METODY OCENY PROJEKTÓW INWESTYCYJNYCH

1. Okres zwrotu OZ (okres spłaty OS, payback period, PB)

Okres zwrotu (OZ) to oczekiwana liczba lat potrzebna do całkowitej spłaty poniesionych nakładów inwestycyjnych.

Podstawowe pytanie, na jakie udzielamy odpowiedzi brzmi:

­- po jakim czasie spłacone zostaną nakłady inwestycyjne?

Drugie pytanie, jakie można zadać:

- czy wyliczony okres zwrotu jest porównywalny z okresem zwrotu z podobnych inwestycji?

Z założenia okres zwrotu to iloraz nakładu inwestycyjnego (NINV lub -CF) i przeciętnych wpływów środków pieniężnych (CF) z realizacji projektu, które stanowią sumę rocznego zysku netto, rocznej amortyzacji.

Wzór ten może być stosowany wyłącznie do jednakowych lub zbliżonych do średniej wartości rocznych CF.

Przykład:

Rozważmy dwa projekty inwestycyjne. Oba charakteryzują się jednakowym czasem realizacji - 5 lat oraz identycznymi nakładami inwestycyjnymi w wysokości 60 000 zł. W przypadku projektu A prognozowane są identyczne strumienie nadwyżek finansowych (CF) na koniec każdego z okresów w wysokości 20.000 zł. W projekcie B strumienie nadwyżek finansowych na koniec pierwszego roku wynoszą 45.000 zł, drugiego 25.000 zł i po 10.000 zł w latach 3-5. Zakłada się, że inwestycja powinna spłacić się w okresie nie dłuższym niż 3,1 roku (w takim czasie spłacały się wcześniej realizowane prokjekty inwestycyjne). Przyjmujemy upraszczające założenie o nieuwzględnianiu w obliczeniach inflacji.

okres (t)		projekt A	projekt B
0	(-CF) NINV	-60 000,0	-60 000,0
1	CF	20 000,0	45 000,0
2	CF	20 000,0	25 000,0
3	CF	20 000,0	10 000,0
4	CF	20 000,0	10 000,0
5	CF	20 000,0	10 000,0
	średnia CF	20 000,0	20 000,0

W obu przypadkach średnia wartość rocznych nadwyżek finansowych wynosi 20.000 zł. Stąd też obliczony okres zwrotu nakładów inwestycyjnych w obu wariantach będzie identyczny.

OZ^A =	60.000	= 3 lata		OZ^B =	60.000	= 3 lata
					20.000					20.000

Chociaż uzyskaliśmy identyczne wyniki, to tylko pierwszy z nich można uznać za wiarygodny i odpowiadający rzeczywistości (-60.000 + 20.000 + 20.000 + 20.000). Drugi wynik stanowczo odrzucamy - nie trudno bowiem zauważyć, że rzeczywista spłata w projekcie B nastąpi już w drugim roku, a nie dopiero w trzecim (-60.000 + 45.000 + 25.000) jak sugeruje obliczony wskaźnik OZ. Oczywiście OZ w przypadku projektu A jak i B jest krótszy od granicznego wynoszącego 3,1 roku (założenie graniczne z treści przykładu).

Aby uniknąć podobnych przekłamań, stosuje się inną formułę na okres zwrotu nakładów. W formule tej porównuje się nakłady ze skumulowanymi dodatnimi przepływami finansowymi i obserwuje, kiedy suma ta wyniesie 0. Odpowiedni wzór przybierze postać:

Obliczmy okres zwrotu dla wcześniejszego przykładu stosując powyższą formułę:

wariant A

• saldo na koniec 1 roku:  -60.000 + 20.000 = -40.000 nie pokrytego nakładu

• saldo na koniec 2 roku: -40.000 + 20.000 = -20.000 nie pokrytego nakładu

• saldo na koniec 3 roku: -20.000 + 20.000 = 0

wariant B

• saldo na koniec 1 roku: -60.000 + 45.000 = -15.000 nie pokrytego nakładu

• saldo na koniec 2 roku; -15.000 + 25.000 = +10.000

Spłata nakładu nastąpi po pierwszym roku. Niepokryty nakład na początku drugiego roku wynosi -15.000 zł. Planowany dodatni przepływ pieniężny na koniec drugiego roku +25.000 zł.

Tym razem wnioski są już jednoznaczne: wariant B jest zdecydowanie lepszy niż wariant A, zapewnia zwrot nakładów w czasie nieomal dwukrotnie krótszym niż ma to miejsce w wariancie A.  1,6 roku to w przeliczeniu na miesiące (1,6 * 12) = 19,2 miesiąca (lub 584 dni).

Obliczenie okresu zwrotu jest tylko z pozoru prostą rzeczą. Najtrudniejsza część rachunków dotyczy szacowania przepływów środków pieniężnych, co w przykładzie powyżej pominięto.

