2012-12-27
1
Katarzyna Mamcarz
Metody oceny projektów
inwestycyjnych
Analiza wartości pieniądza w czasie
PV (present value) -
wartość obecna, bieżąca,
aktualna, zaktualizowana
Dzisiejsza wartość przyszłego przepływu pieniężnego
bądź
strumienia
przepływów
pieniężnych
otrzymanego za n lat.
2
Gdzie: r
t
– stopa procentowa w ujęciu rocznym w
kolejnych latach; n- liczba lat, t= 1, …, n;
∏
∏
∏
∏
====
++++
××××
====
++++
××××
××××
++++
××××
++++
××××
====
n
t
t
n
n
n
r
FV
r
r
r
FV
PV
1
2
1
0
)
1
(
1
)
1
(
1
...
)
1
(
1
)
1
(
1
2012-12-27
3
Gdzie: r
t
– stała stopa procentowa w ujęciu rocznym w kolejnych
latach; n- liczba lat, t= 1, …, n; m – liczba okresów kapitalizacji
w ciągu roku, FV – wartość przyszła
(((( ))))
(((( ))))
n
m
n
n
m
n
n
n
n
n
r
FV
m
r
FV
PV
r
FV
r
FV
PV
××××
−−−−
××××
−−−−
++++
××××
====
++++
====
++++
××××
====
++++
====
1
)
1
(
1
)
1
(
0
0
2012-12-27
FV (future value, compound value)
wartość
przyszła
kwota,
do
której
wzrośnie
wartość
przepływu
pieniężnego bądź strumienia przepływów pieniężnych
(PV
0
) w danym okresie i dla danej, składanej stopy
procentowej.
4
( ) ( ) ( )
( )
( )
n
n
n
t
t
n
n
r
PV
FV
r
PV
r
r
r
PV
FV
+
×
=
+
×
=
+
×
×
+
×
+
×
=
∏
=
1
1
1
...
1
1
0
1
0
2
1
0
r
1
=r
2
=r
n
2012-12-27
5
(
)
r
n
PV
FV
e
PV
FV
m
r
PV
FV
n
n
r
n
n
m
n
×
+
×
=
×
=
+
×
=
×
×
1
1
0
0
1
)
1
(
−
+
=
m
e
m
r
r
Kapitalizacja ciągła
Procent prosty
Efektywne oprocentowanie roczne
2012-12-27
2012-12-27
6
ZAD. 1.
Oblicz przyszłą wartość kwoty 500 tys. zł, którą
ulokowano na 1, 2,3 lata przy kapitalizacji rocznej,
jaką
kwotę
uzyskamy
po
roku
w
przypadku
kapitalizacji półrocznej, kwartalnej, miesięcznej, jeżeli
r=12% p.a. Ustal efektywną stopę procentową.
2012-12-27
2
7
( )
(
)
(
)
(
)
.
.
702464
4949
,
1
500000
12
,
0
1
500000
.
.
627200
2544
,
1
500000
12
,
0
1
500000
.
.
560000
12
,
1
500000
12
,
0
1
500000
1
3
3
2
2
1
1
0
p
j
x
FV
p
j
x
FV
p
j
x
FV
r
PV
FV
n
n
=
=
+
×
=
=
=
+
×
=
=
=
+
×
=
+
×
=
0
1 2 3 4
FV
1
FV
2
FV
3
FV
4
ZAD.1.
2012-12-27
8
( )
( )
( )
.
.
5
,
563412
1268
,
1
500000
01
,
1
500000
12
12
,
0
1
500000
.
.
4
,
562754
1255
,
1
500000
03
,
1
500000
4
12
,
0
1
500000
.
.
561800
1236
,
1
500000
06
,
1
500000
2
12
,
0
1
500000
1
12
1
12
12
,
1
4
1
4
4
,
1
2
1
2
2
,
1
0
p
j
x
x
FV
p
j
x
x
FV
p
j
x
x
FV
m
r
PV
FV
n
m
n
=
=
=
+
×
=
=
=
=
+
×
=
=
=
=
+
×
=
+
×
=
×
×
×
×
ZAD.1.
Kapitalizacja półroczna
Kapitalizacja kwartalna
Kapitalizacja miesięczna
Im więcej okresów kapitalizacji w ciągu roku, tym
wyższa kwota na koniec okresu.
2012-12-27
9
%
68
,
12
1
)
12
12
,
0
1
(
%
55
,
12
1
)
4
12
,
0
1
(
%
36
,
12
1
)
2
12
,
0
1
(
1
)
1
(
12
12
,
1
4
4
,
1
2
2
,
1
=
−
+
=
=
−
+
=
=
−
+
=
−
+
=
r
r
r
m
r
r
m
e
ZAD.1.
