Przebieg zmienności funkcji
mgr Zofia Makara
20 maja 2004
1
Przebieg zmienności funkcji - krótkie wprowa-
dzenie
Aby zbadać przebieg zmienności funkcji wyznacza się się między innymi (jeli
to wykonalne):
1. Dziedzinę fukcji;
2. Miejsca zerowe funkcji;
3. Granice lewo- i prawo- stronne w punktach wyłączonych z dziedziny
oraz w +∞ oraz −∞;
4. Asymptoty funkcji;
5. Dziedzinę pierwszej pochodnej;
6. Ekstremum;
7. Przedziały monotoniczności;
8. Dziedzinę drugiej pochodnej;
9. Punkty przegięcia;
10. Przedziały wypukłości i wklęsłości;
Wszystkie wyznaczone dane można wpisać w jedną tabelę (zaznaczajęc, w
niej odpowiednio: dziedzinę (funkcji, pierwszej pochodnej funkcji, drugiej po-
chodnej funkcji), przedziały monotonicności (z wyróżnieniem ekstremum),
przedziały wypukłości i wklęslości (z wyróżnieniem punktów przegięcia)).
Na podstawie tak zebranych danych można naszkicować wykres funkcji.
1
1.1
Asymptoty
Asymtota pozioma funkcji f (x) jest postaci y = b, gdzie:
b = lim
x→∞
f (x)
lub
b = lim
x→−∞
f (x)
Asymptota ukośna funkcji f (x) jest postaci y = ax + b, gdzie:
a = lim
x→∞
f (x)
x
b = lim
x→∞
(f (x) − ax)
lub
a = lim
x→−∞
f (x)
x
b = lim
x→−∞
(f (x) − ax)
Asymptota pionowa lewostonna funkcji f (x) jest postaci x = a, gdzie a jest
punktem wyłączonym z dziedziny, jeśli:
lim
x→a
−
f (x) = −∞
lub
lim
x→a
−
f (x) = ∞
Asymptota pionowa prawostonna funkcji f (x) jest postaci x = a, gdzie a
jest punktem wyłączonym z dziedziny, jeśli:
lim
x→a
+
f (x) = −∞
lub
lim
x→a
+
f (x) = ∞
Asymptota pionowa obustonna funkcji f (x) jest postaci x = a, gdzie a jest
punktem wyłączonym z dziedziny, jeśli:
lim
x→a
f (x) = −∞
lub
lim
x→a
f (x) = ∞
1.2
Ekstremum - minimum i makasimum lokalne
Funkcja f ma w punkcie x
0
∈ D
f
minimum lokalne, jeżeli:
∃
δ>0
∀
x∈S(x
0
,δ)
f (x) f (x
0
),
Funkcja f ma w punkcie x
0
∈ D
f
minimum lokalne właściwe, jeżeli:
∃
δ>0
∀
x∈S(x
0
,δ)
f (x) > f (x
0
),
Funkcja f ma w punkcie x
0
∈ D
f
maksimum lokalne, jeżeli:
∃
δ>0
∀
x∈S(x
0
,δ)
f (x) ¬ f (x
0
),
Funkcja f ma w punkcie x
0
∈ D
f
maksimum lokalne właściwe, jeżeli:
∃
δ>0
∀
x∈S(x
0
,δ)
f (x) < f (x
0
),
gdzie S(x
0
, δ) = (x
0
− δ, x
0
) ∪ (x
0
, x
0
+ δ) jest sąsiedztwem punktu x
0
w
promieniu δ.
2
Twierdzenie 1 (Fermata - warunek konieczny istnienia ekstremum)
Jeśli funkcja f posiada pochodną w punkcie f
0
(x
0
), x
0
∈ (a, b) oraz posiada
ekstremum lokalne w (x
0
, f (x
0
)) to:
f
0
(x
0
) = 0;
Twierdzenie 2 (I warunek dodtateczny istnienia ekstremum) Jeżeli
Jeśli funkcja f posiada pochodną w punkcie f
0
(x
0
) = 0, x
0
∈ (a, b), zaś dla
∀
a<x<x
0
f
0
(x) < 0;
oraz
∀
x
0
<x<b
f
0
(x) > 0;
to ma w punkcie (x
0
, f (x
0
) minimum lokalne.
Twierdzenie 3 (I warunek dodtateczny istnienia ekstremum) Jeżeli
Jeśli funkcja f posiada pochodną w punkcie f
0
(x
0
) = 0, x
0
∈ (a, b), zaś dla
∀
a<x<x
0
f
0
(x) > 0;
oraz
∀
x
0
<x<b
f
0
(x) < 0;
to ma w punkcie (x
0
, f (x
0
) maksimum lokalne.
