Wiesław WSZOŁEK

Wiesław WSZOŁEK

Podstawy Automatyki

Podstawy Automatyki

Wykład 1

Wykład 1

Wprowadzenie do układów

Wprowadzenie do układów

automatycznego sterowania

automatycznego sterowania

Wykład 1

Wykład 1

Wprowadzenie do układów

Wprowadzenie do układów

automatycznego sterowania

automatycznego sterowania

Podstawy
Automatyki

Podstawy
Automatyki

2



Wprowadzenie



Rys historyczny



Pojęcia podstawowe



Klasyfikacja układów sterowania
automatycznego



Przykłady układów sterowania



Sygnały w układach automatycznego
sterowania

•

Sygnały ciągłe

•

Sygnały impulsowe

•

Sygnały dyskretne

•

Sygnały losowe

Plan wykładu:

Plan wykładu:

Podstawy
Automatyki

Podstawy
Automatyki

3

Wprowadzenie



Automatyka

to dyscypliną naukową, która ten dorobek

porozrzucany w różnych działach techniki zebrała,
usystematyzowała i, co najważniejsze uogólniła, a przez to
radykalnie uprościła.



Zadaniem automatyki

jest określenie

decyzji

(o sygnale

sterowania), którą trzeba podjąć wobec

systemu

, aby

otrzymać jego z

góry założone właściwości

.



Decyzję tę podejmuje się

na podstawie posiadanych o

tym systemie

informacji

.

Podstawy
Automatyki

Podstawy
Automatyki

4



Automatyka traktuje tak samo rozmaite urządzenia
techniczne będące przedmiotem jej zainteresowania, a
więc np. maszynę parową, reaktor chemiczny i żelazko,
operując w stosunku do nich takimi pojęciami jak

obiekt

,

wejście

,

wyjście

oraz

modelami fizycznymi i

matematycznymi

, opisującymi działanie urządzeń przy

użyciu np:



równań różniczkowych,



schematów blokowych,



charakterystyk czasowych lub częstotliwościowych

Podstawy
Automatyki

Podstawy
Automatyki

5

Rys historyczny

1. Okres:

(koniec XVIII w. - początek XX w.)

•

1750 rok - James Watt, wynalazł

regulator

odśrodkowy

zastoso-

wany

do

sterowania

maszyny

parowej. Regulator taki zapewniał
utrzymywanie

stałej

prędkości

obrotowej maszyny parowej, przy
zmieniającym się obciążeniu i
ciśnieniu pary.

Regulator odśrodkowy Jamesa Watt`a

Podstawy
Automatyki

Podstawy
Automatyki

6

Pojęcia podstawowe



Sterowanie

Sterowanie

– oddziaływanie na dany obiekt w sposób

zamierzony

, mający doprowadzić do spełnienia określonego

celu.



sterowanie

w układzie otwartym



sterowanie

w układzie zamkniętym

(ze sprzężeniem

zwrotnym)



Regulacja

Regulacja

– sterowanie w układzie zamkniętym



Obiekt sterowania

Obiekt sterowania

–

układ fizyczny

lub

proces

technologiczny

(ogół czynności przy wytwarzaniu dóbr),

będący przedmiotem automatyzacji

Podstawy
Automatyki

Podstawy
Automatyki

7



Sygnałem

Sygnałem

- przebieg dowolnej wielkości fizykalnej

występującej w procesie sterowania będącą funkcją czasu



Sygnały wejściowe

Sygnały wejściowe

– wielkości fizyczne (np. prąd, przepływ,

temperatura, ciśnienie), wielkości którymi oddziałujemy na
obiekt sterowania



sterujące

– mające charakter zamierzony



zakłócające

– mające charakter przypadkowy



Sygnały wyjściowe

Sygnały wyjściowe

– wielkości fizyczne, zmienne, których

przebieg jest określony w zadaniu regulacji lub które są
użytkowane przez regulator jako pewne wielkości pomocnicze,
bądź informacje o przebiegu procesów zachodzących w
obiekcie

Podstawy
Automatyki

Podstawy
Automatyki

8

Obiekt sterowania

Schematyczne przedstawienie obiektu sterowania

Sygnały wejściowe

(zmienne zakłócające

zewnętrzne)

Sygnały

wejściow

e

(zmienne

sterujące)

Sygnały

wyjściow

e

(zmienne

sterowane)