Wraz ze zwiększeniem częstotliwości kapitalizacji rośnie efektywna
stopa procentowa.
2012-12-27
2012-12-27
10
ZAD. 2.
Oblicz
obecną
wartość
kwoty
200
zł,
którą
otrzymasz za dwa lata, jeżeli r=12% p.a.
ZAD. 3.
Oblicz obecną wartość strumieni pieniądza 100 zł,
120 zł, 145 zł, otrzymywanych odpowiednio za rok,
dwa
i
trzy
lata
od
chwili
obecnej,
przy
oprocentowaniu rocznym, r= 10%.
11
PV
1
PV
2
PV
3
FV
1
FV
2
FV
3
0
1 2 3
((((
))))
((((
))))
.
.
44
,
159
7972
,
0
200
12
,
0
1
200
)
12
,
0
1
(
200
1
)
1
(
2
2
0
0
p
j
x
PV
r
FV
r
FV
PV
n
n
n
n
====
====
====
++++
××××
====
++++
====
++++
××××
====
++++
====
−−−−
−−−−
ZAD.2.
2012-12-27
12
( )
(
)
(
)
(
)
.
.
088
,
299
3
2
1
.
.
93
,
108
7513
,
0
145
3
10
,
0
1
145
3
)
10
,
0
1
(
100
3
.
.
168
,
99
8264
,
0
120
2
10
,
0
1
120
1
)
10
,
0
1
(
120
2
.
.
91
,
90
9091
,
0
100
1
10
,
0
1
100
1
)
10
,
0
1
(
100
1
1
)
1
(
0
p
j
PV
PV
PV
PV
p
j
x
PV
p
j
x
PV
p
j
x
PV
n
r
n
FV
n
r
n
FV
PV
=
+
+
=
=
=
−
+
×
=
+
=
=
=
−
+
×
=
+
=
=
=
−
+
×
=
+
=
−
+
×
=
+
=
ZAD.3.
2012-12-27
2012-12-27
3
Ilościowe metody oceny projektów
13
METODA PROSTEJ STOPY ZWROTU (r),
METOD KSIĘGOWEJ STOPY ZWROTU (ARR),
METODA PROGU RENTOWNOŚCI,
METODA OKRESU SPŁATY,
CECHY:
Służą do oceny wstępnej,
Nie powinny być postawą do podejmowania decyzji,
Mogą ułatwić selekcją projektów przy znacznej ich liczbie.
Proste:
2012-12-27
14
METODA WARTOŚCI KAPITAŁOWEJ (NPV)
WSKAŹNIK NPV (NPVR),
INDEKS RENTOWNOŚCI (PI)
METODA WEWNĘTRZNEJ STOPY ZWROTU(IRR),
METODA ZMODYFIKOWEJE WEWNĘTRZNEJ STOPY
ZWROTU (MIRR)
CHECHY:
•
Służą do podejmowania wiążących decyzji o realizacji projektu,
•
Ich wyniki są wiarygodne,
•
Są podstawą do podejmowania decyzji,
•
Uwzględniają zmiany wartości pieniądza w czasie.
Dyskontowe:
2012-12-27
Cechy
Formuła:
Zysk i amortyzacja
przyjmowane w obliczeniach
ustalane dla tzw. typowego
roku gospodarczego (rok
pełnego wykorzystania
zdolności wytwórczych)
Kryterium wybory projektu:
maksymalizacja stopy zwrotu
- średni zysk roczny,
A – przeciętna roczna amortyzacja,
I – całkowite nakłady inwestycyjne
CF – przepływ przeciętny
n
Z
%
100
×
+
=
=
I
A
Z
I
CF
r
n
Prosta stopa zwrotu
15
2012-12-27
Księgowa stopa zwrotu
16
Pomija czynnik czasu,
Pomija rozkład dochodów w czasie,
Obojętne jest, czy nadwyżki generowane są na
początku,
czy
na
końcu
–
posługujemy
się
wielkościami przeciętnymi,
Analiza wielkości przeciętnych nie pozwala na
poznanie trendów w kształtowaniu się wielkości
ekonomicznych,
co
utrudnia
właściwą
ocenę
projektu.
Kryterium wyboru: maksymalizacja stopy zwrotu.
