Modelowanie układu

krążenia

D. Radomski

A. Grzanka

Analiza i modelowanie procesów fizjologicznych

Anatomia układu

krążenia

Fizjologiczne mechanizmy

regulacji ciśnienia

tętniczego

odruch neuronalny – spadek przepływu krwi przez naczynia mózgowe aktywuje odpowiednie

ośrodki neuronowe. Pobudzone neurony generują sygnał stymulujący zakończenia nerwowe w
naczyniach, powodując zmniejszenie średnicy i podatności naczyń. Odruch ten charakteryzuje
mała stała czasowa.

odruch hormonalny- obniżenie ciśnienia w tętnicy nerkowej powoduje wydzielanie do

krwioobiegu hormonów: reniny, angiotensyny i aldosteronu. Angiotensyna stymulując receptory
w naczyniach, powoduje zwężenie naczyń.
ldosteron zwiększa objętość krążącej krwi poprzez większe wchłanianie wody w nerkach. Stała
czasowa tego odruchu wynosi kilka minut.

odruch chemoreceptorów - sygnałem wejściowym dla tego odruchu jest spadek stężenia tlenu

we krwi lub wzrost stężenia dwutlenku węgla. Dochodzi wówczas do wydzielania substancji
chemicznych w ścianie naczynia, zmniejszających jego średnicę. Stała czasowa dynamiki tego
odruchu wynosi ok. 30 min. U pacjentów monitorowanych anestezjologicznie odruch ten nie
występuje, gdyż respirator zapewnia stałe, optymalne warunki utlenowania krwi.

odruch baroreceptorów- baroreceptorami nazywamy „biologiczne czujniki” umiejscowione w

tętnicy szyjnej i aorcie, reagujące na mechaniczne rozszerzenie naczyń przez wzrastające
ciśnienie krwi. W zakresie niskich ciśnień odruch ten charakteryzuje się silnym działaniem
regulującym, ze stałą czasową kilkudziesięciu sekund. Wywiera on wielowymiarowe działanie
poprzez zwiększenie częstość pracy serca i siły kurczliwości komór. Ponadto powoduje wzrost
oporu naczyń obwodowych oraz objętości krążącej krwi.

Czasowo –przestrzenna

klasyfikacja modeli układu

krążenia

P o z io m s e g m e n tó w

a n a to m ic z n y c h

M o d e l p r z e p ły w u

p r z e z s ie ć n a c z y ń

d a n e g o s e g m e n tu

n a p r z y k ła d . k o ń c z y n d o ln y c h

1 0

P o z io m tę tn ic

i ż y ł

M o d e le p r z e p ły w u

p r z e z tę tn ic e i ż y ły

1 0

3

s e k

1 0

2

M o d e le p r z e p ły w u

p r z e z c a ły u k ła d

k r ą ż e n ia

P o z io m u k ła d u

k r ą ż e n ia

1 0

1

0

Uśredniony model układu

krążenia (model Slate’a)

r e g u la c ja h o r m o n a ln a

G ( s )

r

ś r e d n ie c iś n ie n ie tę tn ic z e

T

P

G s( )

d

P t( )

d

P

i

P t()

n

P t()

r

P t()

h

K

r

P t( )

o

G ( s )

n

e t()

U ( )t

P t

( )

*

P

S

P t()

Opis matematyczny modelu

Slate’a

• Model wpływu leku na średnie ciśnienie tętnicze

gdzie: K jest współczynnikiem oddziaływania leku na receptory (modeluje wrażliwość
pacjenta na lek) , T

i

- oznacza opóźnienie transportowe leku - czas dotarcia do

receptora,  jest współczynnikiem określającym frakcję aktywnego metabolitu leku,

T

C

wyraża opóźnienie transportowe metabolitu leku - czas metabolizmu i dotarcia do

receptora, zaś T stałą czasową inercji receptorów i biotransformacji leku

• Model składowej oddechowej

(1

)

( )

