pietroń, modelowanie symulacyjne, zmienna losowa


ZMIENNA LOSOWA JEDNOWYMIAROWA

POJĘCIE ZMIENNEJ LOSOWEJ

Podstawowe pojęcia rachunku prawdopodobieństwa:

zdarzenie losowe,

zdarzenie elementarne,

prawdopodobieństwo,

zbiór zdarzeń elementarnych.

Def. Niech E będzie zbiorem zdarzeń elementarnych danego doświadczenia. Funkcję X(e) przyporządkowującą każdemu zdarzeniu elementarnemu eE jedną i tylko jedną liczbę X(e)=x nazywamy zmienną losową.

Przykład

Rozpatrujemy doświadczenie polegające na rzucie symetryczną monetą. Wynikiem tego doświadczenia mogą być zdarzenia "pojawienie się orła" albo "pojawienie się reszki" tworzące zbiór zdarzeń elementarnych.

Na zbiorze zdarzeń elementarnych określamy zmienną losową X w sposób następujący:

X (orzeł) = 1; X (reszka) = 0

Zmienna losowa X przyjmuje wartość ze zbioru {0,1}. Ponieważ zdarzenia "pojawienie się orła" i "pojawienie się reszki" realizują się z prawdopodobieństwami równymi 1/2, można zapisać:

P(X=1) = P{orzeł} = 1/2,

P(X=0) = P{reszka} = 1/2.

TYPY ZMIENNYCH LOSOWYCH

Def. Zmienna losowa X jest typu skokowego, jeśli może przyjmować skończoną lub nieskończoną, ale przeliczalną liczbę wartości.

Wartości zmiennej losowej skokowej (określane często jako punkty skokowe) będziemy oznaczać przez x1, x2,..., natomiast prawdopodobieństwa, z jakimi są one realizowane (określane jako skoki), oznaczamy przez p1, p2,...

Def. Zmienna losowa X jest typu ciągłego, jeśli jej możliwe wartości tworzą przedział ze zbioru liczb rzeczywistych.

Dla zmiennej losowej typu ciągłego możliwe jest określenie prawdopodobieństwa, że przyjmuje ona wartość należącą do dowolnego zbioru jej wartości. Sposób rozdysponowania całej "masy" prawdopodobieństwa (równej 1) pomiędzy wartości, jakie przyjmuje dana zmienna losowa, określamy mianem jej rozkładu prawdopodobieństwa.

ROZKŁAD ZMIENNEJ LOSOWEJ SKOKOWEJ

Założenia:

zmienna losowa X typu skokowego przyjmuje wartość x1, x2,... z prawdopodobieństwami, odpowiednio p1, p2,... ,

prawdopodobieństwa p1, p2,... spełniają równość:

0x01 graphic

gdy zmienna losowa X przyjmuje skończoną liczbę n wielkości,

prawdopodobieństwo p1, p2,... spełniają równość:

0x01 graphic

gdy zmienna losowa X przyjmuje nieskończoną liczbę wartości.

Def. Zbiór prawdopodobieństw postaci:

0x01 graphic
0x01 graphic

spełniających równość (1) lub (2) określamy mianem funkcji prawdopodobieństwa zmiennej losowej X typu skokowego.

Funkcję prawdopodobieństwa można przestawić tabelarycznie w poniższy sposób (przy założeniu, że zbiór wartości zmiennej losowej jest skończony):

xi

x1

x2

...

xn

pi

p1

p2

...

pn

Przykład

Funkcję prawdopodobieństwa zmiennej losowej przedstawia poniższa tabela:

xi

0

1

2

3

pi

1/8

3/8

3/8

1/8

Wykres funkcji prawdopodobieństwa x0x08 graphic

p

0x08 graphic
3/8 . .

0x08 graphic

1/8 . .

