Wykład 6
Modele wielorównaniowe
METODY PROGNOZOWANIA Wykład 6
1
Wykład 6
Modele wielorównaniowe
METODY PROGNOZOWANIA Wykład 6
1
Formalny zapis modelu
Liczba równań występujących w modelu
jest jednym z kryteriów klasyfikacji modeli
ekonometrycznych. Wyróżnia się m.in
modele jednorównaniowe i modele
wielorównaniowe.
W wielorównaniowym modelu opisowym,
liczba równań odpowiada liczbie kategorii
ekonomicznych, które chcemy objaśnić, aby
opisać pewien mechanizm gospodarczy.
2
METODY PROGNOZOWANIA Wykład 6
Rodzaje zmiennych
Zmienne, odpowiadające tym kategoriom
ekonomicznym nazywa się zmiennymi
endogenicznymi. Model wielorównaniowy
jest tak konstruowany, aby każde równanie
objaśniało jedną zmienną endogeniczną.
Zmienne występujące w modelu wyłącznie
w charakterze zmiennych objaśniających
nazywa się zmiennymi egzogenicznymi.
W modelu mogą także występować, jako
zmienne objaśniające, zmienne
endogeniczne opóźnione:
3
METODY PROGNOZOWANIA Wykład 6
Rodzaje zmiennych
Zmienne endogeniczne opóźnione i
zmienne egzogeniczne nazywa się
zmiennymi o wartościach z góry
ustalonych. Zmienne endogeniczne
nieopóźnione oznaczamy zazwyczaj
symbolami: , (dla zmiennych
opóźnionych stosujemy zapis: np.
), zmienne egzogeniczne symbolami:
, zaś zmienne o wartościach z góry
ustalonych najczęściej zapisujemy jako
METODY PROGNOZOWANIA Wykład 6
4
,
,
2
1
t
t
Y
Y
,
,
2
,
1
,
t
i
t
i
Y
Y
,
,
2
1
t
t
X
X
,
,
2
1
t
t
Z
Z
Formalny opis modelu
Postacie analityczne poszczególnych
równań modelu mogą być liniowe bądź
nieliniowe. Szczegółowo omówione zostaną
tylko liniowe modele wielorównaniowe,
gdyż ta klasa modeli jest najczęściej
stosowana w analizach ekonometrycznych.
W modelach wielorównaniowych wyróżnia
się równania stochastyczne oraz
tożsamości (są to równości definiujące
określone zmienne lub relacje)
METODY PROGNOZOWANIA Wykład 6
5
Postać strukturalna liniowego
modelu wielorównaniowego
Liniowy, wielorównaniowy model opisowy objaśniający G -
zmiennych endogenicznych: przy pomocy H –
zmiennych o wartościach z góry ustalonych
zapisuje się jako:
(1)
Dla
METODY PROGNOZOWANIA Wykład 6
6
Gt
t
t
Y
Y
Y
,
,
,
2
1
Ht
t
t
Z
Z
Z
,
,
,
2
1
Gt
G
Ht
GH
t
G
t
G
t
G
G
G
t
G
t
G
Gt
t
Ht
H
t
t
Gt
G
t
t
t
t
Ht
H
t
t
Gt
G
t
t
t
Z
Z
Z
Y
Y
Y
Y
Z
Z
Z
Y
Y
Y
Y
Z
Z
Z
Y
Y
Y
Y
0
2
2
1
1
,1
1
,
2
2
1
1
2
20
2
2
22
1
21
2
3
23
1
21
2
1
10
1
2
12
1
11
1
3
13
2
12
1
n
t
,
,
2
,
1
Postać strukturalna liniowego
modelu wielorównaniowego
Postać modelu wielorównaniowego dana wzorem
(1) nosi nazwę postaci strukturalnej modelu
wielorównaniowego. Cechą charakterystyczną
dla tego zapisu jest to, iż w i-tym równaniu
zmienną objaśnianą jest zmienna endogeniczna ,
pozostałe zmienne (endogeniczne i egzogeniczne
mogą w tym równaniu wystąpić jedynie w
charakterze zmiennych objaśniających.