2. Księgowa stopa dochodu, zysku KSD (accounting rate of return, ARR)

Księgowa stopa dochodu (zysku) jest to stosunek oczekiwanego rocznego zysku netto projektu (metoda nie uwzględnia wartości amortyzacji, która stanowi wraz z zyskiem wartość przepływów pieniężnych) do tzw. inwestycji przeciętnej, czyli wartości księgowej środka trwałego w środkowym momencie jego eksploatacji. Kryterium wyboru projektów w oparciu o KSD jest jego wartość maksymalna lub większa (równa) stopie przyjętej jako graniczna dla podobnych projektów. Istnieje wiele sposobów obliczenia KSD. Poniżej prezentowany jest jeden z nich.




gdzie: 




Przykład (kontynuacja przykładu poprzedniego)

Obliczmy KSD dla przykładu wcześniejszego (wariant A i B). Przyjmijmy, że oba projekty będą amortyzowane liniowo do wartości księgowej równej 0.

Aby obliczyć KSD należy wpierw ocenić wartość przeciętnego rocznego zysku netto odejmując od przeciętnego przepływu środków pieniężnych (wariant A i B = średni CF = 20.000) przeciętną roczną amortyzację (wariant A i B = roczny odpis amortyzacyjny = 12.000). Następnie należy obliczyć inwestycję przeciętną jako średnią arytmetyczną początkowego nakładu i wartości końcowej inwestycji.

KSD^AiB =	20.000 - 12.000			* 100 = 26,7%
			60.000 + 0
		2

Obliczona KSD wynosi 26,7% dla obu wariantów finansowania (wybralibyśmy projekt o wyższej wartości). Podobnie jak w przypadku metody OZ w wariancie B obliczenia obarczone są znacznym błędem.

3. Zdyskontowany okres zwrotu, OZ (okres spłaty OS, payback period, PB)

Metoda ta tylko w jednym punkcie różni się od tradycyjnego OZ: porównujemy nakłady z wpływami pieniężnymi zdyskontowanymi, czyli wyrażonymi w bieżącej wartości strumienia pieniężnego.

Przy takim podejściu istotne staje się określenie stopy procentowej (stopy dyskontowej) niezbędnej do ustalenia współczynników dyskonta. Metoda ta, tak jak jej poprzedniczka koncentruje się tylko na części przepływów pieniężnych potrzebnych do spłaty nakładów. W dalszym ciągu część projektów nie jest oceniana w całym okresie ich realizacji.

Rozważmy wcześniejszy przykład. Zakładając, że rozważana stopa dyskonta wynosi przeciętnie w badanym okresie i = 10% p.a. oraz, że czas spłaty projektu nie powinien przekroczyć 3,1 roku.

projekt A
t	(-CF) nakład inwestycyjny	dodatni przepływ pieniężny (CF)	współczynniki dyskonta jednostki kapitału	przepływy zdyskontowane (NCF)
0	-60 000,0		1/(1+0,1)^0 = 1,00000	-60 000,0
1		20 000,0	1/ (1+0,1)^1 = 0,90909	18 181,8
2			20 000,0	1/(1+0,1)^2 = 0,82645	16 528,9
3			20 000,0	1/(1+0,1)^3 = 0,75131	15 026,3
4			20 000,0	1/(1+0,1)^4 = 0,68301	13 660,3
5			20 000,0	1/(1+0,1)^5 = 0,62092	12 418,4

 

projekt B
t	nakład inwestycyjny	dodatni przepływ pieniężny (CF)	współczynniki dyskonta jednostki kapitału	przepływy zdyskontowane (NCF)
0	-60 000,0		1/(1+0,1)^0 = 1,00000	60 000,0
1		45 000,0	1/ (1+0,1)^1 = 0,90909	40 909,1
2			25 000,0	1/(1+0,1)^2 = 0,82645	20 661,2
3			10 000,0	1/(1+0,1)^3 = 0,75131	7 513,1
4			10 000,0	1/(1+0,1)^4 = 0,68301	6 830,1
5			10 000,0	1/(1+0,1)^5 = 0,62092	6 209,2

 

OZ^A = 3+	10 263,0	= 3,8 roku		OZ^B = 1+	19 090,9	= 1,9 roku
					13 660,3					20 661,2

W porównaniu do tradycyjnej formuły, ze względu na zastosowaną stopę dyskonta okresy zwrotu nakładów uległy wydłużeniu:

• wariant A z 3,0 do 3,8 roku

• wariant B z 1,6 do 1,9 roku.

Nie zmieniły się wnioski dotyczące wyboru projektu. Najkrótszym okresem zwrotu nakładów charakteryzuje się wariant B. Tym razem jednak ze względu na przyjęcie wartości granicznej OZ = 3,1 roku wariant A zostaje odrzucony.

4. Wartość zaktualizowana (bieżąca, obecna) netto (NPV) 

Trudno przecenić znaczenie metody NPV dla oceny projektów inwestycyjnych. Składa się na to kilka czynników:

• oparcie na metodologii zdyskontowanych przepływów środków pieniężnych (operacyjne przepływy środków pieniężnych),

• kalkulacja rachunku w całym okresie trwania projektu inwestycyjnego (t = 0, 1, ... n-1, n),

• przyjęcie ostrożnego założenia dotyczącego stopy dyskonta, którą przyjmuje się na poziomie kosztu pozyskania kapitału do realizacji projektu (k, wacc, średni ważony koszt kapitału). Racjonalność ekonomiczna nakazuje aby koszt kapitału był niższy od stopy zwrotu oczekiwanej przez inwestorów.

