Czynnościowe nauczanie matematyki i jego teoretyczne podstawy.
Spośród różnych metod nauczania, którymi zajmuje się współczesna dydaktyka matematyki, metoda czynnościowa w najwyższym stopniu uwzględnia ścisłość i specyfikę abstrakcyjnych pojęć matematycznych oraz najbardziej wykorzystuje psychologiczne podstawy rozwoju intelektualnego ucznia1.
Przez metodę nauczania rozumie się systematycznie stosowany sposób pracy nauczyciela z uczniami umożliwiający realizację celów kształcenia i wychowania2.
Zasadniczym elementem każdej metody nauczania jest określony system czynności nauczyciela i uczniów. Charakter i ranga metody zależy od tego, jakie odpowiadają im czynności uczniów. Nauczanie matematyki może odbywać się przy zastosowaniu tych metod nauczania, które zostały określone przez dydaktykę ogólną. Metody czynnościowe utożsamiane są często z metodami praktycznymi. Do grupy tej zalicza się wszystkie te metody nauczania, w których wykorzystuje się działania fizyczne uczniów prowadzące do zmieniania rzeczywistości. Metody te mają umożliwiać uczniom zdobywanie wiedzy na temat tej rzeczywistości oraz zapoznać ich ze sposobami jej przekształcania.
Czynności i operacje praktyczne są genetycznie pierwotne w stosunku do procesów psychicznych i są źródłem kształtowania się wszelkich obrazów psychicznych oraz operacji intelektualnych. Przejście od jednych do drugich dokonuje się na drodze interioryzacji działań praktycznych i wyraża się w stopniowych zmianach form czynności oraz obiektów, na których są one dokonywane3.
Nauczanie czynnościowe cechuje się wielką dbałością o precyzję i porządek, o jasne i dobre zrozumienie pojęć matematycznych, o zgodność pojęć szkolnych z pojęciami naukowymi. Celem nadrzędnym tej metody jest to, aby uczeń zdobywał wiedzę operatywną. Wiedzę tą powinien budować w oparciu o materiały, zadania, doświadczenia pod kierunkiem nauczyciela i we współpracy z rówieśnikami. ,,Nie chodzi jednak w tej metodzie tylko o kształtowanie pojęć matematycznych, o odpowiedzi na pytania co to jest... ale również o kształtowanie metod i technik, które pozwolą na rozwiązywanie zadań typu jak można skonstruować... jak inaczej rozwiązać... . W metodzie tej kładzie się duży nacisk nie tylko na wiadomości, ale także na umiejętności4. Umiejętności uczniów znajdują zastosowanie przy ich czynnościach. Wykonując czynności manualne czy myślowe uczniowie zdobywają doświadczenie.
Nauczanie czynnościowe asymiluje w sposób naturalny różne elementy innych koncepcji, jeżeli są one pomocne w realizacji wszechstronnego rozwoju dziecka. W szczególności dobre efekty może dać połączenie nauczania czynnościowego z nauczaniem realistycznym (koncepcja ta zakłada wychodzenie w nauczaniu od sytuacji rzeczywistych). Nauczanie czynnościowe i realistyczne są koncepcjami, które mogą się wzajemnie wspierać oraz uzupełniać i w ten sposób stwarzać optymalne warunki dla wszechstronnego rozwoju dziecka.
Koncepcja czynnościowego nauczania matematyki opiera się z jednej strony na podstawach metodologicznych matematyki jako nauki, z drugiej zaś na psychologii procesu kształtowania pojęć u dziecka. Tak więc podczas przygotowywania propozycji dydaktycznego opracowania jakiegoś pojęcia w sposób czynnościowy, należy dokonać matematycznej analizy operacji tkwiących w tym pojęciu. Równocześnie należy zaplanować różnego rodzaju ćwiczenia, które pozwolą uczniom przebyć drogę od czynności konkretnych, poprzez wyobrażone do abstrakcyjnych.