Zapis modelu wielorównaniowego w postaci (1)
jest niewygodny (zbyt duża liczba symboli które w
nim występują), dlatego najczęściej stosuje się
notację macierzową
METODY PROGNOZOWANIA Wykład 6
7
Zapis macierzowy postaci
strukturalnej modelu
METODY PROGNOZOWANIA Wykład 6
8
Gt
t
t
Y
Y
Y
t
2
1
)
(
Y
1
)
(
2
1
Ht
t
t
Z
Z
Z
t
Z
Gt
t
t
t
2
1
)
(
ε
1
1
1
3
2
1
2
23
21
1
13
12
G
G
G
G
G
A
1
1
1
3
2
1
2
23
22
21
1
13
12
11
GH
G
G
G
H
H
Γ
Zapis macierzowy postaci
strukturalnej modelu
Model (1), po przeniesieniu na lewe strony
równań składników zawierających zmienne
endogeniczne nieopóźnione można zapisać jako:
(2)
Dla
gdzie: A - macierz parametrów występujących
przy zmiennych endogenicznych
nieopóźnionych;
- macierzą parametrów występujących przy
zmiennych o wartościach z góry ustalonych;
- wektor składników losowych
METODY PROGNOZOWANIA Wykład 6
9
)
(
)
(
)
(
t
t
t
ε
Z
Γ
Y
A
n
t
,
,
2
,
1
Γ
)
(t
ε
Uwaga
w macierzy A, kwadratowej stopnia G,
elementy głównej przekątnej mają wartości
równe 1. Jest to warunek jednoznaczności
zapisu modelu wielorównaniowego (w i-
tym równaniu modelu zmienną objaśnianą
jest zmienna endogeniczna
METODY PROGNOZOWANIA Wykład 6
10
it
Y
Przykład 1 Żółtowska i inni
[2009]
prosty modelu rynku na produkty rolne.
Przyjmiemy, że popyt na produkty rolne ( )
w roku t zależy liniowo od ich ceny ( ) w
danym roku oraz dochodów konsumentów (
) w roku t i zmiennej losowej .
Pierwsze równanie modelu można zapisać
jako:
METODY PROGNOZOWANIA Wykład 6
11
t
C
t
P
t
Y
t
1
Przykład 1
prosty modelu rynku na produkty rolne.
Przyjmiemy, że popyt na produkty rolne ( )
w roku t zależy liniowo od ich ceny ( ) w
danym roku oraz dochodów konsumentów (
) w roku t i zmiennej losowej .
Pierwsze równanie modelu można zapisać
jako:
(P1)
METODY PROGNOZOWANIA Wykład 6
12
t
C
t
P
t
Y
t
1
t
t
t
t
Y
P
C
1
10
11
11
Przykład 1
Załóżmy, że podaż produktów rolnych ( -
produkcja rolnictwa) zależy w sposób
liniowy od: ceny ( ) uzyskanej w roku
poprzednim, jednostkowych kosztów
produkcji ( ) oraz zmiennej ( )
określającej ilość opadów i zmiennej
losowej .
METODY PROGNOZOWANIA Wykład 6
13
t
Q
1
t
P
t
K
t
W
t
2
Przykład 1
Załóżmy, że podaż produktów rolnych ( -
produkcja rolnictwa) zależy w sposób
liniowy od: ceny ( ) uzyskanej w roku
poprzednim, jednostkowych kosztów
produkcji ( ) oraz zmiennej ( )
określającej ilość opadów i zmiennej
losowej .
Drugie równanie- równanie podaży ma
postać:
(P2)
METODY PROGNOZOWANIA Wykład 6
14
t
Q
1
t
P
t
K
t
W
t
2
t
t
t
t
t
W
K
P
Q
2
20
23
22
1
21
Przykład 1
Cena produktów rolnych ( ) w danym roku
zależy od ceny z roku poprzedniego ( ) i
zapasów ( ) oraz zmiennej losowej ,
stąd mamy:
METODY PROGNOZOWANIA Wykład 6
15
t
P
1
t
P
t
R
t
3
Przykład 1
Cena produktów rolnych ( ) w danym roku
zależy od ceny z roku poprzedniego ( ) i
zapasów ( ) oraz zmiennej losowej , stąd
mamy:
(P3)
Zapas produktów rolnych w roku t jest równy
sumie zapasu z roku poprzedniego i produkcji
w roku t pomniejszonej o konsumpcję (popyt)
produktów rolnych w roku t:
(P4)
METODY PROGNOZOWANIA Wykład 6
16
t
P
1
t
P
t
R
t
3
t
t
t
t
P
R
P
3
30
1
31
31
t
t
t
t
C
Q
R
R
1
Przykład 1
Ostatecznie otrzymano model postaci:
Trzy pierwsze równania modelu zawierają składnik
losowy i nazywamy je równaniami
stochastycznymi, czwarte równanie jest
tożsamością. Zmiennym endogenicznym modelu
są: C, Q, P, R. W modelu występują także zmienne
endogeniczne opóźnione: , oraz zmienne
egzogeniczne: , , .
