Automatyka i Robotyka –Analiza – Wykład 14 – dr Adam Ćmiel – [e-mail]

1

Własności zbiorów otwartych i domkniętych

Tw.

a) Suma dowolnej ilości zbiorów otwartych jest zbiorem otwartym.

b) Iloczyn skończonej ilości zbiorów otwartych jest zbiorem otwartym.

Dow. (a) Mamy rodzinę zbiorów otwartych:

s

S

s

S

s

s

A

A

∈

∈

∀

:

}

{

-otwarty. Należy pokazać, że:

U

S

s

s

A

∈

jest również zbiorem otwartym. Niech x będzie dowolnym punktem należącym do

s

S

s

S

s

s

A

x

A

∈

∃

⇔

∈

∈

:

U

⇒

s

r

A

r

x

K

⊂

∃

)

,

(

:

⇒

U

S

s

s

r

A

r

x

K

∈

⊂

∃

)

,

(

:

⇔ suma jest zbiorem

otwartym.

Dow

. (b):

i

n

i

n

i

i

A

x

A

x

∈

∀

⇔

∈

∈

=

:

}

,...,

1

(

1

I

⇔

i

i

r

n

i

A

r

x

K

x

i

⊂

∈

∃

∀

∈

)

,

(

:

}

,...,

1

(

⇒

I

n

i

i

r

r

r

A

r

x

K

x

n

1

}

,...,

min{

)

,

(

:

1

=

=

⊂

∈

∃

co oznacza, że

I

n

i

i

A

1

=

jest zbiorem otwartym.

Z praw De Morgana wynika, że:

• iloczyn dowolnej ilości zbiorów domkniętych jest zbiorem domkniętym
• suma skończonej ilości zbiorów domkniętych jest zbiorem domkniętym.

GRANICA FUNKCJI

Granica funkcji w punkcie skupienia

(X,

ρ

x

) - przestrzeń metryczna, A

⊂X, x

0

- punkt skupienia zbioru A.

(Y,

ρ

y

) - przestrzeń metryczna

Y

A

X

f

→

⊃

:

Def

. (Heine) Punkt

Y

g

∈ jest granicą funkcji f w punkcie x

0

co zapisujemy

g

x

f

x

x

=

→

)

(

lim

0

, jeżeli

g

x

f

x

x

n

n

n

n

A

x

S

x

n

=

⇒

=

∀

∞

→

∞

→

∩

⊂

)

(

lim

lim

0

)

,

(

)

(

0

δ

Powyższa definicja jest równoważna następującej

Def

. (Cauchy)

ε

ρ

δ

ρ

δ

ε

≤

⇒

≤

<

∀

∃

∀

⇔

=

∈

>

>

→

)

),

(

(

)

,

(

0

)

(

lim

0

0

0

0

g

x

f

x

x

g

x

f

y

x

A

x

x

x

Komentarz

: x

0

nie musi należeć do A, czyli funkcja nie musi być określona w x

0

. Nawet jeśli funkcja

jest określona w x

0

to wartość funkcji w tym punkcie nie wpływa na granice funkcji.

Ciągłość funkcji w punkcie

)

,

(

x

X

ρ

,

)

,

(

y

Y

ρ

- przestrzenie metryczne,

∅

X

A

⊂

≠

,

A

x

∈

0

(!)

Def

. Funkcję

Y

A

X

f

→

⊃

:

nazywamy ciągłą w punkcie

0

x

jeżeli

• Heine

)

(

)

(

lim

lim

0

0

)

(

x

f

x

f

x

x

n

n

n

n

A

x

n

=

⇒

=

∀

∞

→

∞

→

⊂

Automatyka i Robotyka –Analiza – Wykład 14 – dr Adam Ćmiel – [e-mail]

2

• Cauchy

ε

ρ

δ

ρ

δ

ε

≤

⇒

≤

∀

∃

∀

∈

>

>

))

(

),

(

(

)

,

(

0

0

0

0

x

f

x

f

x

x

y

x

A

x

Uwaga

:

A

x

∈

0

ale nie musi być punktem skupienia zbioru A. Jeżeli

A

x

∈

0

jest punktem

izolowanym zbioru A to z definicji funkcja jest ciągła w punkcie izolowanym. Jeżeli
natomiast

A

x

∈

0

jest punktem skupienia zbioru A to z definicji funkcja jest ciągła w

punkcie skupienia

)

(

)

(

lim

0

0

x

f

x

f

x

x

=

⇔

→

.