Obiekt

sterowania

Obiekt

sterowania

Podstawy
Automatyki

Podstawy
Automatyki

9

Układ sterowania otwarty

Podstawy
Automatyki

Podstawy
Automatyki

10

Regulator

Element

nastawczy

Element

nastawczy

Algorytm

regulacji

Algorytm

regulacji

Element

wykonawc

zy

Element

wykonawc

zy

Obiekt

sterowania

Obiekt

sterowania

Element

pomiarowy

Element

pomiarowy

–

Sygnał

zakłócając

y

Uchyb regulacji

Sygnał

wejściow

y

Sygnał

sterując

y

Sygnał

proporcjonal

ny do

sygnału

wyjściowego

Sygnał

wyjściow

y

Układ sterowania zamknięty

Elementy układu automatyki

Podstawy
Automatyki

Podstawy
Automatyki

11

Przykład 1

Podstawy
Automatyki

Podstawy
Automatyki

12

Przykład 2

Podstawy
Automatyki

Podstawy
Automatyki

13

Elementy automatyki:



elementy

nastawcze

–

(np.

zadajniki,

klawiatura, przyciski itp.) umożliwiają określenie i
wprowadzenie wartości sygnału wejściowego



regulatory

–

umożliwiają

zrealizowanie

określonego wcześ -niej celu sterowania



elementy wykonawcze

(np. siłowniki, silniki,

grzałki itp.) – umożliwiają przeniesienie sygnału
sterującego na obiekt



elementy pomiarowe

– umożliwiają pomiar

dowolnego sygnału, najczęściej wyjściowego

Podstawy
Automatyki

Podstawy
Automatyki

14

Element

automatyk

i

Element

automatyk

i

Sygnał

wejściow

y

Sygnał

wyjściow

y

x(t

)

y(t

)

Sygnał

wejściow

y

Sygnał

wyjściow

y

Element

automatyk

i

Element

automatyk

i

x

1

(t

)

x

2

(t

)

x

n

(t

)

•
•

y

1

(t

)

y

2

(t

)

y

m

(

t)

•
•

Element automatyki: a) jednowymiarowy, b) wielowymiarowy



liniowe

– spełniają zasadę superpozycji

wynikającą z postulatu liniowości; są opisywane
liniowymi

równania-mi

różniczkowymi,

różnicowymi i algebraicznymi



nieliniowe

– nie spełniają zasady superpozycji;

w praktyce większość elementów jest nieliniowa

Elementy automatyki dzielimy na:

a)

b)

Podstawy
Automatyki

Podstawy
Automatyki

15

F

1

F

2

S iła

w e jś c io w a

S ił a

w y jś c io w a

a )

I(t)

b )

R

1

R

2

U (t)

1

U (t)

2

N a p ię c ie

w e jś c io w e

N a p ię c ie

w y jś c io w e

R e g u la to r

P r z e p ły w

w y jś c io w y

P r z e p ły w

w e jś c io w y

Z a w ó r

c )

Przykłady elementów: a) element mechaniczny, b) element

elektryczny,

c) element hydrauliczny, d) wielowymiarowy element cieplny

w o d a

W e jś c ie 2

w @ T

w

w i

p a r a w o d n a @ T

s 2

W e jś c ie 1

w = K A

S

S

S

w o d a @ T

w

W y jś c ie 1

p a r a w o d n a @ T

S

W y jś c ie 2

T

m

d )

Podstawy
Automatyki

Podstawy
Automatyki

16

Klasyfikacja układów
sterowania

Schemat otwartego układu

sterowania



Rozróżniamy dwa podstawowe rodzaje układów
sterowania



w układzie otwartym



w układzie zamkniętym

(ze sprzężeniem

zwrotnym)

Sygnał

sterują

cy

u(t

)

z

1

(t

)

Sygnał

wyjściow

y

y(t

)

Urządzenie

sterujące

Urządzenie

sterujące

Obiekt

sterowania

Obiekt

sterowania

z

2

(t

)

