocą wzoru:

gdzie odczytujemy z tablic rozkładu
normalnego dla przyjętego poziomu
ufności 1-



, aby spełniona była relacja:

32











































1

2

1

2

1

n

u

S

n

u

S

P

u



 

2

1









 u

METODY PROGNOZOWANIA 2011/2012

PRZEDZIAŁ UFNOŚCI DLA ODCHYLENIA
STANDARDOWEGO

Przedziałem ufności dla parametru



jest przedział:

który z prawdopodobieństwem 1-



pokrywa nieznana wartość
parametru



33































n

u

S

n

u

S

2

1

;

2

1







METODY PROGNOZOWANIA 2011/2012

WERYFIKACJA HIPOTEZ

STATYSTYCZNYCH

METODY PROGNOZOWANIA wykład 1

34

WPROWADZENIE

Weryfikacja hipotez statystycznych ma

na celu sprawdzenie sformułowanych

hipotez statystycznych, czyli podjęcie

określonych decyzji statystycznych.
Hipotezy dzielimy na dwie grupy:

•

hipotezy parametryczne, tzn. sądy

dotyczące parametrów rozkładu cechy

w populacji generalnej,

•

hipotezy nieparametryczne, tzn.

sądy dotyczące kształtu rozkładu

populacji generalnej.

35

METODY PROGNOZOWANIA 2011/2012

WPROWADZENIE

Procedura weryfikacji hipotez

statystycznych opiera się zawsze na dwóch

hipotezach: zerowej i alternatywnej.
Hipoteza zerowa (H

0

) jest podstawową

hipotezą statystyczną, która jest

przedmiotem weryfikacji, tzn. proces

weryfikacji może doprowadzić do jej

odrzucenia bądź do stwierdzenia, że nie ma

podstaw, by ją odrzucić. Hipoteza ta jest

formułowana w taki sposób (czasem wbrew

rozsądkowi), aby można ją było łatwo

odrzucić.

36

METODY PROGNOZOWANIA 2011/2012

WPROWADZENIE

Hipoteza alternatywna (H

1

) to

hipoteza konkurencyjna w stosunku
do hipotezy zerowej. Jest ona
formułowana jako przypuszczenie,
że rozkład nie posiada własności
określonej w hipotezie zerowej
(posiada ją w innym wariancie).

37

METODY PROGNOZOWANIA 2011/2012

WPROWADZENIE

•

Jeżeli hipoteza zerowa jest parametryczna, to

hipotezę alternatywną można sformułować
dwustronnie (tzn. „jest różne”), prawostronnie
(tzn. „jest większe od”) lub lewostronnie (tzn. „jest
mniejsze od”), przy czym sposób formułowania
hipotezy zależy nie tylko od celu badania, ale
również od rodzaju informacji statystycznych
uzyskanych z próby losowej,

•

Jeżeli hipoteza zerowa jest nieparametryczna, to

hipoteza alternatywna jest formułowana wyłącznie
w postaci „jest różne” (wówczas nie ma problemu
odmiennego podejścia do weryfikacji hipotezy
zerowej).

38

METODY PROGNOZOWANIA 2011/2012

RODZAJE TESTÓW
STATYSTYCZNYCH

Hipotezy statystyczne weryfikuje się za
pomocą testów statystycznych, przy
czym w zależności od rodzaju hipotezy
rozróżniane są testy:

•

parametryczne (służą do weryfikacji

hipotez parametrycznych);

•

nieparametryczne (m.in. testy

zgodności, testy losowości - służą do
weryfikacji hipotez
nieparametrycznych).

39

METODY PROGNOZOWANIA 2011/2012

BŁĘDY POPEŁNIANE PRZY WERYFIKACJI HIPOTEZ
STATYSTYCZNYCH

40

METODY PROGNOZOWANIA 2011/2012

BŁĘDY POPEŁNIANE PRZY WERYFIKACJI HIPOTEZ
STATYSTYCZNYCH

Prawdopodobieństwo popełnienia błędu
I  rodzaju 



ustalone jest z góry jako

dowolnie niskie prawdopodobieństwo
odrzucenia prawdziwej hipotezy zerowej
i nazwane jest poziomem istotności.
W naukach technicznych
prawdopodobieństwo błędu I  rodzaju
przyjmuje się zazwyczaj z przedziału
<0,001;0,1>, przy czym najczęściej
=0,05.

41

METODY PROGNOZOWANIA 2011/2012

BŁĘDY POPEŁNIANE PRZY WERYFIKACJI HIPOTEZ
STATYSTYCZNYCH

Wartość p jest to minimalna wartość
poziomu istotności, dla którego może
być odrzucona hipoteza H

0

na

podstawie wyników próby. Zatem H

0

odrzucamy, gdy .
Programy statystyczne zazwyczaj
wyznaczają p
(p-value) wraz z innymi wynikami
testu statystycznego.

42





p

METODY PROGNOZOWANIA 2011/2012

ETAPY WERYFIKACJI HIPOTEZ
STATYSTYCZNYCH

W procesie weryfikacji hipotez statystycznych

można wyróżnić kilka etapów:

•

sformułowanie hipotezy zerowej (H

0

) oraz

hipotezy alternatywnej (H

1

) (jednej lub kilku),

•

wybór testu statystycznego służącego do

weryfikacji hipotezy zerowej,

•

wyznaczenie wartości sprawdzianu testu,

•

ustalenie poziomu istotności (1-) oraz

wyznaczenie obszaru odrzucenia hipotezy

zerowej,

•

podjęcie decyzji z określonym

prawdopodobieństwem błędu.

