1. Ruch liniowy i obrotowy Prędkości linowa i kałowa. Przyśpieszenie liniowe i kątowe Przyspieszenie dośrodkowe.

1.Ruchy dzielimy na postępowe i obrotowe. W ruchu postępowym wszystkie p-ty ciała poruszają się po takich samych torach. W ruchu obrotowym tory poszczególnych p-tów ciała są współśrodkowymi okręgami. W opisie ruchu możemy zastępić ciało p-em mat-ym [obdarzonym masą , rozmiar zaniedbujemy].

Ruch prostoliniowy - ruch p-tu mat-go po torze prostum [s=s(t)]. prędkość chwilowa v=ds/dt ; jeżeli prędkość ciała jest const [nie zależy od czasu] to jest ruch jednostajny [s=vt].

W ruchu prostoliniowym zmiennym występ przyspieszenie a=dv/dt [m/s²] ; gdy a=0 - ruch prostoliniowy jednostajnie zmienny.

W ruchu krzywoliniowym prędkość jest zdefiniowana jako wektor [wodzący] v=dr/dt , a prędkość a=dv/dt.

Ruch po okręgu jest szczególnym przypadkiem ruchu krzywoliniowego płaskiego. Kąt φ - droga kątowa ; Drogę liniową przebytą przez ciało po łuku koła, za pomocą drogi kątowej wyraża s=φr.

Prędkość kątowa ω=dφ/dt [rad/s]. Jeżeli prędkość kątowa w tym ruchu jest const --> ruch jednostajny po okręgu. Gdy ruch jest niejednostajny --> wprowadza się przyspieszenie kątowe α=dφ/dt [rad/s²]; ruch w którym przyspieszenie jest stałe i nie= 0 --> jednostajnie zmiennym po okręgu.

Wektor przyspieszenia jest sumą wektora dośrodkowego przysp. i wektora przysp. stycznego. a=(α/ω)v-ω²r ; przysp. dośrodkowe - a_n=-ω²r (skierowane do środka koła , przeciwnie do r).

1.Gdy punkt M. porusza się po obwodzie koła, to promień łączący go ze środkiem koła, czyli jego promień wodzący, zakreśla kąt, który rośnie w miarę upływu czasu, czyli jest funkcją czasu. Oznaczając go przez ϕ1 kąt zakreślony przez promień wodzący w czasie t1, zaś przez ϕ2 - kąt zakreślony w czasie t2, nazwiemy średnią prędkością kątową stosunek ω(śr)=ϕ1-ϕ2/t2-t1.(rys. 1.1)

Chwilową prędkość kątową określamy w sposób następujący : ω=lim(t2t10) ϕ2-ϕ1/t2-t1=dϕ/dt.

Chwilową prędkość punktu na torze w odróżnieniu od prędkości kątowej nazywamy często prędkością liniową punktu: v=ds/dt. Między prędkością liniową i kątową istnieje prosty związek wynikający z definicji tych wielkości. Oznaczamy przez s1 i s2 drogi przebyte, a więc łuki odpowiadające kątom ϕ1 i ϕ2. Kąty w mierze łukowej określone są równościami ϕ1=s1/r , ϕ2=s2/r. Chwilową prędkość kątową wyrażamy w sposób następujący : ω=lim(t2t10) (s2/r-s1/r)/t2-t1=1/r lim s2-s1/t2-t1=(1/r)v=v/r

Więc prędkość liniowa punktu przyjmuje wartość v=ωr lub v=ω X r v=ωrsinϕ (rys. 1.2)

Przyśpieszenie kątowe średnie jest to stosunek przyrostu prędkości kątowej do przyrostu czasu : α(śr)=ω2-ω1/t2-t1, natomiast przyśpieszanie kątowe chwilowe określamy wzorem : α=lim(t2t10) ω2-ω1/t2-t1=dω/dt. Jeżeli warość liczbowa prędkości po torze krzywoliniowym wzrasta, wówczas istnieje przyśpieszenie liniowe w kierunku stycznym do toru, tzw. Przyśpieszenie styczne a(t) : a(t)=lim(t2t10) v2-v1/t2-t1, gdzie v2-v1 oznacza przyrost wartości liczbowej prędkości. Ponieważ w ruchu kołowym mieliśmy na przyśpieszenie kątowe wzór : α=lim(t2t10) ω2-ω1/t2-t1, zaś ω=v/r

otrzymujemy więc α=a(t)/r tzn. ,że wartość przyśpieszenia kątowego w ruchu po okręgu równa się wartości liczbowej przyśpieszenia liniowego stycznego, podzielonej przez promień koła.

Korzystając z powyższych wyprowadzeń uzyskujemy wzór na przyśpieszenie normalne a(n)=v2/r - jest to przyśpieszenie w ruchu jednostajnym po okręgu. Podstawiając v=ωr otrzymujemy a(n)=rω^2. Widzimy, że gdy zbliżamy do siebie nieograniczone chwile obserwacji t1,t2 lub punkty obserwacji A1,A2 to kierunek wektora v'=v2-v1 zbliża się coraz bardziej do kierunku promienia, ku środkowi. A więc i przyśpieszenie chwilowe będzie skierowane ku środkowi, dlatego nazywamy je przyśpieszeniem dośrodkowym. Gdy punkt przebywa cały okręg koła ruchem jednostajnym w czasie T zwanym okresem, to jego promień wodzący opisuje kąt 2π, zatem ω=2π/T a(n)=4π^2r/T^2, jeżeli punkt wykona n całkowitych obiegów w sekundzie, to jego promień wodzący opisuje w sekundzie kąt 2πn, zatem ω=2πn/1s=2πn rad/s a(n)=rω^2=4π^2n^2r - przyśpieszenie dośrodkowe.

2. Zasady dynamiki Newtona dla punktu materialnego. Pojęcie siły i masy bezwładnej Pęd i prawo zachowania pędu. Relacja między pędem i siłą?

2. Podsawę dynamiki stanowią 3 zasady izaaka newtona 1687r. ; Wszelkie oddziaływania między ciałami zmniejszają się wraz ze wzrostem odległości.

I zasada Ciało nie poddane oddziaływaniu żadnych innych ciał pozostaje w spoczynku lub porusza się ruchem jednostajnym prostoliniowym. Zasada ta nazywana jest takż ezasadą bezwładności --> ciało nie zmienia ani kierunku, ani wartości swej prędkości, gdy nic na nie nie oddziałuje [a=0]. Jeśli ruch ciała nie jest ruchem prostoliniowym jednostajnym to znaczy, że podlega ono jakiemuś oddziaływaniu, którego to miarą jest przyspieszenie - zmienia prędkość lub zakrzywia tor. Zmiany te może wywołać siła F. Obserwowane przyspieszenie jest proporcjonalne do siły, współczynnikiem proporcj. jest masa ciała, niezależna od wielkości i rodzaju oddziaływania. Występuje tutaj masa m zwana masą bezwładną. II zasada Siła działająca na ciało = iloczynowi przyspieszenia i masy tego ciała, F=ma. Im większa jest masa ciała, tym mniejsze przyspieszenie wywoła dana siła.

Pędem ciała nazywamy iloczyn masy ciała i jego prędkości , p=mv.

Kożystając z II zasady i pojęcia pędu można F=dp/dt. - ponieważ isnieją zjawiska w których masa może ulegać zmianie podczas ruchu.

III zasada Jeżeli ciała A działa na ciało B pewną siłą F_AB, to B działa na A siłą F_BA równą, co wartości bezwzgl., lecz przeciwnie skierowaną. III zasdę można nazwać zasadą akcji i reakcji, akcja=reakcji.

2.Zasady dynamiki Newtona:

*Każde ciało pozostaje w stanie spoczynku lub ruchu jednostajnego po linii prostej dopóty, dopóki nie zostanie zmuszone, za pomocą wywierania odpowiednich sił, do zmiany tego stanu. Lub: Jeżeli na ciało nie działa żadna wypadkowa siła , przyśpieszenie a tego ciała jest równe zeru.