Zasada liczenia NPV jest prosta: należy zdyskontować a następnie zsumować wszystkie przepływy pieniężne zwązane z projektem inwestycyjnym (dodatnie i ujemne). Z formalnego punktu widzenia NPV można zapisać w postaci równania:




Stosowane kryterium wyboru projektu jest również jednoznaczne -  akceptujemy tylko projekty o NPV > 0, pozostałe odrzucamy.

Jeżeli mamy wybrać jeden z dwóch projektów o dodatniej wartości NPV, to wybieramy projekt o wartości większej.

Przy okazji warto zaznaczyć, że decyzja o wyborze określonego projektu jest poprawna dla określonej stopy procentowej, w żadnym razie nie należy jednak stosować prostych analogii we wnioskowaniu dla innych stóp procentowych, najlepiej wykonać ponownie obliczenia NPV.

Przykład.

Rozważmy projekt A i B. Przyjmijmy, że stopa dyskontowa zastosowana do obliczenia współczynników dyskonta równa jest kosztowi kapitału (k =10%).

projekt A
t	(-CF) nakład inwestycyjny	dodatni przepływ pieniężny (CF)	współczynniki dyskonta jednostki kapitału	przepływy zdyskontowane (NCF)
0	-60 000,0		1/(1+0,1)^0 = 1,00000	-60 000,0
1		20 000,0	1/ (1+0,1)^1 = 0,90909	18 181,8
2			20 000,0	1/(1+0,1)^2 = 0,82645	16 528,9
3			20 000,0	1/(1+0,1)^3 = 0,75131	15 026,3
4			20 000,0	1/(1+0,1)^4 = 0,68301	13 660,3
5			20 000,0	1/(1+0,1)^5 = 0,62092	12 418,4
				suma = 15 815,7

Otrzymana suma 15.815,7 jest szukaną wartością NPV^A. Ponieważ NPV^A jest większe od 0; projekt może zostać zaakceptowany.

projekt B
t	(-CF) nakład inwestycyjny	dodatni przepływ pieniężny (CF)	współczynniki dyskonta jednostki kapitału	przepływy zdyskontowane (NCF)
0	-60 000,0		1/(1+0,1)^0 = 1,00000	60 000,0
1		45 000,0	1/ (1+0,1)^1 = 0,90909	40 909,1
2			25 000,0	1/(1+0,1)^2 = 0,82645	20 661,2
3			10 000,0	1/(1+0,1)^3 = 0,75131	7 513,1
4			10 000,0	1/(1+0,1)^4 = 0,68301	6 830,1
5			10 000,0	1/(1+0,1)^5 = 0,62092	6 209,2
				suma = 22 122,7

Otrzymana suma 22.122,7 jest szukaną wartością NPV^B większą od 0; projekt może zostać zaakceptowany.

Z dwu projektów wzajemnie się wykluczających z realizacji wybieramy projekt o większej wartości NPV, w naszym przypadku projekt B. Projekt zapewnia nie tylko zwrot nakładów i pokrywa koszt pozyskania kapitału lecz również zapewnia dodatkową nadwyżkę pienieżną w wysokości 22.122,7 zł.

Wykres poniżej prezentuje zależność pomiędzy wartościami NPV projektu A (kolor czerwony) i B (kolor niebieski) dla różnych stóp procentowych.




Przykład.

Rozważmy projekt B i C. Przyjmijmy, że stopa dyskontowa zastosowana do obliczenia współczynników dyskonta równa jest kosztowi kapitału (k = 10%). Pozostawiając założenia dla projektu B identyczne jak w przykładzie wcześniejszym, przyjmijmy, że projekt C charakteryzuje nakład w wysokości 120.000 i roczne przepływy pieniężne w wysokości 40.000 (parametry finansowe dwukrotnie wyższe niż w wariancie A). Obliczone wartości NPV przy koszcie kapitału równym 10% wynoszą: NPV^C = 31 631,5    NPV^B = 22 122,7. Tym razem projekt B jest gorszy od projektu C.

Zauważmy, że wniosek ten jest poprawny tylko w pewnym przedziale stóp procentowych, reprezentujących koszt kapitału. Wykres poniżej przedstawia zależności pomiędzy stopami procentowymi a kosztem kapitału dla wariantu finansowania B (kolor niebieski) i C (kolor zielony).

Na wykresie charakterystyczna jest stopa procentowa równa 14,38% - przy tej stopie NPV projektów jest identyczne. Przyjmując koszt kapitału większy lub mniejszy od tej wartości podejmujemy różne decyzje co do wyboru projektu B lub C.