Ciągłość punktowa

)

,

(

x

X

ρ

,

)

,

(

y

Y

ρ

- przestrzenie metryczne,

Y

D

X

f

→

⊃

:

Def

. Funkcja f jest punktowo ciągła w D jeżeli jest ciągła w każdym punkcie zbioru D, czyli

f jest punktowo ciągła w D

⇔

(

)

)

(

)

(

lim

lim

)

(

)

(

),

(

)

,

(

)

(

)

(

2

1

2

1

0

)

,

(

0

2

1

1

x

f

x

f

x

x

x

f

x

f

x

x

n

n

n

n

D

x

D

x

y

x

D

x

x

D

x

n

=

⇒

=

∀

∀

≤

⇒

≤

∀

∃

∀

∀

∞

→

∞

→

⊂

∈

∈

>

>

∈

H

C

ε

ρ

δ

ρ

ε

δ

ε

Ciągłość jednostajna

)

,

(

x

X

ρ

,

)

,

(

y

Y

ρ

- przestrzenie metryczne,

Y

D

X

f

→

⊃

:

Def

. Funkcja f jest jednostajnie ciągła w D gdy

(

)

ε

ρ

δ

ρ

δ

ε

≤

⇒

≤

∀

∀

∃

∀

∈

∈

>

>

)

(

),

(

)

,

(

2

1

2

1

0

0

2

1

x

f

x

f

x

x

D

x

D

x

y

x

Bezpośrednio z definicji otrzymujemy korzystając z tautologii {

∃x ∀y :

ϕ

(x,y)}

⇒ {∀x ∃y :

ϕ

(x,y)}

Tw

. Jeżeli f jest jednostajnie ciągła na D , to f jest punktowo ciągła na D.

Problem. Jak praktycznie badać jednostajną ciągłość funkcji?

Użytecznym pojęciem jest tzw. moduł ciągłości funkcji.

Def

. Modułem ciągłości funkcji

Y

D

X

f

→

⊃

:

nazywamy funkcję

}

)

,

(

,

:

))

(

),

(

(

sup{

)

,

(

)

(

2

1

2

1

2

1

δ

ρ

ρ

δ

ω

δ

ω

≤

∧

∈

=

=

x

x

D

x

x

x

f

x

f

f

X

Y

df

f

Tw

. Funkcja

Y

D

X

f

→

⊃

:

jest jednostajnie ciągła na D

⇔

0

)

,

(

lim

0

=

∆

→

∆

f

ω

Dowód

.

Y

D

X

f

→

⊃

:

jest jednostajnie ciągła na D

c

(

)

ε

ρ

δ

ρ

δ

ε

≤

⇒

≤

∀

∀

∃

∀

∈

∈

>

>

)

(

),

(

)

,

(

y

x

0

0

y

f

x

f

y

x

A

y

A

x

c

ε

ω

δ

δ

ε

≤

∆

∀

∃

∀

≤

∆

>

>

)

,

(

0

0

f

c

0

)

,

(

lim

0

=

∆

→

∆

f

ω

Automatyka i Robotyka –Analiza – Wykład 14 – dr Adam Ćmiel – [e-mail]

3

Metryka indukowana

(X,

ρ

) - przestrzeń metryczna, A

⊂X

Wówczas (A,

ρ

A

) - przestrzeń metryczna, gdzie

A

A

A

×

=

ρ

ρ

- metryka indukowana (obcięta)

Uwaga . Zbiory otwarte w A są przecięciami zbioru A ze zbiorami otwartymi w X

Inna definicja ciągłości funkcji w przestrzeni metrycznej

:

Def

. Funkcja

f jest (punktowo) ciągła na X

⇔

(

)

c

c

ε

ρ

δ

ρ

ε

δ

ε

<

⇒

<

∀

∃

∀

∀

∈

>

∈

>

)

(

),

(

)

,

(

0

)

,

(

0

y

f

x

f

y

x

y

x

X

y

x

X

x

)

,

(

δ

x

K

y

∈

c

)

),

(

(

)

(

ε

x

f

K

y

f

∈

[

]

)

),

(

(

1

ε

x

f

K

f

y

−

∈

c

[

]

)

),

(

(

)

,

(

1

ε

δ

x

f

K

f

x

K

−

⊂

Motywuje to następującą definicję:

Def

. Funkcja

f jest ciągła na X

Y

A

⊂

∀

⇔

A-otwarty w Y

]

[

1

A

f

−

⇒

-otwarty w X.

Uwaga

. W definicji tej nie występuje jawnie pojęcie metryki, tylko zbioru pojęcie otwartego. Dążąc

do uogólnienia pojęcia funkcji ciągłej można zdefiniować najpierw zbiory otwarte, a później

w powyższy sposób zdefiniować ciągłość funkcji.

W zbiorze X rozważamy rodzinę

ℑ podzbiorów zbioru X , czyli

ℑ

⊂2

X

, gdzie 2

X

oznacza rodzinę

wszystkich możliwych podzbiorów zbiory X

Def

: Rodzinę

ℑ

⊂2

X

spełniającą warunki

1º

∅∈

ℑ

, X

∈

ℑ

2º

∀s∈S A

s

∈

ℑ

⇒

U

S

s

s

A

∈

∈

ℑ

3º A

1

,

…,A

n

∈ℑ ⇒

I

n

k

k

A

1

=

∈

ℑ

nazywamy topologią w X a jej elementy (czyli zbiory) zbiorami otwartymi.

(X,

ℑ

x

) , (Y,

ℑ

y

) - przestrzenie topologiczne

Def

. Funkcja

Y

X

f

→

:

jest ciągła na X

⇔ ∀

A

⊂Y

A

∈

ℑ

y

⇒ f

-1

[A]

∈

ℑ

x

Wprowadzanie pewnych pojęć, za pomocą których można zdefiniować ciągłość funkcji, nazywamy

zadawaniem topologii

.

