Slajd 1

WARTOŚĆ PIENIĄDZA W

CZASIE

1. Procent Prosty



Odsetki w kolejnych latach naliczane są zawsze od wartości

początkowej (PV) ulokowanego kapitału.



Nie następuje okresowa kapitalizacja odsetek, czyli dopisanie

naliczonych odsetek do wartości początkowej.



Wartość przyszła (FV) jest obliczana zgodnie z poniższym

wzorem:

Gdzie:



PV – wartość początkowa zainwestowanego kapitału



FV – wartość przyszła zainwestowanego kapitału



n – liczba okresów bazowych



i – stopa procentowa





















Podstawy Nauki o Finansach

WARTOŚĆ PIENIĄDZA W

CZASIE

Przykład 1.

Na rachunku terminowym w banku ulokowano kwotę 125 000

PLN na 7 lat. Rachunek jest oprocentowany stopą 3,76 % w

stosunku rocznym. Oblicz wartość zainwestowanego kapitału

po siedmiu latach przy założeniu oprocentowania prostego.

PV = 125 000 PLN

n = 7 lat

i = 3,76 %

FV = 125 000 PLN x (1 + 7 x 0,0376) =

157 900 PLN

Podstawy Nauki o Finansach

WARTOŚĆ PIENIĄDZA W

CZASIE

Przykład 2.

Jaką kwotę powinno się wpłacić na rachunek terminowy w

banku oprocentowany stopą 4,33 % aby po 6 latach uzyskać

150 000 PLN przy założeniu oprocentowania prostego.

FV = 150 000 PLN

n = 6 lat

i = 4,33 %

Po odpowiednim przekształceniu wzoru otrzymujemy:

PV = 150 000 PLN / (1 + 6 x 0,0433) =

119 067 PLN

Podstawy Nauki o Finansach

WARTOŚĆ PIENIĄDZA W

CZASIE

Podstawy Nauki o Finansach

2. Procent Złożony (kapitalizacja zgodna)



Odsetki podlegają okresowej kapitalizacji powiększając tym

samym podstawę naliczania odsetek na rachunku terminowym,



Okres stopy procentowej jest tożsamy z okresem kapitalizacji

odsetek



Wartość przyszła (FV) jest naliczana zgodnie z poniższym

wzorem

Gdzie:



PV – wartość początkowa zainwestowanego kapitału



FV – wartość przyszła zainwestowanego kapitału



n – liczba okresów bazowych



i – stopa procentowa

 







 







WARTOŚĆ PIENIĄDZA W

CZASIE

Przykład 3.

Na rachunku terminowym w banku ulokowano kwotę 125 000

PLN na 7 lat. Rachunek jest oprocentowany stopą 3,76 % w

stosunku rocznym. Oblicz wartość zainwestowanego kapitału

po siedmiu latach przy założeniu oprocentowania złożonego.

PV = 125 000 PLN

n = 7 lat

i = 3,76 %

FV = 125 000 PLN x (1 + 0,0376)

161 852 , 60 PLN

Podstawy Nauki o Finansach

WARTOŚĆ PIENIĄDZA W

CZASIE

Przykład 4.

Jaką kwotę powinno się wpłacić na rachunek terminowy w

banku oprocentowany stopą 4,33 % aby po 6 latach uzyskać

150 000 PLN przy założeniu oprocentowania złożonego.

PV = 150 000 PLN

n = 6 lat

i = 4,33 %

Po odpowiednim przekształceniu wzoru otrzymujemy:

FV = 150 000 PLN / (1 + 0,0433)

116 315 , 10 PLN

Podstawy Nauki o Finansach

WARTOŚĆ PIENIĄDZA W

CZASIE

Podstawy Nauki o Finansach

4. Procent Złożony (kapitalizacja niezgodna)



Odsetki podlegają okresowej kapitalizacji powiększając tym

samym podstawę naliczania odsetek na rachunku terminowym,



Okres stopy procentowej nie jest tożsamy z okresem

kapitalizacji odsetek



Wartość przyszła (FV) jest naliczana zgodnie z poniższym

wzorem

Gdzie:



PV – wartość początkowa zainwestowanego kapitału



FV – wartość przyszła zainwestowanego kapitału



n – liczba okresów bazowych



i – stopa procentowa w stosunku rocznym



k – okres kapitalizacji (miesięczna – 12, kwartalna – 4,

półroczna – 2, roczna – 1, dwuletnia – 0,5 itp.)

























WARTOŚĆ PIENIĄDZA W

CZASIE

Przykład 5.

