W tym rozdziale zajmiemy sie
!
tzw. krzywymi drugiego stopnia. Nazwa ta obej-
muje mie
!
dzy innym elipsy, parabole i hiperbole, a w la´sciwie g l´
ownie te krzywe. Moga
!
one r´
o˙znie le˙ze´c na p laszczy´znie. Zaczniemy od opisania izometrii p laszczyzny, czyli
jej przekszta lce´
n, kt´
ore zachowuja
!
odleg lo´sci mie
!
dzy punktami.
Definicja 18.1 (izometrii)
Przekszta lcenie F :
"
2
−→
"
2
nazywamy izometria
!
wtedy i tylko wtedy, gdy dla
dowolnych punkt´
ow p, q ∈
"
2
zachodzi r´
owno´s´c kF (p) − F (q)k = kp − qk , czyli
gdy odleg lo´s´c obraz´
ow punkt´
ow p, q r´
owna jest odleg lo´sci tych punkt´
ow.
Przyk lad 18.1
Je´sli a, b ∈
"
sa
!
liczbami rzeczywistymi i F
x
y
=
x+a
y+b
, to
przekszta lcenie F jest izometria
!
. Mamy bowiem
F
p
1
p
2
−F
q
1
q
2
=
p
1
+a
p
2
+b
−
q
1
+a
q
2
+b
=
p
1
+a−(q
1
+a)
p
2
+b−(q
2
+b)
=
p
1
−q
1
p
2
−q
2
=
p
1
p
2
−
q
1
q
2
.
Przekszta lcenie F to po prostu przesunie
!
cie o wektor
a
b
.
Przyk lad 18.2
Je´sli α ∈
"
i F
x
y
=
x cos α−y sin α
x sin α+y cos α
, to przekszta lcenie F jest
izometria
!
, w rzeczywisto´sci jest to obr´
ot wok´
o l punktu
0
0
o ka
!
t α w kierunku
przeciwnym do ruchu wskaz´
owek zegara. Sprawdzimy, ˙ze odleg lo´s´c jest zachowywana.
Mamy
F
p
1
p
2
− F
q
1
q
2
=
p
1
cos α−p
2
sin α
p
1
sin α+p
2
cos α
−
q
1
cos α−q
2
sin α
q
1
sin α+q
2
cos α
=
=
(p
1
−q
1
) cos α−(p
2
−q
2
) sin α
(p
1
−q
1
) sin α+(p
2
−q
2
) cos α
=
=
((p
1
− q
1
)
2
cos
2
α − 2(p
1
− q
1
)(p
2
− q
2
) cos α sin α + (p
2
− q
2
)
2
sin
2
α +
+ (p
1
− q
1
)
2
sin
2
α + 2(p
1
− q
1
)(p
2
− q
2
) sin α cos α + (p
2
− q
2
)
2
cos
2
α
1/2
=
=
p(p
1
− q
1
)
2
+ (p
2
− q
2
)
2
=
p
1
p
2
−
q
1
q
2
. Dow´
od zosta l zako´
nczony.
Przyk lad 18.3
Je´sli α ∈
"
i F
x
y
=
x cos α+y sin α
x sin α−y cos α
, to przekszta lcenie F
jest izometria
!
, w rzeczywisto´sci przekszta lcenie F to symetria wzgle
!
dem prostej o
r´
ownaniu x sin
α
2
−y cos
α
2
= 0 . Sprawdzenie, ˙ze F jest izometria
!
przebiega dok ladnie
tak, jak w poprzednim przyk ladzie, wie
!
c je opu´scimy. Zauwa˙zmy, ˙ze
F
x
y
=
x cos α + y sin α
x sin α − y cos α
=
cos α
sin α
sin α − cos α
·
x
y
oraz ˙ze
cos α − λ
sin α
sin α
− cos α − λ
= (−λ)
2
− cos
2
α − sin
2
α = λ
2
− 1 = (λ − 1)(λ + 1) .
Niech M =
cos α
sin α
sin α − cos α
. Macierz M ma wie
!
c dwie warto´sci w lasne: −1 i 1 .
Znajdziemy wektor w lasny odpowiadaja
!
cy warto´sci w lasnej 1 . Maja
!
by´c spe lnione
1
Izometrie, elipsy, parabole, hiperbole
r´
owno´sci x cos α + y sin α = x i x sin α − y cos α = y , czyli y sin α = x(1 − cos α)
i x sin α = y(1 + cos α) . Z wzor´
ow sin α = 2 sin
α
2
cos
α
2
, cos α = 2 cos
2 α
2
− 1 =
1 − 2 sin
2 α
2
wynika, ˙ze otrzymane r´
ownania mo˙zna (po skr´
oceniu) przepisa´c w po-
staci x sin
α
2
= y cos
α
2
. Je´sli punkt
x
y
le˙zy na tej prostej, to
M ·
x
y
=
cos α
sin α
sin α − cos α
·
x
y
=
x
y
.
Oznacza to, ˙ze przekszta lcenie F pozostawia punkty tej prostej na swoich miejscach
(prosta w lasna odpowiadaja
!
ca warto´sci w lasnej 1 , wie
!
c nic dziwnego w tym nie ma).
W taki sam spos´
ob znajdujemy prosta
!
odpowiadaja
!
ca
!
warto´sci w lasnej −1 . Tym
razem maja
!
by´c spe lnione r´
owno´sci x cos α + y sin α = −x i x sin α − y cos α = −y ,
czyli y sin α = −x(1 + cos α) i x sin α = y(−1 + cos α) . Po skr´oceniu oba r´ownania
wygla
!
daja
!
tak: y sin
α
2
= −x cos
α
2
. Je´sli punkt
x
y
le˙zy na tej prostej, to
M ·
x
y
=
cos α
sin α
sin α − cos α
·
x
y
= −
x
y
.
Niech ~v =
cos
α
2
sin
α
2
, ~
w =
sin
α
2
− cos
α
2
. Sa
!
to wektory w lasne o d lugo´sci 1 odpowiadaja
!
ce
warto´sciom w lasnym 1 i −1 . Ich iloczyn skalarny r´owny jest 0 , wie
!
c sa
!
one prosto-
pad le. Dla ka˙zdego punktu
x
y
p laszczyzny istnieja
!
takie liczby rzeczywiste r, s , ˙ze
x
y
= r~v + s~
w . Mamy wie
!
c M ·
x
y
= M · (r~v + s~w) = rM~v + sM ~w = r~v − s~w ,
co dowodzi tego, ˙ze przekszta lcenie F jest symetria
!
wzgle
!
dem prostej wyznaczonej
przez wektor ~v .
Podamy bez dowodu twierdzenie charakteryzuja
!
ce izometrie p laszczyzny. Jego
dow´
od nie jest trudny, ale nie be
!
dziemy z niego dalej korzysta´c.
Twierdzenie 18.2 (o postaci izometrii p laszczyzny)
Je´sli przekszta lcenie F jest izometria
!
p laszczyzny, to istnieja
!
takie liczby a, b, α ∈
"
,
˙ze albo dla dowolnego punktu
x
y
zachodzi r´
owno´s´c
F
x
y
=
cos α − sin α
sin α
cos α
·
x
y
+
a
b
,
albo dla dowolnego punktu
x
y
zachodzi r´
owno´s´c
F
x
y
=
cos α
sin α
sin α
− cos α
·
x
y
+
a
b
.