	0% =< k < 14,38%	k = 14,38%	14,38% < k =<20%	20% < k =<30%	30%<k
spełnienie kryterium NPV	NPV^B>0, NPV^C>0			NPV^B>0, NPV^C  odrzucone	NPV^B<0 odrzucone, NPV^C<0 odrzucone
decyzja inwestycyjna	NPV^C > NPV^B	NPV^B=NPV^C	NPV^B>NPV^C
		wybieramy projekt C	brak decyzji	wybieramy projekt B	możemy przyjąć tylko projekt B, projekt C zostaje odrzucony	odrzucamy oba projekty

Sposób obliczania NPV dla jednakowych (stałych) przepływów pieniężnych - wykorzystanie wzoru na annuitet

W przypadku stałych przepływów pieniężnych obliczenia wartości przepływów zdyskontowanych można znacznie uprościć. Zamiast oddzielnie dyskontować przepływy dla każdego z lat można posłużyć się wzorem na wartość bieżącą sumy stałych przepływów okresowych (płatności na końcu kolejnych okresów  - z dołu).


gdzie:  i -dowolna stopa dyskontowa równa kosztowi kapitału (k); n -  liczba lat dyskonta; A - wartość rocznego stałego przepływ pieniężnego (annuitet).

Należy zauważyć, że wyrażenie po prawej stronie równania jest równoważne sumie jednostkowych zdyskonowanych przepływów pieniężnych w okresie od 1  do "n". Jest to suma współczynników dyskonta jednostki kapitału, tych samych przez które mnożone były dodatnie przepływy w kolejnych latach trwania inwestycji.

współczynniki dyskonta jednostki kapitału  k=10%
pomijamy wartość w okresie t=0, bo założyliśmy płatności na końcu okresów
1/ (1+0,1)^1 = 0,90909			(1+0,1)^5 - 1	=	0,61051	= 3,79078
1/(1+0,1)^2 = 0,82645			0,1 * (1+0,1)^5				0,161051
1/(1+0,1)^3 = 0,75131
1/(1+0,1)^4 = 0,68301
1/(1+0,1)^5 = 0,62092
Σ 3,79078

Powyższych sum nie trzeba obliczać jeżeli dysponujemy odpowiednimi tablicami finansowy

Wartość NPV zostanie wyznaczone z równania:

NPV = PVA_x%ⁿ  * A  - NINV

Obliczenie NPV^A wyglądać będzie następująco:

NPV^A =	[(1+0,1)^5 - 1]	* 20.000 - 60.000 = 15.815,6
			0,1 * (1+0,1)^5

Sposób obliczania NPV dla jednakowych (stałych)przepływów pieniężnych - wykorzystanie tablic finansowych

Obliczenia NPV przy stałych przepływach pieniężnych przebiegają jeszcze sprawniej jeżeli wykorzystamy tablice finansowe. W tablicach współczynnika obecnej (bieżącej) wartości sumy stałych płatności rocznych (annuitetu), w odpowiednim wierszu odszukujemy wartość  n =5 a w kolumnie stopę procentową k =10%. Na przecięciu odpowiedniego wiersza i kolumny znajdziemy wartość PVA  =3,79079. Jest to suma współczynników dyskonta z okresu 1-5.

Wyznaczenie wartości NPV^A przebiega następująco:

NPV^A = 3,79079 * 20.000 - 60.000 = 15.815,8

Powtórzmy jeszcze raz, że metodę tę można stosować tylko dla stałych przepływów pieniężnych.

5. Wewnętrzna stopa zwrotu (IRR, internal rate of return)

Wewnętrzna stopa zwrotu jest  to stopa dyskontowa, przy której zrównuje się wartość obecna oczekiwanych przepływów środków pieniężnych z wartością obecną oczekiwanych kosztów:

PV (wpływy) = PV (koszty inwestycji)




Podobieństwa pomiędzy metodą IRR i NPV są oczywiste, jest jednak jedna zasadnicza różnica: stopa dyskontowa w metodzie IRR stanowi równowartość oczekiwanej stopy dochodu, a nie kosztu kapitału (przepływy środków pieniężnych są dyskontowane wg IRR a nie k). Różnica ta w  praktyce oznaczać może trudności w poprawnej interpretacji wyników otrzymanych zgodnie z metodą NPV i IRR dla projektów wzajemnie się wykluczających. Jak w każdej ekonomicznie uzasadnionej inwestycji opłacalność projektu zależy od tego czy oczekiwana stopa dochodu będzie większa od kosztu środków wykorzystanych na sfinansowanie projektu, przyjęcie wewnętrznej stopy zwrotu jako stopy dyskonta oznacza jednak, że nadwyżki z kolejnych lat będą "reinwestowane" wg wyższej niż koszt kapitału stopy procentowej.

