PODSTAWOWE MODELE
DUOPOLU I OLIGOPOLU
Prof. ZUT, dr hab. Grażyna Karmowska
Opracowanie na podstawie Ekonomia matematyczna T. Tarnawski, PWE 2011
1
MODELE KONKURENCJI ILOŚCIOWEJ
Modele Cournota i Staclekberga.
Zakładają, że producenci wytwarzają takie
same dobro lub usługę.
Muszą ustalić taka samą cenę.
Konkurują miedzy sobą wielkościami
produkcji.
2
MODEL KONKURENCJI CENOWEJ
Model Bertranda.
Wytwarzają produkty będące bliskimi
substytutami.
Ceny nie muszą być sobie równe
Konkurują między sobą cenami
3
MODEL DUOPOLU COURNOTA
Funkcjonuje 2 producentów o funkcjach
kosztów:
stały
koszt
krańcowy)
(koszt
przeciętny
koszt
produkcji
wielkość
0
0
0
)
(
2
,
1
i
i
i
i
i
i
i
i
f
c
y
f
y
c
y
tc
i
4
MODEL DUOPOLU COURNOTA
Popyt zgłaszany przez konsumentów
duopolu:
0;
p
p
cenę
na
popytu
ść
wrażliwo
Carnota
duopolu
pojemność
0
,
)
(
0
p
p
y
y
d
d
5
MODEL DUOPOLU COURNOTA
Produkcja obu
producentów dopasowuje
się do popytu przy cenie p.
Odwrotna funkcja popytu
)
(
)
,
(
1
;
)
,
(
)
(
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
y
y
b
a
y
y
p
b
a
y
y
y
y
p
p
y
y
p
y
y
y
d
6
MODEL DUOPOLU COURNOTA
Producenci szukają wielkości produkcji
maksymalizującej zysk, przy danej wielkości
drugiego producenta:
const
y
y
const
y
y
1
2
2
1
2
0
1
0
max
max
7
)
(
)
,
(
)
,
(
)
,
(
)
(
1
1
1
2
1
2
1
1
1
2
1
1
1
1
1
y
tc
y
y
y
p
y
y
y
y
y
p
y
tc
py
producenta
1.
utarg
MODEL DUOPOLU COURNOTA
Funkcje zysku
Warunki istnienia ekstremum
8
2
2
1
2
2
2
2
1
2
2
1
2
1
2
1
1
1
2
1
1
)
(
)
,
(
)
(
)
,
(
f
y
by
by
y
c
a
y
y
f
y
by
by
y
c
a
y
y
0
0
.
2
1
1
2
.
1
1
2
2
const
y
const
y
y
y
0
0
.
2
2
2
2
.
2
2
1
1
const
y
const
y
y
y
MODEL DUOPOLU COURNOTA
Warunek konieczny ma postać:
Wyznaczają taka wielkość produkcji
producenta, która przy ustalonej produkcji
drugiego producenta maksymalizuje jego
zysk.
9
2
2
2
2
0
2
1
2
2
2
1
1
2
1
1
y
b
c
a
y
y
b
c
a
y
by
by
c
a
i
RL
producenta
reakcji
linie
stąd
Z LINII REAKCJI WYNIKA, ŻE:
Wielkość produkcji
gdy na rynku jest tylko
jeden producent
Jeśli producent drugi
podnosi swą wielkość
produkcji o jednostkę, to
producent pierwszy musi obniżyć produkcję o
0,5jedn.
10
2
1
0
2
2
0
2
0
1
1
1
2
1
1
2
2
1
1
1
1
2
RL
RL
RL
dy
dy
b
c
a
y
y
b
c
a
y
b
c
a
y
y
PUNKT RÓWNOWAGI DUOPOLU
COURNOTA
punkt przecięcia linii reakcji obu
producentów.