Otwarty

układ

sterowania

W

układzie

tym

urządzenie sterujące

nie

otrzymuje

żadnych

informacji

o

aktualnej

wartości

wielkości

sterowanej

(sygnału

wyjściowego),

lecz

co

najwyżej

pewne

dane

dotyczące

pożądanego

celu sterowania

Podstawy
Automatyki

Podstawy
Automatyki

17

Ogólny schemat układu

regulacji



Podanie sygnału wyjściowego na wejście układu,
tworzy

pętlę sprzężenia zwrotnego

, która

uzależnia sterowanie od skutków jakie to sterowanie
wywołuje



Sterowanie

ze

sprzężeniem

zwrotnym

czyli

sterowanie w układzie zamkniętym nazywamy

regulacją

Zamknięty

układ

sterowania

Regulator

Element

nastawczy

Element

nastawczy

Algorytm

regulacji

Algorytm

regulacji

Element

wykonawc

zy

Element

wykonawc

zy

Obiekt

regulacji

Obiekt

regulacji

Element

pomiarowy

Element

pomiarowy

–

w(t

)

w(t)

–

sygnał
wartości
zadanej



(t

)

(t)

–

sygnał
uchybu
regulacji

x(t

)

x(t)

–

sygnał
regulacji

u(t

)

u(t)

–

sygnał
sterujący

y(t

)

y(t

)

y(t)

–

sygnał

regulowa
ny

z

1

(t

)

z

2

(t

)

z(t)

–

sygnały
zakłócają
ce

w(t

)



(t

)

x(t

)

u(t

)

y(t

)

y(t

)

z

1

(t

)

z

2

(t

)

Zadanie

układu

regulacji:

   





0

t

y

t

w

lim

(t)

lim

t

t

















Podstawy
Automatyki

Podstawy
Automatyki

18



W

regulatorze

następuje:

 porównanie

aktualnej wartości sygnału

regulowanego z sygnałem wartości zadanej
(określenie wartości uchybu regulacji),

 wytworzenie

sygnału sterującego

wg

określonego algorytmu, o wartości zależnej
od wartości uchybu regulacji oraz szybkości
jego zmian.



Zadaniem

układu automatycznej regulacji

,

jest uzyskanie zerowego lub dostatecznie
małego uchybu regulacji, który zapewnia
utrzymanie

zadanej

wartości

sygnału

regulowanego

Podstawy
Automatyki

Podstawy
Automatyki

19

U K Ł A D Y S T E R O W A N IA A U T O M A T Y C Z N E G O

K o n w e n c jo n a ln e

R o z g r y w a ją c e

A d a p ta c y jn e

Z a m k n ię te

O tw a r te

E k s tr e m a ln e

S a m o n a s tr a ja ln e

S a m o o p ty m iz u ją c e

Z k o m p e n s a c ją

z a k łó c e n ia

P r o g r a m o w a n e

S ta b iliz a c y jn e

P r o g r a m o w e

N a d ą ż n e

Klasyfikacja układów

Klasyfikacja układów

sterowania

sterowania

Podstawy
Automatyki

Podstawy
Automatyki

20

Zamknięte układy sterowania

w zależności od wartości sygnału

wartości zadanej

dzielimy

na

:



układ stabilizacyjny

– układ o stałej

wartości zadanej w(t)=const; ma za zadanie
utrzymywać wartość sygnału sterowanego w
pobliżu wartości zadanej



układ programowy

– układ, w którym

wartość zadana w(t) jest z góry określoną
funkcją czasu, czyli zmieniającą się według
pewnego programu w = f(t)



układ nadążny (śledzący)

– układ, w

którym wartość zadana w(t) jest funkcją
czasu, przy czym jest ona nieznana (w=?).
Zmiany tej funkcji związane są ze zjawiskami
występującymi na zewnątrz

Podstawy
Automatyki

Podstawy
Automatyki

21



Sterowanie adaptacyjne

stosuje się do obiektów o

zmieniających się właściwościach dynamicznych
(parame-trach)

oraz

o

zmieniających

się

właściwościach zakłóceń stochastycznych. Polega
ono na identyfikacji parametrów modelu obiektu i
zakłóceń a następnie na dostrojeniu (skorygowaniu)
parametrów algorytmu sterowania

Otwarte układy sterowania

możemy

podzielić na:



układy z kompensacją zakłócenia

– w

których

likwida-cja

skutków

zakłócenia

występuje na drodze kompen-sacji, poprzez
wprowadzenie dodatkowych elementów do
układu sterowania –

korektorów zakłóceń



układy programowe

- w których wartość

zadana jest z góry określoną funkcją czasu,
położenia itp.

