PODSTAWOWE MODELE
DUOPOLU

Prof. ZUT, dr hab. Grażyna Karmowska
Opracowanie na podstawie Ekonomia matematyczna T. Tarnawski, PWE 2011

1

MODELE KONKURENCJI ILOŚCIOWEJ



Modele Cournota i Staclekberga.



Zakładają, że producenci wytwarzają takie
same dobro lub usługę.



Muszą ustalić taka samą cenę.



Konkurują miedzy sobą wielkościami
produkcji.

2

MODEL KONKURENCJI CENOWEJ



Model Bertranda.



Wytwarzają produkty będące bliskimi
substytutami.



Ceny nie muszą być sobie równe



Konkurują między sobą cenami

3

MODEL DUOPOLU COURNOTA



Funkcjonuje 2 producentów o funkcjach
kosztów:

stały

koszt

krańcowy)

(koszt

przeciętny

koszt

produkcji

wielkość

0

0

0

)

(

2

,

1















i

i

i

i

i

i

i

i

f

c

y

f

y

c

y

tc

i

4

MODEL DUOPOLU COURNOTA



Popyt zgłaszany przez konsumentów
duopolu:

















0;

p

p

cenę

na

popytu

ść

wrażliwo

Carnota

duopolu

pojemność











0

,

)

(

0

p

p

y

y

d

d

5

MODEL DUOPOLU COURNOTA



Produkcja obu

producentów dopasowuje
się do popytu przy cenie p.



Odwrotna funkcja popytu

)

(

)

,

(

1

;

)

,

(

)

(

2

1

2

1

2

1

2

1

2

1

2

1

y

y

b

a

y

y

p

b

a

y

y

y

y

p

p

y

y

p

y

y

y

d











































6

MODEL DUOPOLU COURNOTA



Producenci szukają wielkości produkcji
maksymalizującej zysk, przy danej wielkości
drugiego producenta:

 

 

const

y

y

const

y

y









1

2

2

1

2

0

1

0

max

max





7

)

(

)

,

(

)

,

(

)

,

(

)

(

1

1

1

2

1

2

1

1

1

2

1

1

1

1

1

y

tc

y

y

y

p

y

y

y

y

y

p

y

tc

py

















producenta

1.

utarg

MODEL DUOPOLU COURNOTA



Funkcje zysku



Warunki istnienia ekstremum

8

2

2

1

2

2

2

2

1

2

2

1

2

1

2

1

1

1

2

1

1

)

(

)

,

(

)

(

)

,

(

f

y

by

by

y

c

a

y

y

f

y

by

by

y

c

a

y

y

























0

0

.

2

1

1

2

.

1

1

2

2

















const

y

const

y

y

y





0

0

.

2

2

2

2

.

2

2

1

1

















const

y

const

y

y

y





MODEL DUOPOLU COURNOTA



Warunek konieczny ma postać:



Wyznaczają taka wielkość produkcji
producenta, która przy ustalonej produkcji
drugiego producenta maksymalizuje jego
zysk.

9

2

2

2

2

0

2

1

2

2

2

1

1

2

1

1

y

b

c

a

y

y

b

c

a

y

by

by

c

a





















i

RL

producenta

reakcji

linie

stąd

MODEL DUOPOLU COURNOTA

Z LINII REAKCJI WYNIKA, ŻE:



Wielkość produkcji

gdy na rynku jest tylko
jeden producent



Jeśli producent drugi

podnosi swą wielkość
produkcji o jednostkę, to
producent pierwszy musi obniżyć produkcję o

0,5jedn.

10

2

1

0

2

2

0

2

0

1

1

1

2

1

1

2

2

1

1

1

1

2































RL

RL

RL

dy

dy

b

c

a

y

y

b

c

a

y

b

c

a

y

y

PUNKT RÓWNOWAGI DUOPOLU
COURNOTA



punkt przecięcia linii reakcji obu
producentów.

11

3

)

2

(

3

2

3

)

2

(

3

2

2

2

1

2

1

2

2

2

1

2

1

1

2

2

1

1

2

1

c

c

b

c

c

a

y

c

c

b

c

c

a

y

b

c

a

y

y

b

c

a

y

y

C

C























































:

optymalne

wartości

DUOPOL COURNOTA – DUOPOL
RÓWNORZĘDNYCH PARTNERÓW



Zmiana pojemności rynku oddziałuje na
podaż każdego z producentów w duopolu w
takim samym stopniu: jeśli pojemność rynku
rośnie o jednostkę, to zarówno podaż
producenta pierwszego jak i drugiego rosną o
1/3 jedn.

12

3

1

;

3

1

2

1

















C

C

y

y



Wzrost kosztów krańcowych
pierwszego producenta
prowadzi do spadku jego
podaży



Wzrostowi kosztów
krańcowych drugiego
producenta, towarzyszy
wzrost podaży pierwszego
producenta.