2012-12-27
Księgowa stopa zwrotu
Formuła:
- spodziewany przeciętny zysk roczny (średnia arytmetyczna
dla całego okresu eksploatacji;
(spodziewany roczny dochód netto = przeciętny roczny
strumień gotówki – roczna amortyzacja),
- przeciętny poziom inwestycji
(PPI = inwestycje początkowe – 0,5 x całkowita amortyzacja)
n
Z
I
Z
ARR
n
=
I
17
2012-12-27
Okres spłaty
18
Określa liczbę lat, w ciągu których nastąpi zwrot
poniesionych nakładów inwestycyjnych z przyszłych
strumieni gotówkowych,
Relacja między nakładami inwestycyjnymi a rocznymi
oszczędnościami gotówkowymi,
Pomija czynnik czasu,
Nie może być podstawą do rzetelnej oceny projektów
inwestycyjnych
Kryterium wyboru projektu: jak najkrótszy okres spłaty
2012-12-27
2012-12-27
4
Okres spłaty
Formuła:
Gdzie:
n - liczba lat eksploatacji, jaka mija od momentu pojawienia się
ostatniego ujemnego skumulowanego CF
- ostatni ujemny przepływ (skumulowany);
- nadwyżka wygenerowana w roku następującym po ujemnym
przepływie
*
W przypadku równych przepływów pieniężnych (nadwyżki w
stałej wysokości), I- nakłady inwestycyjne, CF- spodziewana
nadwyżka roczna
1
+
+
−
+
=
t
t
CF
CF
n
PB
t
CF
−
1
+
+
t
CF
CF
I
PB
=
*
19
2012-12-27
A
B
C
D
E ( B
F
G)
H
Lata
CF
Zysk
netto
Amortyzacja
Skumulowane
CF
DF
CF_dysk.
Skumulowane CF
0
-10000
20%
-10000
1,00
-10000
-10000
1
2500
500
2000
-7500
0,9091
2272,73
-7727,27
2
3000
1000
2000
-4500
0,8264
2479,34
-5247,93
3
4000
2000
2000
-500
0,7513
3005,26
-2242,67
4
5000
3000
2000
4500
0,6830
3415,07
1172,39
5
3000
1000
2000
7500
0,6209
1862,76
3035,16
Razem
17500
7500
10000
Warto
ś
ci
ś
rednie
3500
1500
2000
a
t
= 1/(1+r)
t
r =10%
=
x
+
=
20
P ARR
PB
2012-12-27
Zad.4.
21
Dokonaj
wstępnej
oceny
projektu
rozwojowego
charakteryzującego się następującymi cechami.
Okres realizacji 1 rok,
nakłady ponoszone w roku t
0
w wysokości 10 tys. zł,
stopa amortyzacji Sa = 20%, majątek amortyzowany
met. liniową.
Okres eksploatacji 5 lat.
Wymagany przez inwestora okres zwrotu 3 lata,
Zysk wygospodarowany w poszczególnych latach
(tabela 1.). Po 5 latach likwidacja przedsiębiorstwa.
2012-12-27
A
B
C
D
E ( B
F
G)
H
Lata
CF
Zysk
netto
Amortyzacja
Skumulowane
CF
DF
CF_dysk.
Skumulowane CF
a
t
= 1/(1+r)
t
r =10%
=
x
+
=
22
Prosta i księgowa
stopa zwrotu
0
1
2
3
4
5
Razem
(1-5)
17500
7500
10000
Warto
ś
ci
ś
rednie
3500
1500
2000
-10000
20%
500
2000
1000
2000
2000
2000
3000
2000
1000
2000
-10000
-7500
1,00
0,9091
0,8264
0,7513
0,6830
0,6209
-10000
2272,73
2479,34
3005,26
3415,07
1862,76
-10000
-7727,27
-5247,93
-2242,67
1172,39
3035,16
-4500
-500
4500
7500
2500
3000
4000
5000
3000
Okres spłaty
2012-12-27
Prosta stopa zwrotu
Księgowa stopa zwrotu
%
35
%
100
1000
3500
10000
2000
1500
%
100
=
=
+
=
×
+
=
=
x
r
I
A
Z
I
CF
r
n
%
30
5000
1500
=
=
=
I
Z
ARR
n
23
Tabela
2012-12-27
Okres spłaty/Zdsykontowany okres spłaty
%
10
66
,
3
3415,07
2242,67
-
3
;
1
,
3
5000
500
3
1
=
=
+
=
=
−
+
=
+
−
+
=
+
r
lat
PB
lat
CF
CF
n
PB
d
t
t
24
Tabela
2012-12-27
2012-12-27
5
Metoda wartości kapitałowej netto
Nett present value, NPV
25
Polega na sumowaniu strumieni pieniężnych netto po ich
zdyskontowaniu dla 3 okresów: budowy, eksploatacji i likwidacji,
Służy do porównywania projektów inwestycyjnych o identycznych
co do wartości i rozłożenia w czasie nakładów kapitałowych,
Kryterium wyboru:
projekt, który osiąga nie niższą od zera zdyskontowaną wartość
kapitałową netto (NPV),
Gdy kilka projektów - wybieramy ten o maksymalnym NPV
