W

Y K Ł A D Y Z

M

E C H A N I K I

B

U D O W L I

U

KŁADY PRZESTRZENNE

, M

ETODA PRZEMIESZCZEŃ

Politechnika Poznańska® Kopacz,

Łodygowski, Pawłowski, Płotkowiak, Tymper

1

Olga Kopacz, Adam Łodygowski, Krzysztof Tymper,

Michał Płotkowiak, Wojciech Pawłowski

Konsultacje naukowe: prof. dr hab. J

ERZY

R

AKOWSKI

Poznań 2002/2003

MECHANIKA BUDOWLI 2

1. UKŁADY PRZESTRZENNE

O przestrzenności nie świadczy tylko geometria ale również sposób obciążenia. Układy
przestrzenne wykazują trójwymiarowy stan przemieszczeń.
Na rys.1 pokazane są dodatnie zwroty sił. Należy zwrócić szczególną uwagę na
płaszczyznę przecięcia pręta (dodatnia lub ujemna), która determinuje zwroty dodatnich
sił.

T

yz

N

y

T

yx

Rys. 1

W

Y K Ł A D Y Z

M

E C H A N I K I

B

U D O W L I

U

KŁADY PRZESTRZENNE

, M

ETODA PRZEMIESZCZEŃ

Politechnika Poznańska® Kopacz,

Łodygowski, Pawłowski, Płotkowiak, Tymper

2

Na rys.2 pokazane są dodatnie zwroty momentów

M

1

M

2

(skręcający)

M

3

Rys. 2

Dla przeciętego pręta w dowolnym miejscu muszą być spełnione równania równowagi

0

0

0

3

2

1

=

=

=

∑

∑

∑

P

P

P

0

0

0

0

0

0

2

1

1

2

3

1

3

3

1

2

3

2

2

3

1

=

⋅

−

⋅

→

=

=

⋅

−

⋅

→

=

=

⋅

−

⋅

→

=

∑

∑

∑

x

P

x

P

M

x

P

x

P

M

x

P

x

P

M

(2.1)

























⋅

+

⋅

+

⋅

+

+

⋅

⋅

+

⋅

=

∫

∫

∫

∫

∫

∫

∑

ds

GA

T

T

ds

GA

T

T

ds

EA

N

N

ds

GI

M

M

ds

EJ

M

M

ds

EJ

M

M

k

i

S

k

i

S

k

i

S

s

k

i

S

k

i

S

k

i

S

ik

3

3

3

1

1

1

2

2

3

3

3

1

1

1

κ

κ

δ

(2.2)

Gdzie
GI

s

- parametr charakteryzujący sztywność na skręcanie,

W

Y K Ł A D Y Z

M

E C H A N I K I

B

U D O W L I

U

KŁADY PRZESTRZENNE

, M

ETODA PRZEMIESZCZEŃ

Politechnika Poznańska® Kopacz,

Łodygowski, Pawłowski, Płotkowiak, Tymper

3

Sztywność na skręcenia
W zależności od kształtownika i rodzaju materiału z jakiego został on wykonany,
określa się sztywność na zginanie.

(

)

ν

+

⋅

=

1

2

E

G

(2.3)

G

- moduł Kirchhoffa

Dla prostokąta:

3

b

h

k

I

S

⋅

⋅

=

(2.4)

Gdzie:
k

- współczynnik zależny od stosunku wysokości do szerokości prostokąta

h/b

1,0

2,0

3,0

∞

B < h

k

0,1406

0,228

0,2633

0,333

Przy czym jako wysokość (h) rozumie się dłuższy bok prostokąta
Dla koła:

0

I

I

S

=

(2.5)

Dla kształtowników:

3

3

1

i

i

i

S

b

h

I

⋅

⋅

⋅

=

∑

η

(2.6)

Gdzie h i b to wymiary półek i środników traktowanych jako prostokąty
Współczynnik

η

jest zależny od kształtu elementu:

kątownik

dwuteownik

ceownik

teownik

η

1

1,2

1,12

1,15

Zamknięty obszar cienkościenny:

s

I

S

δ

ϖ ⋅

⋅

=

2

4

(2.7)