Koszty krańcowe pierwszego
producenta dwa razy silniej
oddziałują na jego podaż od
kosztów krańcowych jego
konkurenta

13

2

1

1

1

2

1

1

1

2

3

2

0

3

;

0

3

2

c

y

c

y

c

y

c

y

C

C

C

C





































MODEL DUOPOLU COURNOTA

CENA W WARUNKACH RÓWNOWAGI:



zależy od tych samych czynników, które
determinują podaż każdego z producentów
duopolu:

14





















3

)

(

)

(

3

2

)

,

(

2

1

2

1

2

1

c

c

p

c

y

y

y

y

y

y

p

p

C

C

C

C

C

C

C

C























MODEL DUOPOLU COURNOTA

W RÓWNOWADZE DUOPOLU
COUROTA



Im silniej konsumenci

reagują na zmianę ceny
tym niższa jest cena którą
ustalą producenci.



Wzrostowi pojemności

rynku towarzyszy wzrost
ceny.



Wzrost kosztów krańcowych

pierwszego producenta o 1.
przekłada się na wzrost ceny o 1/3

15

3

1

2

,

1

0

3

1

;

0

3

2





























i

C

C

C

c

p

i

p

p











DUOPOL STACKELBERGA



Założenia podobne jak w modelu Cournota.



Różnica: nie ma równorzędnych partnerów:

•

Lider

•

Naśladowca

16

 

 

const

y

y

y







1

2

1

2

0

1

0

max

max





DUOPOL STACKELBERGA

ODWROTNA FUNKCJA POPYTU



Utarg naśladowcy



Naśladowca maksymalizuje swoją funkcję
zysku względem wielkości produkcji przy
stałej produkcji lidera.

17

)

(

)

,

(

2

1

2

1

2

1

y

y

b

a

y

y

y

y

p



















2

2

2

2

1

2

2

2

1

2

2

2

2

1

2

2

1

2

2

2

1

2

2

1

2

1

2

)

(

)

,

(

)

(

)

,

(

)

,

(

)]

(

[

)

,

(

)

,

(

f

by

y

by

y

c

a

y

y

y

tc

y

y

r

y

y

y

y

y

b

a

y

y

y

p

y

y

r





























DUOPOL STACKELBERGA

WARUNKI ISTNIENIA MAKSIMUM FUNKCJI



Warunek konieczny i dostateczny:



Linia reakcji naśladowcy:

18

0

2

0

2

.

2

2

2

2

2

1

2

.

2

2

1

1





























b

y

by

by

c

a

y

const

y

const

y





2

2

)

(

:

1

2

1

2

2

y

b

c

a

y

y

RL







DUOPOL STACKELBERGA

UTARG LIDERA



Utarg lidera

Z uwzględnieniem linii reakcji naśladowcy:



Zysk lidera

19

1

2

1

1

2

1

2

1

1

)]

(

[

)

,

(

)

,

(

y

y

y

b

a

y

y

y

p

y

y

r











1

2

1

1

1

2

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

2

2

2

)

(

)

(

)

(

)

(

f

y

b

y

c

c

a

y

y

tc

y

r

y

tc

py



































2

1

1

2

1

1

2

2

)

(

y

b

y

c

a

y

r







DUOPOL STACKELBERGA

EKSTREMUM LIDERA



Warunek konieczny:



Warunek dostateczny:

20

b

c

c

a

y

by

c

c

a

dy

d

dy

d

S

2

2

0

2

2

0

1

2

1

1

1

2

1

1

1

1























0

0

2

1

1

2

2

1

1

2









b

dy

d

dy

d





DUOPOL STACKELBERGA

EKSTREMUM WIELKOŚCI PRODUKCJI LIDERA



Podaż lidera zależy od analogicznych
czynników jak w modelu Cournota:



Pojemność rynku,



Wrażliwość popytu konsumentów na
zmianę ceny,



Koszty krańcowe lidera i naśladowcy

21

2

)

2

(

2

2

2

1

1

2

1

c

c

b

c

c

a

y

S



















Wzrost pojemności rynku o jednostkę
prowadzi do wzrostu podaży lidera o 0,5 jedn.



Wzrost pojemności rynku silniej oddziałuje na
podaż lidera w modelu Stackelberga, niż na
podaż każdego z producentów w modelu
Cournota

22

2

1

1









S

y







































C

C

S

C

S

y

y

y

y

y

2

1

1

1

1

3

1

;

2

1

DUOPOL STACKELBERGA



Jeśli koszty krańcowe lidera są mniejsze
(większe) od połowy kosztów krańcowych
naśladowcy, to pochodna jest dodatnia
(ujemna) i wzrost wrażliwości popytu na
zmianę ceny prowadzi do wzrostu (spadku)
podaży lidera.



Przy cenie lidera równej połowie ceny
naśladowcy zmiana wrażliwości popytu
konsumenta na zmianę ceny nie oddziałuje
na podaż lidera.

23

b

c

c

y

S

2

2

1

2

1











DUOPOL STACKELBERGA

ŁĄCZNA PODAŻ DUOPOLU
STACKELBERGA



Łączna podaż zależy od tych samych
czynników, od których zależy podaż każdego
z producentów.