Sposób liczenia IRR jest nieomal identyczny z metodą NPV. Różnica polega na tym, że wartością szukaną jest wspomniana stopa dyskontowa, nazywana IRR a nie wartość NPV, która przy założeniu, że zdyskontowane nakłady zrównają się z wpływami wynosi 0. Formalnie założenia do IRR można zapisać następująco:




Szukanie wartości IRR prowadzi w praktyce do poszukiwania stopy procentowej przy której NPV=0. Jeżeli przebieg krzywej NPV dla danego projektu nie jest znany (przybliżoną wartość można odczytać z wykresu) i nie dokonaliśmy szacunków IRR w oparciu o tablice wartości bieżącej (obecnej) dla stałych płatności okresowych (annuitet) to musimy podstawiać kolejne stopy procentowe tak długo dopóki nie znajdziemy stopy procentowej przy której NPV = 0. Obliczenia są zatem żmudne.

Sposób pierwszy obliczania IRR

Spróbujmy obliczyć wartość IRR dla projektów A, B i C. Zacznijmy od projektu A. Wpierw oceniliśmy wartość NPV dla r = 0; projekt był dodatni o NPV = 40.000. Następnie podstawiono dowolną stopę procentową np. r = 40%, NPV = -19 296,7. Stąd wniosek, że szukane IRR znajduje się pomiędzy wartościami 0-40%. Podstawiamy r = 20%, NPV =  -187,8 i jest bliskie 0. Sprawdzamy zatem wartość NPV dla r = 19%, NPV jest dodatnie i wynosi 1 152,7. Z całą pewnością IRR znajduje się między 19%-20%.

 

A	.	t = 0	t = 1	t = 2	t = 3	t = 4	t = 5	NPV
		wpływy	0	20 000	20 000	20 000	20 000		20 000
		wydatki	-60 000	0	0	0	0		0
i = 0%	NCFt	-60 000,0	20 000,0	20 000,0	20 000,0	20 000,0	20 000,0	Σ 40 000,0
i = 15%	NCFt	-60 000,0	17 391,3	15 122,9	13 150,3	11 435,1	9 943,5	Σ    7 043,1
i = 19%	NCFt	-60 000,0	16 806,7	14 123,3	11 868,3	9 973,4	8 381,0	Σ    1 152,7
i = 20%	NCFt	-60 000,0	16 666,7	13 888,9	11 574,1	9 645,1	8 037,6	Σ     - 187,8
i = 40%	NCFt	-60 000,0	14 285,7	10 204,1	7 778,6	5 206,2	3 718,7	Σ -19 296,7

W celu obliczenia dokładnej wartości IRR należy posłużyć się następującym wzorem:


gdzie: i_l - stopa dyskontowa dla najbliższych zeru dodatnich wartości NPV;

PV (kolor zielony)  - dodatnia, najbliższa zeru wartość NPV;

NV (kolor czerwony) - ujemna, najbliższa zeru wartość NPV (moduł z NV).

IRR^A = 19% +	1.152,7	= 19% + 0,8599 = 19,86%
			1.152,7 + 187,8

Dla projektu B:

B	.	t = 0	t = 1	t = 2	t = 3	t = 4	t = 5	NPV
		wpływy	0	45 000	25 000	10 000	10 000		10 000
		wydatki	-60 000	0	0	0	0		0
i = 0%	NCFt	-60 000,0	45 000,0	25 000,0	10 000,0	10 000,0	10 000,0	Σ 40 000,0
i = 20%	NCFt	-60 000,0	37 500,0	17 361,1	5 787,0	4 822,5	4 018,8	Σ    9 489,5
i = 30%	NCFt	-60 000,0	34 615,4	14 792,9	4 551,7	3 501,3	2 693,3	Σ     154,5
i = 31%	NCFt	-60 000,0	34 351,1	14 567,9	4 448,2	3 395,6	2 592,1	Σ    - 645,1
i = 40%	NCFt	-60 000,0	32 142,9	12 755,1	3 644,3	2 603,1	1 859,3	Σ  - 6 995,3

 

IRR^B = 30% +	154,5	= 30,19%
			154,5 + 645,1

 

Identycznie obliczymy IRR^C.	IRR^C = 19% +	2 305,4	= 19,86%
					2 305,4 + 375,5

Sposób drugi obliczania IRR - wykorzystanie wzoru na annuitet

Najprościej wartość IRR dla projektów odczytać z  wykresów wartości NPV - ponieważ definicja IRR wskazuje na wartość NPV=0, to  w celu odczytania IRR wystarczy wskazać stopę, przy której wykres NPV projektu przetnie oś odciętych. W przybliżeniu będą to wartości: IRR^A ≈ 20%, IRR^B ≈ 30%, IRR^C ≈ 20%.




Obliczenie dokładnych wartości IRR nastręcza poważnych problemów technicznych o ile nie dysponujemy np. arkuszem kalkulacyjnym. Ułatwieniem w obliczeniach są stałe przepływy pieniężne - tak jak w przypadku projektu A. W takim przypadku zamiast oddzielnie dyskontować przepływy dla każdego z lat i stóp procentowych można posłużyć się wzorem na wartość bieżącą sumy stałych przepływów okresowych (płatności na końcu kolejnych okresów  - z dołu).


gdzie:  i -dowolna stopa dyskontowa; n -  liczba lat dyskonta; A - wartość rocznego stałego przepływ pieniężnego (annuitet).