Oznacza to, ˙ze albo izometria jest z lo˙zeniem obrotu wok´
o l punktu
0
0
i przesunie
!
cia,
albo jest z lo˙zeniem symetrii wzgle
!
dem prostej przechodza
!
cej przez pocza
!
tek uk ladu
2
Izometrie, elipsy, parabole, hiperbole
wsp´
o lrze
!
dnych i przesunie
!
cia. Analogiczne twierdzenie mo˙zna sformu lowa´c w przy-
padku izometrii przestrzeni, kt´
orej wymiar jest wie
!
kszy ni˙z 2 .
Podamy teraz geometryczne definicje krzywych zwanych sto˙zkowymi, albo krzy-
wymi drugiego. stopnia.
Definicja 18.3 (paraboli)
Parabola
!
o ognisku F i kierownicy d nieprzechodza
!
cej przez punkt F nazywamy
zbi´
or z lo˙zony ze wszystkich tych punkt´
ow, kt´
orych odleg lo´s´c od prostej d jest r´
owna
odleg lo´sci od punktu F .
Jasne jest, ˙ze w´sr´
od punkt´
ow paraboli jest ´srodek odcinka prostopad lego do
prostej d , kt´
ory zaczyna sie
!
w punkcie F i ko´
nczy na prostej d . Dla prostoty
rozwa˙za´
n zak ladamy dalej, ˙ze punkt opisany w poprzednim zdaniu jest ´srodkiem
uk ladu wsp´
o lrzednych, ˙ze F =
0
f
. Wtedy r´ownanie prostej d ma posta´c y = −f .
Odleg lo´s´c punktu
x
y
od prostej d r´owna jest |y +f| , odleg lo´s´c od punktu F r´owna
jest
px
2
+ (y − f)
2
. Ma wie
!
c by´c spe lniona r´
owno´s´c |y +f| =
px
2
+ (y − f)
2
, czyli
|y + f|
2
= x
2
+ (y − f)
2
, tzn. y
2
+ 2yf + f
2
= x
2
+ y
2
− 2yf + f
2
. Po uproszczeniu
4yf = x
2
, albo y =
1
4f
x
2
, co zgadza sie
!
z definicja
!
szkolna
!
. Otrzymane r´
ownanie
paraboli nazywamy kanonicznym.
Definicja 18.4 (elipsy)
Elipsa
!
o ogniskach F
1
, F
2
nazywamy zbi´
or z lo˙zony ze wszystkich takich punkt´
ow X
p laszczyzny, dla kt´
orych kX − F
1
k + kX − F
2
k = 2a , gdzie a oznacza liczbe
!
wie
!
ksza
!
(ostro) od po lowy odleg lo´sci ognisk elipsy.
Dla uproszczenia przyjmiemy, ˙ze ogniska le˙za
!
na osi OX symetrycznie wzgle
!
dem
punktu
0
0
. Niech F
1
=
−f
0
, F
2
=
f
0
, f > 0 . Punkt
x
y
le˙zy na elipsie wte-
dy i tylko wtedy, gdy
p(x + f)
2
+ y
2
+
p(x − f)
2
+ y
2
= 2a . Po podniesieniu obu
stron do kwadratu i przeniesieniu nieomal wszystkich sk ladnik´
ow na prawa
!
strone
!
otrzymujemy r´
owno´s´c: 2
p(x + f)
2
+ y
2
·
p(x − f)
2
+ y
2
= 4a
2
− 2f
2
− 2x
2
− 2y
2
.
Dzielimy te
!
r´
owno´s´c przez 2 i podnosimy do kwadratu:
(x + f)
2
+ y
2
· (x − f)
2
+ y
2
= [2a
2
− f
2
− x
2
− y
2
]
2
, wie
!
c
(x
2
+ y
2
+ f
2
) + 2f x
· (x
2
+ y
2
+ f
2
) − 2fx
= [2a
2
− (f
2
+ x
2
+ y
2
)]
2
, zatem
−4f
2
x
2
= 4a
4
− 4a
2
(f
2
+ x
2
+ y
2
) , czyli
(a
2
− f
2
)x
2
+ a
2
y
2
= a
2
(a
2
− f
2
) .
Niech b > 0 be
!
dzie taka
!
liczba
!
, ˙ze b
2
= a
2
−f
2
. Dziela
!
c otrzymane ostatnio r´
ownanie
3
Izometrie, elipsy, parabole, hiperbole
przez a
2
b
2
otrzymujemy
x
2
a
2
+
y
2
b
2
= 1 .
To ostatnie r´
ownanie nazywane jest r´
ownaniem kanonicznym elipsy.
Definicja 18.5 (hiperboli)
Hiperbola
!
o ogniskach F
1
, F
2
nazywamy zbi´
or z lo˙zony ze wszystkich takich punkt´
ow
X p laszczyzny, dla kt´
orych
kX − F
1
k − kX − F
2
k
= 2a , gdzie
a oznacza liczbe
!
mniejsza
!
(ostro) od po lowy odleg lo´sci ognisk hiperboli.
Dla uproszczenia przyjmiemy, ˙ze ogniska le˙za
!
na osi OX symetrycznie wzgle
!
dem
punktu
0
0
. Niech F
1
=
−f
0
, F
2
=
f
0
, f > 0 . Punkt
x
y
le˙zy na elipsie wtedy
i tylko wtedy, gdy
p(x + f)
2
+ y
2
−
p(x − f)
2
+ y
2
= 2a . Po podniesieniu obu
stron do kwadratu i przeniesieniu nieomal wszystkich sk ladnik´
ow na prawa
!
strone
!
otrzymujemy r´
owno´s´c: −2
p(x + f)
2
+ y
2
·
p(x − f)
2
+ y
2
= 4a
2
− 2f
2
− 2x
2
− 2y
2
.
Dzielimy te
!
r´
owno´s´c przez −2 i podnosimy do kwadratu:
(x + f )
2
+ y
2
· (x − f)
2
+ y
2
= [f
2
+ x
2
+ y
2
− 2a
2
]
2
, wie
!
c
(x
2
+ y
2
+ f
2
) + 2f x
· (x
2
+ y
2
+ f
2
) − 2fx
= [(f
2
+ x
2
+ y
2
) − 2a
2
]
2
, zatem
−4f
2
x
2
= 4a
4
− 4a
2
(f
2
+ x
2
+ y
2
) , czyli
(a
2
− f
2
)x
2
+ a
2
y
2
= a
2
(a
2
− f
2
) .
Niech b > 0 be
!
dzie taka
!
liczba
!
, ˙ze b
2
= −(a
2
− f
2
) . Dziela
!
c otrzymane ostatnio
r´
ownanie przez −a
2
b
2
otrzymujemy
x
2
a
2
−
y
2
b
2
= 1 .
To ostatnie r´
ownanie nazywane jest r´
ownaniem kanonicznym hiperboli.
Wyka˙zemy teraz, ˙ze w przypadku elipsy i hiperboli te˙z mo˙zna my´sle´c o kierow-
nicach.
