Wiesław WSZOŁEK

Wiesław WSZOŁEK

Akademia Górniczo-

Akademia Górniczo-

Hutnicza

Hutnicza

Podstawy

Podstawy

Automatyki

Automatyki

Wykład 4

Wykład 4

Własności dynamiczne

Własności dynamiczne

układów liniowych

układów liniowych

Wykład 4

Wykład 4

Własności dynamiczne

Własności dynamiczne

układów liniowych

układów liniowych

2



Wprowadzenie



Sposoby

oceny

własności

układów

liniowych



Wprowadzenie

do

charakterystyk

czasowych



Przykłady

podstawowych

elementów

automatyki i ich charakterystyki czasowe

Plan wykładu:

Plan wykładu:

3

Wprowadzenie



analizując i projektując układy automatyki musimy
mieć
możliwość porównywania ich właściwości,



w tym celu stosuje się określone testowe sygnały
wejściowe, umożliwiające porównanie
odpowiedzi badanych układów na te sygnały,



powszechnie

wykorzystywanymi

testowymi

sygnałami wejściowymi są funkcje:

skokowa

,

liniowa

,

impulsowa

,

sinusoidalna

, itp,



dla tych sygnałów testowych można łatwo
przeprowadzić analizę matematyczną i
eksperymentalną układów sterowania, ponieważ
sygnały te są bardzo prostymi funkcjami do
wygenerowania.

4

Sposoby oceny własności układów liniowych



właściwości

układu

liniowego

o

stałych

parametrach (stacjonarnego) można opisać za
pomocą liniowego równania różniczkowego o
stałych współczynnikach, którego postać ogólna
jest następująca



z powyższego równania wynika

charakterystyka

statyczna

, na podstawie której wnioskujemy o

właściwościach statycznych układu

x

b

dt

x

d

b

dt

x

d

b

y

a

dt

y

d

a

dt

y

d

a

m

m

m

m

m

m

n

n

n

n

n

n

0

1

1

1

0

1

1

1































przy czym n>m

x

b

y

a

0

0



5



właściwości dynamiczne układu ocenia się
zwykle

na

podstawie przebiegu sygnału wyjściowego y(t),
będącego wynikiem wprowadzenia określonego
sygnału wejściowego x(t)



istnieją dwie drogi podejścia do rozwiązania tego
zagadnienia:



analiza

przybliżona

(z

aproksymacji

odpowiedzi układu wnioskujemy o cechach
rozwiązania i o sposobie zmiany konfiguracji
układu, tak aby uzyskać wymaganą odpowiedź)



metoda

operatorowa

(znalezienie

przekształcenia

pozwa-lającego

zastąpić

równania

różniczkowo-całkowe

zwykłymi

równaniami algebraicznymi  przekształcenie

Laplace’a)

Sposoby oceny własności układów liniowych

6

Wprowadzenie do charakterystyk czasowych



Charakterystyka czasowa

jest przebiegiem w

czasie odpowiedzi układu dynamicznego y(t) na
określone wymuszenie x(t)

Układ

dynamiczn

y

Układ

dynamiczn

y

x(t

)

y(t

)

?

?

t

x(t

)

t

y(t

)

 

   

s

X

s

G

s

Y



 

 





   





s

X

s

G

L

s

Y

L

t

y

1

1









G(s) – transmitancja
operatorowa

X(s) – transformata
wymuszenia

Y(s) – transformata
odpowiedzi

7

Najczęściej stosowanymi wymuszeniami
są:

















0

dla

,

0

dla

,

0

)

(

)

(

t

t

t

t

x





skok jednostkowy 1(t

skok jednostkowy 1(t

)

)

(tzw. funkcja

Heaviside’a) - mówimy wówczas o
odpowiedzi skokowej h(t),















0

dla

,

1

0

dla

,

0

)

(

1

)

(

t

t

t

t

x



impuls Diraca

impuls Diraca





(t)

(t)

(tzw. funkcja wagi

układu) - mówimy wówczas o odpowiedzi
impulsowej g(t).