Aktywność jest cechą każdego organizmu, różne są jednak jej formy w kolejnych stadiach rozwoju. Od aktywności fizycznej, tj. czynności na przedmiotach materialnych, przechodzi dziecko stopniowo do aktywności wyobrażeniowej, a następnie do aktywności typu logiczno - matematycznego, której wyrazem jest możliwość przeprowadzania przez nie operacji, czyli odwracalnych czynności umysłowych5.
Dla czynności tych da się zauważyć pewne elementy składowe różniące je między sobą. Są to: materiały, które przekształca się, które podlegają pewnym czynnościom; formy, jakie mogą przybierać czynności konkretne, wyobrażeniowe i abstrakcyjne; aktywności matematyczne towarzyszące wykonywaniu czynności konkretnych, wyobrażeniowych i abstrakcyjnych; efekty możliwe do osiągnięcia w związku z interioryzacją danego rodzaju czynności.
1.1.Podstawowe tezy teorii Piageta.
Czynności typu matematycznego odnoszą się do pojęć abstrakcyjnych i dlatego do nich można stosować modyfikację pojęć zaczerpniętych z teorii Piageta. Teoria ta zajmuje się głównie rozwojem poznawczym małych dzieci i rozumieniem przez nie świata fizycznego.
Teoria rozwoju i poznania opracowana została przez Piageta na podstawie analizy materiałów doświadczeń przeprowadzanych przez grono psychologów oraz dyskusji ze specjalistami różnych dziedzin nauki6. Piaget zasadnicze znaczenie dla kształtowania operacji umysłowych przypisuje czynnościom z przedmiotami. Jednak dopiero badania nad związkiem między działaniem praktycznym a rozumieniem własnej czynności i uświadamianiem sobie przebiegu czynności wykazały, jakie są zależności między działaniem a myśleniem.
Badania psychologiczne dowiodły, że pojęcia matematyczne powstają na drodze czynnego zachowania się dziecka oraz ,,transformacji” rzeczywistości, a nie na drodze ,,kontemplacji” i czekania na natchnienia. Pojęcia matematyczne mają charakter operatywny, są wynikiem abstrakcji odczynnościowej, a które możemy traktować jako schematy wykonywania określonych operacji według ustalonego we własnym zakresie przepisu7. Wynika stąd prakseologiczny wniosek dla dydaktyki, aby nauczanie matematyki nie polegało na wyjaśnianiu teorii przez nauczyciela, lecz na organizowaniu samodzielnego działania uczniów i stopniowym wykrywaniu przez nich reguł. Tak więc psychologia czynności wskazuje na konieczność respektowania procesu interioryzacji prowadzącego od czynności konkretnych poprzez czynności wyobrażeniowe do operacji abstrakcyjnych. W miarę rozwoju czynności ruchowych (konkretnych) najprostsze formy zachowania się dziecka wzbogacają się przez coraz większy udział procesów myślowych i wyobrażeniowych.
Czynności źródłem rozwoju myślenia.
Pojęciem nadrzędnym w stosunku do pojęcia czynności jest działanie dziecka, przez co rozumiemy złożoną aktywność wieloczynnościową podporządkowaną danemu celowi8. Uczenie się matematyki może sprawiać dziecku wiele radości, jeśli poziom jego myślenia jest wystarczający dla pełnego rozumienia przekazywanej wiedzy. Jednocześnie właściwe nauczanie matematyki, uwzględniające podstawowe prawa rozwoju umysłowego może wpływać w znacznym stopniu na ogólny rozwój myślenia uczniów. ,,Współczesna psychologia rozwojowa odbiega obecnie od dawnych poglądów, według których kolejne stadia rozwojowe związane były z określonym wiekiem dziecka”9. Punktem wyjścia rozwoju myślenia, jego genetycznym źródłem są konkretne czynności wykonywane przez podmiot w rzeczywistości materialnej.