*Przyśpieszenie ciała jest wprost proporcjonalne do wypadkowej siły działającej na to ciało i ma kierunek zgodny z kierunkiem tej siły oraz że dla danej siły przyśpieszenie jest odwrotnie proporcjonalne do masy ciała. F=ma Pierwsza zasada dynamiki jest szczególnym przypadkiem drugiej tzn. jeżeli F=0 a=0

*Każdej akcji towarzyszy zawsze równa co do wartości, lecz przeciwnie skierowana reakcja; inaczej, wzajemne oddziaływanie dwóch ciał jest zawsze równe co do wartości, lecz przeciwnie skierowane.

*Masą bezwładną nazywamy masę występującą we wzorze F=ma, która powoduje konieczność podziałania pewną siłą F w celu zmiany ruchu pewnego ciała. Ciało to jest bezwładne i ma skłonność do pozostawania w spoczynku lub, gdy się porusza, ma skłonność do utrzymywania się w stanie ruchu.

*Według II zasady dynamiki F=ma, według d'Alberta F-ma=0 i oznaczając ma=F1 możemy napisać F+F1=0. Siłę F1=-ma nazywamy siłą bezwładności (pozorną), występuje ona w układzie nieinercjalnym.

*Pędem punktu nazywamy wektor o kierunku prędkości, którego wartość liczbowa równa się iloczynowi masy przez prędkość. Oznaczając pęd ciała literą p możemy napisać p=mv.

Za pomocą pędu możemy II zasadę dynamiki Newtona zapisać nieco inaczej. Weźmy pod uwagę ruch jednostajnie przyśpieszony. W takim przypadku przyśpieszenie chwilowe równa się przyspieszeniu średniemu i jest stałe. Ztem : a=v2-v1/t2-t1, podstawiając to F=ma otrzymujemy m.(v2-v1/t2-t1)=F m.(v2-v1)=f(t2-t1) p2-p1=F(t2-t1). Równanie to wyraża fakt, że przyrost pędu ciała równa się iloczynowi siły przez czas jej działania, otrzymujemy w ten sposób tw.: przyrost pędu ciała równa się popędowi działającej na nie siły Δp=FΔt

*Zasada zachowania pędu dla punktu materialnego. Gdy na punkt nie działa żadna siła lub gdy suma geometryczna sił działających na ciało jest równa zeru, wówczas przyrost pędu jest równy zeru. Lecz gdy przyrost jakiejś wielości jest zerem, to znaczy, że wielkość ta się nie zmienia, czyli jest wielkością stałą (pęd nie zmienia wartości ani kierunku) Δp=0 ; p=mv=const

3. Prawo grawitacji Newtona. Należenie i potencjał pola grawitacyjnego. Prędkości kosmiczne?

3.Prawo powszechnego ciążenia Newtona. Siła działająca między każdymi dwoma punktami materialnymi o masach m1 i m2, znajdującymi się w odległości r, jest siłą przyciągającą, skierowaną wzdłuż prostej łączącej te punkty, i ma wartość F=G(m1m2/r2) gdzie G jest stałą uniwersalną mającą tę samą wartość dla wszystkich par punktów materialnych. Stała powszechnego ciążenia G=6,6720*10^-11 Nm^2/kg^2.

*Pole grawitacyjne jest to pole wytworzone poprzez modyfikację otaczającej przestrzeni przez ciało posiadające pewną masę. Pole to działa na każde inne ciało obdarzone masą znajdujące się w jego zasięgu, wywierając nań siłę przyciągania grawitacyjnego.

*Z każdym punktem w pobliżu Ziemi możemy stworzyć wektor g ,który jest przyśpieszeniem, jakiego doświadczyłoby ciało , gdyby zostało umieszczone w tym punkcie. Wektor g nazywamy natężeniem pola grawitacyjnego w tym punkcie. Ponieważ g=F/m ,więc siłę grawitacyjną działającą w tym punkcie na jednostkę masy nazywamy natężeniem pola grawitacyjnego.

*Potencjał grawitacyjny V jest to grawitacyjna energia potencjalna na jednostkę masy ciała znajdującego się w polu grawitacyjnym. Wtedy, dla sferycznie symetrycznego ciała o masie M., V=U( r )/m= - GM/r

*Prędkości kosmiczne

-Wiemy ,że F=mv^2/R i G=mg, więc żeby ciało obiegało Ziemię po okręgu nad samą powieżchnią, musi być mv^2/R=mg v1=pierw.(gR). Prędkość taka nazywa się pierwszą prędkością kosmiczną i wynosi 7/9 km/s.

-Natężenie pola grawitacyjnego niewiele się różni od przyśpieszenia spadania g. Jeżeli zaniedbamy tę różnicę, to możemy napisać v2=pierw.(2gR0). Jest to tzw. Druga prędkość kosmiczna - prędkość ucieczki z pola grawitacyjnego Ziemi. Podstawiając g=9,81 m/s, R0=6 370 000 m, otrzymamy v=11,17 km/s

4. Zasady dynamiki Newtona dla ruchu obrotowego brył materialnych. Moment bezwładności brył materialnych I, moment siły M i moment pędu L. Prawo zachowania momentu pędu.

4.Moment siły. Zgodnie z ogolną definicją momentu wektora moment siły F względem punktu O jest to wektor M. prostopadły do płaszczyzny P przechodzącej przez punkt O i wektor F,którego długość równa się iloczynowi ramienia h tej siły przez wartość siły F: M=h*F (rys. 4.1)

Zwrot wektora M określa reguła śruby prawoskrętnej. Prowadząc z punktu O do punktu A (lub dowolnego punktu prostej, na ktorej leży wektor F) wektor r możemy również napisać M=r X F

*Moment pędu. Moment pędu definiujemy podobnie jak moment siły tz. Wektor L prostopadły do płaszczyzny przechodzącej przez punkt nieruchomy O i wektor p. Jego długość L=hp=hmv, gdzie h jest ramieniem wektora p. Łącząc dowolny punkt prostej, na której leży wektor p z punktem O odcinkiem r o zwrocie od O do p możemy również napisać L=r X p

*Moment bezwładności jest to iloczyn masy cząsteczki przez kwadrat jej odległości od osi obrotu. Oznacza się go zwykle literą I. Możemy więc powiedzieć, że dwie cząsteczki są równoważne ze względu na obrót dookoła osi, gdy ich momenty bezwładności są równe. Jeżeli wokół wspólnej osi porusza się układ n cząsteczek o masach m1,m2,m3,...,m(n) znajdujących się w odległości odpowiednio r1,r2,r3,...,r(n) od osi, to momentem bezwładności całego układu nazywamy sumę momentów bezwładności poszczególnych cząstek: I=∑m(i)r^2(i) gdzie i={1..n}

*Zasada zachowania momentu pędu. Jeśli wypadkowy moment sił zewnętrznych działających na układ wynosi zero, całkowity moment pędu układu pozostaje stały. Dla układu n punktów materialnych całkowity moment pędu względem pewnego punktu wynosi L=l1+l2+l3+...+l(n). Jeśli wypadkowy moment sił zewnętrznych działających na układ wynosi zero, to L=const=L0, gdzie L0 jest stałym wektorem całkowitego momentu pędu. Momenty pędu poszczególnych punktów materialnych mogą się zmieniać, lecz ich suma wektorowa L0 pozostaje stała, gdy wypadkowy moment sił zewnętrznych równa się zeru.

5. Energia kinetyczna ruchu postępowego punktu materialnego i ruchu obrotowego bryły sztywnej. Praca i moc w ruchach postępowym i obrotowym.

5.

