Egzamin rok 2012/2013
t"[0,1]
et et
Zadanie 2 : Obliczyć masÄ™ Å‚uku L: {x(t) = , y(t) = , z(t) = t, }, jeżeli Á(x,y,z) = xy.
RozwiÄ…zanie:
Å„ð Masa Å‚uku wyraża siÄ™ wzorem:
+"Á (x , y ,z)dl
M =
L
L"!3
Gdzie Á(x,y,z) jest dana ciÄ…gÅ‚Ä… gÄ™stoÅ›ciÄ… liniowÄ… masy Å‚uku gÅ‚adkiego
Å„ð NaszÄ… krzywÄ… można zapisać:
t"[0,1]
Å‚ (t)=[et ,et ,t ]
×
Å„ð Obliczamy pierwszÄ… pochodnÄ… krzywej oraz jej dÅ‚ugość:
Å‚ ' (t )=[et ,et ,1]
×
#"× ' (t )#"= e2t+e2t+1= 2Å"e2t+1
Å‚
" "
Å„ð Obliczamy caÅ‚kÄ™:
1 1 1
Á (x , y , z)dl= Á ( x(t) , y(t ), z(t ))Å"Å‚ ' (t)#"dt= etÅ"etÅ" 2Å"et+1dt= e2tÅ" 2Å"e2t+1dt
#"×
" "
+" +" +" +"
M= =
L 0 0 0
Å„ð Stosujemy podstawienie:
2Å"e2t+1
u=
4Å"e2t+1dt
du=
Å„ð Zmieniamy granice caÅ‚kowania:
t 0 1
u 3 2Å"e2+1
Å„ð Kontynuujemy liczenie caÅ‚ki:
e3+1
1Å" udu=[ 1Å"2Å"u ]e2+1=1Å" (2Å"e2+1)3- 1Å" 33= 1
3/ 2
( (2Å"e2+1)3-3Å" 3)
" " "
+" " "
=
4 4 3 6 6 6
3
3
1Å"( (2Å"e2+1)-3Å" 3)
"
"
Odpowiedz
: Masa łuku przy danej gęstości wynosi:
6
Autor: Agnieszka Rapczyńska grupa: 9