1

i

c

Ts

T s

d

Ke

e

G s

Ts

m

-

-

+

=

+

2

( )

sin

(

)

o

o

t

T

P t

A

p

=

gdzie: A oznacza amplitudę zmian ciśnienia, zaś To jest okresem rytmu oddechowego

• Model wpływu autonomicznego układu nerwowego:

(

)

2

30

1

n

n

K

G

s

=

+

g

dzie e(t) jest szumem białym

• Model regulacji hormonalnej

Sygnałem pobudzającym jest różnica ciśnień ,

P

r

(t)=P)t)-P

T

(t), przy czym

P

T

(t)

jest progiem wrażliwości układu. Model składa się z dwóch szeregowo

połączonych części. Pierwsza opisana jest nieliniową statyką wyrażoną
równaniem:

T

T

0

P( )

( )

( )

( )

P(t)<P ( )

( )

P(t)<P ( )

( )

T

h

r

r

r

r

s

s

r

r

s

dla

t

P t

P t

K P t

dla

t i K P t

P

P

dla

t i K P t

P

d

d
d

�

�

�

=

<

�

�

�

�

gdzie P

S

jest maksymalną zmianą ciśnienia wywieraną przez układ renina angiotensyna, zaś K

r

oznacza współczynnik wzmocnienia układu. Dynamika części liniowej opisuje się następująco

( )

( ) ( )

r

r

h

P s

G s P s

=

gdzie transmitancja ma postać:

( )

1

r

sT

r

r

e

G s

st

-

=

+

Stała czasowa



r

reprezentuje czas chemicznych przemian reniny do angiotensyny, T

r

opóźnienie

modeluje
czas dotarcia aktywnego biologicznie hormonu do receptora w naczyniach.

Wartości parametrów

modelu Slate’a

Parametr

jednostka

Średnia
w populacji

Min
w populacji

Max
w populacji

K

mmHg/(ml h

-1

)

1.0

0.25

9.0



-

0.30

0.00

0.4

T

i

s

30.0

20.0

60.0

T

c

s

45.0

30.00

75.0

T

s

40.0

30.00

60.0

P

t

mmHg

90

70

115



r

s

240

---

---

K

r

mmHg

-1

-0.9

-2

T

r

s

45

30

60

A

mmHg

3

2

4

T

o

oddech/min

10

6

12

Symulacja modelu

Slate’a

0

50

100

150

200

250

300

350

400

90

100

110

ci

śn

ie

ni

e

[m

m

H

g]

a)

b)

c)

0

50

100

150

200

250

300

350

400

90

100

110

ci

śn

ie

ni

e

[m

m

H

g]

0

50

100

150

200

250

300

350

400

80

90

100

110

czas [sek]

ci

śn

ie

ni

e

[m

m

H

g]

a)

b)

c)

podanie leku

Przebieg średniego ciśnienia tętniczego: a) wpływ układu hormonalnego i oddechowego wyłączony.
b) włączenie układu hormonalnego c) wpływ wszystkich składowych ciśnienia krwi.

Model McLoad’a (nie

uśredniony)

P ł u c a

L e w a

c z ę ś ć s e r c a

P r a w a

c z ę ś ć s e r c a

G ł o w a

R ę c e

T u ł ó w

N o g i

Ż

yła

g

łó

w

na

A

or

ta

F

P

F

P

P

F

F

F

F

U

P

R

G

N

L

Z

A

T

Założenia do modelu

McLeod’a

•

Przepływ krwi przez naczynia ma charakter newtonowski

•

Współczynnik podatności naczyń jest wielkością stałą w czasie

•

Czas zamknięcia zastawek serca jest pomijany

•

Model opisywany jest parametrami skupionymi

Opis matematyczny modelu

W modelu wyróżniono 9 podsystemów modelujących anatomiczne części
organizmu W dalszej części pracy przez P (z odpowiednim indeksem)
oznaczać będziemy ciśnienie krwi, przez F – przepływ, zaś V określać
będzie objętość naczynia. Indeksy odpowiadać będą poszczególnym
podsystemom, tzn. A oznacza aortę, L – lewa część serca, P – prawa
część serca, U – naczynia płuc, G - naczynia głowy, R – naczynia rąk, N –
naczynia nóg, T – tułowia, Z – żyłę główną. Wprowadźmy też zbiór
zawierający indeksy podsystemów naczyń tkanek narządów