Twierdzenie 18.6 (o kierownicach i mimo´
srodzie elipsy)
Je´sli a > b > 0 , to istnieje taka prosta d
1
i liczba ε ∈ (0, 1) zwana mimo´srodem
elipsy, ˙ze elipsa E o r´
ownaniu
x
2
a
2
+
y
2
b
2
= 1 sk lada sie
!
ze wszystkich takich punkt´
ow
X , dla kt´
orych stosunek odleg lo´sci punktu X od ogniska F
1
do odleg lo´sci punktu
X od kierownicy d
1
r´
owny jest mimo´srodowi ε . Analogiczna prosta mo˙ze by´c do-
pasowana do ogniska F
2
.
Dow´
od. Za l´
o˙zmy (prawem kaduka), ˙ze prosta d
1
jest prostopad la do prostej F
1
F
2
.
Jej r´
ownanie ma wie
!
c posta´c x = δ , gdzie δ jest pewna
!
liczba
!
rzeczywista
!
. Stosunek
4
Izometrie, elipsy, parabole, hiperbole
|x−δ|
√
(x+f )
2
+y
2
ma by´c niezale˙zny od wyboru punktu
x
y
z interesuja
!
cej nas elipsy. Tym
bardziej jego kwadrat ma by´c sta ly, czyli
1
ε
2
=
(x − δ)
2
(x + f )
2
+ y
2
=
x
2
− 2δx + δ
2
x
2
+ 2f x + f
2
+ b
2
− b
2
x
2
/a
2
ma by´c sta ly. Jest to r´
ownowa˙zne r´
owno´sci
a
2
− b
2
a
2
x
2
+ 2f x + f
2
+ b
2
= ε
2
x
2
− 2ε
2
δx + ε
2
δ
2
,
a poniewa˙z r´
owno´s´c ta ma zachodzi´c dla niesko´
nczenie wielu liczb x , wie
!
c musza
!
by´c
spe lnione warunki a
2
−b
2
= a
2
ε
2
, 2f = −2δε
2
i f
2
+ b
2
= δ
2
ε
2
. Z dw´
och pierwszych
r´
owna´
n wynika, ˙ze ε =
√
a
2
−b
2
a
=
f
a
i δ = −
f
ε
2
= −
a
2
f
= −
a
ε
. Wtedy
f
2
+ b
2
− δ
2
ε
2
= a
2
− b
2
+ b
2
−
f
2
ε
2
= a
2
−
(aε)
2
ε
2
= 0 .
Znale´zli´smy wie
!
c kierownice
!
i mimo´sr´
od. Mo˙zna wykaza´c, ˙ze ten wyb´
or jest jedno-
znaczny (bez za lo˙zenia, ˙ze kierownica jest prostopad la do prostej F
1
F
2
).
Z otrzymanych wzor´
ow wynika od razu, ˙ze 0 < ε < 1 i −δ =
a
2
f
= a
a
f
> a .
Oczywi´scie kierownica wyste
!
puja
!
ca w parze z drugim ogniskiem jest opisana r´
owna-
niem x = −δ .
Twierdzenie 18.7 (o kierownicach i mimo´
srodzie hiperboli)
Je´sli a, b > 0 , to istnieje taka prosta d
1
i liczba ε > 1 zwana mimo´srodem hiperboli,
˙ze hiperbola o r´
ownaniu
x
2
a
2
−
y
2
b
2
= 1 sk lada sie
!
ze wszystkich takich punkt´
ow X , dla
kt´
orych stosunek odleg lo´sci punktu X od ogniska F
1
do odleg lo´sci punktu X od
kierownicy d
1
r´
owny jest mimo´srodowi ε . Analogiczna prosta mo˙ze by´c dopasowana
do ogniska F
2
.
Dow´
od. Za l´
o˙zmy (prawem kaduka), ˙ze prosta d
1
jest prostopad la do prostej F
1
F
2
.
Jej r´
ownanie ma wie
!
c posta´c x = δ , gdzie δ jest pewna
!
liczba
!
rzeczywista
!
. Stosunek
|x−δ|
√
(x+f )
2
+y
2
ma by´c niezale˙zny od wyboru punktu
x
y
z interesuja
!
cej nas hiperboli.
Tym bardziej jego kwadrat ma by´c sta ly, czyli
1
ε
2
=
(x − δ)
2
(x + f )
2
+ y
2
=
x
2
− 2δx + δ
2
x
2
+ 2f x + f
2
− b
2
+ b
2
x
2
/a
2
ma by´c sta ly. Jest to r´
ownowa˙zne r´
owno´sci
a
2
+ b
2
a
2
x
2
+ 2f x + f
2
− b
2
= ε
2
x
2
− 2ε
2
δx + ε
2
δ
2
,
5
Izometrie, elipsy, parabole, hiperbole
a poniewa˙z r´
owno´s´c ta ma zachodzi´c dla niesko´
nczenie wielu liczb x , wie
!
c musza
!
by´c
spe lnione warunki a
2
+ b
2
= a
2
ε
2
, 2f = −2δε
2
i f
2
−b
2
= δ
2
ε
2
. Z dw´
och pierwszych
r´
owna´
n wynika, ˙ze ε =
√
a
2
+b
2
a
=
f
a
i δ = −
f
ε
2
= −
a
2
f
. Wtedy
f
2
+ b
2
− δ
2
ε
2
= a
2
− b
2
+ b
2
−
f
2
ε
2
= a
2
−
(aε)
2
ε
2
= 0 .
Znale´zli´smy wie
!
c kierownice
!
i mimo´sr´
od. Mo˙zna wykaza´c, ˙ze ten wyb´
or jest jedno-
znaczny (bez za lo˙zenia, ˙ze kierownica jest prostopad la do prostej F
1
F
2
).
Z otrzymanych wzor´
ow wynika od razu, ˙ze −δ =
a
2
f
= a
a
f
= a ·
a
√
a
2
+b
2
< a oraz
ε =
√
a
2
+b
2
a
> 1 . Oczywi´scie kierownica wyste
!
puja
!
ca w parze z drugim ogniskiem jest
opisana r´
ownaniem x = −δ .
Z tych definicji i twierdze´
n wynika, ˙ze mo˙zna poda´c wsp´
olna
!
definicje
!
elipsy,
paraboli i hiperboli m´
owia
!
c, ˙ze jest to zbi´
or z lo˙zony z punkt´
ow, dla kt´
orych stosu-
nek odleg lo´sci od ustalonego punktu zwanego ogniskiem do ustalonej prostej zwanej
kierownica
!
jest r´
owny ε > 0 .
Naste
!
pna interesuja
!
ca i bardzo wa˙zna w lasno´s´c opisanych krzywych jest zwia
!
za-
na z prawem odbicia promieni ´swietlnych. Zaczniemy od paraboli.
Twierdzenie 18.8 (o zwierciad lach parabolicznych)
Je´sli F jest ogniskiem paraboli P , X ∈ P , L
X
prosta
!
przechodza
!
ca
!
przez punkt X
r´
ownoleg la
!
do osi symetrii paraboli, a T
X
prosta
!
styczna
!
do paraboli P w punkcie
X , to ka
!
t mie
!
dzy prostymi F X i T
X
r´
owny jest ka
!
towi mie
!
dzy prostymi L
X
i T
X
.