43

METODY PROGNOZOWANIA 2011/2012

Test statystyczny to reguła postępowania,

która na podstawie wyników z próby ma

doprowadzić do odrzucenia - lub nie -

postawionej hipotezy statystycznej.

Najczęściej używanymi w praktyce są tzw. testy

istotności, które umożliwiają odrzucenie

hipotezy z ryzykiem równym poziomowi

istotności



, bez uwzględniania

prawdopodobieństwa popełnienia błędu drugiego

rodzaju. Stosując testy istotności podejmuje się

decyzję odnośnie do odrzucenia hipotezy zerowej

na rzecz hipotezy alternatywnej, albo decyzję o

braku podstaw do odrzucenia hipotezy zerowej,

co nie jest równoznaczne z jej przyjęciem.

44

METODY PROGNOZOWANIA 2011/2012

OBSZAR ODRZUCENIA HIPOTEZY
ZEROWEJ

Obustronny (dwustronny) obszar
odrzucenia hipotezy, który jest
budowany, gdy H

1

jest stawiana

dwustronnie, to zbiór wszystkich wartości
zmiennej losowej u takich, że
gdzie
- wartość krytyczna odczytana z tablic
dla ustalonego z góry poziomu istotności
 taka, że
.

45



u

u 



u











u

u

P

METODY PROGNOZOWANIA 2011/2012

OBSZAR ODRZUCENIA HIPOTEZY
ZEROWEJ

Jednostronny obszar odrzucenia

hipotezy (jest budowany, gdy H

1

jest

stawiana jednostronnie) to zbiór wszystkich

wartości zmiennej losowej u taka, że
(prawostronny obszar odrzucenia)

lub
(lewostronny obszar odrzucenia),

gdzie
- wartości krytyczne dla z góry

zadanego poziomu istotności  takie, że dla

prawostronnego lub dla lewostronnego

obszaru odrzucenia .

46

1

u

u 

2

u

u 

2

1

,u

u

METODY PROGNOZOWANIA 2011/2012

Mocą testu nazywamy
prawdopodobieństwo podjęcia słusznej
decyzji, polegającej na odrzuceniu
weryfikowanej hipotezy wtedy, gdy jest
ona fałszywa. Wyznacza się ją jako
M=1-



gdzie



 - prawdopodobieństwo

popełnienia błędu II rodzaju.

47

METODY PROGNOZOWANIA 2011/2012

TESTY PARAMETRYCZNE

Weryfikacja hipotez może dotyczyć:

•

jednej populacji generalnej -

sprawdzenie, czy parametr ma
określoną wartość,

•

dwóch lub więcej zbiorowości -

weryfikacja hipotezy o równości
parametru w obu zbiorowościach.

48

METODY PROGNOZOWANIA 2011/2012

Testy weryfikujące hipotezę o wartości
oczekiwanej w populacji

Przypadek I. Populacja o rozkładzie
normalnym ze znanym
Z populacji losujemy n-elementową
próbę. Jeżeli populacja ma rozkład N(



,),

przy czym odchylenie standardowe
populacji jest znane, to test istotności
dla hipotezy H

0

:



=



0 polega na

podjęciu decyzji w oparciu
o wyznaczoną wartość sprawdzianu
testu:

49

n

x

u





0





METODY PROGNOZOWANIA 2011/2012

Testy weryfikujące hipotezę o wartości
oczekiwanej w populacji

gdzie:
- średnia arytmetyczna wyznaczona
z próby,


0

- z góry określona wartość średniej w

populacji,
- odchylenie standardowe dla populacji,
n - liczebność próby.
Statystyka ta przy założeniu prawdziwości
hipotezy H

0

ma rozkład normalny N(0,1).

50

x



METODY PROGNOZOWANIA 2011/2012

WARIANT 1.

51

METODY PROGNOZOWANIA 2011/2012

WARIANT 2

52

METODY PROGNOZOWANIA 2011/2012

WARIANT 3

53

PRZYKŁAD 5

W stołówce studenckiej przeprowadzono
wyrywkową kontrolę masy porcji obiadowej
mięsa, która nominalnie powinna wynosić 120
g. Losowo wybrano a następnie zważono 100
porcji, uzyskując informację średnia=118,8
oraz odchylenie standardowe= 3,9.
Na poziomie istotności =0,05 sprawdzić

hipotezę, że studenci w badanej stołówce są
żywieni zgodnie z recepturą. Zakłada się, że
rozkład masy porcji mięsa w całej populacji
jest rozkładem normalnym.

54

METODY PROGNOZOWANIA 2011/2012

PRZYKŁAD 5 - ROZWIĄZANIE

Dane:
=0,05

S=3,9
Stawiamy hipotezy:
H

0

:



= 120 (Studenci są żywieni

zgodnie z recepturą)
H

0

:





120 (Studenci nie są żywieni

zgodnie z recepturą)

55

8

,

118



x

METODY PROGNOZOWANIA 2011/2012

PRZYKŁAD 5 - ROZWIĄZANIE

Obliczamy wartość statystyki u

Ponieważ hipoteza alternatywna jest
postaci:





0

mamy obustronny obszar krytyczny
W:

56

3,08

-

-

100

9

,

3

120

8

,

118







u

















;

;





u

u

W

METODY PROGNOZOWANIA 2011/2012

Ponieważ u W odrzucamy hipotezę zerową. Studenci nie są

żywienie zgodnie z recepturą.

57



PRZYKŁAD 5 - ROZWIĄZANIE

METODY PROGNOZOWANIA 2011/2012

Dziękuję za uwagę

58

METODY PROGNOZOWANIA 2011/2012