0x08 graphic
0x08 graphic
0x08 graphic
0x08 graphic

0 1 2 3 x

Dystrybuanta zmiennej losowej x

0x08 graphic

F(x)

0x08 graphic
0x08 graphic
1

0x08 graphic

0x08 graphic
0x08 graphic
7/8

0x08 graphic

0x08 graphic
0x08 graphic
0x08 graphic
4/8

0x08 graphic

0x08 graphic
0x08 graphic
1/8

0x08 graphic
0x08 graphic
0x08 graphic
0x08 graphic
0x08 graphic

0 1 2 3 x

Def. Dystrybuantą zmiennej losowej X nazywamy funkcję F(x) określoną na zbiorze liczb rzeczywistych jako: 0x01 graphic

Dla zmiennej losowej X skokowej, która przyjmuje wartości x1, x2,... z prawdopodobieństwami p1, p2, ..., dystrybuanta ma postać:

0x01 graphic
0x01 graphic

Dystrybuantą F(x) zmiennej losowej X skokowej można zapisać też następująco (zakładamy, że zbiór wartości zmiennej losowej jest skończony oraz że został on uporządkowany według wzrastających wartości):

0x01 graphic

Podstawowe własności dystrybuanty zmiennej losowej skokowej:

0x01 graphic

0x01 graphic
oraz 0x01 graphic

0x01 graphic
jest funkcją niemalejącą (dla x1<x2 zachodzi 0x01 graphic
i przedziałami stałą,

0x01 graphic
jest funkcją prawostronnie ciągłą.

Przykład

Dystrybuanta zmiennej losowej ma postać:

0x01 graphic

ROZKŁAD ZMIENNEJ LOSOWEJ CIĄGŁEJ

Def. Funkcją gęstości prawdopodobieństwa zmiennej losowej typu ciągłego nazywamy funkcję f(x), określoną na zbiorze liczb rzeczywistych o następujących własnościach:

0x01 graphic

0x01 graphic
dla dowolnych a<b.

0x01 graphic

Def. Funkcją gęstości zmiennej losowej X typu ciągłego nazywamy funkcję f(x) określoną następująco:

0x01 graphic

0x01 graphic

Przykładowy wykres funkcji gęstości prawdopodobieństwa i graficzna interpretacja 0x01 graphic

0x08 graphic
0x08 graphic
f(x) 0x01 graphic

0x08 graphic
0x08 graphic

0x08 graphic
0x08 graphic
0x08 graphic
0x08 graphic

0x08 graphic
0x08 graphic
0x08 graphic

0x08 graphic

0x08 graphic
0x08 graphic

0x08 graphic
0x08 graphic

0x08 graphic

a b x

Przykład

przeprowadzamy pomiar wagi pewnego typu odkuwek tłoczonych przez prasę hydrauliczną,

waga pojedynczych odkuwek odchyla się w sposób przypadkowy od wagi nominalnej, tym samym wyniki pomiarów wagi odkuwek można traktować jako realizacje zmiennej losowej ciągłej,

dokonujemy n pomiarów, grupując uzyskane wyniki w l rozłącznych przedziałach 0x01 graphic
gdzie i=1,...,l,

długość przedziału 0x01 graphic
oznaczamy przez 0x01 graphic
natomiast liczbę pomiarów, które trafiły do tego przedziału, przez ni,

przedstawiamy uzyskane dane w postaci histogramu, konstruując go przy następujących założeniach:

- podstawy poszczególnych prostokątów reprezentują wyróżnione przedziały 0x01 graphic
wartości pomiarów wagi podkuwek,

- wysokości poszczególnych prostokątów 0x01 graphic
są ustalone w taki sposób, aby pola prostokątów były równe częstościom 0x01 graphic
:

0x01 graphic

Histogram wyników pomiarów wagi odkuwek 0x01 graphic

0x08 graphic

0x01 graphic

0,4

0x08 graphic
0x08 graphic
0x08 graphic

0,3

0x08 graphic
0x08 graphic
0x08 graphic
0x08 graphic
0,2

0x08 graphic
0x08 graphic

0x08 graphic
0x08 graphic
0,1

0x08 graphic
0x08 graphic

x1 x2 x3 x4 x5 x6 x

Histogram wyników pomiarów wagi odkuwek 0x01 graphic

0x08 graphic

0x01 graphic

0,4

0x08 graphic
0x08 graphic
0x08 graphic
0x08 graphic
0x08 graphic

0x08 graphic
0x08 graphic
0x08 graphic
0x08 graphic
0,3

0x08 graphic
0x08 graphic
0x08 graphic
0x08 graphic

0x08 graphic
0x08 graphic
0x08 graphic
0x08 graphic
0,2

0x08 graphic
0x08 graphic
0x08 graphic
0x08 graphic
0x08 graphic
0x08 graphic
0x08 graphic
0x08 graphic