Dow´
od. Niech F = (0, f ) i niech kierownica
!
be
!
dzie prosta y = −f . Niech X =
a
b
, wie
!
c b =
1
4f
a
2
. Niech X
0
be
!
dzie rzutem prostopad lym punktu X na kierownice
!
paraboli, czyli X
0
=
a
−f
. Z definicji paraboli wynika, ˙ze odcinki F X i XX
0
sa
!
r´
owne. Wobec tego w tr´
ojka
!
cie F XX
0
dwusieczna ka
!
ta przy wierzcho lku X jest te˙z
´srodkowa
!
tego tr´
ojka
!
ta. Wystarczy wie
!
c wykaza´c, ˙ze ´srodek odcinka F X
0
le˙zy na
prostej T
X
. Poniewa˙z r´
ownaniem paraboli jest
1
4f
x
2
− y = 0 , wie
!
c gradient funkcji
1
4f
x
2
− y w punkcie
a
b
, czyli wektor
−−−−−−→
a
2f
, −1
jest prostopad ly do prostej T
X
.
R´
ownanie prostej T
X
wygla
!
da wie
!
c tak:
0 =
a
2f
(x − a) + (−1)(y − b) =
a
2f
(x − a) − y −
1
4f
a
2
.
´
Srodkiem odcinka F X
0
jest punkt
1
2
(F + X
0
) =
1
2
0
f
+
a
−f
=
a/2
0
. Le˙zy on na
prostej T
X
, bo
a
2f
(
a
2
− a) − 0 −
1
4f
a
2
= 0 .
Z tego twierdzenia wynika, ˙ze je´sli w ognisku zwierciad la parabolicznego umie´s-
cimy punktowe ´zr´
od lo ´swiat la, to promienie odbite od zwierciad la be
!
da
!
r´
ownoleg le
do osi symetrii paraboli. Z tego powodu np. anteny radioteleskop´
ow maja
!
kszta lt
6
Izometrie, elipsy, parabole, hiperbole
paraboloidy obrotowej, czyli powierzchni powsta lej przez obr´
ot paraboli wok´
o l jej osi
symetrii.
Twierdzenie 18.9 (o zwierciad lach eliptycznych)
Je´sli F
1
, F
2
sa
!
ogniskami elipsy E , X ∈ E , T
X
prosta
!
styczna
!
do elipsy E
w punkcie X , to ka
!
t mie
!
dzy prostymi F
1
X i T
X
r´
owny jest ka
!
towi mie
!
dzy prostymi
F
2
X i T
X
.
Dow´
od. Za l´
o˙zmy, ˙ze
r
t
∈ E . Poniewa˙z gradient ~n = grad
x
2
a
2
+
y
2
b
2
−1
x=r,y=s
=
=
−−−−−→
2r
a
2
,
2s
b
2
* jest wektorem prostopad lym do prostej stycznym do elipsy w punkcie
r
s
, wie
!
c wystarczy stwierdzi´c, ˙ze ka
!
ty mie
!
dzy tym wektorem i wektorami
−−−−−→
F
1
, X
oraz
−−−−−→
F
2
, X
sa
!
r´
owne. W tym celu podzielimy iloczyn skalarny gradientu i wektora
~v
1
=
−−−−−→
F
1
, X
=
−−−→
r+f
s
przez d lugo´s´c wektora ~v
1
; potem zrobimy to samo w przy-
padku wektora wektora ~v
2
=
−−−−−→
F
2
, X
=
−−−→
r−f
s
. Je´sli otrzymane wyniki oka˙za
!
sie
!
identyczne, to be
!
dziemy mogli stwierdzi´c r´
owno´s´c kosinus´
ow zajmuja
!
cych nas ka
!
t´
ow,
wie
!
c r´
ownie˙z r´
owno´s´c ka
!
t´
ow — ka
!
ty mie
!
dzy wektorami znajdujemy w przedziale
[0, π] . Po skorzystaniu z kanonicznego r´
ownania elipsy i twierdzenia o kierownicy
otrzymujemy
~n·
~
v
1
k~v
1
k
= 2
(r+f)·
r
a
2
+s·
s
b
2
·
1
√
(r+f )
2
+s
2
= 2
1+
rf
a
2
·
1
ε(r−δ)
= 2
1+
aεr
a
2
·
1
εr+a)
=
2
a
.
Otrzymany wynik nie zale˙zy od r ani od s . Rachuja
!
c w nieomal identyczny
spos´
ob stwierdzamy, ˙ze w przypadku drugiego ogniska, otrzymujemy te
!
sama
!
wiel-
ko´s´c, co dowodzi prawdziwo´sci tezy.
Z udowodnionego twierdzenia wynika, ˙ze je´sli umie´scimy w jednym ognisku
zwierdziad la eliptycznego punktowe ´zr´
od lo ´swiat la, to po odbiciu od zwierciad la
wszystkie promienie przejda
!
przez drugie ognisko. Ta w lasno´s´c zwierciad la eliptycz-
nego bywa wykorzystywana do niszczenia kom´
orek rakowych nale˙zy tak umie´sci´c
zwierciad lo, by ´swiat lo (lub inne fale) skupi lo sie
!
dok ladnie tam, gdzie znajduja
!
sie
!
kom´
orki, kt´
ore medyk zamierza zniszczy´c.
Odpowiednia
!
w lasno´s´c maja
!
te˙z zwierciad la hiperboliczne.
Twierdzenie 18.10 (o zwierciad lach hiperbolicznych)
Je´sli F
1
, F
2
sa
!
ogniskami hiperboli H , X ∈ H , T
X
prosta
!
styczna
!
do hiperboli H
w punkcie X , to ka
!
t mie
!
dzy prostymi F
1
X i T
X
r´
owny jest ka
!
towi mie
!
dzy prostymi
F
2
X i T
X
.
*
znale´
zli´
smy gradient i podstawili´
smy x=r oraz y=s
7
Izometrie, elipsy, parabole, hiperbole
Dow´
od. Za l´
o˙zmy, ˙ze
r
t
∈ H . Poniewa˙z gradient ~n = grad
x
2
a
2
−
y
2
b
2
−1
x=r,y=s
=
=
−−−−−−→
2r
a
2
, −
2s
b
2
* jest wektorem prostopad lym do prostej stycznym do elipsy w punkcie
r
s
, wie
!
c wystarczy stwierdzi´c, ˙ze ka
!
ty mie
!
dzy tym wektorem i wektorami
−−−−−→
F
1
, X
oraz
−−−−−→
F
2
, X
sa
!
r´
owne. W tym celu podzielimy iloczyn skalarny gradientu i wektora
~v
1
=
−−−−−→
F
1
, X
=
−−−→
r+f
s
przez d lugo´s´c wektora ~v
1
; potem zrobimy to samo w przy-
padku wektora wektora ~v
2
=
−−−−−→
F
2
, X
=
−−−→
r−f
s
. Je´sli otrzymane wyniki oka˙za
!
sie
!
identyczne, to be
!
dziemy mogli stwierdzi´c r´
owno´s´c kosinus´
ow zajmuja
!
cych nas ka
!
t´
ow,
wie
!
c r´
ownie˙z r´
owno´s´c ka
!
t´
ow — ka
!
ty mie
!
dzy wektorami znajdujemy w przedziale
[0, π] . Po skorzystaniu z kanonicznego r´
ownania elipsy i twierdzenia o kierownicy
otrzymujemy
~n·
~
v
1
k~v
1
k
= 2
(r+f)·
r
a
2
−s·
s
b
2
·
1
√
(r+f )
2
+s
2
= 2
1+
rf
a
2
·
1
ε(r−δ)
= 2
1+
aεr
a
2
·
1
εr+a)
=
2
a
.