NPV ≥ 0 → max
Istotny wpływ na wybór wariantu może mieć przyjęty poziom
stopy % (zmiana rankingu)
2012-12-27
Metoda wartości kapitałowej netto
Nett present value, NPV
Formuła:
- przepływy pieniężna netto związane z bieżącym
funkcjonowaniem projektu w kolejnych latach (bez nakładów
kapitałowych), wpływy,
- nakłady kapitałowe, wypływy,
r - stopa dyskontowa
- współczynnik dyskontujący
∑
∑
∑
=
=
=
+
−
+
=
+
=
≥
×
=
n
t
t
t
n
t
t
t
t
t
t
n
t
t
r
I
r
CF
NPV
r
a
a
NCF
NPV
0
0
0
)
1
(
)
1
(
)
1
(
1
0
)
(
t
CF
t
a
26
t
I
2012-12-27
Metoda wartości kapitałowej netto
Poziom NPV zależy od:
a) Rozkładu strumieni w czasie,
b) Wysokości stopy procentowej przyjętej do dyskonta:
im
wyższa
stopa
procentowa,
tym
mniejsza
wartość
zaktualizowanych strumieni pieniężnych.
stopa
ta
wyznacza
minimalny
poziom
efektywności projektów
inwestycyjnych,
pełni funkcję selekcji projektów inwestycyjnych.
Za pomocą metody NPV można stwierdzić, czy projekt pozwala
na pomnażanie, czy marnotrawienie bogactwa właścicieli.
Wadą metody jest to, że, znając jedynie poziom NPV, nie można
stwierdzić, jaki jest poziom zaangażowanego kapitału,
Cechy
27
2012-12-27
Metoda wartości kapitałowej netto
Nie mówi o warunkach ubocznych projektu – dodatkowe
nakłady na płynność, wymaga dodatkowych analiz,
Nie odnosi się do okresu eksploatacji (czy taki sam; czy
różny-
wówczas
stosuje
się
np.
metodę
łańcuch
zastępowań lub równoważnej spłaty rocznej),
Gdy mamy różne nakłady kapitałowe lub niejednakowo
rozłożone w czasie, należy zastosować wskaźnik NPVR lub
indeks
rentowności
(PI),
ponieważ
NPV
nie
wyraża
precyzyjnie różnic w poziomie rentowności alternatywnych
sposobów wykorzystania kapitału.
Cechy
28
2012-12-27
Do wpływów zaliczamy: nadwyżkę operacyjną netto(zysk netto)
oraz amortyzację w okresie eksploatacji obiektu
Do wypływów (inwestycji)zaliczamy: nakłady na majątek trwały
oraz przyrost kapitału obrotowego netto. Mogą być ponoszone
przed rozpoczęciem eksploatacji obiektu, jak i w jej trakcie.
NPV = 0 oznacza, że:
Projekt wygenerował wpływy pozwalające na pokrycie wydatków
kapitałowych (zwrot poniesionych nakładów kapitałowych),
Pokryty został koszt kapitału (alternatywny i faktyczny) zawarty
w stopie dyskonta – projekt przyniósł tzw. dochód normalny.
Uzyskano
stopę
zwrotu
od
zaangażowanego
kapitału
na
poziomie stopy dyskontowej
29
2012-12-27
Zastosowana stopa dyskontowa nie może być niższa od stopy
granicznej, czyli zapewniającej utrzymanie rynkowej wartości
kapitału, jest to oczekiwana stopa zwrotu dla danej klasy
ryzyka.
Stosując stopę dyskonta (r) = kosztowi kapitału (oczekiwanej
stopie zwrotu), wówczas:
a) NPV > 0 oznacza, że:
•
Projekt poza pokryciem wydatków inwestycyjnych i kosztu
kapitału przyniósł dodatkowy dochód,
•
Dojdzie do powiększenia wartości przedsiębiorstwa w wyniku
jego realizacji, ponieważ oczekiwana stopa będzie większa niż
koszt kapitału,
30
2012-12-27
2012-12-27
6
Inwestor
może
liczyć:
na
zwrot
kapitału,
na
oprocentowanie na poziomie oczekiwanej stopy zwrotu i
na powiększenie bogactwa.
b) NPV < 0 oznacza:
Marnotrawienie kapitału,
Jeśli
nawet
zostanie
zwrócony
nominalny
poziom
kapitału, to inwestor nie osiągnie niezbędnej oczekiwanej
stopy
zwrotu,
dochodzi
zatem
do spadku
rynkowej
wartości jego kapitału,
Projekty o ujemnym NPV przy zastosowaniu granicznej
stopy dyskontowej należy odrzucić, ponieważ prowadzą do
strat ekonomicznych.