Analizując postępowanie badanych przy rozwiązywaniu prostych oraz trudniejszych zadań, Piaget stwierdza wspólne cechy charakteryzujące przejście od bezpośredniego działania do świadomego rozumienia zależności. Wykazuje również, iż początkowo świadomość ujmuje tylko własną intencję, cel własnego działania oraz ostateczny efekt tego działania - powodzenie bądź niepowodzenie10. Piaget mówi, że w tej fazie świadomość dociera jedynie do stref peryferyjnych, natomiast później ujmuje to, co jest centralne, czyli dokładny przebieg czynności własnej. Proces uświadamiania jest więc dwukierunkowy: do wewnątrz, bo dotyczy czynności, które stają się przedmiotem myśli, stanowiąc operacyjne ujęcie czynności i na zewnątrz, prowadząc do poznania stosunków między przedmiotami, ich zależności funkcjonalnych i przyczynowych.
Zależność między sygnałami (bodźcami) działającymi na dziecko a jego czynnościami manipulacyjnymi stopniowo maleje na korzyść rozwoju różnorodnych czynności orientujących, sterujących i pomocniczych. Samo jednak działanie dziecka nie wystarcza, ,,jednostka nie potrafi osiągać swoich najważniejszych struktur umysłowych bez określonego środowiska społecznego... na wszystkich poziomach (począwszy od najbardziej elementarnego, aż do najwyższego) czynnik społeczny i wychowawczy jest warunkiem rozwoju”11. ,, Abstrakcja jest tylko jakimś oszustwem i dewiacją umysłu, jeśli nie stanowi ukoronowania nieprzerwanego ciągu uprzednich czynności konkretnych. Prawdziwą przyczyną niepowodzeń w dziedzinie kształcenia formalnego jest fakt, że rozpoczyna się je od języka ( towarzyszy mu rysunek, działanie fikcyjne lub opowiadanie o nim itd. ) zamiast od rzeczywistej, konkretnej działalności. Nauczanie matematyki powinno być przygotowane począwszy od przedszkola, przez szereg manipulacji, odnoszących się do zbiorów, do liczb, do pojęcia długości i powierzchni itd.”12.
Proces interioryzacji.
Podstawowym mechanizmem odpowiedzialnym za rozwój myślenia jest tzw. proces interioryzacji. Piaget podaje następującą definicję operacji: jest to czynność umysłowa wewnętrzna, umożliwiająca łączenie przeciwstawnych czynności w jedną całość13. Czynność zewnętrzna wykonywana jest na przedmiotach i związana jest bezpośrednio ze spostrzeganiem. Czynność wewnętrzna w przeciwieństwie do praktycznej czynności zewnętrznej, wykonywana jest w umyśle i może dotyczyć uprzednich spostrzeżeń, wyobrażeń, słów, sądów, czy symboli. Interioryzacja czyli uwewnętrznienie ,,polega na tym, że dziecko, które wykonuje najpierw konkretne działania na przedmiotach materialnych, manipulując nimi w różnoraki sposób, potrafi później działać również w płaszczyźnie wyobrażeniowej, a następnie słowno - pojęciowej, operując reprezentacją obrazową i symboliczną w toku swej aktywności albo też antycypując realne czynności przedmiotowe czynnościami wyobrażonymi lub pomyślanymi. Posiada ono jednak równocześnie zdolność uzewnętrzniania czyli e k s t e r i o r y z a c j i, znaków ikonicznych lub symboli słownych w działalności praktycznej albo zabawie”14.
Operatywny charakter myślenia.