Otrzymany wynik nie zale˙zy od r ani od s . Rachuja
!
c w nieomal identyczny
spos´
ob stwierdzamy, ˙ze w przypadku drugiego ogniska, otrzymujemy te
!
sama
!
wiel-
ko´s´c, co dowodzi prawdziwo´sci tezy.
Promienia ´swiat la wychodza
!
ce z ogniska F
1
wygla
!
daja
!
tak, jakby wychodzi ly z
ogniska F
2
nie odbijaja
!
c ani nie za lamuja
!
c sie
!
po drodze.
Umieszczali´smy do tej pory krzywe w wygodny dla naszych chwilowych cel´
ow
spos´
ob w uk ladzie wsp´
o lrze
!
dnych. Te krzywe pojawiaja
!
sie
!
w r´
o˙znych problemach
same i wtedy niekoniecznie od razu wiadomo, ˙ze to z nimi mamy do czynienia. Niech
x
y
= F
u
v
=
cos α − sin α
sin α
cos α
·
u
v
+
p
q
,
czyli x = u cos α − v sin α + p i y = u sin α + v cos α + q . Izometria be
!
da
!
ca z lo˙zeniem
obrotu o ka
!
t α i przesunie
!
cia o wektor
−→
p
q
. Przekszta lca punkt
u
v
na punkt
x
y
.
Pewien zbi´
or jest przekszta lcany na elipse
!
o r´
ownaniu
x
2
a
2
+
y
2
b
2
= 1 . Jasne jest, ˙ze
mo˙zemy napisa´c r´
ownanie tego zbioru, kt´
ory jest oczywi´scie elipsa
!
niekanonicznie
umieszczona
!
w uk ladzie wsp´
o lrze
!
dnych. To r´
ownanie ma posta´c
1 =
x
2
a
2
+
y
2
b
2
=
(u cos α − v sin α + p)
2
a
2
+
(u sin α + v cos α + q)
2
b
2
.
Podnosza
!
c sumy do kwadratu i porza
!
dkuja
!
c doprowadzi´c mo˙zemy to r´
ownanie do
postaci
Au
2
+ 2Buv + Cv
2
+ 2Du + 2Ev + F = 0 ,
(kwa)
*
znale´
zli´
smy gradient i podstawili´
smy x=r oraz y=s
8
Izometrie, elipsy, parabole, hiperbole
gdzie A, B, C, D, E, F sa
!
pewnymi sta lymi, kt´
ore znajdujemy w trakcie przekszta l-
cania wzoru, np. A =
cos
2
α
a
2
+
sin
2
α
b
2
, B = −
sin α cos α
a
2
+
sin α cos α
b
2
.
Jest dosy´c oczywiste, ˙ze przekszta lcaja
!
c w ten spos´
ob r´
ownanie kanoniczna hi-
perboli albo paraboli te˙z otrzymamy r´
ownanie postaci (kwa). Wsp´
o lczynniki be
!
da
!
oczywi´scie nieco inne, to z oczywistych przyczyn jest zale˙zne od rozpatrywanego
przypadku.
Powstaje pytanie: czy mo˙zna rozpozna´c krzywa
!
opisana
!
r´
ownaniem (kwa) bez
pr´
oby znalezienia ka
!
ta α i wektora przesunie
!
cia i czy r´
ownanie kwadratowe dwu
zmiennych, tj. r´
ownanie postaci (kwa) mo˙ze opisywa´c zbiory r´
o˙zne od wymienionych?
Spr´
obujemy odpowiedzie´c na to pytanie. Zak lada´c be
!
dziemy, ˙ze r´
ownanie jest
kwadratowe, co oznacza, ˙ze co najmniej jedna z liczb A, B, C jest r´
o˙zna od 0 .
Jasne jest, ˙ze poza wymienionymi trzema typami krzywych moga
!
pojawi´c sie
!
inne. Mo˙ze pojawi´c sie
!
okra
!
g o promieniu 1 i ´srodku
2
−5
0 = (x − 2)
2
+ (y + 5)
2
− 1 = x
2
+ y
2
− 4x + 4 + 10y + 24 = 0
lub jakikolwiek inny.
Mo˙ze pojawi´c sie
!
jeden punkt x
2
+ y
2
= 0 , zbi´
or pusty x
2
+ y
2
+ 13 = 0 albo
dwie proste:
0 = (x + y − 1)(2x − 3y − 6) = 2x
2
− xy − 3y
2
− 8x − 3y + 6 .
Te proste moga
!
mie´c punkt wsp´
olny, jak w podanym przyk ladzie, moga
!
te˙z by´c
r´
ownoleg le 0 = (x − y)(x − y + 1) = x
2
− 2xy + y
2
+ x − y , a moga
!
sie
!
te˙z pokry´c
0 = (x + 2y)
2
= x
2
+ 4xy + 4y
2
. Wida´c, ˙ze sa
!
r´
o˙zne mo˙zliwo´sci.
Aby u latwi´c sobie ˙zycie przepiszemy r´
ownanie (kwa) w postaci macierzowej
0 =( x
y
1 )·
A
B
D
B
C
E
D
E
F
·
x
y
1
=( x y
1 )·
Ax + By + D
Bx + Cy + E
Dx + Ey + F
=
= x(Ax + By + D) + y(Bx + Cy + E) + Dx + Ey + F =
= Ax
2
+ 2Bxy + Cy
2
+ 2Dx + 2Ey + F
(kwam) .
W dalszym cia
!
gu
M
3
=
A
B
D
B
C
E
D
E
F
i
M
2
=
A B
B
C
.
Zaczniemy od wyja´snienia, jak wygla
!
da r´
ownanie zbioru, kt´
ory przekszta lcany jest
przez izometrie
!
F na zbi´
or zdefiniowany r´
ownaniem (kwam). Niech
x
y
= F
u
v
i niech x = u cos α − v sin α + p i y = u sin α + v cos α + q .
9
Izometrie, elipsy, parabole, hiperbole
Zauwa˙zmy, ˙ze
u cos α − v sin α + p
u sin α + v cos α + q
1
=
cos α
− sin α p
sin α
cos α
q
0
0
1
u
v
1
. Zdefiniu-
jemy jeszcze jedna
!
macierz: R =
cos α − sin α p
sin α
cos α
q
0
0
1
. Mo˙zemy teraz napisa´c*
0 =( x
y
1 )·
A
B
D
B
C
E
D
E
F
·
x
y
1
=
x
y
1
T
·
A
B
D
B
C
E
D
E
F
·
x
y
1
=
=
cos α
− sin α p
sin α
cos α
q
0
0
1
u
v
1
T
·
A
B
D
B
C
E
D
E
F
·
cos α
− sin α p
sin α
cos α
q
0
0
1
u
v
1
=
=( u v
1 ) ·
cos α
sin α
0
− sin α cos α 0
p
q
1
·
A
B
D
B
C
E
D
E
F
·
cos α
− sin α p
sin α
cos α
q
0
0
1
u
v
1
.