31
2012-12-27
Wskaźnik wartości bieżącej (kapitałowej) netto
(Net Present Value Ratio, NPVR) i Indeks rentowności (PI)
NPVR jest stosowany w przypadku różnych nakładów,
różnych poziomów NPV,
Jest to relacja NPV do wartości obecnej nakładów,
Określa, jaki poziom
wartości zaktualizowanej netto
przypada
na
jednostkę
uruchomionego
kapitału
zaktualizowanego, czyli ile jednostek nadwyżki wygeneruje
każda jednostka nakładów inwestycyjnych,
Kryterium wyboru: maksymalizacja wskaźnika NPVR
Cechy
32
2012-12-27
Formuła:
PVB – suma zdyskontowanych przepływów pieniężnych netto
związanych z bieżącym funkcjonowaniem projektu w kolejnych
latach (bez nakładów kapitałowych), wpływy,
PVI
- wartość obecna nakładów kapitałowych (present value of
investment)
PI – indeks rentowności (profitability index)
∑
∑
∑
∑
∑
=
=
=
=
=
+
+
=
=
−
=
+
+
−
+
=
=
n
t
t
t
n
t
t
t
n
t
t
t
n
t
t
t
n
t
t
t
r
I
r
CF
PI
PVI
PVB
PI
PI
NPVR
r
I
r
I
r
CF
NPV
PVI
NPV
NPVR
0
0
0
0
0
)
1
(
)
1
(
1
)
1
(
)
1
(
)
1
(
33
2012-12-27
Wskaźnik wartości bieżącej (kapitałowej) netto
i Indeks rentowności (profitability index, PI
)
Indeks rentowności (PI) ma podobne zastosowanie jak
NPVR,
Ustalany jako iloraz zdyskontowanej wartości dodatnich
przepływów pieniężnych oraz zdyskontowanej wartości
ujemnych przepływów pieniężnych reprezentujących
nakłady inwestycyjne,
Kryterium wyboru: maksymalizacja indeksu rentowności
Cechy
34
2012-12-27
Formuła:
PVB – suma zdyskontowanych przepływów pieniężnych netto
związanych
z
bieżącym
funkcjonowaniem
projektu
w
kolejnych latach (bez nakładów kapitałowych), wpływy,
PVI - wartość obecna nakładów kapitałowych (present value
of investment)
PI – indeks rentowności (profitability index)
1
)
1
(
)
1
(
0
0
+
=
+
+
=
=
∑
∑
=
=
NPVR
PI
r
I
r
CF
PI
PVI
PVB
PI
n
t
t
t
n
t
t
t
35
2012-12-27
36
ZAD. 2. Dwa projekty (L, S) charakteryzują się
następującymi
prognozowanymi
przepływami
pieniężnymi netto (Tabela 2.) Nakłady ponoszone
będą w roku t0, przewidywany okres eksploatacji
to 4 lata. Dokonaj oceny opłacalności tych
projektów, stosując zdyskontowany okres zwrotu
oraz metody złożone (NPV, NPVR, IRR, MIRR). za
stopę dyskonta
przyjmij
10%. Czy
ranking
projektów ulegnie zmianie, gdy stopa graniczna
wyniesie 7%?
2012-12-27
2012-12-27
7
37
A
B
C
CF
Rok
S
L
0
-1000
-1000
1
500
100
2
400
300
3
300
400
4
100
600
Razem wpływy
1300
1400
2012-12-27
38
0
1
2
3
4
-1000 500
400
30 0 100
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
.
.
8
,
78
1000
8
,
1078
.
.
30
,
68
6830
,
0
100
1
,
0
1
1
100
.
.
39
,
225
7513
,
0
300
1
,
0
1
1
300
.
.
56
,
330
8264
,
0
400
1
,
0
1
1
400
.
.
55
,
454
9091
,
0
500
1
,
0
1
1
500
.
.
1000
1
1000
1
,
0
1
1
1000
4
4
3
3
2
2
1
1
0
p
j
PVI
PVB
NPV
p
j
x
x
PV
p
j
x
x
PV
p
j
x
x
PV
p
j
x
x
PV
p
j
x
x
PVI
S
S
S
=
−
−
=
−
=
=
=
+
=
=
=
+
=
=
=
+
=
=
=
+
=
−
=
−
=
+
−
=
PROJEKT „S”
2012-12-27
39
0
1
2
3
4
-1000 100
300
400
600
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
.