Należy zauważyć, że wyrażenie po prawej stronie równania jest równoważne sumie jednostkowych zdyskonowanych przepływów pieniężnych w okresie od 1  do "n". Jest to suma współczynników dyskonta jednostki kapitału, tych samych przez które mnożone były dodatnie przepływy w kolejnych latach trwania inwestycji. Powyższych sum nie trzeba obliczać jeżeli dysponujemy odpowiednimi tablicami finansowymi.

Sposób trzeci obliczania IRR z wykorzystaniem tablic finansowych

Zgodnie z definicją IRR jest to stopa przy której zrównuje się bieżąca wartość NINV (nakładów) z bieżącą wartością (PVA) dodatnich przepływów (wpłat). Symbolicznie możemy to zapisać dla annuitetu:

NINV = PVA_x%ⁿ  * A ,    stąd:  NINV / A = PVA_x%ⁿ

Dzieląc nakład przez stały roczny przepływ otrzymujemy wartość wyrażenia PVA_x%ⁿ. Znając tę wartość bez trudu można odczytać z tablicy finansowej  szukany parametr: albo wartość stopy procentowej albo ilość lat trwania projektu. W naszym przypadku znana jest liczba lat projektu - "n" a szukana stopa dyskontowa - x%.

Obliczmy wartość IRR dla projektu A.

Przypomnijmy dane: nakład (NINV) = 60.000, annuitet (A) = 20.000, n = 5 lat.

60.000 = PVA_x%⁵ * 20.000   stąd

60.000 / 20.000 = PVA_x%⁵ czyli        PVA_x%⁵ = 3

Następnie w tablicach współczynnika obecnej (bieżącej) wartości sumy stałych płatności rocznych (annuitetu), w odpowiednim wierszu odszukujemy dla n=5 wartości najbardziej zbliżonej do wartości PVA_x%⁵ = 3.

okres	1%	2%	3%	...	18%	19%	20%	21%
1	0,99010	0,98039	0,97087	...	0,84746	0,84034	0,83333	0,82645
2	1,97040	1,94156	1,91347	...	1,56564	1,54650	1,52778	1,50946
3	2,94099	2,88388	2,82861	...	2,17427	2,13992	2,10648	2,07393
4	3,90197	3,80773	3,71710	...	2,69006	2,63859	2,58873	2,54044
5	4,85343	4,71346	4,57971	...	3,12717	3,05763	2,99061	2,92598
6	5,79548	5,60143	5,41719	...	3,49760	3,40978	3,32551	3,24462
7	6,72819	6,47199	6,23028	...	3,81153	3,70570	3,60459	3,50795

Okazuje się, że szukana wartość 3 znajduje się między liczbami 3,05763 - 2,99061. Liczby te odpowiadają odpowiednio stopie procentowej 19% i 20%, jest to jednocześnie przybliżona z dokładnością tablic finansowych wartość IRR. 

Oczywiście można obliczyć wartość IRR dokładniej, pamiętając, że poszukiwana wartość znajduje się w przedziale 1%.

	19%	3,05763
	x%	3,0
	20%	2,99061

układamy proporcje:

(3,05763 minus 2,99061) do 1%   jak

(3,05763 minus 3,0)        do  x%

x = 0,85989

Szukana wartość IRR^A wynosi 19,085989%.

Dokładnego obliczenia IRR możemy dokonać stosując już wcześniej podany wzór:


Aby móc go zastosować należy obliczyć wartości  NPV= PVA - NINV, gdzie PVA jest iloczynem annuitetu i wartości bieżącej z tablic finansowych odczytanej dla stóp procentowych z przedziału w którym powinna znajdować się wartość IRR.

NPV_- (i = 19%) = 20.000 * 3,05763 - 60.000 = 1.152,6

NPV₊ (i = 20%) = 20.000 * 2,99061 - 60.000 = -187,8

IRR = 19% +	1.152,6	= 19,86%
			1.152,6 + 187,8

Otrzymane wyniki różnią się nieznacznie między sobą ma związek ze stosowanymi przybliżeniami wartości dyskonta.

Pozostaje pytanie czy można obliczyć IRR dla projektów B i C w podobny sposób? Niestety, dokładny wynik otrzymamy wyłącznie w przypadku stałych przepływów pieniężnych (względnie przepływów powtarzających się cyklicznie np. jednakowy przepływ przez pierwszych 5 lat, następnie inny przepływ przez następnych 10 lat - wystarczy dokonać prostego przekształcenia). W przypadku różnych przepływów pieniężnych powyższa metoda służy wyłącznie przybliżeniu poszukiwanej wartości IRR.

6. Indeks zyskowności (dochodowości)  (PI)

Indeks zyskowności (dochodowości) odzwierciedla względną dochodowość projektu. Umożliwia udzielenie odpowiedzi o wielkość zysku jaką przyniesie każda jednostka środków zainwestowanych w projekt inwestycyjny.