METODY PROGNOZOWANIA Wykład 6
17
t
t
t
t
Y
P
C
1
10
11
11
t
t
t
t
t
W
K
P
Q
2
20
23
22
1
21
t
t
t
t
P
R
P
3
30
1
31
31
t
t
t
t
C
Q
R
R
1
1
t
P
1
t
R
t
Y
t
K
t
W
Przykład 1
W modelu występuje 5 zmiennych z góry
ustalonych:
, , , , , .i zmienną (w
równaniach stochastycznych, w których
występuje wyraz wolny).
Tożsamość występującą w modelu można
wykorzystać do zredukowania liczy równań
modelu, po podstawieniu do trzeciego równania
, otrzymamy model zawierający tylko trzy
równania stochastyczne
(P5)
METODY PROGNOZOWANIA Wykład 6
18
1
t
P
1
t
R
t
Y
t
K
t
W
1
1
t
X
t
R
t
t
t
t
Y
P
C
1
10
11
11
t
t
t
t
t
W
K
P
Q
2
20
23
22
1
21
t
t
t
t
t
t
P
C
Q
R
P
3
30
1
31
1
31
)
(
,
(P.5)
Przykład 1
zmienne endogeniczne nieopóźnione mogą
w poszczególnych równaniach modelu
występować jako zmienne objaśniające, np.
zmienna w równaniu pierwszym oraz
zmienne i w równaniu trzecim. Model
(P.5) jest modelem liniowym i dynamicznym
(bo zawiera zmienne opóźnione).
Model (P5) w postaci macierzowej:
METODY PROGNOZOWANIA Wykład 6
19
t
P
t
Q
t
C
)
(
)
(
)
(
t
t
t
ε
Z
Γ
Y
A
Przykład 1
METODY PROGNOZOWANIA Wykład 6
20
Przykład 1
METODY PROGNOZOWANIA Wykład 6
21
t
t
t
P
Q
C
t)
(
Y
1
0
1
0
0
1
31
31
11
A
30
31
31
20
23
22
21
10
11
0
0
0
0
0
0
0
0
0
Γ
Model (P5) można wówczas zapisać jako:
METODY PROGNOZOWANIA Wykład 6
22
T
t
t
t
t
t
R
W
K
Y
P
t
1
)
(
1
1
Z
1
0
1
0
0
1
31
31
11
t
t
t
P
Q
C
t
t
t
t
t
t
t
t
R
W
K
Y
P
3
2
1
1
1
30
31
31
20
23
22
21
10
11
1
0
0
0
0
0
0
0
0
0
.
Typy modeli
wielorównaniowych
Występowanie odpowiedniej liczby zerowych
elementów w macierzy A powoduje, iż macierz ta
może mieć pewne szczególne własności. W teorii
liniowych modeli wielorównaniowych wyróżnia się
następujące przypadki:
macierz A jest macierzą jednostkową stopnia G
(A = I);
macierz A jest macierzą trójkątną (ale ) albo
można ją poprzez zmianę kolejności wierszy lub
kolumn do takiej sprowadzić;
macierz A nie jest macierzą trójkątną i nie można ją
poprzez zmianę kolejności wierszy lub kolumn
doprowadzić do macierzy trójkątnej
METODY PROGNOZOWANIA Wykład 6
23
I
A
Typy modeli
wielorównaniowych
Ze względu na własności macierzy A
liniowy model wielorównaniowy zalicza się
do jednego z trzech typów:
modeli prostych – gdy macierz A jest
macierzą jednostkową;
modeli rekurencyjnych - gdy macierz A jest
macierzą trójkątną lub sprowadzalną do
trójkątnej;
modeli o równaniach łącznie
współzależnych, gdy macierz A nie jest
macierzą trójkątną i nie można jej do trójkątnej
sprowadzić.
METODY PROGNOZOWANIA Wykład 6
24
Klasyfikacja modelu wielorównaniowego
przeprowadzana ze względu na własności
macierzy A może być kłopotliwa, zwłaszcza
wówczas, gdy macierz ma wysoki stopień.
Wygodniejsze jest wówczas wykorzystanie
elementów teorii grafów
METODY PROGNOZOWANIA Wykład 6
25
Dla modelu wielorównaniowego buduje się graf
powiązań między zmiennymi endogenicznymi
nieopóźnionymi. Wierzchołki grafu odpowiadają
zmiennym endogenicznym nieopóźnionym, na
rysunku grafu zaznaczamy je jako „kółka”. Związek
między zmiennymi endogenicznymi
nieopóźnionymi jest w grafie opisany przy pomocy
łuku, który ilustrujemy jako wektor. A dokładniej,
jeśli np. w pierwszym równaniu modelu zmienna
objaśniana zależy od zmiennej endogenicznej , to
grot wektora wychodzącego od jest skierowany do
- co ilustrujemy jako:
METODY PROGNOZOWANIA Wykład 6
26
t
Y
2
t
Y
1
model wielorównaniowy jest:
modelem prostym, jeśli graf nie zawiera ani
jednego łuku;
Modelem rekurencyjnym, jeśli graf zawiera co
najmniej jeden łuk, ale nie zawiera cyklu;
modelem o równaniach łącznie współzależnych,
jeśli graf zawiera przynajmniej jeden cykl.