0x08 graphic
0x08 graphic
0x08 graphic
0x08 graphic
0x08 graphic
0x08 graphic
0,1

0x08 graphic
0x08 graphic

0x08 graphic
0x08 graphic

x1 x5 x9 x13 x17 x21 x

Def. Dystrybuantę zmiennej losowej X typu ciągłego można określić następująco:

0x01 graphic

gdzie f(t) jest funkcją gęstości zmiennej losowej X

Własności dystrybuanty F(x) zmiennej losowej X typu ciągłego:

0x01 graphic
dla 0x01 graphic

0x01 graphic
oraz 0x01 graphic

F(x) jest funkcją niemalejącą i ciągłą.

Przykład

Funkcja gęstości zmiennej losowej czasu oczekiwania na autobus ma postać:

0x01 graphic

gdzie c jest pewną stałą.

Wykres funkcji gęstości czasu oczekiwania na autobus oraz ilustracja graficzna 0x01 graphic

0x08 graphic
f(x)

0x08 graphic
0x08 graphic
0x08 graphic
0x08 graphic
0x08 graphic
0x08 graphic
0x08 graphic
0x08 graphic
0x08 graphic
0x08 graphic
0x08 graphic
0x08 graphic
0x08 graphic
0x08 graphic
0x08 graphic
0x08 graphic
0x08 graphic
0x08 graphic
0x08 graphic
0x08 graphic
0x08 graphic
0x08 graphic
0x08 graphic
0x08 graphic
1/5

0x08 graphic
0x08 graphic
0x08 graphic

0x08 graphic
0x08 graphic
0x08 graphic

0x08 graphic
0x08 graphic

0x08 graphic
0x08 graphic
0x08 graphic

0x08 graphic
0x08 graphic
0x08 graphic

0x08 graphic
0x08 graphic

0x08 graphic
0x08 graphic

0 1 2 3 4 5 x

Dystrybuanta czasu oczekiwania na autobus oraz ilustracja graficzna 0x01 graphic

0x08 graphic
f(x)

0x08 graphic
0x08 graphic
0x08 graphic
1

0x08 graphic
0x08 graphic
0x08 graphic
0x08 graphic
0x08 graphic
0x08 graphic
0x08 graphic
0x08 graphic
0x08 graphic
0x08 graphic
0x08 graphic
0x08 graphic
F(3)

0x08 graphic

0x08 graphic

0x08 graphic
2 F(3)-F(1)

0x08 graphic

0x08 graphic
0x08 graphic
0x08 graphic
0x08 graphic
0x08 graphic
F(1)

0x08 graphic
0x08 graphic

0x08 graphic
0x08 graphic

0 1 2 3 4 5 x

WARTOŚĆ OCZEKIWANA I WARIANCJA ZMIENNEJ LOSOWEJ

Def. Wartością oczekiwanej zmiennej losowej X nazywamy wyrażenie:

0x01 graphic

gdzie pi oznacza funkcję prawdopodobieństwa zmiennej losowej X przyjmującej wartości xi(i=1,2,...), natomiast f(x) jest funkcją gęstości.