Twierdzenie 4 (II warunek dodtateczny istnienia ekstremum) Jeżeli
funkcja f posiada pierwszą i drugą pochodną w punkcie x
0
∈ (a, b) oraz
f
0
(x
0
) = 0, zaś
f
00
(x
0
) < 0;
to funkcja f ma w punkcie (x
0
, f (x
0
) maksimum lokalne.
Twierdzenie 5 (II warunek dodtateczny istnienia ekstremum) Jeżeli
funkcja f posiada pierwszą i drugą pochodną w punkcie x
0
∈ (a, b) oraz
f
0
(x
0
) = 0, zaś
f
00
(x
0
) > 0;
to funkcja f ma w punkcie (x
0
, f (x
0
) minimum lokalne.
Definicja 1 (Maksimum globalne) Jeśli x
0
∈ D
f
, y
0
= f (x
0
) oraz
∀
x∈D
f
f (x) y
0
to funkcja f ma w punkcie (x
0
, f (x
0
) maksimum globalne.
Definicja 2 (Minimum globalne) Jeśli x
0
∈ D
f
, y
0
= f (x
0
) oraz
∀
x∈D
f
f (x) ¬ y
0
to funkcja f ma w punkcie (x
0
, f (x
0
) minimum globalne.
3
1.3
Przedziały monotoniczności
Funkcje nazywamy monotonicznymi jeśli są rosnące, malejące (ściśle mono-
toniczne) lub niemalejące i nierosnące (słabo monotoniczne).
Funkcja f jest rosnąca na zbiorze D ⊂ D
f
, jeżeli:
∀
x
1
,x
2
∈D
[(x
1
< x
2
) ⇒ (f (x
1
) < f (x
2
))]
lub
∀
x
1
,x
2
∈D
[(x
1
> x
2
) ⇒ (f (x
1
) > f (x
2
))]
Funkcja f jest malejąca na zbiorze D ⊂ D
f
, jeżeli:
∀
x
1
,x
2
∈D
[(x
1
> x
2
) ⇒ (f (x
1
) < f (x
2
))]
lub
∀
x
1
,x
2
∈D
[(x
1
> x
2
) ⇒ (f (x
1
) < f (x
2
))].
Funkcja f jest niemalejąca na zbiorze D ⊂ D
f
, jeżeli:
∀
x
1
,x
2
∈D
[(x
1
< x
2
) ⇒ (f (x
1
) ¬ f (x
2
))]
lub
∀
x
1
,x
2
∈D
[(x
1
> x
2
) ⇒ (f (x
1
) f (x
2
))]
Funkcja f jest nierosnąca na zbiorze D ⊂ D
f
, jeżeli:
∀
x
1
,x
2
∈D
[(x
1
< x
2
) ⇒ (f (x
1
) f (x
2
))]
lub
∀
x
1
,x
2
∈D
[(x
1
> x
2
) ⇒ (f (x
1
) ¬ f (x
2
))]
Twierdzenie 6 Jeżeli pierwsza pochodna funkcji w przedziale (a, b) przyj-
muje wartości dodatnie, to jest:
∀
x∈(a,b)
f
0
(x) > 0
to funkcja jest rosnąca w tym przedziale.
Twierdzenie 7 Jeżeli pierwsza pochodna funkcji w przedziale (a, b) przyj-
muje wartości ujemne, to jest:
∀
x∈(a,b)
f
0
(x) < 0
to funkcja jest malejąca w tym przedziale.
Twierdzenie 8 Jeżeli pierwsza pochodna funkcji w przedziale (a, b) przyj-
muje wartości równe zero, to jest:
∀
x∈(a,b)
f
0
(x) = 0
to funkcja jest stała w tym przedziale.
4
1.4
Punkty przegięcia
Niech funkcja f będzie określona i różniczkowalna na (a, b).
Funkcja f ma w punkcie x
0
∈ D
f
punkt przegięcia, jeżeli:
-
f jest ściśle wypukła na S(x
0
, δ) oraz ściśle wklęsła na S(δ, x
0
);
lub
-
f jest ściśle wklęsła na S(x
0
, δ) oraz ściśle wypukła na S(δ, x
0
);
gdzie istnieje δ > 0.
Twierdzenie 9 (warunek konieczny istnienia punktu przegięcia) Jeśli
funkcja f posiada drugą pochodną w punkcie f
00
(x
0
), x
0
∈ (a, b) oraz posiada
punkt przegięcia (x
0
, f (x
0
)) to:
f
00
(x
0
) = 0;
Twierdzenie 10 (warunek dodtateczny istnienia punktu przegięcia)
Jeżeli Jeśli funkcja f posiada pochodną w punkcie f
00
(x
0
) = 0, x
0
∈ (a, b),
zaś dla
∀
a<x<x
0
f
00
(x) < 0;
oraz
∀
x
0
<x<b
f
00
(x) > 0;
to ma w punkcie (x
0
, f (x
0
) punkt przegięcia.