Mówimy, że w grafie występuje cykl, jeśli
znajdziemy w nim taką „drogę” której początek
i koniec znajdują się w tym samym wierzchołku
grafu. np. .
METODY PROGNOZOWANIA Wykład 6
27
it
jt
it
Y
Y
Y
.
Przykład 2
Określić typ modelu wielorównaniowego
opisanego w Przykładzie 1.
Budując graf powiązań między zmiennymi
endogenicznymi nieopóźnionymi możemy
bezpośrednio skorzystać z postaci
początkowej modelu (po wykorzystaniu
występującej w modelu tożsamości), czyli z
postaci (P.5): modelu opisanego w
przykładzie 1
METODY PROGNOZOWANIA Wykład 6
28
t
t
t
t
Y
P
C
1
10
11
11
t
t
t
t
t
W
K
P
Q
2
20
23
22
1
21
t
t
t
t
t
t
P
C
Q
R
P
3
30
1
31
1
31
)
(
,
,
Przykład 2
METODY PROGNOZOWANIA Wykład 6
29
t
t
t
t
Y
P
C
1
10
11
11
t
t
t
t
t
W
K
P
Q
2
20
23
22
1
21
t
t
t
t
t
t
P
C
Q
R
P
3
30
1
31
1
31
)
(
t
C
t
Q
t
P
Graf ten zawiera cykl (taki krótki cykl
nazywamy sprzężeniem zwrotnym), zatem
omawiany model jest o równaniach łącznie
współzależnych.
Przykład 3
Sklasyfikować model
METODY PROGNOZOWANIA Wykład 6
30
t
t
t
t
t
t
t
t
t
t
t
t
z
y
y
z
y
z
y
y
y
3
2
32
2
32
3
2
1
21
2
1
1
11
3
13
2
11
1
Przykład 3
Sklasyfikować model
Model jest rekurencyjny
METODY PROGNOZOWANIA Wykład 6
31
t
t
t
t
t
t
t
t
t
t
t
t
z
y
y
z
y
z
y
y
y
3
2
32
2
32
3
2
1
21
2
1
1
11
3
13
2
11
1
Postać strukturalna i
zredukowana
zapis macierzowy postaci strukturalnej
modelu wielorównaniowego (2) opisany jest
jako:
METODY PROGNOZOWANIA Wykład 6
32
)
(
)
(
)
(
t
t
t
ε
Z
Γ
Y
A
Postać strukturalna i
zredukowana modelu
Postać strukturalna modelu w zapisie
macierzowym jest opisana wzorem (2)
(2)
Dla
gdzie: A - macierz parametrów występujących
przy zmiennych endogenicznych
nieopóźnionych;
- macierzą parametrów występujących przy
zmiennych o wartościach z góry ustalonych;
- wektor składników losowych
METODY PROGNOZOWANIA Wykład 6
33
)
(
)
(
)
(
t
t
t
ε
Z
Γ
Y
A
n
t
,
,
2
,
1
Γ
)
(t
ε
Postać strukturalna i postać
zredukowana modelu
Zwróćmy uwagę postać strukturalna modelu
dana wzorem (1) może być zapisana
w notacji macierzowej jako:
Parametrów strukturalnych dla
poszczególnych równań tego modelu nie
możemy estymować przy pomocy MNK,
ponieważ nie jest spełnione założenie
dotyczące nielosowości zmiennych
objaśniających.