.
15
,
49
1000
15
,
1049
.
.
8
,
409
6830
,
0
600
1
,
0
1
1
600
.
.
52
,
300
7513
,
0
400
1
,
0
1
1
400
.
.
92
,
247
8264
,
0
300
1
,
0
1
1
300
.
.
91
,
90
9091
,
0
100
1
,
0
1
1
100
.
.
1000
1
1000
1
,
0
1
1
1000
4
4
3
3
2
2
1
1
0
p
j
PVI
PVB
NPV
p
j
x
x
PV
p
j
x
x
PV
p
j
x
x
PV
p
j
x
x
PV
p
j
x
x
PVI
L
L
L
=
−
−
=
−
=
=
=
+
=
=
=
+
=
=
=
+
=
=
=
+
=
−
=
−
=
+
−
=
PROJEKT „L”
2012-12-27
0 1 2 3 4
-1
0
0
0
5
0
0
4
0
0
3
0
0
1
0
0
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
.
.
8
,
78
1000
8
,
1078
.
.
30
,
68
6830
,
0
100
1
,
0
1
1
100
.
.
39
,
225
7513
,
0
300
1
,
0
1
1
300
.
.
56
,
330
8264
,
0
400
1
,
0
1
1
400
.
.
55
,
454
9091
,
0
500
1
,
0
1
1
500
.
.
1000
1
1000
1
,
0
1
1
1000
4
4
3
3
2
2
1
1
0
p
j
PVI
PVB
NPV
p
j
x
x
PV
p
j
x
x
PV
p
j
x
x
PV
p
j
x
x
PV
p
j
x
x
PVI
S
S
S
=
−
=
−
=
=
=
+
=
=
=
+
=
=
=
+
=
=
=
+
=
−
=
−
=
+
−
=
PROJEKT „S”
0 1 2 3 4
-
1
0
0
0
1
0
0
3
0
0
4
0
0
6
0
0
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
.
.
15
,
49
1000
15
,
1049
.
.
8
,
409
6830
,
0
600
1
,
0
1
1
600
.
.
52
,
300
7513
,
0
400
1
,
0
1
1
400
.
.
92
,
247
8264
,
0
300
1
,
0
1
1
300
.
.
91
,
90
9091
,
0
100
1
,
0
1
1
100
.
.
1000
1
1000
1
,
0
1
1
1000
4
4
3
3
2
2
1
1
0
p
j
PVI
PVB
NPV
p
j
x
x
PV
p
j
x
x
PV
p
j
x
x
PV
p
j
x
x
PV
p
j
x
x
PVI
L
L
L
=
−
=
−
=
=
=
+
=
=
=
+
=
=
=
+
=
=
=
+
=
−
=
−
=
+
−
=
PROJEKT „L”
40
2012-12-27
Cechy
Jest to stopa zwrotu danego projektu inwestycyjnego, jaką
osiągniemy,
Przyjęcie tej stopy do dyskonta oznacza, że NPV =0,
Kryterium wyboru: maksymalizacja IRR, przy czym IRR musi być
większa od stopy granicznej (kosztu kapitału)
Wybór dokonywany w oparciu o IRR może być sprzeczny z
wyborem na podstawie NPV, wówczas należy stosować kryterium
NPV, bądź NPVR, gdy różne nakłady kapitałowe są ponoszone,
Przy ustalaniu IRR reinwestycje są dokonywane wg tej stopy, co
nie zawsze jest możliwe w praktyce.
Wewnętrzna stopa zwrotu
(Internal Rate of Return, IRR)
41
2012-12-27
Formuła:
Wewnętrzna stopa zwrotu
(Internal Rate of Return, IRR)
Gdzie:
r
1
– stopa procentowa, dla której NPV>0, czyli PV,
r
2
– stopa procentowa, dla której NPV<0, czyli NV,
(r
1
-r
2
) – różnica nie może być większa niż 1-2 pkt.%
PV =NPV(r
1
) >0, NV= NPV (r
2
)<0
(
) (
) (
) (
)
(
)
0
1
...
1
1
1
1
3
3
2
2
1
1
0
=
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
−
=
n
n
IRR
CF
IRR
CF
IRR
CF
IRR
CF
IRR
I
NPV
(
)
NV
PV
r
r
PV
r
IRR
+
−
×
+
=
1
2
1
42
2012-12-27
2012-12-27
8
Przy
ustalaniu
NPV
reinwestycja
nadwyżek
kapitałowych
dokonywana jest wg stopy przyjętej do dyskonta,
Każdego roku wycofujemy część kapitału, oprócz roku 1,
Otrzymamy zwrot kapitału i oprocentowanie na poziomi IRR. Co
roku zmniejszamy zaangażowanie kapitału.