Wszelkie myślenie (nawet jeśli na zewnątrz wyraża się językowo w sposób statyczny) ma charakter czynnościowy i jest wykonywaniem pewnych operacji; myślenie jest działaniem. W odróżnieniu od czynności wykonywanych bezpośrednio na przedmiotach, czynności myślowe nie muszą się uzewnętrzniać. W myślach możemy dzielić przedmioty na części, porządkować je według różnych zasad, nie wprowadzając żadnych zmian zewnętrznych. Dzięki tej właściwości możemy wykonywać w myśli czynności przeciwstawne, odwrotne. Przykładowo możemy w myśli podzielić jakiś przedmiot na części, następnie, również w myśli złożyć z tych części całość. Dzięki takiej odwracalności można porównać te same przedmioty za każdym razem uwzględniając inne cechy. Odwracalne procesy myślowe pozwalają na wykrywanie bardziej złożonych zależności. Możemy wykrywać zmiany i ich przyczyny, jak również stwierdzać jakie cechy pozostają niezmienione. Zdolność do wykonywania czynności odwrotnych w myśli, czyli operacji rozwija się stopniowo. Specyficzną cechą operacji jest właśnie odwracalność, która łączy wzajemnie odwrotne czynności w jedną czynność umysłową.
Stadialny charakter rozwoju myślenia.
Rozwój myślenia ma charakter stadialny; poszczególne okresy rozwojowe mogą być u różnych jednostek przesunięte w czasie, ale ich istnienie, liczba oraz kolejność występowania są stałe. Liczne doświadczenia psychologów wskazują na możliwość przyspieszania rozwoju poprzez odpowiednie oddziaływania pedagogiczne. Jednak, aby wpływać na ten rozwój, niezbędne jest uwzględnianie kolejności etapów rozwoju i stopniowe przygotowywanie dziecka do przejścia na wyższy etap. Odnosi się to w szczególności do kształtowania procesów myślenia. Małe dziecko reaguje na bodźce, które działają bezpośrednio na jego zmysły. Natomiast człowiek dorosły, dzięki procesom myślowym, może oderwać się od tego, co spostrzega w danej chwili.
Pierwszy okres rozwoju umysłowego człowieka trwa mniej więcej do osiemnastego miesiąca życia i został nazwany okresem kształtowania się inteligencji praktycznej (sensoryczno - motorycznej)15. Aktywność poznawcza dzieci jest tu ukierunkowana na poznanie świata rzeczy i porządkowanie najbliższej przestrzeni. Efektem tego jest między innymi rozumienie stałości przedmiotów i ich rozmieszczenia wokół własnej osoby. W następnym okresie sprawą najważniejszą jest poznanie świata rzeczy i nazywa się go okresem kształtowania operacji konkretnych. Zaczynają rozwijać się operacje konkretne związane jeszcze bardzo ściśle z czynnościami na przedmiotach. Operacje konkretne stanowią niezbędny etap przygotowawczy dla rozumowania abstrakcyjnego. Okres kształtowania tych operacji trwa w przybliżeniu do dwunastego roku życia i został podzielony na dwa podokresy: pierwszy - przedoperacyjny trwa do siódmego roku życia i jest to czas przygotowywania i dojrzewania pierwszych operacji konkretnych; drugi - podczas którego zdolność do operacyjnego rozumowania rozszerza się z kategorii liczbowych na kategorie przestrzenno - czasowe. Powoli ustala się operacyjne rozumowanie, umacnia się i organizuje w system rozumowania o spoistej, operacyjnej i konkretnej logice. Po osiągnięciu pełnych kompetencji zaczyna się stopniowe przechodzenie do następnego okresu. Dopiero na wyższym etapie rozwoju kształtują się operacje formalne. Wówczas zależności ujmowane są na podstawie sądów, wyprowadzane wnioski są ogólne, już bez konieczności odwoływania się do konkretów. Na tym poziomie występuje rozumowanie dedukcyjne i wysuwanie hipotez.
Wkład Aliny Szemińskiej w propagowanie czynnościowej metody nauczania.