Oznacza to, ˙ze w r´
ownaniu ze zmiennymi u, v zamiast macierzy M
3
wyste
!
puje
macierz
˜
M
3
= R
T
M
3
R . Mamy det( ˜
M
3
) = det(R
T
) det(M
3
) det(R) = det(M
3
) .
Zauwa˙zmy jeszcze, ˙ze dzie
!
ki obecno´sci zer w macierzy R we w la´sciwych miejscach
zachodzi r´
owno´s´c
˜
M
2
=
cos α
sin α
− sin α cos α
· M
2
·
cos α − sin α
sin α
cos α
.
Niech R
α
=
cos α − sin α
sin α
cos α
. Korzystaja
!
c z tego, ˙ze
R
−α
· R
α
=
cos α
sin α
− sin α cos α
·
cos α − sin α
sin α
cos α
=
1 0
0 1
= I ,
mo˙zemy stwierdzi´c, ˙ze
det( ˜
M
2
− λI) = det(R
−α
· M
2
· R
α
− λR
−α
· R
α
) = det R
−α
· (M
2
− λI) · R
α
=
= det(R
−α
) · det(M
2
− λI) · det(R
α
) = det(M
2
− λI) .
Okaza lo sie
!
, ˙ze macierze M
2
i ˜
M
2
maja
!
ten sam wielomian charakterystyczny, wie
!
c
r´
ownie˙z te same warto´sci w lasne. Oczywi´scie
det(M
2
− λI) =
A − λ
B
B
C − λ
= λ
2
− (A + C)λ + AC − B
2
.
Widzimy wie
!
c, ˙ze przy przej´sciu od zmiennych u, v do zmiennych x, y zachowuja
!
sie
!
A + C , det(M
2
) = AC − B
2
i det(M
3
) = ACF + 2BDE − CD
2
− AE
2
− F B
2
.
Podkre´sli´c wypada, ˙ze wsp´
o lczynniki A, B, C, D, E, F moga
!
sie
!
zmienia´c i na og´
o l
zmieniaja
!
sie
!
. Podobnie wektory w lasne macierzy M
2
na og´
ol zmieniaja
!
sie
!
, chocia˙z
warto´sci w lasne nie ulegaja
!
zmianie.
*
Przypominamy, ˙ze je´
sli Q jest macierza
!
, to Q
T
oznacza macierz transponowana
!
— kolejne wiersze
macierzy Q sa
!
kolejnymi kolumnami macierzy Q
T
. Zachodzi oczywisty wz´
or (Q
1
Q
2
)
T
=Q
T
2
Q
T
1
.
10
Izometrie, elipsy, parabole, hiperbole
Zapiszemy uzyskane wyniki jako twierdzenie.
Twierdzenie 18.11 (o niezmiennikach izometrii)
Je´sli w r´
ownaniu
Ax
2
+ 2Bxy + Cy
2
+ 2Dx + 2Ey + F = 0
podstawimy x = u cos α−v sin α+p i y = u sin α+v cos α+q , to trzymamy r´ownanie
˜
Au
2
+ 2 ˜
Buv + ˜
Cv
2
+ 2 ˜
Du + 2 ˜
Ev + ˜
F = 0 .
Spe lnione sa
!
wtedy r´
owno´sci
A + C = ˜
A + ˜
C ,
A
B
B
C
=
˜
A
˜
B
˜
B
˜
C
,
A
B
D
B
C
E
D
E
F
=
˜
A
˜
B
˜
D
˜
B
˜
C
˜
E
˜
D
˜
E
˜
F
.
Macierz M
2
jest symetryczna, wie
!
c jej warto´sci w lasne sa
!
rzeczywiste, co zreszta
!
mo˙zna wywnioskowa´c z tego, ˙ze ∆ = (A + C)
2
− 4(AC − B
2
) = (A − C)
2
+ 4B
2
≥ 0 .
Przy okazji mo˙zemy zauwa˙zy´c, ˙ze ∆ = 0 wtedy i tylko wtedy, gdy A = C i B = 0 .
Wtedy r´
ownanie (kwa) przyjmuje posta´c
0 = Ax
2
+ Ay
2
+ 2Dx + 2Ey + F = A
(x +
D
A
)
2
+ (y +
E
A
)
2
+
F
A
−
D
2
A
2
−
E
2
A
2
] =
= A
(x +
D
A
)
2
+ (y +
E
A
)
2
+
AF −D
2
−E
2
A
2
.
Je´sli 0 < AF − D
2
− E
2
=
1
A
det(M
3
) , to jest to r´
ownanie zbioru pustego. Je´sli
0 = AF −D
2
−E
2
=
1
A
det(M
3
) , to r´
ownanie jest spe lnione jedynie przez wsp´
o lrze
!
dne
punktu
−D/A
−E/A
. Je´sli natomiast 0 > AF −D
2
−E
2
=
1
A
det(M
3
) , to r´
ownanie opisuje
okra
!
g o ´srodku
−D/A
−E/A
i promieniu
√
−AF + D
2
+ E
2
.
W dalszym cia
!
gu zak lada´c be
!
dziemy, ˙ze
∆ = (A + C)
2
− 4(AC − B
2
) = (A − C)
2
+ 4B
2
> 0 ,
wie
!
c A 6= C lub B 6= 0 . Warto´sci w lasne macierzy M
2
sa
!
w tej sytuacji r´
o˙zne. Niech
λ
1
, λ
2
be
!
da
!
tymi warto´sciami w lasnymi.
Wektory odpowiadaja
!
ce warto´sciom w lasnym macierzy symetrycznej sa
!
prosto-
pad le (niezale˙znie od jej wymiaru). W naszym przypadku mo˙zemy napisa´c r´
ownania
prostych w lasnych: Ax + By = λ
1
x i Ax + By = λ
2
x , czyli (A − λ
1
)x + By = 0 i
(A − λ
2
)x + By = 0 . Proste te sa
!
prostopad le, bo iloczyn skalarny gradient´
ow funkcji
(A − λ
1
)x + By i (A − λ
2
)x + By jest r´
owny
(A − λ
1
)(A − λ
2
) + B
2
= A
2
+ B
2
− A(λ
1
+ λ
2
) + λ
1
· λ
2
wzory
======
Vi´
ete’a
= A
2
+ B
2
− A(A + C) + AC − B
2
= 0 .
Niech ~v
1
, ~v
2
be
!
da
!
wektorami w lasnymi o d lugo´sci 1 odpowiadaja
!
cymi war-
to´sciom w lasnym λ
1
, λ
2
. Istnieje taka liczba α , ˙ze ~v
1
=
−−−−−−−−→
(cos α, sin α) . Wtedy
~v
2
=
−−−−−−−−−−→
(− sin α, cos α) lub ~v
2
=
−−−−−−−−−−→
(sin α, − cos α) . Mo˙zna przyja
!
