1

CAŁKI KRZYWOLINIOWE

Niech K - krzywa w R

3

,











=

=

=

)

(

)

(

)

(

:

t

z

z

t

y

y

t

x

x

K

, gdzie

]

,

[

β

α

∈

t

oraz

[ ]

(

)

β

α

,

,

,

C

z

y

x

∈

.

Zatem dowolny punkt (x,y,z) krzywej K można przedstawić w postaci

(

)

∧

∧

∧

+

+

=

k

t

z

j

t

y

i

t

x

t

y

x

)

(

)

(

)

(

,

,

i krzywa K zadana jest przez wektor parametryzacji

→

r

K:

∧

∧

∧

→

+

+

=

k

t

z

j

t

y

i

t

x

t

r

)

(

)

(

)

(

)

(

.

Definicja

Jeśli krzywa nie ma punktów wielokrotnych, tzn. gdy spełniony jest warunek

2

1

2

1

)

(

)

(

t

t

t

r

t

r

=

⇒

=

, to nazywamy ją

łukiem zwykłym. Łuk zwykły jest łukiem

skierowanym, gdy określony jest zwrot tego łuku, tzn. uporządkowanie punktów łuku
odpowiadające wzrostowi parametru.

Zmiana parametru na przeciwny daje łuk

przeciwnie skierowany –K:

Podstawiamy

t

u

−

=

:











−

=

−

=

−

=

−

)

(

)

(

)

(

:

u

z

z

u

y

y

u

x

x

K

, gdzie

]

,

[

α

β

−

−

∈

u

Definicja

Jeśli jedynym punktem wielokrotnym krzywej jest punkt początkowy i końcowy, tzn. jeśli w
łuku zwykłym dopuścimy

)

(

)

(

β

α

r

r

=

, to krzywą nazywamy

krzywą zamkniętą zwykłą.

K

r

(

α

)

r

( )

β

2

Definicja

Krzywa zwykła zamknięta, zawarta w

R

2

dzieli płaszczyznę na dwa obszary:

wnętrze, tzn.

obszar ograniczony krzywą i

zewnętrze (obszar na zewnątrz krzywej).

Jeśli w czasie obiegu po krzywej zamkniętej wnętrze znajduje się po stronie lewej, to krzywą
nazywamy

zorientowaną dodatnio i oznaczamy

+

K .

Jeśli w czasie obiegu po krzywej zamkniętej wnętrze znajduje się po stronie prawej, to
krzywą nazywamy

zorientowaną ujemnie i oznaczamy

−

K .

Definicja

K – jest

krzywą gładką

⇔

1

ο

]

,

([

,

,

1

β

α

C

z

y

x

∈

)

2

ο

K nie ma punktów wielokrotnych

3

ο

K nie ma punktów osobliwych, tzn.

0

)

(

)

(

)

(

2

'

2

'

2

'

>

+

+

t

z

t

y

t

x

,

]

,

[

β

α

∈

∀

t

Każda krzywa, którą można podzielić na skończoną liczbę krzywych gładkich jest nazywana
krzywą odcinkami gładką lub krzywą regularną.

Uwaga

Krzywa regularna jest prostowalna.