Alina Szemińska podjęła studia w Szwajcarii i trafiła tam do jednego z czołowych ośrodków naukowych psychologii, w którym już jako studentka została powołana na stanowisko asystenta przy katedrze profesora Jeana Piageta. Miała zaszczyt wspólnego z profesorem publikowania wyników badań. Razem z nim opracowała i opublikowała materiały dotyczące kształtowania pojęcia liczby i pojęć geometrycznych. W Polsce w owym czasie psychologia nie znajdowała właściwego miejsca i uznania. Gdy wybuchła II wojna światowa Alina Szemińska powróciła do ojczyzny. Po wojnie stale pozostawała w ścisłym kontakcie z Centrum Badawczym Piageta w Genewie i propagowała dorobek tego znakomitego uczonego.
Głosiła ona, że dla rozwoju myślenia ważne jest nie tylko stwierdzenie tego, co jest dane w spostrzeżeniach, ale i przewidywanie tego, co dopiero ma nastąpić. W myśli można przewidzieć wyniki przekształceń, które jeszcze nie zostały dokonane. Jest to możliwe dzięki ukształtowaniu odwracalnych czynności wewnętrznych. Wówczas można powiedzieć, że operacje polegają na odwracalnych przekształceniach w myśli. Jest to szczególnie ważne w odniesieniu do myślenia matematycznego.
Według Szemińskiej16 Przejście od myślenia przedoperacyjnego do operacji konkretnych dokonuje się przede wszystkim na skutek różnego rodzaju czynności świadomie wykonywanych przez samo dziecko. Spostrzeżenia dają jedynie obraz statyczny; poprzez nie chwytamy tylko pewne stany, natomiast w trakcie działania możemy zrozumieć, na czym polegają zmiany, co w efekcie prowadzi do kształtowania obrazów dynamicznych. Przekształcając przedmiot przez wykonywanie odpowiednich czynności dziecko dochodzi do umiejętności przewidywania wyniku mającego nastąpić przekształcenia. Dla rozwoju myślenia jest szczególnie ważne, aby czynności dziecka były wykonywane świadomie i skierowane na określony cel.
Zwracała również uwagę na to, iż niekiedy przypuszcza się, że stosując tak zwany system poglądowy w nauczaniu, przez odwołanie się uczniów do spostrzegania i konkretnego działania, przyczyniamy się do lepszego rozumienia. Otóż sprawa nie jest taka prosta, bowiem dzieci mogą pewne proste zadania rozwiązać poprzez kolejne czynności, ale bez pełnej świadomości przebiegu tych czynności nie potrafią wykorzystać wyników swego rozwiązania czynnościowego w następnych bardzo podobnych zadaniach. Dzieci, które nie osiągnęły jeszcze odpowiedniego stopnia rozwoju, można wyuczyć wykonywania odpowiednich działań i sposobów rozwiązywania określonych zadań. Nie znaczy to jednak, że uczeń, który umie rozwiązać określone zadanie czy wykonać działanie, czyni to z pełnym zrozumieniem i że dzięki tak nauczonej umiejętności ukształtowano u niego wyższy poziom operacji umysłowych. ,,Okazało się, że im więcej jest zmiennych w zadaniu, tym większa liczba zestawień wzajemnych stosunków i tym bardziej przestaje wystarczać umiejętność czynnościowego wykonania, a staje się konieczna świadoma koordynacja wszystkich stosunków. Interesujące są wysiłki dziecka, które nie mogąc zrozumieć przebiegu działania - zniekształca dane, które przecież spostrzega, a nawet uwzględnia w swym działaniu”17.
Poglądy Zofii Krygowskiej na temat metody czynnościowej.
Operatywny charakter matematyki i psychologiczna koncepcja interioryzacji wskazuje specyficzną drogę od konkretu do abstrakcji matematycznej. Drogę tą Zofia Krygowska nazywa czynnościowym nauczaniem matematyki. Według niej18 jest to postępowanie dydaktyczne uwzględniające stale i konsekwentnie operatywny charakter matematyki równolegle z psychologicznym procesem interioryzacji prowadzące od czynności konkretnych i wyobrażonych do operacji abstrakcyjnych. Opiera się ono :
Na wydobyciu przez analizę teoretyczną z materiału nauczania podstawowych operacji w każdej definicji, twierdzeniu, dowodzie.