Def. Wariancją zmiennej losowej X nazywamy wyrażenie:

0x01 graphic

MOMENTY

Def. Momentem zwykłym (lub po prostu momentem) rzędu 0x01 graphic
zmiennej losowej X nazywamy wartość oczekiwaną k-tej potęgi tej zmiennej, tzn.:

0x01 graphic

Def. Momentem centralnym rzędu 0x01 graphic
zmiennej losowej X nazywamy wartość oczekiwaną funkcji 0x01 graphic
tej zmiennej, tzn.:

0x01 graphic

ROZKŁAD ZERO - JEDYNKOWY

Założenia:

przeprowadzamy doświadczenie, którego rezultatem mogą być dwa wzajemnie wykluczające się zdarzenia losowe A oraz0x01 graphic
,

prawdopodobieństwo realizacji zdarzenia A wynosi p, przy czym 0<p<1,

prawdopodobieństwo zdarzenia 0x01 graphic
wynosi q=1-p,

przyporządkowujemy zdarzeniu A liczbę 1 oraz zdarzeniu 0x01 graphic
liczbę 0, otrzymując zmienną losową X, której funkcja prawdopodobieństwa ma postać:

0x01 graphic

0x01 graphic
; 0x01 graphic

Def. Zmienna losowa X ma rozkład zero-jedynkowy, jeśli przyjmuje wartość 1 z prawdopodobieństwem 0<p<1 oraz wartość 0 z prawdopodobieństwem q=1-p.

Funkcja prawdopodobieństwa rozkładu zero-jedynkowego:

xi

0

1

pi

1-p

p

Dystrybuanta zmiennej losowej zero-jedynkowej:

0x01 graphic

Wartość oczekiwana i wariancja zmiennej losowej zero-jedynkowej:

0x01 graphic

ROZKŁAD DWUMIANOWY

Schemat Bernoulliego

wykonujemy doświadczenie, którego rezultatem może być zdarzenie A (sukces) z prawdopodobieństwem p lub zdarzenie przeciwne 0x01 graphic
(porażka) z prawdopodobieństwem q=1-p,

doświadczenie powtarzamy n-krotnie w sposób niezależny co oznacza, że prawdopodobieństwo sukcesu pozostaje w pojedynczych próbach stałe i równe p,

liczba sukcesów jaką zaobserwujemy w wyniku n-krotnego powtórzenia doświadczenia, może być równa k=0,1,2,...,n.

Założenia

zmienna losowa X jest liczbą sukcesów zaobserwowanych w eksperymencie przeprowadzonym zgodnie ze schematem Bernoulliego,

wyznaczamy dla niej funkcję prawdopodobieństwa, czyli P(X=k), dla k=0,1,...,n:

- zdarzenie X=k zachodzi wtedy, gdy w wyniku n-krotnego powtórzenia pojedynczego doświadczenia zaobserwujemy dowolny ciąg zdarzeń, w którym pojawiło się k razy zdarzenie A, zaś n-k razy zdarzenie0x01 graphic
: 0x01 graphic

0x01 graphic

- prawdopodobieństwo otrzymania w eksperymencie takiego ciągu zdarzeń jest równe, ze względu na niezależność pojedynczych doświadczeń, iloczynowi prawdopodobieństw poszczególnych n zdarzeń, czyli 0x01 graphic

- prawdopodobieństwo otrzymania każdego innego ciągu zdarzeń, w którym A występuje k razy, zaś zdarzenie 0x01 graphic
razy, będzie takie samo,

- liczba różnych możliwych ciągów n-elementowych, w których zdarzenie A występuje k razy, jest równa liczbie kombinacji z n elementów po k, czyli 0x01 graphic

- wszystkie te kombinacje składają się na zdarzenie X=k, zatem jego prawdopodobieństwo jest sumą prawdopodobieństw dla poszczególnych kombinacji:

0x01 graphic
(3)

Def. Zmienna losowa X ma rozkład dwumianowy, jeśli przyjmuje wartości k=0,1,2,...,n z prawdopodobieństwami określonymi wzorem (3). Liczbę doświadczeń n oraz prawdopodobieństwo sukcesu p nazywamy parametrami tego rozkładu.