Składniki modelu McLeod’a

(1)

• Model aorty i żyły głównej:

Żyła główna zbiera krew z naczyń obwodowych, zaś

aorta jest „rozdzielaczem” krwi do naczyń obwodowych. Zarówno aorta jak i żyła

główna charakteryzuje się bardzo dużą średnicą w porównaniu z naczyniami

obwodowymi i płucnymi, dlatego ich opór bliski zeru – został pominięty w modelu.

Model aorty i żyły głównej jest liniowy. Dla aorty model ma postać:

( )

( )

( )

1

( )

( )

A

L

k

k S

A

A

A

dV t

F t

F t

k S

dt

P t

V t

C

�

=

-

�

=

�

%

k

F%

-

oznacza napływ krwi do naczyń obwodowych. Dla żyły głównej otrzymujemy analogiczne równania:

k

F%

( )

( )

( )

1

( )

( )

Z

k

P

k S

Z

Z

Z

dV t

F t

F t

k S

dt

P t

V t

C

�

=

-

�

=

�

%

określa przepływ przez prawy przedsionek

P

F%

Składniki modelu McLeod’a

(2)

•Model naczyń obwodowych

F ( t)

P ( t )

r

R

V ( t)

C

Naczynie zastępcze dla obwodowych sieci naczyń układu krążenia

( )

1

1

1

1

( )

( )

( )

1

1

( )

,

1

1

( )

( )

( )

k

A

k

Z

k

k k

k k

k

k

k

Z

k k

k

k

A

k

k

k k

dV t

P t

V t

P t

dt

R

C R

C r

r

F t

V (t)

P (t)

k S

C r

r

F t

P t

V t

R

R C

�

�

=

-

+

-

�

�

�

�

=

-

�

=

-

%

( )

k

k

V t

C

Stosunek wyraża ciśnienie panujące wewnątrz naczynia

Składniki modelu McLeod’a

(3)

• Model przepływu krwi przez serce:

- Model zastawek:

( )

( )

G x

x

x

= �

1

gdzie :

( ),

( )

P

A

x F t x F t

=

=

- oznacza przepływ odpowiednio przez przedsionek, aortę

- Model kurczliwości komory serca

( )

( )

( )

V

V

dP t

E t

dV t

=

gdzie:

V

P oznacza ciśnienie w komorze

V

V

określa objętość komory

E modeluje kurczliwość ścian
komory

Składniki modelu McLeod’a

(4)

Opis kurczliwości komory serca

Dla komory lewej:

2

3

1.24

0.0015

0.32

( )

57.56 492.14 1417.42

1366.67

t (0.32;0.4]

0

L

t

dla t

E t

t

t

t

dla

d

+

�

=

-

+

-

�

(0.4;1]

la t

�

�

�

�

�

�

Dla komory prawej:

2

2

3

0035 13054 26.035

0.31

( )

6.463 72.77 324.25

453.34

t (0.31;0.4]

0

(0.4;1]

P

.

.

t

t

dla t

E t

t

t

t

dla
dla t

�-

+

-

�

�

�

=

-

+

-

�

�

�

�

�

�

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

1.6

1.8

2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

1.6

czas [min]

sp

ęż

ys

to

ść

[

m

l/m

m

H

g]

Podatność prawej komory

(

)

(

)

(

)

(

)

( ) 1

1

( )

( ) ( )

( ) ( )

( )

1

( )

( ) ( )

( )

1

( )

( )

( ) ( )