´c, ˙ze zachodzi pierwszy
11
Izometrie, elipsy, parabole, hiperbole
z wymienionych wzor´
ow, bo wektor przeciwny do wektora w lasnego jest te˙z wekto-
rem w lasnym odpowiadaja
!
cym tej samej warto´sci w lasnej. Niech ~e
1
=
1
0
, ~e
2
=
0
1
.
Mamy wtedy R
−α
M
2
R
α
~e
1
= R
−α
M
2
~v
1
= R
−α
λ
1
~v
1
= λ
1
R
−α
~v
1
= λ
1
~e
1
=
λ
1
0
—
znale´zli´smy pierwsza
!
kolumne
!
macierzy R
−α
M
2
R
α
. W taki sam spos´
ob znajdujemy
druga
!
: R
−α
M
2
R
α
~e
2
= R
−α
M
2
~v
2
= R
−α
λ
2
~v
2
= λ
2
R
−α
~v
2
= λ
2
~e
2
=
0
λ
2
. Mamy
wie
!
c R
−α
M
2
R
α
=
λ
1
0
0
λ
2
, wie
!
c r´
ownanie Ax
2
+2Bxy +Cy
2
+2Dx+2Ey +F = 0
we wsp´
o lrze
!
dnych u, v ma posta´c
λ
1
u
2
+ λ
2
v
2
+ 2 ˜
Du + 2 ˜
Ev + ˜
F = 0 ,
(kwa2)
gdzie przez ˜
D, ˜
E, ˜
F oznaczyli´smy sta le, kt´
ore pojawia
!
sie
!
w r´
ownaniu po prze-
kszta lceniach (podstawieniu lub znalezieniu macierzy ˜
M
3
zgodnie z otrzymanymi
wcze´sniej wzorami).
Oczywi´scie mo˙ze zdarzy´c sie
!
, ˙ze 0 = λ
1
λ
2
= AC − B
2
, czyli ˙ze jedna z warto´sci
w lasnych macierzy M
2
jest zerem (dwie nie moga
!
by´c zerami, bo za lo˙zyli´smy, ˙ze
sa
!
r´
o˙zne). Mo˙zemy przyja
!
´c, ˙ze λ
2
= 0 . Je´sli r´
ownie˙z ˜
E = 0 , to w r´
ownaniu nie
wyste
!
puje zmienna v . R´
ownanie kwadratowe λ
1
u
2
+2 ˜
Du+ ˜
F = 0 z jedna
!
niewiadoma
!
(i) mo˙ze nie mie´c rozwia
!
za´
n (gdy ˜
D
2
− λ
1
˜
F < 0 ),
(ii) mo˙ze mie´c jedno rozwia
!
zanie rzeczywiste (gdy ˜
D
2
− λ
1
˜
F = 0 ) lub
(iii) dwa rozwia
!
zania rzeczywiste (gdy ˜
D
2
− λ
1
˜
F > 0 ).
Wtedy zbi´
or opisany r´
ownaniem (kwa2)
(i) jest pusty,
(ii) jest prosta
!
r´
ownoleg la
!
do wektora ~v
2
(tzn do osi OV ),
(iii) sk lada sie
!
z dwu prostych r´
ownoleg lych do wektora ~v
2
.
Teraz nale˙zy przedyskutowa´c przypadek ˜
E 6= 0 = λ
2
. Jasne jest, ˙ze mamy
teraz do czynienia z parabola
!
. Wypada jedynie zwr´
oci´c uwage
!
na to, ˙ze o´s symetrii
paraboli jest r´
ownoleg la do jednego z kierunk´
ow w lasnych macierzy M
2
tego, kt´
ory
odpowiada warto´sci w lasnej r´
ownej 0 .
Mo˙zemy w dalszym cia
!
gu zak lada´c, ˙ze 0 6= λ
1
λ
2
= AC − B
2
. Poniewa˙z po-
mno˙zenie r´
ownania przez liczbe
!
r´
o˙zna
!
od 0 nie zmienia zbioru opisanego przez to
r´
ownanie, wie
!
c bez straty og´
olno´sci rozwa˙za´
n mo˙zna przyja
!
´c, ˙ze λ
1
> 0 . Je´sli r´
ownie˙z
λ
2
> 0 (tzn. 0 < λ
1
λ
2
= AC − B
2
), to r´
ownanie (kwa2) mo˙zna przepisa´c w postaci
0 = λ
1
u +
˜
D
λ
1
2
+ λ
2
v +
˜
E
λ
2
2
+ ˜
F −
˜
D
2
λ
1
−
˜
E
2
λ
2
=
= λ
1
u +
˜
D
λ
1
2
+ λ
2
v +
˜
E
λ
2
2
+
λ
1
λ
2
˜
F −λ
2
˜
D−λ
1
˜
E
λ
1
λ
2
.
(i) Nie ma ono rozwia
!
za´
n, gdy 0 < λ
1
λ
2
˜
F − λ
2
˜
D − λ
1
˜
E = det(M
3
) ;
12
Izometrie, elipsy, parabole, hiperbole
(ii) ma jedno rozwia
!
zanie, gdy 0 = λ
1
λ
2
˜
F − λ
2
˜
D − λ
1
˜
E = det(M
3
) ,
(iii) przedstawia elipse
!
o ´srodku symetrii −
˜
D/λ
2
˜
E/λ
2
i osiach symetrii r´ownoleg lych
do wektor´
ow w lasnych macierzy M
2
, gdy zachodzi nier´
owno´s´c
0 > λ
1
λ
2
˜
F − λ
2
˜
D − λ
1
˜
E = det(M
3
) .
Teraz dla odmiany przyjmiemy, ˙ze λ
2
< 0 < λ
1
, czyli 0 > λ
1
λ
2
= AC − B
2
.
Podobnie jak w przypadku poprzednim mo˙zemy przepisa´c r´
ownanie w postaci 0 =
λ
1
u +
˜
D
λ
1
2
+ λ
2
v +
˜
E
λ
2
2
+ ˜
F −
˜
D
2
λ
1
−
˜
E
2
λ
2
=
= λ
1
u +
˜
D
λ
1
2
− |λ
2
| v +
˜
E
λ
2
2
+
λ
1
λ
2
˜
F −λ
2
˜
D−λ
1
˜
E
λ
1
λ
2
.
(i) Przedstawia ono dwie przecinaja
!
ce sie
!
proste, gdy 0 = λ
1
λ
2
˜
F −λ
2
˜
D −λ
1
˜
E ;
(ii) hiperbole
!
o osiach symetrii r´
ownoleg lych do wektor´
ow w lasnych macierzy
M
2
, gdy 0 6= λ
1
λ
2
˜
F − λ
2
˜
D − λ
1
˜
E .
Wyja´snili´smy, co mo˙ze opisywa´c r´
ownanie kwadratowe z dwiema niewiadomymi,
czyli jak moga
!
wygla
!
da´c poziomice wielomianu drugiego stopnia.
W wielu sytuacjach warto u˙zywa´c wsp´
o lrze
!
dnych biegunowych zamiast karte-
zja´
nskich. Podamy opis elipsy, paraboli i hiperboli we wsp´
o lrze
!
dnych biegunowych.