Gdzie:

ϖ

- pole powierzchni zawarte w
obrębie linii środkowej

s

- obwód linii środkowej

δ

- grubość (stała lub średnia)

S

W

Y K Ł A D Y Z

M

E C H A N I K I

B

U D O W L I

U

KŁADY PRZESTRZENNE

, M

ETODA PRZEMIESZCZEŃ

Politechnika Poznańska® Kopacz,

Łodygowski, Pawłowski, Płotkowiak, Tymper

4

2. METODA PRZEMIESZCZEŃ

Starając się zrozumieć istotę metody przemieszczeń, najwygodniej jest ją

przedstawić za pomocą analogii do metody sił, którą już poznaliśmy i przy użyciu
której jesteśmy wstanie policzyć przemieszczenia i rozkład sił układów statycznie
niewyznaczalnych.

Metoda przemieszczeń

Metoda sił

1

niewiadomymi wielkościami są
przemieszczenia węzłów

niewiadome są nadliczbowe siły

2

Ułożone równania kanoniczne
metody przemieszczeń są
równaniami równowagi (w ramach
prostych- równania równowagi
węzłów)

Ułożone równania kanoniczne
metody sił są równaniami
przemieszczeń

3

W metodzie przemieszczeń o liczbie
niewiadomych decyduje liczba
niezależnych obrotów i przesuwów

O liczbie niewiadomych metody sił
decyduje stopień statycznej
niewyznaczalności określony przez
liczbę podpór i tarcz

Rozpatrzmy ramę płaską (rys.3) składającą się z prętów połączonych węzłami,

które traktować będziemy jako tarcze doskonale sztywne.

Rys. 3

Rama obciążona jest dowolnymi siłami skupionymi lub obciążeniem ciągłym. Pod
wpływem obciążeń układ odkształci się; w prętach powstanie stan naprężenia, którego
składowymi uogólnionymi są M, T, N.

Pod wpływem przemieszczenia pręty podlegają deformacji a węzły doznają

przemieszczeń. Stan przemieszczenia węzła charakteryzują trzy wielkości: kąt obrotu
węzła

ϕ

oraz składowe przemieszczenia węzła: pionowa (v) i pozioma (u).

W

Y K Ł A D Y Z

M

E C H A N I K I

B

U D O W L I

U

KŁADY PRZESTRZENNE

, M

ETODA PRZEMIESZCZEŃ

Politechnika Poznańska® Kopacz,

Łodygowski, Pawłowski, Płotkowiak, Tymper

5

Ważne: w sformułowaniu metody przemieszczeń nie będziemy uwzględniać skracania i
wydłużania się prętów pod wpływem działania obciążenia.
Posługiwać się będziemy pojęciami:
Węzeł swobodny- taki, który pod wpływem obciążenia układu może doznać
przemieszczenia (u lub v).
Węzeł skrępowany- (np. podporowe) węzły są utwierdzone- kąt obrotu i przesunięcie
równe 0.

Przyjmijmy składowe stanu przemieszczenia węzła za wielkości niewiadome.
Gdybyśmy znali przemieszczenia węzłów, moglibyśmy wyznaczyć wielkości

statyczne w prętach. Można bowiem traktować każdy pręt oddzielnie jako poddany
działaniu obciążenia zewnętrznego oraz działaniu znanych przesunięć i obrotów jego
przekrojów przywęzłowych. Zadanie to, przy użyciu metody sił, da się obliczyć dla
każdego pręta.

Rozpatrując układ ramowy (rys.3) załóżmy, że wszystkie składowe stanu

przemieszczenia węzłów swobodnych są równe zeru. Otrzymamy wówczas układ
prętów na obu końcach utwierdzonych. Obciążenie jednego pręta wywołuje wtedy stan
naprężenia tylko w tym pręcie. Składowe stanu przemieszczenia przekrojów
przywęzłowych są równe zeru. Wielkości statyczne w dowolnym pręcie możemy
wyznaczyć przy użyciu metody sił, traktując każdy z prętów jako oddzielny układ
trzykrotnie statycznie niewyznaczalny.