Ruch postępowy	Ruch obrotowy
Przemieszczenie s	Kąt ϕ
Prędkość liniowa v=ds./dt	Prędkość kątowa ω=dϕ/dt
Przyśpieszenie a=dv/dt	Przyśpieszenie kątowe α=dω/dt
Masa m	Moment bezwładności I=∑mr^2
Siła F=ma=dp/dt	Moment siłty M=Ff=Iα=dL/dt
Pęd p=mV	Moment pędu L=mvr=Iω
Energia kinetyczna E(k)=mv^2/2	Energia kinetyczna E(k)=Iω^2/2

*Energią kinetyczną ruchu postępowego punktu materialnego nazywamy połowę iloczynu masy przez kwadrat jego prędkości E(k)=mV^2/2.Jeżeli ciało jest sztywne ω jest stałe dla wszystkich punktów materialnych (w ciele sztywnym wszystkie punkty materialne zajmują zawsze te same położenia względem siebie) . Promień r może być różny dla różnych punktów. Stąd całkowita energia kinetyczna obracającego się ciała sztywnego wyraża się jako E(k)=1/2(m1r1^2+m2r2^2+.....)ω^2=1/2(∑m(i)r(i)^2)ω^2. Czynnik ∑m(i)r(i)^2 jest sumą iloczynu mas cząsteczek przez kwadraty ich odległości od osi obrotu. Wielkość tę nazywamy momentem bezwładności I, więc E(k)=Iω^2. Jest to analogiczne wyrażenie do energii kinetycznej ciała w ruchu postępowym. Wiedzieliśmy, że prędkość kątowa ω jest analogiczna do prędkości liniowej v, teraz widzimy, że moment bezwładności I jest analogiczny do masy m w ruchu postępowym. Energia kinetyczna w ruchu obrotowym bryły sztywnej jest po prostu sumą zwykłych energii kinetycznych ruchu postępowego wszystkich cząstek ciała, a nie żadnym nowym rodzajem energii.

*Praca wykonana przez wypadkową siłę F działającą na punkt materialny jest równa zmianie energii kinetycznej tego punktu W=∫Fdr lub ogólnie dW=Fds (praca wykonana wzdłuż linii prostej). Szybkością wykonywania pracy jest moc. Średnia moc dostarczona przez jakieś urządzenie jest równa całkowitej pracy wykonanej przez to urządzenie podzielonej przez całkowity przedział czasu tj. P=dW/dt. Jeżeli ciało jest doskonale sztywne, nie występuje wewnętrzny ruch jego punktów, zatem wszystkie punkty materialne poruszają się jako jedna całość. Wewnątrz takiego ciała nie ma rozproszenia energii, więc podobnie jak w energii kinetycznej bryły sztywnej praca oraz moc ciała sztywnego w ruchu obrotowym jest adekwatna do pracy i mocy w ruchu postępowym punktu materialnego, czyli zamiast siły F wprowadzamy moment siły M, a zamiast przemieszczenia s kąt ϕ. Wynikiem tego jest wzór na pracę dW=∫Mdϕ oraz wzór na moc P=dW/dt=Mω.

6. Przepływ płynów. Prawo Bernoulliego. Działanie prawa Bernoulliego w przyrodzie i jego zastosowania techniczne.

6.Przepływ płynów.

*Przepływ może być ustalony (laminarny) albo nieustalony (turbulentny).W przypadku tego pierwszego oznacza to, że w dowolnym punkcie przepływu ustalonego prędkość V każdej przechodzącej przez ten punkt cząstki płynu jest zawsze taka sama. W drugim przypadku prędkości cząstek V są funkcjami czasu tz. Prędkości zmieniają się bezwładnie od punktu do punktu a także w miarę upływu czasu.

*Przepływ może być wirowy lub bezwirowy. Przepływ jest bezwirowy w przypadku, gdy w żadnym punkcie elementu płynu nie ma względem tego punktu wypadkowej prędkości kątowej. W przeciwnym wypadku przepływ jest wirowy.

*Przepływ może być ściśliwy lub nieściśliwy. Zazwyczaj przepływ cieczy jest nieściśliwy tz. ,że gęstość cieczy jest stała, niezależna od x,y,z i t, i w związku tym matematyczny opis przepływu jest uproszczony.

*Przepływ może być lepki i nielepki. Lepkość w ruchu płynów jest porównywalna do tarcia w ruchu ciał stałych. Lepkość wywołuje pojawienie się sił stycznych między warstwami płynu poruszajacymi się względem siebie. Wynikiem lepkości są stopniowe straty energii mechanicznej.

*Równanie Bernouliliego jest podstawowym równaniem mechaniki płynów. W rzeczywistości to równanie jest pewnym zapisem twierdzenia o pracy i energii dla przepływu płynu. p+1/2ρv^2+ρgh=const Równanie to stosujemy tylko do przepływu ustalonego, nielepkiego i nieściśliwego.

* Zastosowanie . Równanie Bernoulliego może być użyte do wyznaczania prędkości płynu na podstawie pomiarów ciśnienia. W przyrządach pomiarowych tego typu wykorzystywana jest następująca ogólna zasada : równanie ciągłości (m=ρav=const) wymaga, żeby w zwężeniu prędkość płynu rosła; równanie Bernoulliego wskazuje następnie, że w tym miejscu ciśnienie musi spadać. Znaczy to, że dla rury poziomej 1/2ρv^2+p równa się pewnej stałej; jeżeli v rośnie i płyn jest nieściśliwy, to p musi maleć.

*Zastosowanie w praktyce.

-Rurka Venturiego jest to przyrząd wstawiany do środka przepływającej cieczy w celu pomiaru prędkości przepływu. Ciecz o gęstości ρ płynie przez rurę o przekroju A. W pewnym miejscu rury tworzy się wąskie gardło a. Za pomocą dołączonego manometru wypełnionego cieczą o gęstości ρ' i stosując równanie Bernoulliego możemy wykazać, że prędkość przepływu w rurze o przekroju A wynosi v= a*pierw.(2(ρ'-ρ)gh/ρ(A^2-a^2)

-Rurka Pitota jest przyrządem używanym do mierzenia prędkości przepływu gazu.

-Dynamiczna siła nośna. Kąt natarcia skrzydła jest przyczyną ruchu powietrza w dół. Reakcją na tę skierowaną do dołu siłę, z jaką skrzydło działa na powietrze, jest skierowana w górę siła wyporu F, wywierana przez powietrze na skrzydło, zgodnie z trzecią zasadą Newtona. Obraz linii prądu zgadza się z tym rozumowaniem. Ponad skrzydłami linie prądu są rozmieszczone gęściej niż pod skrzydłami. Tak więc v1>v2 i zgodnie z prawem Bernouliego p1<p2 co musi być prawdą jeśli ma wystąpić siła nośna.

6. Ruch płynów - przepływ, uporządkowany ruch cząsteczek płynów poruszających się w jednym kierunku → strumień lub struga. Przepływ laminarny - strumień płynu może być rozłożony na warstwy, których wektor prędkości jest równoległy do kierunku przepływu, tzn. nie występuje mieszanie się sąsiednich warstw płynu.

P. turbulentny - zachodzi mieszanie się poszczególnych warstw płynu. w ruchu tym → dv/dt≠0

P. stacjonarny lub ustalony - jeżeli w danym p-cie przestrzeni v przepływającego płynu nie zależy od czasu.

Równanie ciągłości - prędkości cieczy w strudze są odwrotnie proporcjonalne do powierzchni przekroju strugi.

Równania Bernoulliego : mv²/2+mgh+pV=const , dzieląc je obustronnie przez V i posdt. za m/V gęstość cieczy (ro) - p+(ro)v²/2+(ro)gh=const

Wpraktyce energia potencj. cieczy jest stała lub b. mała i można ją włączyć do const, co da : p+(ro)v²/2=const

p - ciśn. statyczne, (ro)(v^2)/2 - ciśn. dynamiczne.

Prawo Bernoulliego: suma energii kinet., ptencj. i ciśnienia jednostki masy(lub objętości) ustalonego przepływu cieczy doskonałej jest wielkością stałą.

Cieczom doskonałym przypisuje się: brak ściśliwości i brak lepkości.

7. Proste drgania harmoniczne, Równanie różniczkowe prostych drgań harmonicznych i jego rozwiązanie. Składanie drgań równoległych - dudnienia. Składanie drgań prostopadłych - krzywe Lissajous.

