PROJEKTOWANIE
DYSKRETNYCH UKŁADÓW
MECHANICZNYCH - SYNTEZA

Szymon Kraut

Informacje na temat:

•

stanów rezonansowych maszyn i

urządzeń

•

tłumienia

•

metod wyznaczania charakterystyki

dynamicznej oraz dalszej

syntezy

układów

dyskretnych

21-12-27

2

Wstęp teoretyczny

Ważne pojęcia

Synteza

– zadanie poszukiwania parametrów

oraz struktury układów, spełniających zadane
własności dynamiczne w postaci widma
częstości.

21-12-27

3

Stany rezonansowe maszyn i urządzeń

Stany rezonansowe są to częstotliwości w
których w urządzeniu powstają
największe drgania. Ze względu na ich
szkodliwe działanie, pożądany jest taki
dobór częstotliwości drgań własnych, aby
były one poza zakresem częstotliwości
drgań generowanych przez urządzenie
podczas prawidłowej pracy. Istnieją także
przypadki, w których stany rezonansowe
działają pozytywnie.

21-12-27

4

Tłumienie a stany rezonansowe

Tłumienie obniża amplitudę drgań,
co pozwala maszynie na wyjście ze
stanu rezonansu. W maszynie
pojawia się wiele częstotliwości
drgań własnych.

21-12-27

5

Hz

Problem syntezy układów

Aby dokonać syntezy układu
mechatronicznego, należy najpierw
wyznaczyć

charakterystykę

dynamiczną

.

21-12-27

6

3 kroki wyznaczania charakterystyki dynamicznej

1.

Przyjąć rodzaj syntezowanej funkcji,
czyli określić czy dana funkcja
będzie ruchliwością V(s), czy też
powolnością U(s).

2.

Przyjąć wymagania odnośnie
tłumienia (jeśli układ ma mieć
tłumienie).

3.

Wyznaczyć charakterystykę
dynamiczną V(s) [U(s)] w postaci
funkcji wymiernej z dokładnością do
stałej H.

21-12-27

7

Synteza charakterystyki

Istnieje wiele możliwości syntezy
charakterystyki zgodnie z
założeniami. Liczba możliwych
struktur zależy od częstości
rezonansowych i nałożonych na
układ utwierdzeń.

21-12-27

8

Synteza powolności układów
przytwierdzonych.

21-12-27

9

Przykład rozwiązania zadania

Wymagania

Wymagania, jakie spełnić ma układ
podane są w postaci ciągu częstości
rezonansowych i
antyrezonansowych:

21-12-27

10





















zera

s

rad

s

rad

bieguny

s

rad

s

rad

4

,

0

6

,

2

2

0

3

1









1

rad/s

Założenia

1.

Poszukiwana funkcja
charakterystyczna jest powolnością
U(s).

2.

Przyjmuje się wymagania odnośnie
tłumienia:



tłumienie proporcjonalne do elementu
inercyjnego



tłumienie proporcjonalne do elementu
sprężystego

21-12-27

11

Tworzenie charakterystyki

Kolejnym krokiem jest utworzenie
charakterystyki w takiej postaci, aby
dało się ją poddać syntezie jedną ze
znanych metod

21-12-27

12

 











s

s

s

s

s

s

s

s

s

U

16

144

40

3

2

4

2

2

2

2

3

2

2

1

2























2

Wstęp do właściwej syntezy

Sprecyzowane wcześniej wymagania
w postaci charakterystyk
dynamicznych (

12.2

) poddaje się

syntezie jedną z metod:



rozkładu na ułamek łańcuchowy



rozkładu na ułamki proste



metodą mieszaną



wykorzystując algorytm wyznaczania
elementu sprężystego

21-12-27

13

W następnym kroku otrzymaną wcześniej funkcję
charakterystyczną (

12.2

) poddaje się rozkładowi

na ułamek łańcuchowy

21-12-27

14

3

 

s

s

s

s

s

s

s

s

s

U

16

144

24

16

144

40

3

2

3

2

4

















m

1

W następnym kroku otrzymaną wcześniej funkcję
charakterystyczną (

12.2

) poddaje się rozkładowi

na ułamek łańcuchowy

21-12-27

15

3

 



