METODY PROGNOZOWANIA Wykład 6
34
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
t
t
t
t
ε
Z
Γ
Y
A
I
Y
Wniosek
Jeżeli model wielorównaniowy nie jest modelem
prostym, to staramy się go sprowadzić do takiej
postaci, aby zmienne endogeniczne
nieopóźnione zapisać jako funkcje zmiennych o
wartościach z góry ustalonych
Zakładamy, że istnieje macierz i
mnożymy lewostronnie model, zapisany w
postaci (2), przez tę macierz, mamy:
Oznaczając przez:
dla
METODY PROGNOZOWANIA Wykład 6
35
1
A
)
(
)
(
)
(
1
1
1
t
t
t
ε
A
Z
Γ
A
Y
A
A
)
(
)
(
oraz
1
1
t
t
ε
A
η
Γ
A
D
I
A
A
1
Postać zredukowana modelu
wielorównaniowego
Postać modelu wielorównaniowego
zapisana jako
(4)
nazywana jest postacią zredukowaną
modelu wielorównaniowego
METODY PROGNOZOWANIA Wykład 6
36
)
(
)
(
)
(
t
t
t
η
Z
D
Y
Postać zredukowana modelu
wielorównaniowego
W równaniach postaci (4) zmiennymi
objaśniającymi są wyłącznie zmienne o
wartościach z góry ustalonych, czyli takie
których wartości w momencie t są znane i
możemy je traktować jako nielosowe. Z
tego wynika, że równania postaci (4) mogą
być estymowane metodą najmniejszych
kwadratów (oczywiście gdy spełnione są
także pozostałe założenia KMNK
METODY PROGNOZOWANIA Wykład 6
37
)
(
)
(
)
(
t
t
t
η
Z
D
Y
Jeśli model jest modelem rekurencyjnym,
czyli gdy macierz A jest macierzą trójkątną
(o elementach ), to zawsze istnieje macierz
do niej odwrotna, bo .
Jeśli macierz A nie jest macierzą trójkątną,
to musimy podać warunki dotyczące
nieznanych nam parametrów modelu, przy
których ta macierz jest nieosobliwa.
Oczywiście, po estymacji parametrów
modelu, musimy weryfikować hipotezy
dotyczące tych relacji
METODY PROGNOZOWANIA Wykład 6
38
0
1
det
A
Przykład 4
Wyznaczyć postać zredukowaną modelu
rynku na produkty rolne opisanego w
przykładzie 1.
METODY PROGNOZOWANIA Wykład 6
39
METODY PROGNOZOWANIA Wykład 6
40
METODY PROGNOZOWANIA Wykład 6
41
t
t
t
t
t
t
t
t
t
t
t
R
W
K
Y
P
d
d
d
d
d
d
d
d
d
d
d
d
d
d
d
d
d
d
P
Q
C
3
2
1
1
1
30
35
34
33
32
31
20
25
24
23
22
21
10
15
14
13
12
11
1
30
20
11
10
31
31
23
31
22
31
11
31
31
21
31
20
31
11
23
31
11
22
31
11
31
31
11
30
11
20
31
11
10
31
11
23
31
11
22
31
11
11
31
21
31
11
31
11
30
35
34
33
32
31
20
25
24
23
22
21
10
15
14
13
12
11
)
1
(
0
)
1
(
)
1
(
0
)
1
(
)
(
1
1
d
d
d
d
d
d
d
d
d
d
d
d
d
d
d
d
d
d
D
Postać zredukowaną modelu rynku na
produkty rolne (przy założeniu, że )
zapiszemy jako:
11
31
1
Gdzie:
METODY PROGNOZOWANIA Wykład 6
42
)
(
1
1
)
(
1
1
3
2
31
1
31
31
11
3
2
2
3
11
2
31
11
1
31
11
1
t
t
t
t
t
t
t
t
t
t
Identyfikowalność modelu
Dla każdego modelu ekonometrycznego
ważne jest to, by był on dobrze zbudowany
pod względem formalnym. To znaczy chcemy
odpowiedzieć na pytanie: Czy model jest
na tyle dobrze skonstruowany, aby
dysponując obserwacjami dla zmiennych
(endo- i egzogenicznych) występujących
w modelu potrafimy wyznaczyć oceny
parametrów tego modelu? Badanie
poprawności formalnej modelu nazywamy
identyfikacją modelu
METODY PROGNOZOWANIA Wykład 6
43
Identyfikowalność modelu
Dla modeli jednorównaniowych i
wielorównaniowych prostych problem
identyfikacji sprowadza się do sprawdzenia
warunku: , gdzie macierz X jest
macierzą obserwacji dla zmiennych
objaśniających. Warunek ten oznacza, że
liczba parametrów modelu musi być
mniejsza niż liczba obserwacji ( ) oraz
zmienne objaśniające muszą być
niewspółliniowe
METODY PROGNOZOWANIA Wykład 6
44
k
X
rz
n
k
Identyfikowalność modelu
Modele wielorównaniowe:
rekurencyjne i o równaniach łącznie
współzależnych nazywamy
identyfikowalnymi, wtedy i tylko wtedy
gdy każde z równań występujących w
modelu jest identyfikowalne.
METODY PROGNOZOWANIA Wykład 6
45
Parametrów strukturalnych pojedynczych
równań modelu rekurencyjnego i modelu o
równaniach łącznie współzależnych
(zapisanego w postaci strukturalnej) nie
możemy estymować przy pomocy
klasycznej MNK.
modele rekurencyjne są identyfikowalne
pod warunkiem, iż dla równań w nich
występujących są spełnione założenia: o
niewspółliniowości zmiennych
objaśniających i liczbie obserwacji dla nich.