Na świadomym organizowaniu sytuacji problemowych sprzyjających procesowi interioryzacji i kształtowaniu myślenia matematycznego jako specyficznego działania, jako swobodnego i świadomego posługiwania się przyswajanymi stopniowo operacjami oraz na konkretnym stosowaniu zabiegów dydaktycznych mających na celu zapewnienie prawidłowości i efektywności tego procesu.
Można to osiągnąć m.in. przez:
Wiązanie treści matematycznych z wyraźnie formułowanymi schematami postępowania.
Wiązanie operacji z operacjami odwrotnymi.
Wiązanie operacji z różnych dziedzin matematyki w bardziej złożone schematy.
Uwzględnianie różnych ciągów operacji prowadzących do tego samego rezultatu.
Stawianie ucznia w sytuacjach konfliktowych, w których przyswojone przez niego schematy postępowania zawodzą i w których uczeń musi bądź dokonać przekształcenia dawnego schematu, bądź wypracować nowy.
Opis słowny operacji, którymi uczeń myśli.
Właściwe i celowe wiązanie czynności konkretnych (zapis symboliczny, rysunek, czynności rzeczywiste wykonane na przedmiotach materialnych) z myślowymi operacjami.
Konsekwentne uczenie swobodnego posługiwania się poznanymi operacjami.
Zwrócenie uwagi na to, aby stosowana symbolika miała również charakter operatywny, aby wizualnie sugerowała operację.
Podobnie jak działanie w praktyce jest oparte na systemie podstawowych prostych specyficznych czynności elementarnych, przyswajanych przez dziecko w toku jego doświadczeń i wychowania, tak i działanie w abstrakcji matematycznej jest oparte na systemie podstawowych specyficznych operacji myślowych. Tych operacji trzeba świadomie i planowo uczyć.
Operatywny charakter myślenia matematycznego ujawnia się w matematycznym języku ucznia w każdej sytuacji. Uczeń cały czas - czy poszukując aktywnie rozwiązania drogą prób i błędów, czy stosując gotowy schemat rozwiązania, wykonuje świadomie pewne czynności; potrafi je nazwać, potrafi je uszeregować.
Zofia Krygowska 19 na pytanie, co jest źródłem abstrakcyjnych operacji matematycznych, znajduje odpowiedź w psychologii działania, która na pierwszy plan wysuwa w procesie poznania działający podmiot, działające dziecko, działającego ucznia.
Do przebiegu każdej czynności konieczne są początkowo ruchy zewnętrzne i bezpośrednia obecność przedmiotów materialnych, czy to jako bodźców, wywołujących aktywność przedmiotu, czy jako obiektów, na które aktywność jest skierowana. Później wystarczą już tylko ich reprezentacje, wyobrażenia nazwy, pojęcia20.
Dobór i organizowanie konkretnych czynności ucznia, tych, które powinny poprzedzać operację abstrakcyjną, tych, które powinny jej towarzyszyć, tych, które po niej następują oraz kierowanie nimi jest ważnym elementem procesu dydaktycznego. W procesie tym uczeń przejawia różne formy aktywności. ,,Wszystkie te aktywności są dostępne uczniowi na każdym poziomie nauczania pod warunkiem, że porusza się on w dziedzinie, sytuacji, problemów, pojęć dostatecznie mu bliskich. Uczeń może być aktywny tylko w takiej - odpowiedniej dla niego strefie. Ta strefa ciągle się rozszerza, właśnie w wyniku jego aktywności. Jeżeli na danym etapie przekracza się jej granice, to uczeń aktywny poprzednio przestaje być aktywny i natychmiast otwiera się w jego myśli droga do zdegenerowanego formalizmu. Często wynika to ze zbyt ambitnych programów w zakresie treści, umiejętności i sprawności albo z programów przeciążonych wiadomościami”21.