144

24

10

24

1

1

144

24

16

1

16

144

24

16

144

40

2

2

3

3

2

3

2

4

s

s

s

s

s

s

s

s

s

s

s

s

s

s

s

s

s

U

m

1

c

1

W następnym kroku otrzymaną wcześniej funkcję
charakterystyczną (

12.2

) poddaje się rozkładowi

na ułamek łańcuchowy

21-12-27

16

3

 



































144

24

10

24

1

1

144

24

16

1

16

144

24

16

144

40

2

2

3

3

2

3

2

4

s

s

s

s

s

s

s

s

s

s

s

s

s

s

s

s

s

U

s

s

s

s

s

s

s

s

5

7

5

12

1

24

1

1

10

144

24

1

24

1

1

2

















m

1

m

2

c

1

W następnym kroku otrzymaną wcześniej funkcję
charakterystyczną (

12.2

) poddaje się rozkładowi

na ułamek łańcuchowy

21-12-27

17

3

 



































144

24

10

24

1

1

144

24

16

1

16

144

24

16

144

40

2

2

3

3

2

3

2

4

s

s

s

s

s

s

s

s

s

s

s

s

s

s

s

s

s

U

s

s

s

s

s

s

s

s

s

s

s

s

7

5

1

5

12

1

24

1

1

5

7

5

12

1

24

1

1

10

144

24

1

24

1

1

2

























m

1

m

2

c

1

c

2

Otrzymany układ dyskretny

21-12-27

18

Wartości liczbowe:

m

1

m

2

c

1

c

2

m

N

5

7

,

m

N

24

kg

5

12

,

kg

1

2

1

2

1









c

c

m

m

4

Sprawdzenie wyniku

21-12-27

19

Wynik można sprawdzić np. za
pomocą równań różniczkowych ruchu
układu





























0

m

0

m

2

2

1

2

1

2

2

2

1

1

1

1

x

c

x

x

c

x

x

x

c

x





5





















0

m

0

m

2

2

1

1

2

1

2

2

2

1

1

1

1

1

x

c

x

c

x

c

x

x

c

x

c

x





6





















0

m

-

0

m

-

2

2

1

1

2

1

2

2

2

2

1

1

1

2

1

1

A

c

A

c

A

c

A

A

c

A

c

A





7

21-12-27

20



















































0

0

2

1

2

2

2

1

1

1

2

1

1

A

A

m

c

c

c

c

m

c





9

1

0

1

1



























0

m

-

A

0

m

-

A

2

2

2

1

2

1

1

1

2

2

1

1

1





c

c

c

A

c

A

c

8

 

0

2

2

2

1

1

1

2

1

1

2























m

c

c

c

c

m

c







0

2

1

2

2

2

1

2

1

1











c

m

c

c

m

c





21-12-27

21

Szukając miejsc zerowych
otrzymanego wyrażenia otrzymuje
się:





0

2

1

2

1

2

1

1

2

1

4

2

1











c

c

m

c

m

c

m

c

m

m





1

2

996920865

,

35

0058328368

,

4

2

2

2

1









1

3

9997

,

5

0015

,

2

2

1









1

4

Uwzględnienie założeń dotyczących
tłumienia



tłumienie proporcjonalne do elementu
inercyjnego

21-12-27

22

m

1

m

2

c

1

b

1

c

2

b

2

s

1

8

0

się

przyjmuje

,

m

Ns

2

,

h

hm

b

i

i





1

5

m

Ns

b

m

Ns

b

25

96

5

8

2

1





1

5

Uwzględnienie założeń dotyczących
tłumienia



tłumienie proporcjonalne do elementu
sprężystego

21-12-27

23

m

1

m

2

c

2

b

2

1

5

m

Ns

b

m

Ns

b

500

7

25

6

2

1





1

5

s

01

0

się

przyjmuje

,

s

1

2

,

m

Ns

2

,

λω

h

c

b

n

n

i

i











c

1

b

1

Bibliografia:



Buchacz A., Dymarek A., Dzitkowski T.: Projektowanie i badanie
wrażliwości ciągłych i dyskretno-ciągłych układów mechanicznych o
żądanym widmie częstotliwości w ujęciu grafów i liczb strukturalnych.
Monografia, Politechnika Śląska, Gliwice 2005.



Dymarek A.: Odwrotne zadanie dynamiki tłumionych mechanicznych
układów drgających w ujęciu grafów i liczb strukturalnych. Politechnika
Śląska, Gliwice 2001.



Kordos M.: Lepsze ułamki. Artykuł miesięcznika Delta 07.2006

21-12-27

24

KONIEC