Formalnie wskaźnik PI można zapisać jako relację wartości bieżącej korzyści do wartości bieżącej kosztów dyskontowanych wg kosztu kapitału (k).


gdzie: CIF - oczekiwane wpływy środków pieniężnych (korzyści),

COF  - oczekiwane odpływy środków pieniężnych (koszty). Uwaga: NINV to COF w okresie t=0.

 

Projekt może być przyjęty jeżeli wartość bieżącą korzyści przekracza wartość bieżącą kosztów, czyli PI > 1,0.

Obliczmy wartość PI dla projektu D.  Projekt charakteryzuje się następującymi danymi: COF₀=NINV= -60.000, COF₅= -10.000; CIF_1-5=CF=20.000; i=k=10%. Dyskontujemy oddzielnie strumień korzyści i koszów.

D	.	t = 0	t = 1	t = 2	t = 3	t = 4	t = 5	CIF
korzyści	0	20 000,0	20 000,0	20 000,0	20 000,0	20 000,0
k = 10%	CIFt	0,0	18 181,8	16 528,9	15 026,3	13 660,3	12 418,4	Σ  75 815,7

 

D	.	t = 0	t = 1	t = 2	t = 3	t = 4	t = 5	COF
koszty	60 000,0	0	0	0	0	10 000,0
k = 10%	COFt	60 000,0	0	0	0	0	6 209,2	Σ  62 209,2

PI =	75 815,7	= 1,22
			62 209,2

Obliczona wartość oznacza, że każda jednostka zainwestowanych środków przynosi 1,22 jednostki zysku (przyjmując koszt kapitału na poziomie 10%). Projekt może zostać zaakceptowany.

7. Zmodyfikowana wewnętrzna stopa zwrotu (MIRR)

Zmodyfikowana wewnętrzna stopa zwrotu jest to stopa dyskontowa, która zrównuje wartość bieżącą (PV) wydatków inwestycyjnych z wartością bieżącą (PV) wartości końcowej projektu. W porównaniu do IRR modyfikacja polega na tym, że wpierw nie dyskontujemy dodatnich przepływów pieniężnych ale obliczamy ich wartość przyszłą wg kosztu kapitału, która dopiero jako suma (TV) jest dyskontowana do momentu bieżącego wg stopy procentowej nazywanej MIRR.


gdzie wyrażenie ΣCIF_t (1+k)^n-t nazywane jest wartością końcową (TV - terminal value)

Zastosowanie formuły dyskontowanej wartości końcowej dodatnich przepływów pieniężnych w oparciu o koszt kapitału usuwa większość problemów związanych z podejmowaniem błędnych decyzji w oparciu o metodę IRR w przypadku projektów o nietypowych przepływach pieniężnych. Założenie o reinwestowaniu środków wg kosztu kapitału  (tak jak w NPV) a nie wewnętrznej stopy zwrotu projektu powoduje, że lepiej oddajemy rzeczywistą dochodowość projektu.

Generalnie MIRR powinna prowadzić do takich samych wniosków co do wyboru projektu jak metoda NPV, jednym zastrzeżeniem dotyczącym projektów wzajemnie się wykluczających  o różnej skali przepływów pieniężnych.

Obliczmy MIRR dla projektu D.

Projekt charakteryzuje się następującymi danymi:

COF₀= -60.000, COF₅= -10.000; CIF_1-5=CF=20.000; k=10%.

I. Dyskontujemy strumień kosztów (COF):

D	.	t = 0	t = 1	t = 2	t = 3	t = 4	t = 5	COF
koszty	60 000,0	0	0	0	0	10 000,0
k = 10%	COFt	60 000,0	0	0	0	0	6 209,2	Σ  66 209,2

II. Obliczamy wartość przyszłą [FV= PV * (1+k)^n-t] strumienia nadwyżek środków pieniężnych, którą jako sumę skapitalizowanych płatności nazwiemy wartością końcową (TV).

D	n = 5	t = 0	t = 1	t = 2	t = 3	t = 4	t = 5	CIF
korzyści	0	20 000,0	20 000,0	20 000,0	20 000,0	20 000,0
k = 10%	1,1^(n-t)	1,1^(5-0)	1,1^(5-1)	1,1^(5-2)	1,1^(5-3)	1,1^(5-4)	1,1^(5-5)
TV		0,0	29 282,0	26 620,0	24 200,0	22 000,0	20 000,0	Σ  122 102,0

III. Dyskontujemy wartość TV wg stopy MIRR, n=5 (obliczenia najprościej wykonać wyciągając pierwiastek n-tego stopnia z wyrażenia:


stąd MIRR = 13,02%. A zatem projekt ma taką stopę zwrotu (dyskontową) MIRR = 13,02%, która zrównuje wartość bieżącą koszów z wartością bieżącą skapitalizowanych nadwyżek pieniężnych (TV). Zauważmy również, że MIRR jest większa od kosztu kapitału.

8. NPV oparta o stopę reinwestycji

Jest to zaktualizowana wg kosztu kapitału wartość sumy dodatnich i ujemnych strumieni pieniężnych, zakładająca możliwość reinwestowania nadwyżek dodatnich przepływów pieniężnych wg stopy która może być różna od kosztu kapitału. Będziemy ją oznaczać symbolicznie jako NPV_FV.


gdzie wyrażenie ΣCIF_t (1+i)^n-t jest wartością końcową (TV) dla stopy reinwestycji "i".