IRR nie można stosować w przypadku projektów o nietypowych
przepływach (wypływy występują nie tylko na początku, ale
również na końcu cyklu życia projektu), wówczas otrzymamy
dwie IRR, które przyjęte do dyskonta dają NPV = 0
Wewnętrzna stopa zwrotu
(Internal Rate of Return, IRR)
43
2012-12-27
Nietypowy przypadek IRR:
-500,000 zł
-400,000 zł
-300,000 zł
-200,000 zł
-100,000 zł
0,000 zł
100,000 zł
200,000 zł
300,000 zł
400,000 zł
500,000 zł
600,000 zł
1
5
%
3
5
%
5
5
%
7
5
%
9
5
%
1
1
5
%
1
3
5
%
1
5
5
%
1
7
5
%
1
9
5
%
2
1
5
%
2
3
5
%
2
5
5
%
2
7
5
%
2
9
5
%
3
1
5
%
3
3
5
%
3
5
5
%
3
7
5
%
3
9
5
%
4
1
5
%
4
3
5
%
4
5
5
%
4
7
5
%
NPV
NPV
Przedsięwzięcie jest opłacalne
dla stopy % r w przedziale:
(IRR
1
; IRR
2
)
Lata
CF
IRR
0
-1600
1
10000
IRR
1
= 25%
2
-10000
IRR
2
= 400%
44
(
) (
) (
)
0
1
10000
1
10000
1
1600
2
1
0
=
+
−
+
+
+
+
−
=
IRR
IRR
IRR
NPV
2012-12-27
-100,00
-50,00
0,00
50,00
100,00
150,00
200,00
250,00
300,00
3%
4%
5%
6%
7%
8%
9%
10%
11%
12%
13%
14%
15%
S
L
N
P
V
r
PROJEKT
PV (r
1
)
NV(r
2
)
L
r
11%
12%
NPV
21,29
-5,53
S
r
14%
15%
NPV
8,08
-8,33
(
)
(
)
%
79
,
11
53
,
5
29
,
21
%
11
12
29
,
21
%
11
%
49
,
14
33
,
8
08
,
8
%
14
15
08
,
8
%
14
=
−
+
−
×
+
=
=
−
+
−
×
+
=
L
S
IRR
IRR
45
r = 7,17%
NPV
1
=NPV
2
2012-12-27
Możliwości stosowania IRR do oceny względnej opłacalności
projektów mogą być poszerzone, gdy wyeliminujemy założenie o
stopie
reinwestycji
dla
projektów
równej
IRR
danego
przedsięwzięcia,
Wtedy należy uwzględnić stopę niezależną od efektywności
projektów (określanej za pomocą IRR) i dokonywać reinwestycji
po koszcie kapitału (podobnie jak przy NPV) – obliczoną przy tym
założeniu
wewnętrzną
stopę
zwrotu
określamy
jako
zmodyfikowaną wew. stopę zwrotu (MIRR),
MIRR jest bardziej realistyczna niż IRR ze względu na przyjęcie
jako stopy reinwestycji kosztu kapitału.
Zmodyfikowana wewnętrzna stopa zwrotu
(Modyfied Internal Rate of Return, MIRR)
46
2012-12-27
Poziom MIRR jest niższy niż IRR, co wynika z założeń ustalania
tych stóp:
a. Dla IRR zakładamy, że występowanie nadwyżek umożliwia
wycofanie części zaangażowanego kapitału, co prowadzi do
obniżki poziomu kapitału w poszczególnych latach prognozy; IRR
jest względnie wysoka,
b. Dla MIRR zakładamy utrzymywanie kapitału na stałym poziomie
w całym okresie oraz reinwestowanie nadwyżek, tak by zapewnić
zwrot na poziomie stopy dyskontowej. Ponieważ poziom stopy
dyskontowej jest niższy od IRR, to ulega pomniejszeniu stopa
zwrotu z kapitału utrzymywanego przez cały okres prognozy.
47
2012-12-27
Cechy:
Aby ustalić MIRR, określamy przyszłą wartość (na koniec okresu
obliczeniowego) dodatnich przepływów pieniężnych (FV) dla stopy
reinwestycji równej stopie dyskonta (r) stosowanej przy NPV,
Ustalamy również wartość obecną nakładów kapitałowych (PVI),
Bazując na przyszłej wartości dodatnich p. pien. oraz obecnej
wartości
p. pien. odpowiadających nakładom kapitałowym,
ustalamy stopę procentową, dla której obecna wartość sumy p.
pien. jest równa zero.