24

4

)

2

(

3

4

)

2

3

(

2

)

2

(

2

1

2

1

1

2

2

2

1

1

c

c

y

y

y

c

c

y

c

c

y

S

S

S

S

S





































wzrost pojemności rynku prowadzi do
wzrostu podaży o ¾



Im silniej konsumenci reagują na zmiany
ceny, tym niższa jest łączna wielkość podaży
duopolu

25

4

3









S

y

0

4

2

2

1













c

c

y

S



DUOPOL STACKELBERGA



Wzrost kosztów krańcowych każdego z
producentów przekłada się na spadek łącznej
podaży owego duopolu, ale koszty krańcowe
lidera dwa razy silniej oddziałują na łączną
podaż tego duopolu od kosztów naśladowcy.

26

0

4

0

2

2

1

























c

y

c

y

S

S

DUOPOL STACKELBERGA

CENA RÓWNOWAGI STACKELBERGA



Zależy od pojemności rynku, wrażliwości
konsumentów na zmianę ceny, kosztów
krańcowych lidera oraz naśladowcy

27

4

2

4

)

,

(

2

1

2

1

2

1

c

c

p

y

y

y

y

y

p

p

S

S

S

S

S

S

S



































Im większa pojemność

duopolu tym wyższą cenę
ustalą producenci



Im silniej konsumenci

reagują na zmianę ceny
tym niższą cenę ustalą producenci

28

0

4

0

4

1

2





























S

S

p

p

DUOPOL STACKELBERGA



Wzrost kosztów krańcowych lidera
(naśladowcy) o jednostkę przekłada się na
wzrost ceny w równowadze Stackelberga o
0,5 (0,25) złotych.

29

4

1

2

1

2

1













c

p

c

p

S

S

DUOPOL STACKELBERGA

DUOPOL BERTRANDA



Model rynku, w którym producenci
wytwarzają dobra (usługi) będące bliskimi
substytutami.



Producenci konkurują miedzy sobą ceną
wytwarzanego dobra (usługi).

30

stały

koszt

krańcowy)

(koszt

przeciętny

koszt

produkcji

wielkość

0

0

0

)

(

2

,

1















i

i

i

i

i

i

i

i

f

c

y

f

y

c

y

tc

i

DUOPOL BERTRANDA

POPYT NA PRODUKT

31

2

2

2

1

1

1

1

2

2

2

2

1

2

2

2

1

1

1

1

2

1

1

)

,

(

)

,

(













































p

y

p

y

p

p

p

p

y

p

p

p

p

y

d

d

d

d

DUOPOL BERTRANDA

MAKSIMUM ZYSKU

32

 

 

const

p

p

const

p

p









1

2

2

1

2

0

1

0

max

max





0

2

0

2

1

.

2

1

1

2

2

1

1

1

1

1

1

.

1

1

2

2











































const

p

const

p

p

p

p

c

p

Warunki:

DUOPOL BERTRANDA

LINIA REAKCJI



RL:



Gdy producent 2. podnosi

(obniża) swoją cenę, to
producent 1., by
maksymalizować swój zysk również musi
podnieść (obniżyć) swą cenę.

33

0

2

2

0

2

2

1

1

2

1

1

1

1

1

1

2

2

1

1

1

1

1

1

1

1

1







































RL

RL

dp

dp

c

p

p

p

c

p

PUNKT RÓWNOWAGI MODELU DUOPOLU
BERTRANDA



Punkt wspólny linii reakcji:

34

2

1

2

1

1

1

1

2

2

2

2

1

2

2

1

2

1

2

2

2

1

1

1

1

2

1

2

2

2

2

2

1

2

1

1

1

2

1

1

1

4

)

(

)

(

2

4

)

(

)

(

2

2

2































































































c

c

p

c

c

p

c

p

p

c

p

p

B

B

DUOPOL BERTRANDA

WNIOSKI



Cena każdego z producentów w warunkach
równowagi duopolu Bertranda zależy od jego
kosztów krańcowych, kosztów krańcowych
jego konkurenta oraz wrażliwości, z jaką
popyt konsumentów na produkty wytwarzane
w duopolu reaguje na cenę danego dobra jak
i dobra substytucyjnego.

35



Im wyższe są koszty krańcowe producenta
pierwszego, tym wyższe są ceny obu
producentów, które ustalają w warunkach
równowagi.

36

2

1

2

1

2

1

1

2

2

1

2

1

2

1

1

1

4

4

2









































c

p

c

p

B

B

2

1

2

1

1

2

2

2

2

1

2

1

2

1

2

1

4

4

2









































c

p

c

p

B

B

DUOPOL BERTRANDA

PRODUKCJA W RÓWNOWADZE
BERTRANDA

37

B

B

B

B

B

B

p

p

y

p

p

y

1

2

2

2

2

2

2

1

1

1

1

1

























END