METODY PROGNOZOWANIA Wykład 6
46
Identyfikowalność modeli
łącznie współzależnych
Przyjmijmy:
G – liczba zmiennych endogenicznych
nieopóźnionych występujących w modelu,
K=H+1– liczba zmiennych o wartościach z góry
ustalonych występujących w modelu
Niech i będzie numerem równania, którego
identyfikację badamy. Oznaczmy przez:
– liczbę zmiennych endogenicznych
nieopóźnionych występujących w i tym równaniu
modelu;
– liczbę zmiennych o wartościach z góry
ustalonych występujących w i tym równaniu modelu;
METODY PROGNOZOWANIA Wykład 6
47
)
(
1
i
G
)
(
1
i
K
Identyfikowalność modeli
łącznie współzależnych
liczbę zmiennych o wartościach z góry
ustalonych nie występujących w i tym równaniu
modelu, czyli .
Warunkiem koniecznym na to, aby i- te
równanie modelu o równaniach łącznie
współzależnych mogło być identyfikowalne jest:
(6)
Jeśli , to równanie może być
identyfikowalne jednoznacznie.
Jeśli , to równanie może być
identyfikowalne nadmiernie.
METODY PROGNOZOWANIA Wykład 6
48
)
(
2
)
(
1
1
i
i
K
G
)
(
2
)
(
1
1
i
i
K
G
)
(
2
)
(
1
1
i
i
K
G
Wniosek
Jeśli to i- te równanie modelu,
o równaniach łącznie współzależnych, nie
jest identyfikowalne, a zatem nie jest
identyfikowalny cały model. Należy
wówczas powtórnie przeanalizować jego
równania i model poprawić.
METODY PROGNOZOWANIA Wykład 6
49
)
(
2
)
(
1
1
i
i
K
G
Przykład 5
Sprawdzić, czy model rynku podany w
przykładzie 1 jest modelem
identyfikowalnym.
Badając formalną poprawność konstrukcji
wielorównaniowego modelu o równaniach
łącznie współzależnych sprawdzamy, czy
dla każdego równania modelu zachodzi
warunek konieczny jego identyfikowalności
METODY PROGNOZOWANIA Wykład 6
50
Przykład 5
ustalamy, że:
liczba zmiennych endogenicznych
nieopóźnionych występujących w modelu:
G=3 (są to zmienne: );
liczba zmiennych o wartościach z góry
ustalonych występujących w modelu: K=6
(zmienne: )
METODY PROGNOZOWANIA Wykład 6
51
t
t
t
t
t
t
t
t
t
t
t
t
t
t
t
P
C
Q
R
P
W
K
P
Q
Y
P
C
3
30
1
31
1
31
2
20
23
22
1
21
1
10
11
11
)
(
t
t
t
P
Q
C
,
,
1
,
,
,
,
,
1
1
t
t
t
t
t
R
W
K
Y
P
Przykład 5
Równanie 1
liczba zmiennych endogenicznych nieopóźnionych
występujących w tym równaniu: (są to zmienne
);
liczba zmiennych o wartościach z góry ustalonych
występujących w pierwszym równaniu:
(zmienne ) Stąd wnioskujemy, że liczba
zmiennych o wartościach z góry ustalonych nie
występujących w pierwszym równaniu modelu wynosi:
Mamy więc dla pierwszego równania modelu spełniony
warunek konieczny oznacza to, że
równanie 1 może być identyfikowalne i to nadmiernie.
METODY PROGNOZOWANIA Wykład 6
52
2
)
1
(
1
G
t
t
P
C ,
2
)
1
(
1
K
1
,
t
Y
4
2
6
)
1
(
1
)
1
(
2
K
K
K
t
t
t
t
t
t
t
t
t
t
t
t
t
t
t
P
C
Q
R
P
W
K
P
Q
Y
P
C
3
30
1
31
1
31
2
20
23
22
1
21
1
10
11
11
)
(
4
1
1
)
1
(
2
)
1
(
1
K
G
Przykład 5
Równanie 2
Interesujące nas liczby przyjmują wartości: ,
czyli równanie 2 może być identyfikowalne i to nadmiernie.