7.Proste drgania harmoniczne. W środku spiralnej sprężyny umieszczamy kulkę, oś OX prowadzimy poziomo na prawo od środka kulki znajdującej się w równowadze. Po przesunięciu kulki w prawo i puszczeniu kulka po chwili zaczyna drgać. Siła tu działająca jest proporcjonalna do wychylenia x kulki z równowagi i jest przeciwnie skierowana niż to wychylenie. F=-kx Minus oznacza, że siła F i wychylenie x mają przeciwne zwroty. Korzystając z II zasady Newtona ma=-kx , dzieląc obustronnie przez m i wprowadzając k/m=ω^2 możemy napisać a=-ω^2x. Równanie to wyraża zależność między przyśpieszeniem a i wychyleniem x. Przyśpieszenie jest proporcjonalne do wychylenia i ma znak przeciwny. Każdy ruch o takiej właściwości nazywamy harmonicznym. Ponieważ przyśpieszenie w ruchu prostoliniowym jest drugą pochodną drogi po czasie a=d^2s/dt^2 więc możemy napisać d^x/dt^2=-ω^2x co jest równaniem różniczkowym ruchu harmonicznego. Jego rozwiązaniem jest x=Asin(ωt+ϕ) gdzie A i ϕ to pewne wielkości stałe, t- czas.

• Jeżeli sin(ωt+ϕ) uzyskuje najwyższą wartość równą 1, to x uzyskuje najwyższą wartość równą A. Tę wartość nazywamy amplitudą ruchu harmonicznego, (ωt+ϕ) nazywamy fazą.

• - Jeżeli t=0, to x=Asinϕ. Jak widać więc ϕ jest fazą ruchu w chwili t=0. ϕ nazywamy fazą początkową ruchu. Wartość fazy początkowej zależy od tego, od jakiej chwili zaczęliśmy liczyć czas. Można tak oczywiście zawsze przesunąć chwilę początkową, aby ϕ równało się zeru. Wówczas otrzymujemy na ruch harmoniczny nieco prostszy wzór x=Asinωt.

• Jeżeli t=0, x=0, to zaczynamy liczyć czas gdy punkt drgający przechodzi przez położenie równowagi

*Dudnienie. Weźmy pod uwagę dwa drgania różniące się niewiele częstotliwością. Y1=Asinω1t Y2=Asinω2t, drganie wypadkowe y=y1+y2=2Asin(ω1+ω2)tcos(ω1-ω2/2)t, oznaczając 2Acos(ω2-ω1/2)t=B i ω1+ω2/2=ω możemy napisać y=Bsinωt. Otrzymane drganie wypadkowe o częstotliwości kątowej równej średniej arytmetycznej części kątowych drgań składowych i o amplitudzie B, która zmienia się powoli z czasem od wartości 2A do wartości -2A. Charakterystyczną własnością tego drgania jest to, że amplituda tego drgania dwukrotnie osiąga maksimum, zjawisko to nazywamy dudnieniem, a liczba dudnień w sekundzie jest równa różnicy częstości tych drgań.

*Złożenia drgań prostopadłych. W wielu przypadkach dodaje się dwa liniowe ruchy harmoniczne proste wzajemnie prostopadłe. Powstały w wyniku tego ruch jest sumą dwóch niezależnych drgań. Rozważmy przypadek, w którym częstości drgań są takie same : x=A(x)cos(ωt+ϕ(x)) y=A(y)cos(ωt+ϕ(y)) . Ruchy wzdłuż x i y mają różne amplitudy i fazy. Gdy fazy początkowe są takie same ϕ(x)=ϕ(y)=ϕ , tor powstałego ruchu jest prostą. Eliminując t z równań otrzymujemy y=(A(y)/A(x))x. Jest to równanie linii prostej o nachyleniu określonym przez stosunek A(y)/A(x). Jeżeli fazy początkowe są różne, tor powstałego ruchu nie jest linią prostą. Wtedy jeżeli amplitudy są równe tor ruchu jest okręgiem, jeżeli są różne - elipsą. Ponieważ okrąg i linia prosta są szczególnymi przypadkami elipsy, więc wszystkie możliwe kombinacje dwóch ruchów harmonicznych odbywają się pod kątami prostymi i mających tę samą częstość, odpowiadają torom eliptycznym.

*Krzywe Lissajous. Kiedy dodajemy dwa drgania liniowe do siebie prostopadłe, to częstości ruchu cząstki wzdłuż kierunków x i y nie muszą być równe. W tym przypadku równania ogólne przechodzą w następujace : x=A(x)cos(ω(x)t+ϕ(x)) y=A(y)cos(ω(y)t+ϕ(y)). Tor po którym porusza się cząstka nie jest już elipsą, nosi on nazwę krzywej Lissajous. - Jeżeli ω(x)/ω(y) jest liczbą wymierną, to krzywa jaką zakreśla punkt materialny, jest krzywą zamkniętą i ruch powtarza się w regularnych odstępach czasu. - Jeżeli ω(x)/ω(y) nie jest liczbą wymierną, to krzywe są „otwarte”

7. Ruchem drgającym (drganiem lub oscylacją - ruch ciała zachodzący wokół stałego położenia równowagi. Rozróżnia się ruchy drg. okresowe i nieokresowe. Ruch okresowy - periodyczny - położenie lub stan ciała powtarza się w jednakowych odstępach czasu - okres drgań T. Szczególnie ważnym przypadkiem r. okresowego - drganie opisane funkcją trygon. (sin lub cos), np.: (*) x=Acos(ωt+φ) ← drganie harmoniczne. A- amplituda drgań = const, ω - częstotliwość kątowa (pulsacja)=const (ωt+φ) - faza drgań. odległość x drgającego p-tu od położenia równowagi -wychyle-ie p-tu.

T=2π/ω; oprócz T wielkością charakt-cą ruch okresowy jest częstotliwość drgań - ƒ=1/T [1herc : 1Hz=1s^-1]

Prędkość p-tu drgającego otrzymujemy różniczkując (*)(patrz ↑) po czasie : v=dx/dt =-Aωsin(ωt+φ), a ponownie ją różniczkując - a=dv/dt = -Aω²cos(ωt+φ). Przyspieszenie jest proporcj-ne do wychylenia a= -ω²x

Drgania swobodne są drganiami harmonicznymi. Częstotliwość drgań swobodnych ciał - częstotliwością własną. W przypadku drgań swobodnych nie występują straty energii mechanicznej. Równanie różniczkowe tych drgań dla p-tu mat-go : m(d²x/dt²)+kx=0

Składanie drgań harmonicznych równoległych, o jednakowych pulsacjach, różniących się fazą daje drganie harmoniczne o tej samej pulsacji. A drgań swobodnych + się, gdy fazy są zgodne, odejmują - fazy są przeciwne.

Dudnienie - drganie złożone, powstające przy nałożeniu się drgań harmon. o nieznacznie różniących się pulsacjach.

Krzywe Lissajous - złożenie drgań harm. prostopadłych o różnych pulsacjach daje skomplikowane krzywe

Drgania powstałe w wyniku składania drgań harm. wzdłuż prostych prostopadłych względem siebie, jest drganiem złożonym zachodzącym w płaszczyźnie. P-kt mat-ny wykonujący drgania jednocześnie (zachodzące wzdłuż OX i OY), zakreśla na płaszczyźnie pewną krzywą.

8. Drgania tłumione. Równanie różniczkowe drgań tłumionych i jego rozwiązanie. Tłumienie krytyczne i nadkrytyczne.

8. Drgania tłumione występują wtedy gdy nie doprowadzimy do układu drgającego energii, drgania wtedy zanikają, ich amplituda maleje i wreszcie układ przechodzi w stan spoczynku. Z II zasady Newtona ma=∑F otrzymujemy równanie różniczkowe drgań tłumionych : (d^2x/dt^2)+a(dx/dt)+(ω(0)^2)x=0. Rozwiązaniem tego równania jest : x=Ae^(-at/2)sin(ωt+ϕ), gdzie A jest stałą, od której zależy pierwsze, najważniejsze wychylenie, a e=2,718... jest zasadą logarytmów naturalnych. W tego typu drganiach bezwzględne wartości poszczególnych największych wychyleń tworzą postęp geometryczny. Poszczególne największe wychylenia w dwie przeciwne strony następują po sobie w równych odstępach czasu T/2. Chociaż wychylenie x nie jest funkcją periodyczną czasu, przedział czasu T nazywamy okresem drgań, zaś maksymalne wychylenie z położenia równowagi - amplitudami. Amplitudy maleją z czasem. Stosunek dwóch następujących po sobie największych wychyleń z położenie równowagi jest stały i równy e^(a/2 T/2)._Logarytm naturalny tego stosunku nazywamy dekrementem tłumienia. Λ=(a/2 T/2) ,od niego zależy szybkość zaniku drgań. Dekrement tłumienia zależy zaś od wielkości a, która określa wielkość oporu tłumiącego drganie.