Przykład:

l

ik

EI

ik

WĘZEŁ

Rys. 4

Złożenia:

I

I

l

l

ik

ik

=

=

(2.8)

W

Y K Ł A D Y Z

M

E C H A N I K I

B

U D O W L I

U

KŁADY PRZESTRZENNE

, M

ETODA PRZEMIESZCZEŃ

Politechnika Poznańska® Kopacz,

Łodygowski, Pawłowski, Płotkowiak, Tymper

6

Wymuszamy obroty podpory węzła „i” i „k” zgodnie z rys. 5

Fi

i

Fi

k

Fi

i

psi (ik)

Fi

k

psi(

ik)

Rys. 5

Gdzie:
Psi (ik) -

ik

ψ

Fi

-

i

ϕ

Zgodnie z metodą sił, gdy występuje wymuszony obrót (osiadanie) można zapisać układ
równań kanonicznych:







=

∆

+

⋅

+

⋅

=

∆

+

⋅

+

⋅

∆

∆

0

0

2

2

22

1

21

1

2

12

1

11

X

X

X

X

δ

δ

δ

δ

(2.9)

Zgodnie z metodą sił rozwiązujemy układ równań.
Wykresy jednostkowe do obliczenia przemieszczeń

δ

(rys.6)

W

Y K Ł A D Y Z

M

E C H A N I K I

B

U D O W L I

U

KŁADY PRZESTRZENNE

, M

ETODA PRZEMIESZCZEŃ

Politechnika Poznańska® Kopacz,

Łodygowski, Pawłowski, Płotkowiak, Tymper

7

M

1

M

2

1

l

1

l

1

l

1

l

Rys. 6

Obliczenia przemieszczeń w miejscach sił jedynkowych:

EI

l

ds

EI

M

M

EI

l

ds

EI

M

M

EI

l

ds

EI

M

M

6

3

3

2

1

12

2

2

22

1

1

11

−

=

⋅

=

=

⋅

=

=

⋅

=

∫

∫

∫

δ

δ

δ

(2.10)

Obliczenia od osiadania:

(

)

ik

ik

i

i

k

i

k

i

i

l

V

V

V

l

V

l

R

ψ

ϕ

ψ

ϕ

ϕ

ϕ

+

−

=

∆

+

−

=

−

+

−

=

⋅

+

⋅

−

−

=

∆

∆

+

∆

−

=

∆

∆

∆

∆

∑

1

2

1

1

1

1

1

1

(2.11)

Podstawiając wyznaczone wielkości do układu równań i po rozwiązaniu go otrzymamy:

(

)

(

)

ik

i

k

ki

ik

k

i

ik

l

EI

M

X

l

EI

M

X

ψ

ϕ

ϕ

ψ

ϕ

ϕ

⋅

−

+

⋅

⋅

=

=

⋅

−

+

⋅

⋅

=

=

3

2

2

3

2

2

2

1

(2.12)

W

Y K Ł A D Y Z

M

E C H A N I K I

B

U D O W L I

U

KŁADY PRZESTRZENNE

, M

ETODA PRZEMIESZCZEŃ

Politechnika Poznańska® Kopacz,

Łodygowski, Pawłowski, Płotkowiak, Tymper

8

Otrzymane w ten sposób zależności są WZORAMI TRANSFORMACYJNYMI
metody przemieszczeń, gdzie

M

ik

jest przęsłowym momentem przywęzłowym

(rys.7)

.

ik

Rys. 7

Wzory transformacyjne: określają zależności między przęsłowymi przywęzłowymi
siłami wewnętrznymi a wymuszonymi przemieszczeniami podpór węzłowych.

Korzystając z zależności (2.7) można łatwo wyprowadzić wzór na siły poprzeczne:

(

)

ik

k

i

ki

ik

l

EI

T

T

ψ

ϕ

ϕ

⋅

−

+

⋅

−

=

=

2

6

2

(2.13)

W podobny sposób można wyprowadzić zależności dla prętów: z przegubem z jednej
strony lub z podporą ślizgową.