8

Przykłady podstawowych
elementów automatyki i ich
charakterystyki czasowe



Element proporcjonalny
(bezinercyjny)



Element inercyjny pierwszego
rzędu



Element całkujący



Element całkujący rzeczywisty



Element różniczkujący rzeczywisty



Element oscylacyjny



Element inercyjny drugiego rzędu



Element opóźniający

9

Element proporcjonalny
(bezinercyjny)

Postać równania opisującego element
proporcjonalny

)

(

)

(

t

x

K

t

y





gdzie:

K - współczynnik wzmocnienia

x(t) - sygnał wejściowy

y(t) - sygnał wyjściowy

K

s

X

s

Y

s

G





)

(

)

(

)

(

Transmitancja
operatorowa

10

Charakterystyki czasowe elementów
proporcjonalnych

)

(

1

)

(

)

(

t

K

t

h

t

y







Odpowiedź
skokowa

)

(

)

(

)

(

t

K

t

g

t

y









Odpowiedź impulsowa

t

K

h(t)

t

g(t)

11

Przykłady elementów
proporcjonalnych

Mechaniczne układy
dźwigniowe

Siłownik pneumatyczny

)

(

)

(

t

x

a

b

t

y



)

(

)

(

t

x

b

a

a

t

y





)

(

)

(

t

x

k

A

t

y 

a

a

b

b

x

x

y

y

p = x

y

A

k

12

Prasa hydrauliczna

Rezystancyjny dzielnik
napięcia

)

(

)

(

1

2

t

x

A

A

t

y 

)

(

)

(

2

1

2

t

u

R

R

R

t

u

x

y





F

1

= x

F

2

= y

A

1

A

2

Przykłady elementów
proporcjonalnych

R

1

R

2

i

U

x

U

y

13

Element inercyjny pierwszego
rzędu

Postać równania różniczkowego

Transmitancja operatorowa

)

(

)

(

)

(

t

Kx

t

y

dt

t

dy

T





1

)

(

)

(

)

(







Ts

K

s

X

s

Y

s

G

gdzie:

K - współczynnik

wzmocnienia

T - stała czasowa

14

Charakterystyki czasowe elementów
inercyjnych 1-go rzędu























t

T

e

K

t

h

t

y

1

1

)

(

)

(

t

T

e

T

K

t

g

t

y









1

)

(

)

(

Odpowiedź
skokowa

Odpowiedź impulsowa

T

t

K/T

g(t)

t

h(t)

K

0,63 K

T

0,95 K

3T

15

Przykłady elementów inercyjnych 1-
go rzędu

Masa wirująca na wale

Zbiornik z
cieczą









1

K

,

:

gdzie

)

(

)

(

)

(









I

T

t

M

K

t

dt

t

d

T





H

H

R

K

AR

T

t

q

K

t

h

dt

t

dh

T









,

:

gdzie

)

(

)

(

)

(

0



R

I

M



A

h

q

0

R

H

q

1



16

Zbiornik z
gazem

Układ LR

1

,

:

gdzie

)

(

)

(

)

(









K

R

C

T

t

p

t

p

dt

t

dp

T

p

p

x

y

y

1

,

:

gdzie

)

(

)

(

)

(









K

R

L

T

t

u

t

u

dt

t

du

T

x

y

y

L

R

u

x

u

y

i

Przykłady elementów inercyjnych 1-
go rzędu

p

x

p

y

V

C

p

R

p

17

Element całkujący

Postać równania różniczkowego

Transmitancja operatorowa

)

(

)

(

lub

)

(

)

(

t

x

dt

t

dy

T

t

x

K

dt

t

dy







s

T

s

G

s

K

s

X

s

Y

s

G









1

)

(

lub

)

(

)

(

)

(

gdzie:

K - współczynnik wzmocnienia

T - stała czasowa

18

Charakterystyki czasowe elementów
całkujących

Odpowiedź skokowa

Odpowiedź
impulsowa

t

T

t

K

t

h

t

y











1

)

(

)

(

)

(

1

1

)

(

1

)

(

)

(

t

T

t

K

t

g

t

y











=arctg K

t

h(t)



t

K

g(t)

19

Przykłady elementów
całkujących

Przekładnia cierna

Zbiornik z
cieczą

A

T

t

Q

dt

t

dh

T





:

gdzie

)

(

)

(





r

T

t

x

dt

t

d

T





:

gdzie

)

(

)

(

x=Q

A

h=y



=con

st

x

=y

r

20

Przykłady elementów
całkujących

Zespół rozdzielacz – siłownik

Idealny kondensator









b

A

T

t

x

dt

t

dy

T

:

gdzie

)

(

)

(

C

T

t

i

dt

t

du

T

y





:

gdzie

)