Automatyka i Robotyka –Analiza – Wykład 14 – dr Adam Ćmiel – [e-mail]

4

Uwagi

. Słowo topologia występuje przynajmniej w dwóch znaczeniach.

• Zespół pojęć przy pomocy których definiujemy ciągłość
• Rodzina zbiorów otwartych

Topologię można zadać

• poprzez metrykę

• poprzez zdefiniowanie rodziny zbiorów otwartych (czyli topologii)

• poprzez aksjomatyczne zdefiniowanie ciągów zbieżnych i definicję ciągłości typu Heinego

(topologia ciągowa L - Frecheta )

Zbiory zwarte i ich własności

)

,

(

ρ

X

- przestrzeń metryczna

Def

.

X

A

⊂

nazywamy zbiorem zwartym jeżeli z każdego ciągu

A

x

n

⊂

)

(

można wybrać podciąg

zbieżny

)

(

k

n

x

do elementu zbioru A, (czyli

A

x

x

k

n

k

n

n

n

x

x

A

x

∈

→

∃

∀

⊂

∈

0

)

(

)

(

)

(

:

)

Np.: Przedział

]

,

[

b

a

jest zbiorem zwartym w (R, |

⋅ | ).

Przedział

]

,

[ b

a

jest ograniczony

W

B

Tw

−

⇒

.

można z niego wybrać podciąg zbieżny. Granicą tego

podciągu zbieżnego jest punkt skupienia przedziału. Przedział domknięty z definicji zawiera

wszystkie swoje punkty skupienia, czyli również ten, do którego zbieżny jest wybrany podciąg.

Tw

. W przestrzeni metrycznej zbiór zwarty jest domknięty i ograniczony.

Uwaga

. W drugą stronę twierdzenie to nie jest prawdziwe. Ale w

)

,

(

E

n

R

ρ

[metryka

Euklidesowa] zbiór zwarty

⇔ domknięty i ograniczony.

Dowód

. (domkniętość). Mamy pokazać, że A= A . Przypuśćmy dla dowodu nie wprost, że

istnieje a

∈ A i a∉A. Punkt a musi być więc punktem skupienia

(punkt izolowany zbioru należy do zbioru)

.

Istnieje więc ciąg (x

n

)

⊂A taki, że x

n

→

a

. Ze zwartości A z ciągu x

n

można wybrać podciąg

zbieżny do elementu zbioru A. Ponieważ każdy podciąg ciągu zbieżnego do a jest zbieżny do a
wnioskujemy, że a

∈A.(sprzeczność).

Ograniczoność

. Przypuśćmy dla dowodu nie wprost, ze A jest zbiorem zwartym i

nieograniczonym. Z nieograniczoności A wynika, że istnieje ciąg (x

n

)

⊂A, taki, że

ρ

(x

n

,a)

≥n ∀n.

Ale ze zwartości A wynika, że z ciągu (x

n

) można wybrać podciąg

k

n

x

zbieżny do x

0

∈A. Z

ciągłości metryki

)

,

(

)

,

(

0

a

x

a

x

k

n

ρ

ρ

→

, co przeczy warunkowi

k

n

n

a

x

k

≥

)

,

(

ρ

∀k

(sprzeczność).

Tw

. Domknięty podzbiór B zbioru zwartego A jest zbiorem zwartym

Dow

. Weźmy dowolny ciąg (x

n

)

⊂B⊂A. Ze zwartości A wynika, ze można wybrać podciąg

)

(

k

n

x

→x

0

∈A. Stąd x

0

jest punktem skupienia zbioru B, a z domkniętości B wynika, że x

0

∈B,

co dowodzi zwartości B.

Automatyka i Robotyka –Analiza – Wykład 14 – dr Adam Ćmiel – [e-mail]

5

Def

.

)

,

(

ρ

X

- przestrzeń metryczna, X – zbiór zwarty

)

,

(

ρ

X

⇔

- przestrzeń zwarta.

Przykłady

•

( [a,b], |

⋅ |) – przestrzeń metryczna zwarta

•

A

⊂R

n

, A – domknięty

⇒ (A,

E

ρ

) – przestrzeń metryczna zwarta

Tw

. Ciągły obraz zbioru zwartego jest zbiorem zwartym.

tzn, f : X

→Y ciągła X, Y prz. metr. X- zwarta ⇒ Y- zwarta

Dow

. Weźmy dowolny ciąg wartości ]

[

)

(

X

f

y

n

⊂

, czyli

)

(

:

)

(

n

n

X

x

x

f

y

n

=

∃

⊂

. X to przestrzeń

zwarta, wobec tego z ciągu (x

n

) można wybrać podciąg zbieżny

X

x

x

k

k

n

n

x

∈

→

∃

0

)

(

:

. Z

definicji ciągłości Heine’go wynika, że

0

0

)

(

)

(

y

y

x

f

x

f

k

k

n

n

→

⇔

→

. Z dowolnego ciągu (y

n

)

wybraliśmy więc podciąg zbieżny

0

y

y

k

n

→

∈ f

[X]