WZORY TRANSFORMACYJNE DLA PRĘTÓW RÓZNIE PODPARTYCH

1. Dla belki obustronnie utwierdzonej: rys.7, (2.9)

l

4EI

l

2EI

l

Rys. 7

(

)

(

)

(

)

ik

k

i

ki

ik

ik

i

k

ki

ik

k

i

ik

l

EI

T

T

l

EI

M

l

EI

M

ψ

ϕ

ϕ

ψ

ϕ

ϕ

ψ

ϕ

ϕ

⋅

−

+

⋅

−

=

=

⋅

−

+

⋅

⋅

=

⋅

−

+

⋅

⋅

=

2

6

3

2

2

3

2

2

2

(2.14)

W

Y K Ł A D Y Z

M

E C H A N I K I

B

U D O W L I

U

KŁADY PRZESTRZENNE

, M

ETODA PRZEMIESZCZEŃ

Politechnika Poznańska® Kopacz,

Łodygowski, Pawłowski, Płotkowiak, Tymper

9

2. Dla belki z przegubem na jednym końcu: rys.8, (2.10)

l

3EI

l

Rys. 8

(

)

(

)

ik

i

ki

ik

ki

ik

i

ik

l

EI

T

T

M

l

EI

M

ψ

ϕ

ψ

ϕ

−

⋅

−

=

=

=

−

⋅

=

2

3

0

3

(2.15)

3. Dla belki z podporą ślizgową na jednym końcu: rys.9, (2.11)

l

Rys. 9

(

)

(

)

0

=

=

−

⋅

=

−

⋅

=

ki

ik

i

k

ki

k

i

ik

T

T

l

EI

M

l

EI

M

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

(2.16)

W

Y K Ł A D Y Z

M

E C H A N I K I

B

U D O W L I

U

KŁADY PRZESTRZENNE

, M

ETODA PRZEMIESZCZEŃ

Politechnika Poznańska® Kopacz,

Łodygowski, Pawłowski, Płotkowiak, Tymper

10

Podczas obliczeń metodą przemieszczeń wykorzystuje się również wykresy momentów
dla obciążeń zewnętrznych. Oto kilka charakterystycznych przypadków:

1. Obciążenie ciągłe dla pręta utwierdzonego:

l

M

q

M

Rys. 10

12

2

ql

M

ik

−

=

12

2

ql

M

ki

=

24

2

max

ql

M

=

(2.17)

2. Obciążenie ciągłe dla pręta przegubowego:

l

M

Rys. 11

8

2

ql

M

ik

−

=

0

=

ki

M

128

9

2

max

l

q

M

⋅

⋅

=

(2.18)

W

Y K Ł A D Y Z

M

E C H A N I K I

B

U D O W L I

U

KŁADY PRZESTRZENNE

, M

ETODA PRZEMIESZCZEŃ

Politechnika Poznańska® Kopacz,

Łodygowski, Pawłowski, Płotkowiak, Tymper

11

3. Obciążenie skupione dla pręta utwierdzonego:

l

2

l

2

M

P

M

Rys. 12

8

Pl

M

ik

−

=

8

Pl

M

ki

=

8

max

Pl

M

=

(2.19)

4. Obciążenie skupione dla pręta przegubowego:

l

2

l

2

M

Rys. 13

Pl

M

ik

⋅

−

=

16

3

0

=

ki

M

Pl

M

⋅

=

32

5

max

(2.20)

W

Y K Ł A D Y Z

M

E C H A N I K I

B

U D O W L I

U

KŁADY PRZESTRZENNE

, M

ETODA PRZEMIESZCZEŃ

Politechnika Poznańska® Kopacz,

Łodygowski, Pawłowski, Płotkowiak, Tymper

12

5. Obciążenie skupione dla pręta przegubowego:

l

2

M

l

2

M

M

Rys. 13

4

M

M

ik

−

=

4

M

M

ki

−

=

(2.21)

l

2

l

2

M

M

8

M

M

ik

−

=

0

=

ki

M

(2.22)