Dystrybuanta zmiennej losowej X o rozkładzie dwumianowym:

0x01 graphic

Wartość oczekiwana i wariancja

0x01 graphic

0x01 graphic

ROZKŁAD POISSONA

Def. Rozkład zmiennej losowej X przyjmującej wartość k=0,1,2,... nazywamy rozkładem Poissona o parametrze λ, jeżeli jej funkcja prawdopodobieństwa opisana jest wzorem:

0x01 graphic
dla k=0,1,2,...

gdzie:

λ jest dodatnią stałą (λ>0)

Def. Dystrybuantą zmiennej losowej X mającej rozkład Poissona jest funkcja F(x) o postaci:

0x01 graphic

Paramerty:

E(X)=λ

D2(X)=λ

Wykorzystanie rozkładu Poissona do aproksymacji prawdopodobieństw w rozkładzie dwumianowym

Niech Xn oznacza zmienną losową o rozkładzie dwumianowym, z parametrami n oraz p, której rozkład opisany jest wzorem:

0x01 graphic

Jeżeli dla n spełniona jest równość np=λ, gdzie λ jest wielkością stałą, to spełniona jest zależność:

0x01 graphic

ROZKŁAD NORMALNY

Def. Zmienna losowa X ma rozkład normalny o parametrach m oraz σ, co w skrócie zapisuje się jako 0x01 graphic
, jeżeli jej funkcja gęstości wyraża się wzorem:

0x01 graphic

przy czym 0x01 graphic
.

Def. Dystrybuantą zmiennej losowej X mającej rozkład normalny jest funkcją F(x) określona na zbiorze liczb rzeczywistych o postaci:

0x01 graphic

Def. Rozkład normalny ze średnią m=0 oraz odchyleniem standardowym σ=1 nazywamy standardowym rozkładem normalnym i oznaczamy N(0,1)

WŁASNOŚCI KRZYWEJ GĘSTOŚCI

ROZKŁADU NORMALNEGO

a) jest symetryczna względem prostej 0x01 graphic
,

b) osiąga maksimum równe0x01 graphic
,

c) jej ramiona mają punkty przegięcia dla 0x01 graphic
.

LICZBA LOSOWA

Liczba losowa to pojęcie z dziedziny statystyki i teorii informacji.

Liczby takie otrzymywane są jako rezultat działania określonego mechanizmu losującego, (na przykład przy rzucaniu kostką do gry, tasowaniu kart, ciągnieniu losów z urny itp.). Można je także uzyskiwać za pomocą specjalnie skonstruowanych maszyn lub - obecnie najczęściej - przy użyciu specjalnych programów komputerowych (generator liczb losowych).

Otrzymywanie liczb prawdziwie losowych (tzn. takich, które faktycznie nie ukrywają w sobie żadnej prawidłowości) jest bardzo trudne, dlatego często mówi się o liczbach pseudolosowych - takich, których rozkład ma pewne ukryte regularności, ale nieistotne z punktu widzenia technicznego.

Liczby losowe odgrywają bardzo istotną rolę w praktyce. Za pomocą tablic liczb losowych można wybierać na przykład numery dowodów osobistych osób, które uwzględni się w badaniu opinii publicznej (czy w ogóle pobierać próbkę losową z jakiejś zbiorowości ludzi czy przedmiotów, np. celem badania jakości). Stosuje się je także w statystyce metodami Monte Carlo oraz w badaniu wielu procesów rzeczywistych metodami symulacji matematycznej.



Wyszukiwarka

Podobne podstrony:
,Modelowanie i symulacja system Nieznany (3)
02 Statystyka Matematyczna Zmienna Losowa Ciągłaid 3789
M5 Modelowanie i symulacja silnika wrzecionowego SM
6 czerwca Zmienna losowa
zmienna losowa ciągła, statystyka matematyczna(1)
3 zmienna losowa odp
36 ?finicja zmiennej losowej Zmienna losowa i jej rozkład
Modelowanie i symulacja procesów elektrycznych w obwodzie z lampą rtęciową
5. Zmienna losowa, licencjat(1)
zmienna losowa przykład
29 30 Zmienna losowa jednowymiarowa
2 zmienna losowa zadania
zmienna losowa i jej rozklad
Zmienna losowa ciągła wykresy
zmienna losowa, przykład
Zmienna losowa i rozklad prawdopodobienstwa - zadania, Pliki, Studia PK (Mechaniczny & WIL)
statystyka--zmienna losowa, Administracja
Modelowanie i symulacja prostych układów elektrycznych w programie?SPOC
,Modelowanie i symulacja system Nieznany (2)

więcej podobnych podstron