Równanie 3
Dla tego równania ustalamy, że:
Czyli równanie3 może być także identyfikowalne
nadmiernie
Wniosek:
Badany model może być identyfikowalny nadmiernie
METODY PROGNOZOWANIA Wykład 6
53
1
)
2
(
1
G
4
)
2
(
1
K
t
t
t
t
t
t
t
t
t
t
t
t
t
t
t
P
C
Q
R
P
W
K
P
Q
Y
P
C
3
30
1
31
1
31
2
20
23
22
1
21
1
10
11
11
)
(
2
0
1
2
4
6
)
2
(
2
)
2
(
1
)
2
(
1
)
2
(
2
K
G
K
K
K
3
)
3
(
1
G
3
)
3
(
1
K
3
2
1
3
3
6
)
3
(
2
)
3
(
1
)
3
(
1
)
3
(
2
K
G
K
K
K
Model prosty
Poszczególne równania nie są ze sobą
powiązane (w żadnym równaniu nie
występują zmienne endogeniczne), zatem
model prosty można traktować jako zbiór
niezależnych modeli wielorównaniowych.
Zatem można każde z nich oddzielnie
szacować MNK
TEORIA PROGNOZY i SYMULACJI
Wykład 6
54
Na podstawie grafu należy wyznaczyć
kolejność estymacji parametrów równań.
Równanie (1) należy wyznaczyć KMNK.
Przy estymacji równania (2) należy
wykorzystać oszacowane w równaniu (1)
brakujące wartości zmiennych endogenicznych.
Kolejne równania estymuje się przy pomocy
oszacowań brakujących wartości zmiennych
endogenicznych z równania (1) i (2).
55
Szacujemy macierz parametrów postaci
zredukowanej dla wszystkich równań za
pomocą wzoru:
Na podstawie oszacowanej postaci
zredukowanej modelu oblicza się wartości
teoretyczne zmiennych objaśnianych wg
wzoru:
56
T
T
T
T
XD
Y
Y
X
X
X
D
1
Parametry i-tego równania szacujemy za
pomocą MNK, w macierzy X zastępując
wszystkie kolumny zmiennych
endogenicznych odpowiednimi wartościami
z macierzy
Analogicznie szacujemy pozostałe
równania modelu.
57
Y
Postać końcowa modelu
wielorównaniowego
Rozważymy modyfikację zapisu postaci
zredukowanej modelu dynamicznego,
wynikającą z podziału zbioru zmiennych
objaśniających (zmiennych o wartościach z
góry ustalonych) postaci zredukowanej
(także postaci strukturalnej) na zmienne
endogeniczne opóźnione i zmienne
egzogeniczne,
W macierzy wyodrębniamy dwa bloki
kolumn stosownie do podziału wektora ,
czyli:
METODY PROGNOZOWANIA Wykład 6
58
)
(t
Z
C
B
)
(
)
1
(
)
(
t
t
t
X
Y
Z
Postać końcowa modelu
wielorównaniowego
W rezultacie wykonaniu stosowanych
obliczeń otrzymujemy postać strukturalną
dynamicznego modelu wielorównaniowego:
UWAGA
Uwzględnienie w modelu tylko zmiennych
endogenicznych opóźnionych o jeden okres
nie zmniejsza ogólności rozważań.
METODY PROGNOZOWANIA Wykład 6
59
)
(
)
(
)
1
(
)
(
t
t
t
t
ε
X
C
Y
B
Y
A
Postać końcowa modelu
wielorównaniowego
Analogicznie przekształca się postać zredukowaną
dzieląc macierz D na dwa odpowiednie bloki
i wyprowadza się postać odpowiadającą
dynamicznej postaci strukturalnej otrzymując:
Następnie wyznacza się kolejno:
Po wykonaniu ciągu kolejnych podstawieniach
otrzymuje się:
60
2
D
D
D
1
)
(
)
(
)
1
(
)
(
2
1
t
t
t
t
η
X
D
Y
D
Y
)
1
(
)
1
(
)
2
(
)
1
(
2
1
t
t
t
t
η
X
D
Y
D
Y
)
2
(
)
2
(
)
3
(
)
2
(
2
1
t
t
t
t
η
X
D
Y
D
Y
)
3
(
)
3
(
)
4
(
)
3
(
2
1
t
t
t
t
η
X
D
Y
D
Y
)
(
)
(
)
1
(
)
(
))
1
(
(
)
(
2
2
1
2
1
1
1
t
t
t
s
t
s
t
t
s
s
ς
X
D
X
D
D
X
D
D
Y
D
Y
Postać końcowa modelu
wielorównaniowego
gdzie jest odpowiednio
przekształconym wektorem składników
losowych
W praktyce zakłada się, że dla dostatecznie
dużej liczby opóźnień s elementy macierzy
(przy spełnieniu pewnych warunków) są
bliskie 0 i jako postać końcową modelu
przyjmuje się:
którą zapisuje się także jako:
METODY PROGNOZOWANIA Wykład 6
61
)
(t
ς
)
(
,
),
1
(
),
(
s
t
t
t
η
η
η
)
(
)
(
)
2
(
)
1
(
)
(
)
(
2
1
2
2
1
2
1
2
t
s
t
t
t
t
t
s
ς
X
D
D
X
D
D
X
D
D
X
D
Y
1
1
s
D
)
(
)
(
)
2
(
)
1
(
)
(
)
(
2
1
0
t
s
t
t
t
t
t
s
ς
X
M
X
M
X
M
X
M
Y
Analiza mnożnikowa
Macierz nazywana jest macierzą mnożników
bezpośrednich, natomiast macierze , ,
…, są macierzami mnożników
pośrednich, które pokazują zmiany zmiennych
endogenicznych w okresie t jako efekty zmian
zmiennych egzogenicznych w okresach poprzednich.