11
3
)
2
(
3
2
3
)
2
(
3
2
2
2
1
2
1
2
2
2
1
2
1
1
2
2
1
1
2
1
c
c
b
c
c
a
y
c
c
b
c
c
a
y
b
c
a
y
y
b
c
a
y
y
C
C
:
optymalne
wartości
DUOPOL COURNOTA – DUOPOL
RÓWNORZĘDNYCH PARTNERÓW
Zmiana pojemności rynku oddziałuje na
podaż każdego z producentów w duopolu w
takim samym stopniu: jeśli pojemność rynku
rośnie o jednostkę, to zarówno podaż
producenta pierwszego jak i drugiego rosną o
1/3 jedn.
12
3
1
;
3
1
2
1
C
C
y
y
Wzrost kosztów krańcowych
pierwszego producenta
prowadzi do spadku jego
podaży
Wzrostowi kosztów
krańcowych drugiego
producenta, towarzyszy
wzrost podaży pierwszego
producenta.
Koszty krańcowe pierwszego
producenta dwa razy silniej
oddziałują na jego podaż od
kosztów krańcowych jego
konkurenta
13
2
1
1
1
2
1
1
1
2
3
2
0
3
;
0
3
2
c
y
c
y
c
y
c
y
C
C
C
C
CENA W WARUNKACH RÓWNOWAGI:
zależy od tych samych czynników, które
determinują podaż każdego z producentów
duopolu:
14
3
)
(
)
(
3
2
)
,
(
2
1
2
1
2
1
c
c
p
c
y
y
y
y
y
y
p
p
C
C
C
C
C
C
C
C
W RÓWNOWADZE DUOPOLU
COUROTA
Im silniej konsumenci
reagują na zmianę ceny
tym niższa jest cena którą
ustalą producenci.
Wzrostowi pojemności
rynku towarzyszy wzrost
ceny.
Wzrost kosztów krańcowych
pierwszego producenta o 1.
przekłada się na wzrost ceny o 1/3
15
3
1
2
,
1
0
3
1
;
0
3
2
i
C
C
C
c
p
i
p
p
DUOPOL STACKELBERGA
Założenia podobne jak w modelu Cournota.
Różnica: nie ma równorzędnych partnerów:
•
Lider
•
Naśladowca
16
const
y
y
y
1
2
1
2
0
1
0
max
max
ODWROTNA FUNKCJA POPYTU
Utarg naśladowcy
Naśladowca maksymalizuje swoją funkcję
zysku względem wielkości produkcji przy
stałej produkcji lidera.
17
)
(
)
,
(
2
1
2
1
2
1
y
y
b
a
y
y
y
y
p
2
2
2
2
1
2
2
2
1
2
2
2
2
1
2
2
1
2
2
2
1
2
2
1
2
1
2
)
(
)
,
(
)
(
)
,
(
)
,
(
)]
(
[
)
,
(
)
,
(
f
by
y
by
y
c
a
y
y
y
tc
y
y
r
y
y
y
y
y
b
a
y
y
y
p
y
y
r
WARUNKI ISTNIENIA MAKSIMUM
FUNKCJI
Warunek konieczny i dostateczny:
Linia reakcji naśladowcy:
18
0
2
0
2
.
2
2
2
2
2
1
2
.
2
2
1
1
b
y
by
by
c
a
y
const
y
const
y
2
2
)
(
:
1
2
1
2
2
y
b
c
a
y
y
RL
UTARG LIDERA
Utarg lidera
Z uwzględnieniem linii reakcji naśladowcy:
Zysk lidera
19
1
2
1
1
2
1
2
1
1
)]
(
[
)
,
(
)
,
(
y
y
y
b
a
y
y
y
p
y
y
r
1
2
1
1
1
2
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
2
2
2
)
(
)
(
)
(
)
(
f
y
b
y
c
c
a
y
y
tc
y
r
y
tc
py
2
1
1
2
1
1
2
2
)
(
y
b
y
c
a
y
r
EKSTREMUM LIDERA
Warunek konieczny:
Warunek dostateczny:
20
b
c
c
a
y
by
c
c
a
dy
d
dy
d
S
2
2
0
2
2
0
1
2
1
1
1
2
1
1
1
1
0
0
2
1
1
2
2
1
1
2
b
dy
d
dy
d
EKSTREMUM WIELKOŚCI PRODUKCJI
LIDERA
Podaż lidera zależy od analogicznych
czynników jak w modelu Cournota:
Pojemność rynku,
Wrażliwość popytu konsumentów na
zmianę ceny,
Koszty krańcowe lidera i naśladowcy
21
2
)
2
(
2
2
2
1
1
2
1
c
c
b
c
c
a
y
S
Wzrost pojemności rynku o jednostkę
prowadzi do wzrostu podaży lidera o 0,5 jedn.