*Tłumienie krytyczne i nadkrytyczne.

8. Drgania tłumione. Jeżeli drgania ciała odbywają się w ośrodku mat-ym (ciecz, gaz) to w skutek występowania siły oporu ośrodka (siła tłumiąca) drgania będą zanikać. Nie zależnie od natury ośrodka siła tłumiąca F_t jest proporcjonalna do prędkości ciała drgającego jeśli prędkość ta jest n i e w i e l k a : F_t= - b (dx/dt) ; b - wsp. oporu, minus występ. dlatego - Ft jest zawsze skierowana przeciwnie do kierunku ruchu. Dla drgań tłumionych , zgodnie z II zas. dyn. - Fs+Ft=ma ; Fs - siła sprężystości -kx ; czyli m(d²x/dt²)+b(dx/dt)+kx=0 - równanie różniczkowe drgań tłuminych p-tu mat-go . Rozwiązaniem tego r-nia jest (*) x=A₀e^-βtcos(ω₁ t+φ)

W skutek działania siły tłumiącej: -Amplituda drgań maleje z upływem czasu

-pulsacja drgań jest mniejsza niż drgań swobodnych.

Wielkością charakteryzującą drgania tłumione jest logarytmiczny dekrement tłumienia (**) λ=BT

!! zależności (*) i (**) mają sens <=> β<ω, w przeciwnym wypadku ruch nie jest ruchem drgającym:

-β>ω ruch pełzający (występ. gdy siła oporu ośrodka jest b. duża)

-β=ω ruch pełzający krytyczny (wykorzystywany w amortyzatorach pojazdów mechanicznych)

Dla przypadku 2-go ciało zbliża się do położenia równowagi szybciej niż w 1.

9. Drgania wymuszone. Rezonans.

9.Drgania wymuszone. Bardzo ważnym przypadkiem jest przypadek ruchu punktu, który może drgać ruchem harmonicznym, gdy działa nań periodyczna siła zewnętrzna F=F(0)sinω(1)t. Korzystając z II zasady Newtona otrzymujemy równanie różniczkowe : (d^2x/dt^2)+a(dx/dt)+ω(0)x=Asinω(1)t, którego rozwiązaniem jest x=Csin(ω(1)t-ϕ). Wzór ten wykazuje, że punkt, który może drgać ruchem harmonicznym pod wpływem siły zewnętrznej F=F(0)sinω(1)t, która zmienia się z częstotliwością f(1)=ω(1)/2π, drga z częstotliwością równą częstotliwości tej siły (albo : jego okres drgania równa się okresowi drgania siły wymuszającej drganie). Są to tak zwane drgania wymuszone, nie zanikające, trwające tak długo jak działa siła periodycznie zmienna. Punkt przytrzymywany w pewnym położeniu równowagi siłami np. sprężystymi, pod wpływem siły periodycznie zmiennej będzie drgał ruchem harmonicznym nie zanikającym. Częstość tego drgania równa się częstości siły wymuszającej. Lecz amplituda C zależy przede wszystkim od różnicy między częstotliwością ω(0) i ω(1); ω(0) jest częstotliwością kątową własną punktu drgającego, częstotliwością, jaką by on posiadał, gdyby wykonywał drgania swobodne i gdyby nie było tłumienia. W przypadku gdy ω(0)=ω(1), amplituda drgania wymuszonego będzie miała największą wartość. Mówimy wtedy, że układ drgający jest w rezonansie z siłą. Amplituda drgania wymuszonego przewyższa w tym przypadku wielokrotnie ( często setki tysięcy razy ) amplitudę drgania, gdy rezonansu nie ma.

9. Drgania wymuszone- aby opory ośrodka nie tłumiły drgań to na drgający p-kt mat-ny należy działać odpowiednio zmienną siłą. Dla drgań harmonicznych sił ta Fw=F0cosΩt - siła wymuszająca. W przypadku drgań wymuszonych mamy : Fs+Ft+Fw=ma czyli (patrz ↑) równanie różniczkowe drgań tłumionych p-tu mat-go =Fw - jest to r-nie różniczkowe drgań wymuszonych. Rozwiązaniem jest : x= Acos(Ωt+Φ). W wyniku działania Fw p-kt mat-ny wykonuje drgania harm. z pulsacją Ω (z taka pulsacją, z jaką zmienia się Fw). Amplituda drgań wymuszonych jest ściśle określona i zależy od amplitudy siły wymuszającej Fo oraz Ω, tak jak i Φ(początkowa faza drgania) zależy od Ω. Φ jest różnicą fazy wychylenia i fazy siły.

10. Ruch falowy. Równanie różniczkowe ruchu falowego. Prędkość rozchodzenia się fal.

10.Ruch falowy. Fale mogą się rozchodzić w każdym środowisku, w którego częściach może się zmieniać energia potencjalna i kinetyczna lub jakieś inne rodzaje energii odpowiadające tym dwom rodzajom energii mechanicznej. Zaburzenie wywołujące nagłą zmianę energii potencjalnej lub kinetycznej w pewnym miejscu środowiska rozchodzi się natychmiast w postaci fali. Zaburzenie to przenosi się z pewną prędkością od miejsca do miejsca, przy czym samo środowisko nie doznaje trwałego przemieszczenia. Zawsze przy rozchodzeniu się fal zachodzi związek : λ=v/f gdzie λ oznacza długość fali, v - prędkość fazy, nazywaną też prędkością fali a f - częstość drgania. Prędkość fali zależy od właściwości środowiska. Przy przejściu od jednego środowiska do drugiego prędkość fali zwykle ulega zmianie, w skutek tego zmienia się również długość fali. Natomiast częstość drgania f jest stała, nie zmienia się przy przejściu z jednego środowiska do innego (wyjątek stanowi zjawisko Dopplera).Rodzaje fal: - Jeżeli ruchy cząstek materii przenoszącej falę są prostopadłe do kierunku rozchodzenia się fali, wówczas mamy do czynienia z falą poprzeczną np. zaburzenie porusza się wzdłuż liny. - Jeżeli cząsteczki przenoszące falę mechaniczną poruszają się do przodu i do tyłu wzdłuż kierunku rozchodzenia się fali, wówczas mamy do czynienia z falą podłużną np. naprzemiennie rozciągana i ściskana sprężyna pionowa. - Fale mogą być mieszane tj. poprzeczne i podłużne np. fale wody. - Fale mogą być jedno-, dwu-, trójwymiarowe. - Fale - periodyczne np. fala harmoniczna prosta. Powierzchnie falowe (powierzchnie, w których wszystkie punkty mają tę samą fazę drgań) mogą przybierać różne kształty. - Jeżeli zaburzenie rozchodzi się w jednym kierunku fala jest nazywana płaską (powierzchnie falowe są płaszczyznami, a promienie fali liniami prostymi równoległymi do siebie) -Fala kulista (promienie fali układają się radialnie, powierzchnie falowe tworzą wycinki sferyczne).Równanie różniczkowe fali : d^2y/dt^2=v^2(d^2y/dx^2) rozwiązaniem jest : y=Asink(vt(+/-)x). Za pomocą tego równania można wykazać, że wszystkie ruchy podlegające temu równaniu są ruchami falowymi. Równania te spełniają fale biegnące w dodatnim i ujemnym kierunku osi X oraz fale poprzeczne i podłużne. Równanie to przedstawia jakiekolwiek zaburzenia w środowisku sprężystym. Prędkość fali jest równa v=pierw.(F/μ) (μ - współczynnik bezwładności ) pomnożonemu przez stałą bezwymiarową. Wartość stałej można otrzymać albo na drodze analizy mechanicznej, albo z doświadczenia. Metodami tymi stwierdzamy, że stała jest równa jedności i że powyższe równanie jest poprawne.