Na rachunku terminowym w banku ulokowano kwotę 125 000

PLN na 7 lat. Rachunek jest oprocentowany stopą 3,76 % w

stosunku rocznym. Oblicz wartość zainwestowanego kapitału

po siedmiu latach przy założeniu oprocentowania złożonego

oraz miesięcznej kapitalizacji odsetek.

PV = 125 000 PLN

n = 7 lat

i = 3,76 %

k = 12

FV = 125 000 PLN x (1 + 0,0376/12)

7x12

162 569 , 00 PLN

Podstawy Nauki o Finansach

WARTOŚĆ PIENIĄDZA W

CZASIE

Przykład 6.

Jaką kwotę powinno się wpłacić na rachunek terminowy w

banku oprocentowany stopą 4,33 % aby po 6 latach uzyskać

150 000 PLN przy założeniu oprocentowania złożonego oraz

kapitalizacji kwartalnej.

PV = 150 000 PLN

n = 6 lat

i = 4,33 %

k = 4

Po odpowiednim przekształceniu wzoru otrzymujemy:

FV = 110 959,40 PLN / (1 + 0,0433/4)

6x4

116 315 , 10 PLN

Podstawy Nauki o Finansach

WARTOŚĆ PIENIĄDZA W

CZASIE

Podstawy Nauki o Finansach

6. Efektywna roczna stopa procentowa



Im częściej następuje kapitalizacja odsetek (dopisanie ich do

ulokowanego kapitału) tym większa jest wartość końcowa

zainwestowanego kapitału.



Zwrot z zainwestowanego kapitału w stosunku rocznym jest

zatem wyższy niż wynikało by to z podawanej w stosunku

rocznym stopy procentowej stanowiącej podstawę naliczania

odsetek.



Zwrot w stosunku rocznym będzie równy rocznej efektywnej

stopie procentowej, którą można obliczyć posługując się

następującym wzorem:

Gdzie:



– efektywna roczna stopa procentowa



– stopa procentowa w stosunku rocznym



k – kapitalizacja odsetek





















WARTOŚĆ PIENIĄDZA W

CZASIE

Przykład 7.

Jaka jest efektywna roczna stopa procentowa dla stopy rocznej

4,33% przy założeniu kapitalizacji miesięcznej

= 150 000 PLN

= 4,33%

k = 12

Po odpowiednim przekształceniu wzoru otrzymujemy:

= (1 + 0,0433/12)

^12

– 1 = 0,0442

Podstawy Nauki o Finansach

WARTOŚĆ PIENIĄDZA W

CZASIE

Podstawy Nauki o Finansach

7. Przydatne przekształcenia wzorów (procent złożony)



Przy znanych PV, FV oraz n – stopę procentową obliczamy

następującym wzorem:



Przy znanych PV,FV oraz i – liczbę okresów obliczamy

następującym wzorem:













 







 







WARTOŚĆ PIENIĄDZA W

CZASIE

Podstawy Nauki o Finansach

8. Przydatne przekształcenia wzorów

(procent złożony – kapitalizacja niezgodna)



Przy znanych PV, FV oraz n i k – stopę procentową obliczamy

następującym wzorem:



Przy znanych PV,FV oraz i i k – liczbę okresów obliczamy

następującym wzorem:



 









 







































WARTOŚĆ PIENIĄDZA W

CZASIE

Podstawy Nauki o Finansach

8. Annuitety (Renty)



Regularne, stałe, równe co do wartości strumienie przepływu

gotówki (zarówno wpływy jak i wydatki) pojawiające się w

równych odstępach czasu,



Do regularnych płatności możemy zaliczyć płatności odsetek od

obligacji, opłaty leasingowe, spłaty rat niektórych rodzajów

kredytów

bankowych,

regularne

wpływy

wydatki

kredytów

bankowych,

regularne

wpływy

wydatki

przedsiębiorstw itp,



Wszelkie obliczenia związane z wyznaczaniem wartości przyszłej

(FV) oraz wartości obecnej (PV) annuitetów będą się opierały na

metodach obliczeniowych związanych z oprocentowaniem

złożonym,



Bardzo istotnym aspektem obliczeń związanych z annuitetami

jest uwzględnienie w rachunku momentu występowania

płatności w okresie. Z reguły rozpatrywane są dwa przypadki:

Płatność przypada na początek okresu (mówimy wtedy

annuitecie płatnym z góry),

Płatność przypada na koniec okresu (mówimy wtedy

annuitecie płatnym z dołu),

WARTOŚĆ PIENIĄDZA W

CZASIE

Podstawy Nauki o Finansach

8. Annuitety (Renty)



Regularne, stałe, równe co do wartości strumienie przepływu

gotówki (zarówno wpływy jak i wydatki) pojawiające się w

równych odstępach czasu,



Do regularnych płatności możemy zaliczyć płatności odsetek od

obligacji, opłaty leasingowe, spłaty rat niektórych rodzajów

kredytów

bankowych,

regularne

wpływy

wydatki

kredytów

bankowych,

regularne

wpływy

wydatki

przedsiębiorstw itp,



Wszelkie obliczenia związane z wyznaczaniem wartości przyszłej

(FV) oraz wartości obecnej (PV) annuitetów będą się opierały na

metodach obliczeniowych związanych z oprocentowaniem

złożonym,



Bardzo istotnym aspektem obliczeń związanych z annuitetami

jest uwzględnienie w rachunku momentu występowania

płatności w okresie. Z reguły rozpatrywane są dwa przypadki:

Płatność przypada na początek okresu (mówimy wtedy

annuitecie płatnym z góry),

Płatność przypada na koniec okresu (mówimy wtedy

annuitecie płatnym z dołu),

WARTOŚĆ PIENIĄDZA W

CZASIE

Podstawy Nauki o Finansach

1000 x

(1+0,05)

1215,5

1000 x

(1+0,05)

1000 x

(1+0,05)

1157,6

1102,5

1050,0

1000,0

1000 x

(1+0,05)

1000 x

(1+0,05)

5525,63

Wartość przyszłą (FV) szeregu płatności oblicza się wg wzoru:

 









 









jeżeli płatności dokonywane są na końcu każdego okresu!

1000

FV Renty płatnej z dołu

WARTOŚĆ PIENIĄDZA W

CZASIE

Podstawy Nauki o Finansach

1000 x

(1+0,05)

1276,2

1000 x

(1+0,05)

1000 x

(1+0,05)

1215,5

1157,6

1102,5

1050,0

1000 x

(1+0,05)

1000 x

(1+0,05)

5801,91

Wartość przyszłą (FV) szeregu płatności oblicza się wg wzoru:

 

)

(













 

)

(













jeżeli płatności dokonywane są na początku każdego okresu!

1000

FV Renty płatnej z góry

WARTOŚĆ PIENIĄDZA W

CZASIE

Podstawy Nauki o Finansach

1000 / [(1+0,05)

]

952,38

907,03

863,84

822,70

783,53

4329,48

Wartość obecną (PV) szeregu płatności oblicza się wg wzoru:

 











 











jeżeli płatności dokonywane są na końcu każdego okresu!

1000

1000 / [(1+0,05)

]

1000 / [(1+0,05)

]

1000 / [(1+0,05)

]

1000 / [(1+0,05)

]

PV Renty płatnej z dołu

WARTOŚĆ PIENIĄDZA W

CZASIE

Podstawy Nauki o Finansach

1000 / [(1+0,05)

]

1000,0

952,38

907,03

863,82

822,70

4545,95

Wartość obecną (PV) szeregu płatności oblicza się wg wzoru:

 















 















jeżeli płatności dokonywane są na końcu każdego okresu!

1000

1000 / [(1+0,05)

]

1000 / [(1+0,05)

]

1000 / [(1+0,05)

]

1000 / [(1+0,05)

]