Podstawy
Automatyki

Podstawy
Automatyki

22



Ze względu na liczbę zmiennych
sterowanych:

 układy regulacji jednej zmiennej

 układy regulacji wielu zmiennych



Ze względu na rodzaj elementów:



układy liniowe



układy nieliniowe



Ze względu na sposób pomiaru zmiennej sterowanej:



układy analogowe



układy cyfrowe



Kolejny rodzaj klasyfikacji wyróżnia:



układy regulacji ciągłej



układy regulacji dyskretnej

Klasyfikacja układów
sterowania

Podstawy
Automatyki

Podstawy
Automatyki

23

Przykłady układów sterowania

Układ sterowania prędkością obrotową silnika

S iln ik

O b c ią ż e n ie

Z a m k n ię ty

O tw a r ty

Z a w ó r s te r u ją c y

S ił o w n i k

h y d r a u lic z n y

P a liw o

C iś n ie n ie

z a s ila n ia

Układ sterowania prędkością obrotową silnika

W takim układzie sterowania
obiektem sterowanym jest
silnik, a sterowaną zmienną
jest

prędkość

obrotowa.

Różnica pomiędzy żądaną a
rzeczywistą prędkością jest
sygnałem uchybu.

Sygnał

sterowania

(ilość

paliwa), który ma być
zastosowany do urządzenia
(silnika)

jest

sygnałem

wykonawczym. Zakłóceniem
jest sygnał zewnętrzny np.
nieocze-kiwana

zmiana

obciążenia.

Jeśli z powodu zakłóceń
rzeczy-wista prędkość spada
poniżej żądanej wartości, to
zmniejszenie siły odśrodkowej
regulatora

powo-duje,

że

zawór sterujący otwiera się,
dostarczając więcej paliwa
i prędkość silnika wzrasta.

Podstawy
Automatyki

Podstawy
Automatyki

24

Układ sterowania robota:

W robocie wysokiego
poziomu kamera szuka
obiektu i określa jego
orientację.

Komputer

jest

niezbędny

do

przetwarza-nia sygnału
w

procesie

rozpoznawania
obrazów.

S iło w n ik

Z a s ila n ie

S te r o w n ik

( r e g u la to r )

U r z ą d z e n ie

p e r y f e r y jn e

P o m ia r w e jś ć

P o m ia r w y jś ć

M a s z y n a

r o b o c z a

K a m e r a

te le w iz y jn a

S y g n a ł s p r z ę ż e n ia z w r o tn e g o

Przykład układu sterowania robota

Przykłady układów sterowania

Robot podnosi daną
część, przemieszcza na
miejsce montażu i tam
montuje kilka części w
jeden element.

Podstawy
Automatyki

Podstawy
Automatyki

25

Układ sterowania temperaturą pieca:

P ie c

e le k tr y c z n y

P r z e tw o r n ik

I n te r f e js

P r z e k a ź n ik

W z m a c n ia c z

I n te r f e js

P r o g r a m o w a n e

w e jś c ie

E le m e n t

g r z e jn y

T e r m o m e tr

Schemat sterowania temperatury pieca

elektrycznego

Temperaturę pieca mierzoną termometrem uzyskujemy
w postaci sygnału analogowego. Sygnał ten ulega
zamianie na cyfrowy poprzez przetwornik A/C.
Temperatura w postaci sygnału cyfrowego podawana jest
do

sterownika

a

następnie

porównywana

z

zaprogramowaną temperaturą.

Przykłady układów sterowania

Jeśli istnieje rozbieżność (uchyb) sterownik wysyła sygnał
do elementu grzejnego poprzez interfejs, wzmacniacz i
przekaźnik w celu uzyskania żądanej temperatury.

Podstawy
Automatyki

Podstawy
Automatyki

26

Sterowanie temperaturą w kabinie pasażerskiej samochodu

S te r o w n ik

K lim a ty z a to r

K a b in a

p a s a ż e r a

C z u jn ik

C z u jn ik

C z u jn ik

p r o m ie n io w a n ia

Sterowanie temperaturą w kabinie

samochodu

Sterownik porównuje sygnały wejściowy, wyjściowy i z
czujników, oraz wysyła sygnał sterowania do urządzenia
klimatyzacyjnego lub grzewczego w celu sterowania ilością
powietrza, tak aby temperatura w kabinie pasażerskiej była
zbliżona do temperatury żądanej.