Fale powstają w wyniku wychylenia (zaburzenia) jakiegoś fragmentu ośrodka sprężystego z położenia równowagi, co powoduje powstanie drgania wokół tego położenia.

10. Ruchem falowym (falą) nazywamy przenoszenie się zaburzenia w ośrodku. Drgania ośrodka mają pewną energię, która jest dostarczana przez źródło drgań. Zjawisko polegające na przenoszeniu energii bez przenoszenia materii (czyli masy) nazywamy transportem energii. Kierunek transportu energii jest zgodny z kierunkiem rozchodzenia się fali.

Fale dzielimy na:

-podłużne - kierunek drgań cząsteczek ośrodka jest równoległy do kierunku rozchodzenia się fali

-poprzeczne -kierunek jest prostopadły.

Prędkości rozchodzenia się fal

F. podł. w ciele st.: v=√E/(ro);E moduł Younga. F. pop. w ciele st.; v=√G/(ro); G moduł sztywności. F. podł. w gazie v=√χp/(ro) p- ciśn.gazu χ=Cp/Cv. F.podł.w cieczy v=√K/(ro) K-moduł ściśliwości cieczy.

Fala wytworzona w ciele o skończonych rozmiarach odbija się od granicy tego ciała i porusza się w kierunku odwrotnym niż fala padająca, superpozycja tych fal daje falę stojącą o równaniu: ξ=2A sinkx cosωt . W tym przypadku wszystkie cząstki ośrodka wykonują drgania harmoniczne w tej samrj fazie. Najbardziej ogólne równanie fali poruszającej się wzdłuż OX w kierunku +-nim :ξ=f(x-vt) . Równanie różniczkowe ruchu falowego jest równaniem fali dowolnego kształtu, poruszającego się w dowolnym kierunku OX, i ma postać: (∂²ξ/∂t²)-1/v²(∂²ξ/∂t²)=0

11. Procesy termodynamiczne: politropowy, adiabatyczny i izotermiczny. Wykładniki politropy i adiabatv Praca w procesach termodynamicznych.

11. W przemianie politropowej ciepło właściwe gazu =canst. Równanie ogóle dal 1 maola gazu dosk., ponieważ C=const, zatem CdT=CvdT+pdV. Rónanie różniczkowe tego procesu: dp/p+n(dV/V)=0 gdzie n- wykładnik politropowy, =(C-Cp)/(C-Cv); przekształcają go → ciepło właściwe: C=(Cp-nCv)/(1-n).

Przemianą adiabatyczną nazyw. przemianę zachodzącą bez wymiany ciepła z otocz. (dQ=0), stosując I zasadę termodynamiki dla 1 mola gazu dosk. → CvdT= -pdV ; TV^χ-1=const , wyrażając T=pV (z równania Claperona)→ pV^χ =const. gdzie χ - stosunek ciepeł molowych, =Cp/Cv

W przemianie izotermicznej T=const. Z równania Claperona → p=(nRT/V). Ponieważ T=cost więc również nie ulega zmianie energia wewnętrzna, zatem dU=o

Ważną rolę w przemianach termodyn. odgrywa praca wykonywana przez siły ciśnienia. dW= -pdV, znak minus → zmniejszeniu obj. (dV<0) towarzyszy dodatnia praca siły zewnętrznej, a (dV>0) - praca ujemna. Pracę sił ciśnienia wyk. podczas przemiany gazu → W = -_V1∫^V2 pdV ; Praca wykonywana w przemianie termodynamicznej zależy nie tylko od stanu począt. i końc. układu, ale również od drogi jaką stn końcowy został osiągnięty (czyli rodzaju przemiany).

11.Procesy termodynamiczne:

*Proces adiabatyczny.Prawo Poissona. Zjawiskiem adiabatycznym nazywamy zjawisko, przy którym nie ma wymiany ciepła z otoczeniem ΔQ=0. Równanie V^(x-1)T=const. jest to Poissona. Mówi ono, że gdy zmniejszamy adiabatycznie objętość gazu, to jego temperatura musi się podnosić, przy adiabatycznym powiększeniu objętości gazu musi on się oziębiać. Równanie Poissona pozwala obliczyć, do jakiej temperatury ogrzeje się gaz przy zagęszczaniu adiabatycznym. Z adiabatycznym rozprężeniem gazu połączonym z wykonywaniem pracy przeciwko siłom zewnętrznym połączone jest silne oziębianie.

*Proces izotermiczny. (T=const.)Przy izotermicznych zmianach objętości gazu praca sił zewnętrznych zamienia się w całości na ciepło lub odwrotnie, pobierane ciepło zmienia się w całości na pracę, którą gaz wydaje rozprężając się przy pokonywaniu sił zewnętrznych. W+Q=0 W=-Q Równanie to wykazuje, że gdy W>0, to znaczy, gdy siły zewnętrzne wykonają pracę dodatnią zagęszczając gaz, to Q<0 - gaz wyda ciepło w ilości równoważnej doprowadzonej pracy. Jeżeli zaś W<0 tzn. gdy gaz wydaje pracę rozprężając się, to Q>0 - gaz pobierze zatem z otoczenia ciepło w ilości równoważnej wydanej pracy.

*Praca przy skończonej objętości gazu. W=∫(V1V2)pdV

-Przy izotermicznym zagęszczaniu lub rozprężaniu gazu. W=(R/M)mTln(V1/V2) Gdy V1>V2 (gaz jest zagęszczny), W>0, gaz pobiera pracę (gdyż ln(V1/V2)>1, a logarytmy liczb większych od jedności są dodatnie); gdy V1<v2 (gaz się rozpręża), W<0, gaz wydaje pracę (oczywiście kosztem pobranego ciepła)

- Przy adiabatycznym zagęszczaniu lub rozprężaniu. W=mc(v)(T(2)-T(1)) Gdy temperatura końcowa T(2) jest wyższa od początkowej T(1), wtedy W>0, gaz pobiera pracę, jest zagęszczany przez siły zewnętrzne. Gdy T(2)<T(1), wówczas W<0, gaz wydaje pracę rozprężając się przeciwko siłom zewnętrznym.

12. Gazy rzeczywiste. Równanie van der Waalsa. Izotermy p(V). Punkt krytyczny.

12. Własności gazów rzeczywistych opisuje równanie van der Waalsa, w którym uwzględn. są poprawki (w porów. z gazem idealn.) : 1) objętość własna cząsteczek gazu; 2) siły między cząsteczkowe; W skutek wzajemnego przyciągania się cząseczek ciśnienie całkowite jest sumą ciśn. zewn. i ciśn. wew., które wynosi a/V²

Równanie Waalsa , dla 1 mola gazu : (p+(a/V²))(V-b)=RT gdzie a,b - stałe charakt-ce dany gaz.

Charakt-czne cechy izoterm gazu rzecz. 1) w wysokich temp. są zbliżone do izoterm gazu ideal..

2) istn. temp. krytyczna, poniżej której gaz może ulec skropleniu, a powyżej → występuje wyłącznie w stanie gazowym.

3)w temp. niższej od krytycznej, dana substancja może wyst.: a)jako para nienasycona; b) mieszanina pary nasyconej i cieczy; c) jako ciecz.

4) Izotermy dla cieczy wykazują gwałtowny wzrost ciśnienia przy zmniejsz. się objętości

P-kt krytyczny jest to p-kt w którym nie ma różnicy między gazem a cieczą. P-kt krytyczny określają: ciśnienie krytyczne , temp. krytyczna i obj. krytyczna.