W

Y K Ł A D Y Z

M

E C H A N I K I

B

U D O W L I

U

KŁADY PRZESTRZENNE

, M

ETODA PRZEMIESZCZEŃ

Politechnika Poznańska® Kopacz,

Łodygowski, Pawłowski, Płotkowiak, Tymper

13

PRZYKŁAD

Zadaną belkę (rys.14) rozwiązać metodą przemieszczeń

4

6

P=16kN

q=4kN/m

Rys. 13

Zgodnie z założeniami należy zablokować możliwe przesuwy. W tym przypadku będzie
to kąt obrotu na pośredniej podporze:

4

6

P=16kN

q=4kN/m

Rys. 14

Zapisujemy równanie z jednym przesuwem:

{

0

1

1

11

=

+

⋅

P

R

r

ϕ

(2.23)

Korzystając ze wzorów transformacyjnych rysujemy wykres momentów na
poszczególnych prętach (składnikach belki):

4

6

P=16kN

q=4kN/m

A

B

C

Rys. 14

Część belki AB to pręt obustronnie utwierdzony. Część BC to pręt utwierdzony w pkt. B
i z podporą w pkt. C. Wykorzystując wzory transformacyjne (2.9 i 2.10) można zapisać:

W

Y K Ł A D Y Z

M

E C H A N I K I

B

U D O W L I

U

KŁADY PRZESTRZENNE

, M

ETODA PRZEMIESZCZEŃ

Politechnika Poznańska® Kopacz,

Łodygowski, Pawłowski, Płotkowiak, Tymper

14

Dla pręta AB:

(

)

(

)

EI

l

EI

M

EI

l

EI

M

przesuwu

brak

u

AB

A

B

BA

AB

B

A

AB

B

A

=

⋅

−

+

⋅

⋅

=

=

⋅

−

+

⋅

⋅

=

−

=

=

ψ

ϕ

ϕ

ψ

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

3

2

2

4

2

3

2

2

1

0

(2.24)

Dla pręta BC:

(

)

0

6

3

3

0

1

=

=

−

⋅

=

−

=

=

CB

BC

B

BC

C

B

M

EI

l

EI

M

przesuwu

brak

u

ψ

ϕ

ϕ

ϕ

(2.25)

Po obliczeniu momentów rysuję wykres:

1

2

EI

1

2

EI

EI

Rys. 15

Z równowagi węzła można wyznaczyć r

11

:

EI

1

2

EI

11

Rys. 16

Zgodnie z zależnościami (2.12 – 2.15) można narysować wykresy momentów od sił
zewnętrznych:

W

Y K Ł A D Y Z

M

E C H A N I K I

B

U D O W L I

U

KŁADY PRZESTRZENNE

, M

ETODA PRZEMIESZCZEŃ

Politechnika Poznańska® Kopacz,

Łodygowski, Pawłowski, Płotkowiak, Tymper

15

-18kNm

-8kNm

-8kNm

Rys. 17

Z równowagi węzła można wyznaczyć R

1p

:

18

8

R1p=-10[kNm]

Rys. 18

Obliczone wartości podstawia się do układu równań:

{

EI

EI

R

r

P

⋅

=

=

−

⋅

=

+

⋅

3

20

0

10

5

,

1

0

1

1

1

1

11

ϕ

ϕ

ϕ

(2.26)

Korzystając ze wzoru superpozycyjnego lub ponownie podstawiając do wzorów
transformacyjnych (z obliczonym kątem obrotu) obliczyć można końcowy wykres
momentów:

[ ]

[ ]

[ ]

kNm

EI

EI

BC

kNm

EI

EI

kNm

EI

EI

AB

M

M

M

M

n

3

44

3

20

2

1

18

3

44

3

20

8

3

14

3

20

2

1

8

...

1

1

0

−

=

⋅

⋅

+

−

−

=

⋅

⋅

−

−

−

=

⋅

⋅

+

−

+

⋅

+

⋅

+

=

ϕ

ϕ

(2.27)

W

Y K Ł A D Y Z

M

E C H A N I K I

B

U D O W L I

U

KŁADY PRZESTRZENNE

, M

ETODA PRZEMIESZCZEŃ

Politechnika Poznańska® Kopacz,

Łodygowski, Pawłowski, Płotkowiak, Tymper

16

Znając wszystkie wartości można wykreślić wykres momentów M

n

:

14

3

kNm

44

3

kNm

Rys. 18