Zmodyfikowana wewnętrzna stopa zwrotu
(Modyfied Internal Rate of Return, MIRR)
48
2012-12-27
2012-12-27
9
Formuła MIRR:
COF(Cash Outflows) – wypływy; CIF (Cash Inflows) – wpływy,
FV – wartość przyszła wpływów,
t- ilość lat, jak mija od początku cyklu życia do momentu pojawienia się
dodatniej nadwyżki,
n- cykl życia projektu,
49
(
)
CIF
CF
COF
I
PVI
FV
MIRR
MIRR
r
CF
r
I
FV
PV
PVI
t
t
n
n
t
n
t
n
t
n
t
t
t
=
=
−
=
+
+
×
=
+
=
∑
∑
=
−
=
;
1
1
)
1
(
)
1
(
)
(
0
0
2012-12-27
50
CF
1
CF
2
CF
3
CF
4
I
0
0
1 2 3 4
(
)
(
)
(
)
(
)
.
1579,50j.p
5
,
665
484
330
100
)
1
(
.
.
5
,
665
1
,
1
500
1
,
0
1
500
.
.
484
1
,
1
400
1
,
0
1
400
.
.
330
1
,
1
300
1
,
0
1
300
.
100
0
,
1
100
1
,
0
1
100
4
1
4
3
1
4
1
4
3
2
2
4
2
4
2
1
3
4
3
4
1
4
4
4
4
0
=
+
+
+
=
+
×
=
=
×
=
+
×
=
=
=
×
=
+
×
=
=
=
×
=
+
×
=
=
=
×
=
+
×
=
=
∑
=
−
−
−
−
−
−
−
−
−
t
t
t
MIRR
r
CF
FV
p
j
FV
FV
p
j
FV
FV
p
j
FV
FV
p
j
FV
FV
PV(FV)=FV
MIRR
/(1+MIRR)
4
I
0
=PV(FV)
(
)
%
11
,
12
1211
,
0
1
1211
,
1
1
1
5
,
1579
1000
4
1000
5
,
1579
4
=
=
−
=
−
=
+
=
MIRR
MIRR
PROJEKT „S”
2012-12-27
51
CF
1
CF
2
CF
3
CF
4
I
0
0
1 2 3 4
(
)
(
)
(
)
(
)
1536,1j.p.
1
,
133
363
440
600
)
1
(
.
.
1
,
133
1
,
1
100
1
,
0
1
100
.
.
363
1
,
1
300
1
,
0
1
300
.
.
440
1
,
1
400
1
,
0
1
400
.
600
0
,
1
600
1
,
0
1
600
4
1
4
3
1
4
1
4
3
2
2
4
2
4
2
1
3
4
3
4
1
4
4
4
4
0
=
+
+
+
=
+
×
=
=
×
=
+
×
=
=
=
×
=
+
×
=
=
=
×
=
+
×
=
=
=
×
=
+
×
=
=
∑
=
−
−
−
−
−
−
−
−
−
t
t
t
MIRR
r
CF
FV
p
j
FV
FV
p
j
FV
FV
p
j
FV
FV
p
j
FV
FV
PV(FV)=FV
MIRR
/(1+MIRR)
4
I
0
=PV(FV)
(
)
%
33
,
11
1133
,
0
1
1133
,
1
1
1
1
,
1536
1000
4
1000
1
,
1536
4
=
=
−
=
−
=
+
=
MIRR
MIRR
PROJEKT „L”
2012-12-27
A
B
C
D
E
F
G= B x F H= C x F
I
J
K
L
M=BxL N=CxL
PB
NPV
PB
d
R
x
MIRR
CF
CF
skumulowane
DF
DCF
DCF skumul
NCF
(L-S)
Współ.
FV
FV_S FV_L
Rok
S
L
S
L
S
L
S
L
0
-1000 -1000 -1000
-1000
1,0000
-1000
-1000
-1000
-1000
0
1
500
100
-500
-900
0,9091
454,55
90,91 -545,45 -909,09 -400 1,331 665,50 133,10
2
400
300
-100
-600
0,8264
330,58
247,93 -214,88 -661,16 -100 1,210 484,00 363,00
3
300
400
200
-200
0,7513
225,39
300,53 10,52
-360,63 100 1,100 330,00 440,00
4
100
600
300
400
0,6830
68,30
409,81 78,82
49,18
500 1,000 100,00 600,00
razem 1300 1400
r=
10%
NPV =
78,82
49,18
10
PVB
1078,82 1049,18
52
2012-12-27