12.Gazy rzeczywiste. Podstawowym równaniem gazu doskonałego w skali makroskopowej jest równanie stanu pV=nRT. Korzystając z tego równania oraz z zasad termodynamiki możemy udowodnić, że energia wewnętrzna U gazu zależy wyłącznie od temperatury. Gazy rzeczywiste podlegają całkiem dobrze temu równaniu przy małych gęstościach, lecz ich zachowanie staje się różne przy wzroście gęstości. W pewnych warunkach może nie być uzasadnione zaniedbywanie tego, że cząsteczki zajmują część objętości dostępnej dla gazu i że zasięg działania sił międzycząsteczkowych jest większy niż rozmiar cząstek. Nie możemy zwłaszcza tych efektów przy dużych gęstościach. J.D Van der Wals wprowadził zmienione równanie stanu gazu, które w prosty sposób uwzględnia te czynniki : (p+(a/v^2))(v-b)=RT, gdzie zamiast V/n (tzw. objętość molowa) stosujemy v - „objętość swobodna” i b- „objętość własna” cząsteczki, oraz przy uwzględnieniu sił międzycząsteczkowych, gaz zajmuje mniejszą objętość o (a/v^2) od gazu doskonałego, gdzie a jest stałą. Z powyższego równania wynika, że energia wewnętrzna U gazu rzeczywistego zależy nie tylko od temperatury, ale także od objętości. Ponieważ pomiędzy cząsteczkami działają siły przyciągania, więc energia potencjalna rośnie wraz ze wzrostem odległości między cząsteczkami, więc energia wewnętrzna większości gazów rzeczywistych powoli rośnie ze wzrostem objętości w niezbyt wysokich temperaturach. Stałe a i b wyznaczamy doświadczalnie.

*Izotermy p(V) Van der Walsa.(rys.12.1). Każda izoterma gazu doskonałego jest jedną gałęzią równobocznej hiperboli pV=const. Dla gazu Van der Waalsa ciśnienie zmienia się wraz z objętością jak p=RT/(v-b)-a/V^2. Gdy objętość molowa maleje do jakiejś bardzo wielkiej wartości, ciśnienie rośnie, ale wyraz a/V^2, który obniża ciśnienie też rośnie, i to na tyle szybko, że dla dostatecznie niskiej temperatury T ciśnienie osiąga lokalne maksimum w pewnym punkcie A. Gdy v nadal maleje, wyraz RT/(v-b) rośnie coraz szybciej, tak że ciśnienie przechodzi w punkcie B przez minimum, a następnie rośnie nieograniczenie przy zbliżaniu się v do wartości b. W wyższych temperaturach maksima i minima są mniej wyraźne i coraz bardziej zbliżają się do punktu przegięcia leżącego między nimi. W tak zwanej temperaturze krytycznej (T=T(kr)) pokrywają się one z leżącymi na poziomym odcinku krzywej punktem przegięcia, nazywanym punktem krytycznym. W temperaturach znacznie wyższych od T(kr), izotermy Van der Waalsa nie mają punktu przegięcia i stają się podobne do równobocznych hiperbol, będących izotermami gazu doskonałego. Na podstawie tych izoterm w pewnym stopniu można przewidywać rzeczywiste, doświadczalne zachowanie się cieczy i gazów.

13. Pierwsza zasada termodynamiki. Energia wewnętrzna. Energia wewnętrzna gazu idealnego. Praca związana ze zmianą objętości.

13. I zasada termodynamiki: zmiana energii wew. ukł. termodyn-go jeat równa sumie ciepła pobranego (lub oddanego) przez ukł. i pracy wykonanej nad ukł. przez siły zewn. . W przypadku b.małej zmiany stanu układu → dU = dQ + dW .

Przez energię wewn. U danego ciała - sumę energii kinet. ruchu cieplnego cząsteczek i energii potencj. ich wzajemnego oddziaływania. Jeżeli układ jest izolowany to U=const. W przemianach termodyn. możliwa jest zmiana U układu nawet gdy nie dziqałają nań żadne siły zewn..

Energia wew. układu E_U=E_K+Ep+U (Eu -całkowita energia układu term.; E_K- energia kinet.; Ep - potencjalna; U - energia wewnętrzna układu)

Energia wew. gazu dosk. dU=dQ-pdV

PRACA związana ze zmienn. obj. dW'=pdV ; W=_V1∫^V2pdV ; Podczas sprężania W'<0 wtedy praca sił zew. W>0 ; podczas rozprężania W'>0 - W<0.

13.I zasada termodynamiki. Każde ciało dzięki ruchom molekuł, z których jest złożone, ma pewien zapas energii kinetycznej, dzięki zaś siłom działającym miedzy molekułami - pewien zapas energii potencjalnej. Suma tych energii stanowi tzw. energię wewnętrzną ciała U.

Weźmy pod uwagę pewne ciało, które ogrzejemy doprowadzając pewną ilość ciepła Q oraz wykonamy na nim pewną pracę W. Według zasady zachowania energii energia doprowadzona w postaci pracy i ciepła zniknąć nie może, musi zatem pozostać w ciele, powiększając jego energię wewnętrzną. Jeżeli energia wewnętrzna początkowa ciała była U(1), to wzrośnie ona do U(2). Przyrost energii wewnętrznej musi się równać sumie pobranej pracy i pobranego ciepła. W+Q=U(2)-U(1) Równanie to wyraża pierwszą zasadę termodynamiki, która jest właściwie zasadą zachowania energii ograniczoną do pracy, ciepła i energii wewnętrznej.

*Energia wewnętrzna gazu doskonałego jest proporcjonalna do temperatury bezwzględnej T.W termodynamice możemy przyjąć, że energia ta równa się zeru, choć wiadomo że nawet w temperaturze zera bezwzględnego molekuły gazu posiadają jakąś energię. Przy rozpatrywaniu zjawisk termodynamicznych nie ma to większego znaczenia, tym bardziej, że mamy tu do czynienia tylko ze zmianami energii. U=mC(v)T.

*Praca związana ze zmianą objętości. Jeżeli pod wpływem ciśnienia zewnętrznego gaz zawarty w dowolnym cylindrze zmniejszy swoją objętość o dV, lecz tak nieznacznie, aby można było uważać ciśnienie podczas zagęszczania gazu w przybliżeniu za stałe, to praca sił zewnętrznych ΔW=-pdV, gdzie p oznacza ciśnienie zwenętrzne.

14. Elementy fizyki statystycznej. Prawdopodobieństwa zdarzeń. Wartość średnia zmiennej dyskretnej. Ciągły rozkład zmiennej; funkcja rozkładu gęstości prawdopodobieństwa f(x). Wartość średnia zmiennej ciągłej i funkcji zmiennej ciągłej.

15. Druga zasady termo dynamiki. Entropia - definicje statystyczna i termodynamiczna. Trzy sformułowania II. zasady: entropowe, Clausiusa i Kelvina. Współczynnik sprawności.

15.Druga zasada termodynamiki.

*Clausius'a. Żadna pracująca cyklicznie maszyna nie może, bez jakichś dodatkowych efektów, przenosić w sposób ciągły ciepła z jednego ciała do drugiego, mającego wyższą temperaturę.

*Kelvin'a. Niemożliwa jest przemiana, której jedynym wynikiem byłaby zamiana na pracę ciepła pobranego ze źródła mającego tę samą temperaturę.

*Entropowa. Samorzutne procesy, które zaczynają się jednym stanem równowagi, a kończą innym stanem równowagi, mogą przebiegać tylko w takim kierunku, z którym związany jest wzrost sumy entropii układu i otoczenia.