Definiuje się także mnożniki skumulowane:
które pokazują łączne zmiany w wartościach
zmiennych endogenicznych w okresie t jako efekty
podtrzymanych zmian wartości zmiennych
egzogenicznych w okresach poprzednich od t-s do t.
62
)
(
)
(
)
2
(
)
1
(
)
(
)
(
2
1
0
t
s
t
t
t
t
t
s
ς
X
M
X
M
X
M
X
M
Y
2
0
D
M
2
1
1
D
D
M
2
2
1
2
D
D
M
2
1
D
D
M
s
s
k
k
M
M
M
M
P
2
1
0
Przykład 6
Oszacowano parametry postaci końcowej modelu
ekonometrycznego:
gdzie: Y
1t
– import (w mln USD), Y
2t
- nakłady inwestycyjne
(w mln PLN), X
1t
- konsumpcja indywidualna (w mln PLN),
X
2t
- dochody gospodarstw domowych (w mln PLN), X
3t
-
stopa procentowa (w %).
Na podstawie wyników estymacji parametrów postaci
zredukowanej wyznaczyć mnożniki bezpośrednie, pośrednie
pierwszego i drugiego stopnia. Podać interpretację
elementu (2,2) dla każdej macierzy mnożników.
63
1
2
,
1
2
,
0
3
,
0
0
8
,
4
2
,
0
7
.
0
8
,
1
20
,
0
0
15
,
0
0
ˆ
ˆ
3
2
1
1
,
2
1
,
1
2
1
t
t
t
t
t
t
t
X
X
X
Y
Y
Y
Y
Analiza mnożnikowa
Przykład 6
Z oszacowanej postaci zredukowanej
odczytujemy, że macierz mnożników
bezpośrednich jest równa
Mnożniki pośrednie wyznaczamy jako
iloczyny odpowiednich potęg macierzy D
1
i macierzy D
2.
METODY PROGNOZOWANIA Wykład 6
64
2
,
1
2
,
0
3
,
0
0
8
,
4
2
,
0
7
.
0
8
,
1
2
0
D
M
2
,
1
2
,
0
3
,
0
0
8
,
4
2
,
0
7
.
0
8
,
1
20
,
0
0
15
,
0
0
2
1
1
D
D
M
Mnożnik bezpośredni ma wartość 0,3,
którą odczytujemy z macierzy . Oznacza, to
że przyrost dochodów gospodarstw
domowych (X
2t
) o 1 mln PLN w okresie t
spowoduje w tym samym okresie wzrost
nakładów inwestycyjnych przeciętnie o 0,3
mln PLN
METODY PROGNOZOWANIA Wykład 6
65
048
,
0
008
,
0
012
,
0
0
036
,
0
006
,
0
009
,
0
0
24
,
0
04
,
0
06
,
0
0
18
,
0
03
,
0
045
,
0
0
20
,
0
0
15
,
0
0
1
1
2
2
1
2
M
D
D
D
M
)
0
(
22
m
0
M
Przykład 6
Mnożnik pośredni jednookresowy występuje
w macierzy ma wartość 0,06. Oznacza, to że
przyrost dochodów gospodarstw domowych
(X
2t
) o 1 mln PLN w okresie t spowoduje w
okresie (t+1) wzrost nakładów inwestycyjnych o
0,06 mln PLN.
Mnożnik pośredni jest elementem macierzy
ma wartość 0,0012, co oznacza ich efektem
przyrostu dochodów gospodarstw domowych (X
2t
) o 1 mln PLN w okresie t będzie jeszcze
przeciętny wzrost nakładów inwestycyjnych o
0,0012 mln PLN w okresie (t+2).
METODY PROGNOZOWANIA Wykład 6
66
)
1
(
22
m
1
M
)
1
(
22
m
2
M