Przykłady układów sterowania

Podstawy
Automatyki

Podstawy
Automatyki

27



Sygnał

–

wszelkie zjawiska zmienne w czasie

, jest

przebiegiem określonej wielkości fizycznej
(w funkcji czasu) niosącej informację



Podstawową cechą sygnału jest jego

wielkość

nośna

(np. ciśnienie powietrza lub oleju, napięcie lub
natężenie

prądu,

siła,

przyspieszenie,

przemieszczenie).

Jej

zmiany

umożliwiają

przekazywanie w określony sposób informacji



Do

przekazywania

informacji

mogą

być

wykorzystywane różne cechy wielkości nośnej, np.
wartość

amplitudy,

częstotliwość,

szerokość

impulsów, itp

Sygnały w układach sterowania

Podstawy
Automatyki

Podstawy
Automatyki

28

Sygnały w układach sterowania



Ze względu na sposób opisu sygnały dzielimy na

deterministyczne

i

losowe

Sygnały

deterministyczne

można

opisać

określoną zależnością matematyczną, w postaci
opisu parame-trycznego lub nieparametrycznego.
Można je również podzielić na:

poliharmoniczne

,

harmoniczne

,

prawie okresowe

i

przejściowe

Sygnały

losowe

opisujemy

przy

użyciu

parametrów
(np.

wartość

średnia,

średniokwadratowa,

wariancja) i/lub funkcji w dziedzinie amplitud,
czasu i częstotliwości

Podstawy
Automatyki

Podstawy
Automatyki

29

Sygnały w układach sterowania



Ze względu na sposób przenoszenia informacji,
sygnały dzielimy na:



ciągłe

(określone w każdej chwili czasowej)



dyskretne

(określone

tylko

w

chwilach

próbkowania)



Każdy z nich można podzielić ze względu na typ
wartości amplitudy na:



analogowe



kwantowane



binarne

(dwuwartościowe)

Podstawy
Automatyki

Podstawy
Automatyki

30

Podział sygnałów deterministycznych

O p is n ie p a r a m e tr y c z n y

O p is

p a r a m e tr y c z n y

s y g n a łó w

R o d z a je

h a r m o n ic z n e

p o li-

h a r m o n ic z n e

p r a w ie

o k r e s o w e

p r z e jś c io w e

f ( t)

1

f ( t)

2

f ( t)

3

f ( t)

4

t

t

t

t

T = 1 / f

1

1



f

1

A

f ( t) = A s in

1



2 t

T

1

f ( t) = A s in

1



1

t

f

1

f

2

B

A



1



2

f ( t) = A s in

2

t +

+ B s in

t

f

1

f

2

f

3

f

4

A
B

C

D







3



4

f ( t) = A s in t+

+ B s in t+

+ C s in t+

+ D s in t

3

a



f ( t) = A s in t+

+ B s in t+

+ C s in t+

+ D s in t

3

f ( t) =

4

0
a ( 1 - e ) d la 0 < t< 

- t /



d la t< 0

a

d la t>



Podstawy
Automatyki

Podstawy
Automatyki

31

C Z A S

A

M

P

LI

TU

D

A

S y g n a ł

a n a lo g o w y

S y g n a ł

k w a to w a n y

S y g n a ł

b in a r n y

S y g n a ły c ią g łe

S y g n a ły d y s k r e t n e

Klasyfikacja
sygnałów

Podstawy
Automatyki

Podstawy
Automatyki

32

Sygnały ciągłe

0

0

1

1

1















x

a

dt

x

d

a

dt

x

d

a

n

n

n

n

n

n





Opis parametryczny

polega na tym, że sygnał jest

określony przez przyjęte wartości współczynników
(parametrów)



Opis nieparametryczny

dotyczy sygnałów, których

nie można określić za pomocą skończonej liczby
wartości (np. postać graficzna odpowiedzi skokowej,
ciąg wartości liczbowych)

Sygnały wykładnicze

– to sygnały będące

rozwiązaniem liniowego równania różniczkowego o
stałych współczynnikach i zerowych warunkach
początkowych

Podstawy
Automatyki

Podstawy
Automatyki

33



Sygnał wykładniczy

(opis analityczny)













0

0

0

)

(

t

dla

ce

t

dla

t

x

t



t

x ( t)

c

Sygnał wykładniczy określony dla t  0

Sygnały ciągłe

Podstawy
Automatyki

Podstawy
Automatyki

34



Skok jednostkowy

definiujemy

jako:

 













0

1

0

0

1

t

dla

t

dla

t

t

x ( t)

1

Skok jednostkowy

Sygnały ciągłe

Podstawy
Automatyki

Podstawy
Automatyki

35

Sygnały impulsowe















każdego

dla

1

)

( dt

t

i



















0

0

0

)

(

lim

0

t

t

t

i

dla

dla



Sygnały impulsowe: a) określony dla

b) określony dla





 t

0

2

2











t



1

  2

 



1



( t)

t



1

 

( t)

t



Wszystkie

sygnały impulsowe

o długości

mają następujące własności:



 

t

i



Podstawy
Automatyki

Podstawy
Automatyki

36



Impuls Diraca

można zdefiniować jako granicę

funkcji impulsowych przy   0:

)

(

lim

)

(

0

t

t

i











zatem

 









1

dt

t



stąd

dt

t

d

t

)

(

)

(

1





Skok jednostkowy można więc rozważać jako funkcję
pierwotną impulsu jednostkowego:

 











dt

t

t

)

(

1



Sygnały impulsowe

Podstawy
Automatyki

Podstawy
Automatyki

37

Sygnały dyskretne



Sygnały dyskretne

, to sygnały określone tylko dla

pewnego przeliczalnego ciągu określonych chwil
czasowych t = {t

1

, t

2

, ..., t

n

, ...}

Najczęściej sygnały dyskretne zapisuje się
jako:



,

2

,

1

,

0

)

(









n

x

t

x

n

n



Rozważa się jedynie przypadek, gdy poszczególne
chwile (punkty czasowe) są równoodległe (przedziały
czasowe między tymi punktami są równe)









i

i

t

t

1

dla każdego i

Podstawy
Automatyki

Podstawy
Automatyki

38



Sygnał dyskretny można również zdefiniować na
podstawie sygnału ciągłego. Przykładowo, niech
ciąg x

n

będzie określony równością:

)

( 

 n

x

x

n

x

n

- próbka sygnału

x(t)



- okres próbkowania

Próbkowanie sygnału skokowego l(t)

a) sygnał skoku jednostkowego,

b) wynik próbkowania sygnału skoku jednostkowego

Podstawy
Automatyki

Podstawy
Automatyki

39



Sygnał losowy (stochastyczny)

zmienia się w

czasie
w sposób, którego nie da się przewidzieć (nie można
przewidzieć przebiegu sygnału na podstawie
znajomości aktualnej jego wartości)

Najczęściej sygnały losowe określa się trzema
parametrami statystycznymi:



wartością średnią

m (t):





,

1

lim

)

(

gdzie

)

(

)

(

1













n

i

i

n

x

n

X

E

t

X

E

t

m

Sygnały losowe

x

–

zmienna

losowa

Podstawy
Automatyki

Podstawy
Automatyki

40





























n

i

i

n

m

x

n

m

X

E

w

1

2

2

1

lim





)

(

ˆ

,

)

(

ˆ

)

(

ˆ

)

,

cov(

X

E

X

X

gdzie

X

t

X

E

t













wariancją

lub

kwadratem

odchylenia

standardowego



2

(t),

które

jest

miarą

rozproszenia (dynamiki) sygnału losowego:



kowariancją

cov(t,



), która podaje informację o

szybkości zmian sygnału:

Podstawy
Automatyki

Podstawy
Automatyki

41

Lp.

1.

2.

3.

Impuls

Diracka

Skok

jednostkowy

Sygnał

wykładniczy

(t)

t

x(t)

x(t)

t

t

1

















0

0

0

t

dla

t

dla

t

















0

1

0

0

1

t

dla

t

dla

t















0

0

0

t

dla

ce

t

dla

t

x

t



RODZAJ SYGNAŁU

Sygnały stosowane w
automatyce

Podstawy
Automatyki

Podstawy
Automatyki

42

4.

5.

6.

Impuls

prostokątny

Funkcja

liniowa

Sygnał

harmoniczny

x(t)

x(t)

t

t

x(t)

t

T

1

T

2

1



 

 

 





















,

0

,

1

,

0

0

2

2

1

1

T

t

dla

T

T

t

dla

T

t

dla

t

x

at

t

x



t

t

x



sin



Sygnały stosowane w
automatyce