L

U

L

L

L

L

A

L

L

l

A

L

U

L

L

dV t

G P t V t E t

G V t E t

P t

dt

R

r

F t

G V t E t

P t

r

F t

G P t V t E t

R

=

-

-

-

=

-

-

-

%

Dynamika przepływu przez serce

przepływ krwi przez
przedsionek

Wartości parametrów

modelu

McLeaod’a

Podsystem

R

k

[mmHg/ml/sec]

r

k

[mmHg/ml/sec]

C

k

ml/mmHg

Prawa część serca

k=P

0.0128

0.011

-----

Żyła główna

k=Ż

----

----

250

Część tętnicza naczyń
płucnych

k=1

0.1429

0

7.51

Część żylna naczyń
płucnych

k=2

0

0

30

Lewa część serca

k=L

0.058

0.012

-----

Aorta

k=A

-------

------

1.25

Głowa

k=G

2.58

5

250

Ręce

k=R

5.16

10

1.21

Tułów

k=T

0.65

1.41

34

Nogi

k=N

2.58

5

11.1

Żyła główna

k=Z

--------

--------

250

Model działania leku oraz

regulacji hormonalnej dla

modelu McLeod’a

1



R

R

sT

K

1

T

T

K

s T 

1



N

N

s T

K

M o d e l d y n a m ik i le k u

U

o

sT

e



R

R

T

R

N

R

Model dynamiki efektu farmakologicznego leku

( )

A

P t



( )

A

P t

r

s T

e



1

R

R

K

s



1

V

V

K

s



R

m

V

m

-

+

T

P

T

R

T

V

Model efektu regulacji hormonalnej

ciśnienia krwi

Symulacja przepływu krwi

przez

układ krążenia w oparciu o

model McLeod’a

Fala ciśnienia tętniczego generowana przez model

0

50

100

150

200

250

300

350

400

80

100

120

140

160

czas [sek]

śr

ed

ni

e

ci

śn

ie

ni

e

[m

m

H

g]

a)

b)

120

130

140

150

160

170

180

190

200

80

100

120

czas [sek]

ci

śn

ie

ni

e

[m

m

H

g]

dawka leku

Sposoby symulacji stanów

patologicznych

*

0

( )

2

0

x

dla x

G x

dla x













Stan patologiczny`

Mechanizm biologiczny

Sposób modelowania

obniżenie

wrażliwości pacjenta

na lek

długotrwałe dawkowanie leku

uodpornia organizm na jego

działanie.

wykładniczo malejąca

wartość współczynnika

K

obniżenie

pobudzenia

układu

nerwowego

podanie leku znieczulającego,

redukując ból, zmniejsza

aktywność układu nerwow.

Skokowe zmniejszenie

P

T

układu RA

wstrząs

kardiogenny

niedotlenienie serca

zmniejsza jego sprawność

mechaniczną, przy

jednoczesnym pobudzeniu

układu RA

Skokowe zmniejszenie
E

L

oraz wzrost K

r

wstrząs

hipowolemiczny

niekontrolowane krwawienie

wewnątrz organizmu na

skutek powikłania

pooperacyjnego

Wykładnicze malenie V

T

uszkodzenie

zastawki

przedsionkowo –

komorowej

mechaniczne uszkodzenie

płatka zastawki prowadzi do

jej niedomykalności i

wstecznego przepływu krwi

w sercu

Wykorzystanie modelu

układu krążenia do badania

systemu

automatycznego dozowania

leku

R e g u la to r d a w k o w a n ia

le k u h ip o te n s y jn e g o

M o d e l u k ła d k r ą ż e n ia

u ( t)

P ( t)

A

Schemat układu sterowania dawkowaniem leku

0

5

10

15

20

25

30

80

100

120

140

ci

śn

ie

ni

e

[m

m

H

g]

[

0

5

10

15

20

25

30

0

20

40

60

80

da

w

ka

le

ku

[

m

l/h

r]

Czas [min]

wstrzas

Regulacja ciśnienia krwi zakłócona wystąpieniem wstrząsu kardiogennego