(

)

(

C

i

i

u

y

P

S

P

S

P

Z

v=co
nst

y

x

A

21

Postać równania
różniczkowego

)

(

)

(

)

(

2

2

t

x

K

dt

t

dy

dt

t

y

d

T







Transmitancja operatorowa

)

1

(

)

(

)

(

)

(







Ts

s

K

s

X

s

Y

s

G

Element całkujący
rzeczywisty

gdzie K - współczynnik wzmocnienia

T - stała czasowa

22

)

1

(

)

(

)

(

T

t

e

KT

Kt

t

h

t

y































T

t

e

K

t

g

t

y

1

)

(

)

(

Odpowiedź
skokowa

Odpowiedź impulsowa

Charakterystyki czasowe elementów całkujących rzeczywistych

T

3T

t

g(t)

K

t

h(t)

T

23

1

2

1

2

2

1

,

:

gdzie

)

(

)

(

)

(

k

K

k

k

RJ

T

t

KU

dt

t

d

dt

t

d

T

S













1

2

2

2

2

2

1

,

:

gdzie

)

(

)

(

)

(

C

K

RC

T

t

Ki

dt

t

dU

dt

t

U

d

T









Przykłady elementów całkujących rzeczywistych

Silnik prądu

stałego

Czwórnik
RC

U

2

C

1

C

2

R

i

U

1

(t)

i

U

S

(t)

U

w

=

con
st

R

24

Element różniczkujący rzeczywisty

Postać równania
różniczkowego

Transmitancja operatorowa

gdzie K - współczynnik wzmocnienia
T - stała czasowa

dt

t

dx

K

t

y

dt

t

dy

T

)

(

)

(

)

(





1

)

(

)

(

)

(









Ts

s

K

s

X

s

Y

s

G

25

Odpowiedź skokowa

Odpowiedź impulsowa

Charakterystyki czasowe elementów

różniczkujących

rzeczywistych

t

T

e

T

K

t

h

t

y











1

)

(

)

(

t

T

e

T

K

t

T

K

t

g

t

y











1

2

)

(

)

(

)

(



t

-K/T

2

g(t)

T

t

K/T

h(t)

26

k

A

R

K

T

dt

t

dx

K

t

y

dt

t

dy

T

H

2

:

gdzie

)

(

)

(

)

(









Przykłady elementów różniczkujących rzeczywistych

Tłumik
hydrauliczny

Układ RC

u

x

u

y

C

R

RC

K

T

dt

t

du

K

t

u

dt

t

du

T

x

y

y









:

gdzie

)

(

)

(

)

(

k

E

y

x

R

H

A

27

Element oscylacyjny (drugiego rzędu)

Postać równania
różniczkowego

K - wsp.
wzmocnienia
T - stała czasowa
 - wsp. tłumienia

)

(

)

(

)

(

2

)

(

2

2

2

t

x

K

t

y

dt

t

dy

T

dt

t

y

d

T











Warunek powstawania drgań

1

2

)

(

)

(

)

(

2

2









Ts

s

T

K

s

X

s

Y

s

G



Transmitancja operatorowa

1

0







Drgania
tłumione

czyli

0

4

4

2

2

2



 T

T



1

1









28

Odpowiedź skokowa





















































t

T

e

K

t

h

t

y

T

t

2

2

1

sin

1

1

1

)

(

)

(

Charakterystyki czasowe elementów oscylacyjnych 2-go rzędu

Wartości współczynnika tłumienia decydują o
rodzaju drgań



•

dla drgania nietłumione

0





•

dla drgania tłumione

1

0







•

dla odpowiedź aperiodyczna,

nieoscylacyjna

1





Odpowiedź
impulsowa

T

t

e

T

t

g

t

y

T

t

2

1

sin

1

1

)

(

)

(

2

















29

Charakterystyki czasowe elementów
oscylacyjnych 2-go rzędu

Odpowiedź
skokowa

Odpowiedź
impulsowa

t

K

h(t)

ksi=0.3

ksi=0.7

ksi=0

t

0

g(t)

ksi=0.3

ksi=0.7

ksi=0

30

Przykłady elementów oscylacyjnych drugiego rzędu

masa-tłumik-sprężyna

siłownik pneumatyczny





ak

K

k

c

T

ak

b

a

m

T

t

F

K

t

dt

t

d

T

dt

t

d

T

1

,

,

:

gdzie

)