Wzrost pojemności rynku silniej oddziałuje na
podaż lidera w modelu Stackelberga, niż na
podaż każdego z producentów w modelu
Cournota
22
2
1
1
S
y
C
C
S
C
S
y
y
y
y
y
2
1
1
1
1
3
1
;
2
1
Jeśli koszty krańcowe lidera są mniejsze
(większe) od połowy kosztów krańcowych
naśladowcy, to pochodna jest dodatnia
(ujemna) i wzrost wrażliwości popytu na
zmianę ceny prowadzi do wzrostu (spadku)
podaży lidera.
Przy cenie lidera równej połowie ceny
naśladowcy zmiana wrażliwości popytu
konsumenta na zmianę ceny nie oddziałuje
na podaż lidera.
23
b
c
c
y
S
2
2
1
2
1
ŁĄCZNA PODAŻ DUOPOLU
STACKELBERGA
Łączna podaż zależy od tych samych
czynników, od których zależy podaż każdego
z producentów.
24
4
)
2
(
3
4
)
2
3
(
2
)
2
(
2
1
2
1
1
2
2
2
1
1
c
c
y
y
y
c
c
y
c
c
y
S
S
S
S
S
wzrost pojemności rynku prowadzi do
wzrostu podaży o ¾
Im silniej konsumenci reagują na zmiany
ceny, tym niższa jest łączna wielkość podaży
duopolu
25
4
3
S
y
0
4
2
2
1
c
c
y
S
Wzrost kosztów krańcowych każdego z
producentów przekłada się na spadek łącznej
podaży owego duopolu, ale koszty krańcowe
lidera dwa razy silniej oddziałują na łączną
podaż tego duopolu od kosztów naśladowcy.
26
2
c
0
4
0
2
2
1
c
y
c
y
S
S
CENA RÓWNOWAGI STACELBERGA
Zależy od pojemności rynku, wrażliwości
konsumentów na zmianę ceny, kosztów
krańcowych lidera oraz naśladowcy
27
4
2
4
)
,
(
2
1
2
1
2
1
c
c
p
y
y
y
y
y
p
p
S
S
S
S
S
S
S
Im większa pojemność
duopolu tym wyższą cenę
ustalą producenci
Im silniej konsumenci
reagują na zmianę ceny
tym niższą cenę ustalą producenci
28
0
4
0
4
1
2
S
S
p
p
Wzrost kosztów krańcowych lidera
(naśladowcy) o jednostkę przekłada się na
wzrost ceny w równowadze Stackelberga o
0,5 (0,25) złotych.
29
4
1
2
1
2
1
c
p
c
p
S
S
DUOPOL BERTRANDA
Model rynku, w którym producenci
wytwarzają dobra (usługi) będące bliskimi
substytutami.
Producenci konkurują miedzy sobą ceną
wytwarzanego dobra (usługi).
30
stały
koszt
krańcowy)
(koszt
przeciętny
koszt
produkcji
wielkość
0
0
0
)
(
2
,
1
i
i
i
i
i
i
i
i
f
c
y
f
y
c
y
tc
i
POPYT NA PRODUKT
31
2
2
2
1
1
1
1
2
2
2
2
1
2
2
2
1
1
1
1
2
1
1
)
,
(
)
,
(
p
y
p
y
p
p
p
p
y
p
p
p
p
y
d
d
d
d
MAKSIMUM ZYSKU
32
const
p
p
const
p
p
1
2
2
1
2
0
1
0
max
max