Szymon Kraut

Informacje na temat:

•

stanów rezonansowych maszyn i

urządzeń

•

tłumienia

•

metod wyznaczania charakterystyki

dynamicznej oraz dalszej

syntezy

układów

dyskretnych

piątek 18 czerwca 2021

2

Wstęp teoretyczny

Ważne pojęcia

Synteza

– zadanie poszukiwania parametrów

oraz struktury układów, spełniających zadane
własności dynamiczne w postaci widma
częstości.

piątek 18 czerwca 2021

3

Stany rezonansowe maszyn i
urządzeń

Stany rezonansowe są to

częstotliwości w których w urządzeniu

powstają największe drgania. Ze

względu na ich szkodliwe działanie,

pożądany jest taki dobór

częstotliwości drgań własnych, aby

były one poza zakresem częstotliwości

drgań generowanych przez urządzenie

podczas prawidłowej pracy. Istnieją

także przypadki, w których stany

rezonansowe działają pozytywnie.

piątek 18 czerwca 2021

4

Tłumienie a stany
rezonansowe

Tłumienie obniża amplitudę drgań,
co pozwala maszynie na wyjście ze
stanu rezonansu. W maszynie
pojawia się wiele częstotliwości
drgań własnych.

piątek 18 czerwca 2021

5

Hz

Problem syntezy układów

Aby dokonać syntezy układu
mechatronicznego, należy najpierw
wyznaczyć

charakterystykę

dynamiczną

.

piątek 18 czerwca 2021

6

3 kroki wyznaczania charakterystyki
dynamicznej

1.

Przyjąć rodzaj syntezowanej funkcji,
czyli określić czy dana funkcja będzie
ruchliwością V(s), czy też powolnością
U(s).

2.

Przyjąć wymagania odnośnie tłumienia
(jeśli układ ma mieć tłumienie).

3.

Wyznaczyć charakterystykę
dynamiczną V(s) [U(s)] w postaci
funkcji wymiernej z dokładnością do
stałej H.

piątek 18 czerwca 2021

7

Synteza charakterystyki

Istnieje wiele możliwości syntezy
charakterystyki zgodnie z
założeniami. Liczba możliwych
struktur zależy od częstości
rezonansowych i nałożonych na
układ utwierdzeń.

piątek 18 czerwca 2021

8

Synteza powolności układów
przytwierdzonych.

piątek 18 czerwca 2021

9

Przykład rozwiązania
zadania

Wymagania

Wymagania, jakie spełnić ma układ
podane są w postaci ciągu częstości
rezonansowych i antyrezonansowych:

piątek 18 czerwca 2021

10





















zera

s

rad

s

rad

bieguny

s

rad

s

rad

4

,

0

6

,

2

2

0

3

1









1

rad/s

Założenia

1.

Poszukiwana funkcja
charakterystyczna jest powolnością
U(s).

2.

Przyjmuje się wymagania odnośnie
tłumienia:



tłumienie proporcjonalne do elementu
inercyjnego



tłumienie proporcjonalne do elementu
sprężystego

piątek 18 czerwca 2021

11

Tworzenie
charakterystyki

Kolejnym krokiem jest utworzenie
charakterystyki w takiej postaci, aby dało się
ją poddać syntezie jedną ze znanych metod

piątek 18 czerwca 2021

12

 











s

s

s

s

s

s

s

s

s

U

16

144

40

3

2

4

2

2

2

2

3

2

2

1

2























2

Wstęp do właściwej
syntezy

Sprecyzowane wcześniej wymagania
w postaci charakterystyk
dynamicznych (

12.2

) poddaje się

syntezie jedną z metod:



rozkładu na ułamek łańcuchowy



rozkładu na ułamki proste



metodą mieszaną



wykorzystując algorytm wyznaczania
elementu sprężystego

piątek 18 czerwca 2021

13

W następnym kroku otrzymaną wcześniej funkcję
charakterystyczną (

12.2

) poddaje się rozkładowi

na ułamek łańcuchowy

piątek 18 czerwca 2021

14

3

 

s

s

s

s

s

s

s

s

s

U

16

144

24

16

144

40

3

2

3

2

4

















m

1

W następnym kroku otrzymaną wcześniej funkcję
charakterystyczną (

12.2

) poddaje się rozkładowi

na ułamek łańcuchowy

piątek 18 czerwca 2021

15

3

 



