PV Renty płatnej z góry

WARTOŚĆ PIENIĄDZA W

CZASIE

Podstawy Nauki o Finansach

8. Wartość Bieżąca Netto (NPV)



Inwestorzy bardzo często posiadają pewne wolne środki, które

chcą przeznaczyć na inwestycję, która ma dać im w przyszłości

regularne wpływy o określonej wartości,



Jeżeli znane są konieczne do poniesienia wydatki inwestycyjne

oraz możliwe do uzyskania dzięki nim regularne wpływy w

przyszłości

można

ocenić

opłacalność

takiego

przyszłości

można

ocenić

opłacalność

takiego

przedsięwzięcia konfrontując je z alternatywną możliwą do

uzyskania przez inwestora na rynku stopą zwrotu z dowolnej

innej inwestycji,



Jako alternatywną stopę zwrotu najczęściej przyjmuje się taką

formę ulokowania posiadanych środków, która jest wolna od

ryzyka np. porównuje się przedsięwzięcie inwestycyjne z

możliwością ulokowania posiadanych środków w obligacje

emitowane przez skarb państwa,



Pierwszym etapem jest obliczenie wartości bieżącej szeregu

przewidywanych

płatności

przy

zastosowaniu

wybranej

przewidywanych

płatności

przy

zastosowaniu

wybranej

alternatywnej stopy zwrotu,



Obliczona wartość (PV) w dużym uproszczeniu informuje o tym,

ile dzisiaj pieniędzy musiałby ulokować inwestor w obligacje

skarbowe, aby uzyskać przepływy pieniężne identyczne z

możliwymi do uzyskania z rozważanego przedsięwzięcia

inwestycyjnego,

WARTOŚĆ PIENIĄDZA W

CZASIE

Podstawy Nauki o Finansach



Jeżeli obliczona bieżąca wartość wpływów z rozważanego

przedsięwzięcia

inwestycyjnego

przekroczy

wydatki

przedsięwzięcia

inwestycyjnego

przekroczy

wydatki

inwestycyjne jakie musiałby ponieść inwestor, to rozważane

przedsięwzięcie jest bardziej opłacalne niż alternatywna forma

lokaty środków inwestora (w tym przypadku obligacje skarbu

państwa),



Jeżeli relacja pomiędzy wartością bieżącą przewidywanych

wpływów a wydatkami inwestycyjnymi będzie odwrotna, to

będzie to oznaczało, że bardziej opłacalna jest alternatywna

forma lokaty środków,



Różnica pomiędzy wartością bieżącą wpływów a wydatkami

inwestycyjnymi nosi nazwę Wartości Bieżącej Netto (NPV) i jest

często stosowanym wskaźnikiem w ocenie opłacalności

przedsięwzięć inwestycyjnych,



Przy ocenie przedsięwzięć inwestycyjnych warto jest się

posłużyć jeszcze dodatkowo innymi wskaźnikami aby uzyskać

pełny obraz opłacalności,



ile

przypadku

pojedynczego

przedsięwzięcia

ile

przypadku

pojedynczego

przedsięwzięcia

inwestycyjnego NPV jest skuteczny w określeniu opłacalności o

tyle w przypadku porównywania kilku różnych przedsięwzięć

NPV może okazać się wskaźnikiem ułomnym bez wsparcia przez

inne metody oceny opłacalności,

WARTOŚĆ PIENIĄDZA W

CZASIE

Podstawy Nauki o Finansach

1000 / [(1+0,05)

]

952,38

907,03

863,84

822,70

783,53

1000 / [(1+0,05)

]

1000 / [(1+0,05)

]

1000 / [(1+0,05)

]

1000 / [(1+0,05)

]

1000

2100

4329,48

2229,48

NPV

WARTOŚĆ PIENIĄDZA W

CZASIE

Podstawy Nauki o Finansach

8. Węwnętrzna Stopa Zwrotu (IRR)



Bardzo przydatny wskaźnik w ocenie opłacalności inwestycji,



IRR jest w praktyce stopą dyskontową, dla której wartość

bieżąca wpływów z przedsięwzięcia inwestycjnego jest równa

wydatkom inwestycyjnym,



Pozwala

ocenę

przedsięwzięcia

inwestycyjnego

Pozwala

ocenę

przedsięwzięcia

inwestycyjnego

konfrontacji z alternatywnymi możliwymi do uzyskania na rynku

stopami zwrotu, posiadając istotną przewagę nad NPV,

przejawiającą się w prostej możliwości porównywania kilku

podobnych przedsięwzięć inwestycyjnych,



Wyznaczanie IRR jest nie tyle skomplikowane, co pracochłonne.

Mianowicie należy dokonać obliczeń stosując kolejne coraz

większe stopy dyskontowe i znaleźć taki moment, w którym NPV

z dodatniego stanie się ujemne,



mniejsze

są

różnice

pomiędzy

kolejnymi

stopami

mniejsze

są

różnice

pomiędzy

kolejnymi

stopami

dsykontowymi, tym większa dokładność prowadzonych obliczeń,



Istotę takiego podejścia można zaobserwować na wykresie

przedstawiającym zachowanie się NPV wobec zmieniającej się

stopy dyskontowej,

WARTOŚĆ PIENIĄDZA W

CZASIE

Podstawy Nauki o Finansach

Obliczamy NPV kolejno dla stóp dyskontowych 25%, 30%, 35%, 40%

zapisując wyniki.

NPV

25%

=589,28

NPV

30%

=335,57

NPV

35%

=119,96

NPV

40%

= -64,84

2. Identyfikujemy przedział pomiędzy stopą 35% a stopą 40%, w którym

następuje zmiana z NPV dodatniego na ujemne, dla których NPV odpowiednio

wynoszą:

WARTOŚĆ PIENIĄDZA W

CZASIE

Podstawy Nauki o Finansach

Posiadane informacje pozwalają na wyznaczenie IRR wg

wzoru:

W naszym przykładzie odpowiednio:

– 35%

– 40%

NPV

– 119,96

NPV

- -64,84

Zatem IRR w omawianym przykładzie wynosi 38%





NPV

IRR















NPV

IRR















119











IRR





119











IRR

Document Outline