Krzywa
!
umie´scimy tak, by ognisko F znalaz lo sie
!
w pocza
!
tku uk ladu wsp´
o lrze
!
dnych.
Przez ognisko poprowadzimy prosta
!
prostopad la
!
do osi symetrii krzywej. Przetnie ona
krzywa
!
w pewnym punkcie P . Niech p oznacza odleg lo´s´c punktu P od ogniska F ,
a ε — mimo´sr´
od krzywej.
Niech X oznacza dowolny punkt krzywej, r odleg lo´s´c punktu X od punktu F ,
ϕ ka
!
t mie
!
dzy odcinkiem F X i osia
!
symetrii krzywej zawieraja
!
ca
!
ognisko F . Ten ka
!
t
jest tak mierzony, ˙ze gdy X = P , to ϕ =
π
2
; gdy X jest „wierzcho lkiem” krzywej
le˙za
!
cym mie
!
dzy F i d , to ϕ = π . Z definicji mimo´srodu wynika, ˙ze odleg lo´s´c punktu
P od kierownicy d zwia
!
zanej z ogniskiem F jest r´
owna
p
ε
. Wobec tego odleg lo´s´c
punktu X od kierownicy d r´
owna jest
p
ε
+r cos ϕ . Wynika sta
!
d, ˙ze zachodzi r´
owno´s´c
r
p
ε
+ r cos ϕ
= ε .
Jasne jest r´
ownie˙z, ˙ze je´sli ta r´
owno´s´c jest spe lniona dla pewnego punktu X , to ten
punkt le˙zy na naszej krzywej. Zwyczajowo otrzymane r´
ownanie krzywej zapisywane
jest w postaci
r =
p
1 − ε cos ϕ
.
Elipsa, parabola i hiperbola zwane sa
!
cze
!
sto sto˙zkowymi, bo mo˙zna je otrzyma´c
przecinaja
!
c niesko´
nczony sto˙zek p laszczyzna
!
. Niesko´
nczony sto˙zek otrzymujemy w
13
Izometrie, elipsy, parabole, hiperbole
wyniku obrotu pary prostych wok´
o l dwusiecznej jednego z ka
!
t´
ow przez nie utwo-
rzonych. Wygla
!
da to jak dwa sto˙zki pozbawione podstaw i z la
!
czone wierzcho lkami.
Tna
!
c taki sto˙zek p laszczyzna
!
, kt´
ora nie przechodzi przez wierzcho lek sto˙zka i przecina
wszystkie jego tworza
!
ce otrzymujemy elipse
!
, je´sli nie przechodzi przez wierzcho lek i
jest r´
ownoleg la do dok ladnie dwu tworza
!
cych w przekroju otrzymujemy hiperbole
!
,
a je´sli jest r´
ownoleg la do dok ladnie jednej tworza
!
cej — parabole
!
. Dobre, czytelne
rysunki i dowody geometryczne tych stwierdze´
n znajduja
!
sie
!
np. w ksia
!
˙zce „Geome-
tria pogla
!
dowa
” Dawida Hilberta i Stefana Cohn–Vossena, Warszawa, PWN 1956
(t lumaczenie z niemieckiego). Znale´z´c te˙z mo˙zna om´
owione tu twierdzenia w wielu
ksia
!
˙zkach zatytu lowanych „Geometria analityczna”.
Zadania
18. 01 Co przedstawia r´
ownanie 4x
2
− 9y
2
= 0 ? Je´sli elipse
!
, parabole
!
lub hiperbole
!
,
znale´z´c o´s symetrii i ognisko.
18. 02 Co przedstawia r´
ownanie 4x
2
− 9y
2
= 1 ? Je´sli elipse
!
, parabole
!
lub hiperbole
!
,
znale´z´c o´s symetrii i ognisko.
18. 03 Co przedstawia r´
ownanie 4x
2
− 9y
2
= −1 ? Je´sli elipse
!
, parabole
!
lub hiperbole
!
,
znale´z´c o´s symetrii i ognisko.
18. 04 Co przedstawia r´
ownanie x
2
− 4xy + 4y
2
= −1 ? Je´sli elipse
!
, parabole
!
lub hiper-
bole
!
, znale´z´c o´s symetrii i ognisko.
18. 05 Co przedstawia r´
ownanie x
2
−4xy+4y
2
= 0 ? Je´sli elipse
!
, parabole
!
lub hiperbole
!
,
znale´z´c o´s symetrii i ognisko.
18. 06 Co przedstawia r´
ownanie x
2
−4xy+4y
2
= 1 ? Je´sli elipse
!
, parabole
!
lub hiperbole
!
,
znale´z´c o´s symetrii i ognisko.
18. 07 Co przedstawia r´
ownanie x
2
−4xy+5y
2
= 1 ? Je´sli elipse
!
, parabole
!
lub hiperbole
!
,
znale´z´c o´s symetrii i ognisko.
18. 08 Co przedstawia r´
ownanie x
2
−4xy+5y
2
= 0 ? Je´sli elipse
!
, parabole
!
lub hiperbole
!
,
znale´z´c o´s symetrii i ognisko.
18. 09 Co przedstawia r´
ownanie x
2
− 4xy + 5y
2
= −1 ? Je´sli elipse
!
, parabole
!
lub hiper-
bole
!
, znale´z´c o´s symetrii i ognisko.
18. 10 Co przedstawia r´
ownanie 2xy + x + 5 = 0 ? Je´sli elipse
!
, parabole
!
lub hiperbole
!
,
znale´z´c o´s symetrii i ognisko.
18. 11 Co przedstawia r´
ownanie 2x
2
− 4xy + 2y
2
+ 8x − 8y − 17 = 0 ? Je´sli elipse
!
,
parabole
!
lub hiperbole
!
, znale´z´c o´s symetrii i ognisko.
18. 12 Wykaza´c, ˙ze je´sli przetniemy elipse
!
lub parabole
!
lub hiperbole
!
tymi wszystkimi
prostymi, kt´
ore kt´
ore sa
!
r´
ownoleg le do wybranej prostej i przecinaja
!
krzywa
!
14
Izometrie, elipsy, parabole, hiperbole
w dw´
och r´
o˙znych punktach, to ´srodki wszystkich tak otrzymanych odcink´
ow
znajda
!
sie
!
na jednej prostej.
18. 13 Wykaza´c, ˙ze asymptotami hiperboli o r´
ownaniu
x
2
a
2
−
y
2
b
2
= 1 , sa
!
proste o
r´
ownanie
x
2
a
2
−
y
2
b
2
= 0 .
18. 14 Niech a > b > 0 . Wykaza´c, ˙ze zbi´
or z lo˙zony z takich punkt´
ow (x, y) , dla kt´
orych
x
2
a
2
+
y
2
b
2
< 1 jest otwarty i wypuk ly.
18. 15 Niech a, b > 0 . Wykaza´c, ˙ze zbi´
or z lo˙zony z takich punkt´
ow (x, y) , dla kt´
orych
x
2
a
2
−
y
2
b
2
< 1 i x > a jest otwarty i wypuk ly.
15