*Cykl Carnota. Szereg kolejnych procesów takich, że ostatecznie układ powróci do swojego pierwotnego stanu równowagi nazywamy cyklem. Jeśli wszystkie kolejne procesy cyklu są procesami odwracalnymi, mówimy, że jest to cykl odwracalny. Najbardziej znanym cyklem odwracalnym jest cykl Carnota, który przebiega czterostopniowo. I. Rozprężenie izotermiczne. Przystawiamy cylinder z gazem do nagrzewnicy. Gdy gaz osiągnie temp. T(1), rozpręża się izotermicznie od pierwotnej obj. V(1) do V(2). Gaz wykonuje pracę W(1)=-Q(1), V(2)<V(1), więc W(1) jest ujemna (wydana), a Q(1) jest dodatnie (pobrane) II. Rozprężanie adiabatyczne. Przystawiamy dno cylindra do płyty adiabatycznej, po czym gaz się dalej rozpręża, dopóki jego temp. nie spadnie do T(2). Będzie on miał wtedy obj. V(3). Praca wykonana W(2)=mC(v)(T(2)-T(1)), ponieważ T(2)<T(1) praca będzie wykonana kosztem energii wewnętrznej gazu. III. Zagęszczanie izotermiczne. Przystawiamy cylinder do chłodnicy i sprężamy gaz izotermicznie od obj. V(3) do V(4). Praca wykonana W(3)=-Q(2),V(3)>V(4), więc praca będzie pobrana i zamieniona w całości na ciepło Q(2) w ilości równoważnej, oddane chłodnicy. IV. Zagęszczanie adiabatyczne. Przystawiamy cylinder dnem do płyty adiabatycznej i zagęszczamy gaz adiabatycznie, dopóki jego temp. nie podwyższy się do T(1). Wykona zatem obieg kołowy. Praca wykonana W(4)=mC(v)(T(1)-T(2)). Jedynym wynikiem cyklu Carnota jest zamiana na pracę ciepła Q(1)+Q(2). Lecz ciepło Q(1) jest dodatnie, a ciepło Q(2) - ujemne. A więc na pracę zamienia się ilość ciepła |Q|=|Q(1)|-|Q(2)|=|W|=|W(1)|-|W(3)|, przy czym stosunek ciepła Q(1)/Q(2)=-(T(1)/T(2)) (Rys.15.1)

*Entropia. 1.W mechanice statycznej nadajemy ścisłe znaczenie nieuporządkowaniu i wiążemy je z entropią następującą zależnością : S=klnw gdzie k - stała Bolzmana, S - entropia układu, w - parametr nieuporządkowania jest prawdopodobieństwem tego, że układ znajduje się w danym stanie. Równanie to wiąże wielkość termodynamiczną (makroskopową) entropię, z wielkością statyczną (mikroskopową) prawdopodobieństwem. 2. Funkcję S=∫dQ/T+const. nazywamy entropią.

*Tw. O maksymalnym współczynniku sprawności. Sprawność wszystkich silników odwracalnych pracujących między tymi samymi dwiema temperaturami jest taka sama i sprawność żadnego silnika nieodwracalnego, pracującego między tymi samymi dwiema temperaturami, nie może być od niej większa.

15. II zasada termodynamiki

Entropowe: w układzie zamkniętym entropia nie maleje dS≥0

Clausiusa: nie istnieje żaden proces którego j e d y n y m skutkiem byłoby przeniesienie ciepła z ciała zimniejszego do gorącego.

Kelvina: nie istnieje żaden taki proces którego j e d y n y m skutkiem byłaby całkowita zamiana ciepła na pracę.

!!zasady te są równoważne!!

Współczynnik sprawności : (def) ┐=W/Q=((T1-T2)/T1)<1

Carnota cykl - cykl złożony z dwóch przemian izoterm. i dwóch adiabat.. W cyklu tym gaz rozpręża się izotermicznie pobierając ciepło od grzejnika, po czym ochładza się przez adiabatyczne rozprężanie do temp. chłodnicy, następnie spręża się izoterm. oddając ciepło do chłodnicy i w czasie adiabatycznego sprężenia wraca do stanu wyjściowego.

SEMESTR II

1. Prawo Coulomba. Natężenie pola elektrycznego E. Elektryczna energia potencjalna i potencjał elektryczny V. Gradient potencjału: związek miedzy E i V.

1.Przestrzeń otaczająca ładunki elektr. posiada właściwość, że na umieszczone w dowolnym jej p-cie inne ładunki działa siła - wokół ładunków elektr. istn. pole elektryczne.

Istnienie pola elektr.można wykryć wprowadzając do niego ładunek próbny q₀. W polu elektr. na ładunek próbny działa siła F, więc: Natężenie pola elektr. E definiuje się jako stosunek siły F, działającej na + ładunek q₀, do wartości tego ładunku >E=F/q₀ <. Natężenie pola elektr. jest wektorem.

Obliczenie E w dowoln. p-cie przestrzeni, jeżeli pole jest wytwarzane przez ładunek q punktowy E=q/4πεr²

Graficznie pole E. można przedstawić za pomocą linii sił pola. Linie pola zaczynają się na ładunkach + a kończą na -.

P-kt do którego dochodzą dwie linie pola i kończą się na nim, mimo że niema tam żadnego ładunku ujemn. → p-tem osobliwym pola (E=0).

Potencjał V - em danego p-tu A nazywamy napięcie między p-em A i p-em ∞-nie odległym.

Potencjałem w danym p-cie pola nazyw. stosunek energii potencj. ładunku umieszczonego w tym p-cie do wartości ładunku V(r)=q₁/4πεr.

Znajomość V w dowolnym p-cie umożliwia obl. E tego pola E= -dV/dl (znak minus : potencjał maleje w kierunku E)

Rozpisując: E_x= -∂V/∂x; itd.

2. Strumień pola elektrycznego i prawo Gaussa dla pola elektrycznego. Zastosowania prawa Gaussa do obliczeń pól elektrycznych

2.Uniwersalny wzór prawa Gaussa: Φ_E=∫E·dA;(dla powierzchni zamkniętej jest taki sam tylko inaczej rys. całkę i to = Q/ε₀ )

Prawo Gaussa w dielektryku:

> zamknięta ∫D·dA=Q <

gdzie D=ε₀εE

Strumień pola elektr.:Φ_E=E·A;

Φ_E=Eacosφ; A-pole powierzch.

Strumień indukcji przez dowolna powierzchn. zamkn. jest = całkowitemu ładunkowi ∑q zawartemu wewn. tej pow.

3. Pojemność elektryczna i dielektryki. Zastosowanie prawa Gaussa do znajdowania pojemności kondensatora. Energia naładowanego kondensatora. Gęstość energii pola elektrycznego. Prawo Gaussa dla dielektryków. Siła Coulomba w dielektryku

3.Pojemność elektr. - wielkość charakt-ca kondensator: Pojemnością elektr. C nazywamy stosunek ładunku kondesat. do napięcia miądzy okłsdkami. C=Q/U. Pojemność wypadkową C obl-my: C=Q/∑U_i. Przy połączeniu szeregowym odwrotności pojemn. łączonych kondens. sumują się. Przy połączeniu równoległym napięcia poszczególnych kondens. są takie same, =U, a ładunki się sumują.

Gęstość energii - U_E=(ε₀/2)E²

4. Obwód elektryczny i siła elektromotoryczna. Natężenie prądu I, prawo Ohma. Prawa Kirchhoffa dla prądu stałego. Praca i moc prądu stałego

5. Obwody RC prądu stałego. Prąd ładowania i rozładowania kondensatora.

6. Pole magnetyczne. Siła Lorentza. Siła działająca na przewodnik z prądem w polu B Ruch czaszki naładowane w polu magnetycznym

7. Pole magnetyczne ładunku w ruchu. Pole B odcinka z prądem: prawo Biota i Savarta

8. Prawo Gaussa dla pola B. Strumień pola magnetycznego

9. Prawo Ampere'a. Pole magnetyczne prądu przesunięcia i uogólnione prawo Ampere'a. Pojęcie cyrkulacji wektora. Zastosowania prawa Ampere'a

10. Silą elektromotoryczna w przewodniku poruszającym się w polu B. Prawo Faradaya. Silą elektromotoryczna indukcji. Reguła Lenza.

11. Równania Maxwella. Postać całkowa. Interpretacja i znaczenie równań Maxwella.

12. Równania Maxwella. Postać różniczkowa. Otrzymywanie z postaci całkowej. Twierdzenie Gaussa-Ossrogradskiego. Twierdzenie Stokesa

13. Drgania elektromagnetyczne w obwodach. Indukcyjność L obwodu (wzajemna i własna) i silą elektromotoryczna wywołana zmianami prądu. Energia pola magnetycznego wokół przewodnika z prądem. Gęstość energii pola B

14. Prawa Kirchhoffa w obwodzie zawierającym elementy R, L i C. Obwód RL - narastanie i zanik prądu w solenoidzie (zwojnicy). Obwód LC - elektromagnetyczne drgania swobodne. Obwód RLC - elektromagnetyczne drgania tłumione.

15. Fale elektromagnetyczne. Ogólne równanie falowe. Otrzymywanie równania falowego z równań Maxwella. Światło jako fala elektromagnetyczna.

---