144

24

10

24

1

1

144

24

16

1

16

144

24

16

144

40

2

2

3

3

2

3

2

4

s

s

s

s

s

s

s

s

s

s

s

s

s

s

s

s

s

U

m

1

c

1

W następnym kroku otrzymaną wcześniej funkcję
charakterystyczną (

12.2

) poddaje się rozkładowi

na ułamek łańcuchowy

piątek 18 czerwca 2021

16

3

 



































144

24

10

24

1

1

144

24

16

1

16

144

24

16

144

40

2

2

3

3

2

3

2

4

s

s

s

s

s

s

s

s

s

s

s

s

s

s

s

s

s

U

s

s

s

s

s

s

s

s

5

7

5

12

1

24

1

1

10

144

24

1

24

1

1

2

















m

1

m

2

c

1

W następnym kroku otrzymaną wcześniej funkcję
charakterystyczną (

12.2

) poddaje się rozkładowi

na ułamek łańcuchowy

piątek 18 czerwca 2021

17

3

 



































144

24

10

24

1

1

144

24

16

1

16

144

24

16

144

40

2

2

3

3

2

3

2

4

s

s

s

s

s

s

s

s

s

s

s

s

s

s

s

s

s

U

s

s

s

s

s

s

s

s

s

s

s

s

7

5

1

5

12

1

24

1

1

5

7

5

12

1

24

1

1

10

144

24

1

24

1

1

2

























m

1

m

2

c

1

c

2

Otrzymany układ
dyskretny

piątek 18 czerwca 2021

18

Wartości liczbowe:

m

1

m

2

c

1

c

2

m

N

5

7

,

m

N

24

kg

5

12

,

kg

1

2

1

2

1









c

c

m

m

4

Sprawdzenie wyniku

piątek 18 czerwca 2021

19

Wynik można sprawdzić np. za
pomocą równań różniczkowych ruchu
układu





























0

m

0

m

2

2

1

2

1

2

2

2

1

1

1

1

x

c

x

x

c

x

x

x

c

x





5





















0

m

0

m

2

2

1

1

2

1

2

2

2

1

1

1

1

1

x

c

x

c

x

c

x

x

c

x

c

x





6





















0

m

-

0

m

-

2

2

1

1

2

1

2

2

2

2

1

1

1

2

1

1

A

c

A

c

A

c

A

A

c

A

c

A





7

piątek 18 czerwca 2021

20



















































0

0

2

1

2

2

2

1

1

1

2

1

1

A

A

m

c

c

c

c

m

c





9

1

0

1

1



























0

m

-

A

0

m

-

A

2

2

2

1

2

1

1

1

2

2

1

1

1





c

c

c

A

c

A

c

8

 

0

2

2

2

1

1

1

2

1

1

2























m

c

c

c

c

m

c







0

2

1

2

2

2

1

2

1

1











c

m

c

c

m

c





piątek 18 czerwca 2021

21

Szukając miejsc zerowych
otrzymanego wyrażenia otrzymuje
się:





0

2

1

2

1

2

1

1

2

1

4

2

1











c

c

m

c

m

c

m

c

m

m





1

2

996920865

,

35

0058328368

,

4

2

2

2

1









1

3

9997

,

5

0015

,

2

2

1









1

4

Uwzględnienie założeń dotyczących
tłumienia



tłumienie proporcjonalne do elementu
inercyjnego

piątek 18 czerwca 2021

22

m

1

m

2

c

1

b

1

c

2

b

2

s

1

8

0

się

przyjmuje

,

m

Ns

2

,

h

hm

b

i

i





1

5

m

Ns

b

m

Ns

b

25

96

5

8

2

1





1

6

Uwzględnienie założeń dotyczących
tłumienia



tłumienie proporcjonalne do elementu
sprężystego

piątek 18 czerwca 2021

23

m

1

m

2

c

2

b

2

1

7

m

Ns

b

m

Ns

b

500

7

25

6

2

1





1

8

s

01

0

się

przyjmuje

,

s

1

2

,

m

Ns

2

,

λω

h

c

b

n

n

i

i











c

1

b

1

Bibliografia:



Buchacz A., Dymarek A., Dzitkowski T.: Projektowanie i

badanie wrażliwości ciągłych i dyskretno-ciągłych układów

mechanicznych o żądanym widmie częstotliwości w ujęciu

grafów i liczb strukturalnych. Monografia, Politechnika Śląska,

Gliwice 2005.



Dymarek A.: Odwrotne zadanie dynamiki tłumionych

mechanicznych układów drgających w ujęciu grafów i liczb

strukturalnych. Politechnika Śląska, Gliwice 2001.



Kordos M.: Lepsze ułamki. Artykuł miesięcznika Delta 07.2006

piątek 18 czerwca 2021

24