(

)

(

)

(

)

(

1

2

1

2

2

2





















k

A

K

k

c

T

k

m

T

t

K

t

y

dt

t

dy

T

dt

t

y

d

T













,

,

:

gdzie

)

(

p

)

(

)

(

)

(

1

2

1

2

2

2

a

b

k



m

c

F(t)

p

A

k

m

c

y

31

Przykłady elementów oscylacyjnych drugiego rzędu

układ RLC

układ zbiornika z
cieczą

1

,

,

:

gdzie

)

(

)

(

)

(

)

(

1

2

1

2

2

2













K

RC

T

LC

T

t

u

K

t

u

dt

t

du

T

dt

t

u

d

T

x

y

y

y







2

1

2

1

2

2

1

2

2

2

,

,

:

gdzie

)

(

p

)

(

)

(

)

(

A

A

K

A

R

T

A

m

T

t

K

t

h

dt

t

dh

T

dt

t

h

d

T

H













u

x

R

i

L

C

u

y

p=
x

A

1

h=
y

A

2

R

H

32

Element inercyjny drugiego
rzędu

Postać równania
różniczkowego

)

(

)

(

)

(

)

(

1

2

2

2

2

t

x

K

t

y

dt

t

dy

T

dt

t

y

d

T









2

1

2T

T 

Transmitancja operatorowa

s

T

T

T

KT

s

T

T

T

KT

s

G

s

G

s

G

4

4

3

4

3

4

3

3

2

1

1

1

)

(

)

(

)

(

















1

)

(

)

(

)

(

1

2

2









s

T

s

T

K

s

X

s

Y

s

G







1

1

)

(

4

3







s

T

s

T

K

s

G

lub

lub w wyniku rozkładu równania na
ułamki proste

33

Element

inercyjny

drugiego

rzędu

można

przedstawić w postaci szeregowego połączenia
dwóch elementów inercyjnych pierwszego rzędu

1

1

2

2

2



 s

T

s

T

K

1

3



s

T

K

1

1

4



s

T

=>

wynoszą
odpowiednio

4

3

i T

T

2

2

2

1

1

3

4

2

T

T

T

T







2

2

2

1

1

4

4

2

T

T

T

T







ora
z

Element inercyjny drugiego rzędu

34

Odpowiedź skokowa

Odpowiedź
impulsowa

)

(

)

(

)

(

4

3

4

3

T

t

T

t

e

e

T

T

K

t

g

t

y























































4

3

4

3

4

3

1

1

)

(

)

(

T

t

T

t

e

T

e

T

T

T

K

t

h

t

y

Element inercyjny drugiego
rzędu

35

Odpowiedzi czasowe elementów inercyjnych drugiego rzędu

Odpowiedź skokowa

Odpowiedź
impulsowa

t

g(t)

t

K

h(t)

36

Przykład elementu inercyjnego drugiego rzędu

Podwójny czwórnik RC





























2

2

1

2

2

2

2

1

1

1

0

1

1

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

R

t

u

t

u

dt

t

du

C

R

t

u

t

u

R

t

u

t

u

dt

t

du

C

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

0

2

2

21

2

1

2

2

2

2

1

t

u

t

u

dt

t

du

T

T

T

dt

t

u

d

T

T











Po
przekształceniach

2

1

12

2

2

2

1

1

1

,

,

C

R

T

C

R

T

C

R

T







gdzi
e:

R

1

R

2

C

1

u

0

u

1

u

2

C

2

37

Element opóźniający

Postać równania
różniczkowego

Transmitancja operatorowa

Odpowiedź skokowa

Odpowiedź
impulsowa

)

(

)

(









t

x

K

t

y

s

e

K

s

G









)

(

)

(

1

)

(

)

(











t

K

t

h

t

y

)

(

)

(

)

(













t

K

t

g

t

y

38

Odpowiedź skokowa

Odpowiedź
impulsowa

Odpowiedzi czasowe elementów opóźniających

t

K

h(t)



t

g(t)



39

Przykłady elementów opóźniających

odcinek
rurociągu

transporter

v

l

K

t

x

K

t

y













,

1

:

gdzie

)

(

)

(

v

l

Q

K

t

Q

K

t

y













,

1

:

gdzie

)

(

)

(

1

2

x

v

l

y

v

v

l

a

Q

1

Q

2