Analizując zastosowanie metody MIRR można zauważyć, że  podobnie jak w przypadku IRR i NPV,  MIRR może być zdefiniowana jako szczególne rozwiązanie dla wartości NPV projektu, które zrównuje jego przychody i koszty (NPV=0). Jeżeli zatem istnieje rozwiązanie szczególne  moża obliczyć zmodyfikowaną wartości NPV projektu, które zakładać będzie możliwość dokonania reinwestycji nadwyżek pieniężnych (dodatnie przepływy pieniężne) z kolejnych lat  trwania projektu.

Pojawia się zatem kluczowe pytanie, czym jest owa stopa reinwestycji? W metodzie MIRR wartość końcową TV, która stanowiła odpowiednik reinwestowanego strumienia pieniężnego, kapitalizowano wg kosztu kapitału, który de facto jest kosztem średnim ważonym dla różnych źródeł finansowania projektu (k, WACC)). Podejście takie zakłada, że stopa procentowa wg której pozykujemy kapitały jest równa stopie procentowej, którą uzyskamy lokując (inwestując) posiadane nadwyżki pieniężne. Realność tego założenia jest mocno wątpliwa, chociaż zapewnia pewien margines bezpieczeństwa wynikający z przyjęcia ostrożnych wycen stóp procentowych służących reinwestycji. Sensowane zatem staje się przyjęcie, że reinwestycje będą dokonywane wg innych niż koszt kapitału stóp procentowych.

W tym miejscu należy zasygnalizować kilka problemów: po pierwsze, koszt kapitału może być niższy w przypadku wykorzystania obcych źródeł finansowania, ze względu na działanie tarczy podatkowej (k_k = i * (1-T)); po drugie, kapitały potrzebne na sfinansowanie inwestycji (typowy projekt z wydatkiem na początku okresu) pozyskujemy na okresy dłuższe niż te na jakie możemy reinwestować nadwyżki pieniężne. Musimy uwzględnić tendencje zmian stóp krótko i długookresowych np. pozyskano środki w warunkach oczekiwania przez rynek wzrostu stóp procentowych, co oznaczać może niższe oprocentowanie dla reinestowanych na krótkie okresy środków finansowych a w międzyczasie rynek zmienił oczekiwania co do tendencji stóp procentowych, tym samym reinwestycje dla krótkich terminów będą dokonywane przy rosnących stopach procentowych.

Stopa reinwestycji to stopa procentowa określająca poziom rentowności osiąganej z tytułu bieżącego inwestowania osiąganych dodatnich przepływów pieniężnych.

Obliczmy NPV_FV dla projektu D, zakładając, że stopa reinwestycji równa się 12% (i = 12%), a koszt kapitału wynosi 10% (k = 10%).

I. Tak jak w przypadku MIRR wpierw dyskontujemy strumień kosztów wg stopy k = 10%.

Wynik poprzednio otrzymany to ΣCOF = 66.209,2

II. Obliczamy wartość przyszłą reinwestowanego wg stopy i = 12% strumienia nadwyżek środków pieniężnych, którą jako sumę skapitalizowanych płatności nazwiemy wartością końcową (TV).

D	n = 5	t = 0	t = 1	t = 2	t = 3	t = 4	t = 5	CIF
korzyści	0	20 000,0	20 000,0	20 000,0	20 000,0	20 000,0
i = 12%	1,12^(n-t)	1,12^(5-0)	1,12^(5-1)	1,12^(5-2)	1,12^(5-3)	1,12^(5-4)	1,12^(5-5)
TV		0,0	31 470,4	28 098,6	25 088,0	22 400,0	20 000,0	Σ  127 057,0

TV = 127.057,0

III. Dyskontujemy wartość TV wg stopy k = 10% dla n = 5:

127.057,0 * 0,62092 = 78.892,4

IV. W czwartym kroku obliczamy wartość NPV_FV jako różnicę zdyskontowanych nakładów i korzyści:

NPV_FV = 78.892,4 - 66.209,2 = 12.683,2

NPV_FV ma wartość dodatnią, projekt zwiększa więc majątek właścicieli o kwotę 12.683,2. Obliczenia te wykonaliśmy zakładając, że środki na sfinansowanie pozyskamy wg kosztu równego 10%, a nadwyżki będziemy mogli reinwestować wg stopy i=12%. Dla pełnego obrazu przypomnijmy jeszcze wartość MIRR dla projektu D i obliczmy zwykłe NPV (k=10%) oraz IRR. Wartość NPV wynosi 9.606,5 (przy obliczeniach pamiętamy, że pojekt D wymaga poniesienie dodatkowych nakładów na końcu okresu 5-go). Całość wyników prezentujemy w tabeli:

METODA	PROJEKT "D"
NPVFV	12.683,2
NPV	9.606,5
MIRR	13,2%
IRR	16,5%

20

---