Twierdzenie 11 (warunek dodtateczny istnienia ekstremum) Jeżeli
Jeśli funkcja f posiada pochodną w punkcie f
0
(x
0
) = 0, x
0
∈ (a, b), zaś dla
∀
a<x<x
0
f
00
(x) > 0;
oraz
∀
x
0
<x<b
f
00
(x) < 0;
to ma w punkcie (x
0
, f (x
0
) punkt przegięcia.
1.5
Przedziały wklęsłości i wypukłości
Funkcja f jest wypukła na przedziale (a, b), jeśli:
∀
x
1
,x
1
∈(a,b)
∀
λ∈(0,1)
f (λx
1
+ (1 − λ)x
2
) ¬ λf (x
1
) + (1 − λ)f (x
2
);
Funkcja f jest ściśle wypukła na przedziale (a, b), jeśli:
∀
x
1
,x
1
∈(a,b)
∀
λ∈(0,1)
f (λx
1
+ (1 − λ)x
2
) < λf (x
1
) + (1 − λ)f (x
2
);
Funkcja f jest wklęsła na przedziale (a, b), jeśli:
∀
x
1
,x
1
∈(a,b)
∀
λ∈(0,1)
f (λx
1
+ (1 − λ)x
2
) λf (x
1
) + (1 − λ)f (x
2
);
Funkcja f jest ściśle wklęsła na przedziale (a, b), jeśli:
∀
x
1
,x
1
∈(a,b)
∀
λ∈(0,1)
f (λx
1
+ (1 − λ)x
2
) > λf (x
1
) + (1 − λ)f (x
2
);
Niech funkcja f będie podwójnie różniczkowalna:
5
Twierdzenie 12 Jeżeli druga pochodna funkcji w przedziale (a, b) przyjmu-
je wartości dodatnie, to jest:
∀
x∈(a,b)
f
00
(x) > 0
to funkcja jest wypukła w tym przedziale.
Twierdzenie 13 Jeżeli druga pochodna funkcji w przedziale (a, b) przyjmu-
je wartości ujemne, to jest:
∀
x∈(a,b)
f
00
(x) < 0
to funkcja jest wklęsła w tym przedziale.
2
Zadania
1. Zbadaj istnienie asymptot dla podanych funkcji. Jeśli asymtoty istnieją
- wskaż je:
(a)
f (x) = sin x;
(b)
f (x) = e
x
− 5;
(c)
f (x) =
e
x
− 2
e
x
+ 5
;
(d)
f (x) =
2x − 2
x
2
− 1
;
(e)
f (x) =
2x − 2
√
x
2
− 1
;
(f)
f (x) = 2
7
x
;
(g)
f (x) = ln x + 2;
6
(h)
f (x) =
ln x + 2
x + 2
;
(i)
f (x) =
x + 2
x − 1
;
(j)
f (x) = x ln e +
2
x
;
(k)
f (x) =
p
x
2
− 3x − 10;
2. Przedziały monotoniczności i ekstremum funkcji:
(a)
f (x) = x
3
+ 12x − 3;
(b)
f (x) =
x
x
2
− 9
;
(c)
f (x) = x +
1
x
;
(d)
f (x) = x
p
x
2
− 5x + 6;
(e)
f (x) =
2x − 1
x
2
+ 3
;
(f)
f (x) =
p
x
2
+ 12;
(g)
f (x) =
2x − 5
3x − 12
;
7
(h)
f (x) = sin x;
(i)
f (x) = 3 sin 2x;
(j)
f (x) = cos x;
(k)
f (x) = tg x;
(l)
f (x) = sin 3x + 1;
(m)
f (x) = 3 sin x − 2 + 2x;
3. Zbadaj punkty przegięcia i przedziały wypukłości funkcji:
(a)
f (x) =
p
x
2
+ 9;
(b)
f (x) =
2x − 7
x − 2
;
(c)
f (x) = sin 2x + x
2
;
(d)
f (x) = 3x + sin 2x;
(e)
f (x) = 9 − cos x;
(f)
f (x) = tg x − 6;
8
(g)
f (x) = sin 3x + Π;
(h)
f (x) = 3 cos x −
Π
2
+ 2x;
4. Zbadaj przebieg zmienności funkcji:
(a) y = x
3
+ 2x + 2;
(b) y =
1
3
x
3
− 2x − 25;
(c) y =
x
x+2
;
(d) y =
2x−1
x
2
−1
;
(e) y =
2+x
x−5
;
(f) y =
x
2
+x
x
2
−4
;
(g) y =
x
4
x
2
−4
;
(h) y =
q
x+1
x
2
+4
;
(i) y = 2x
√
x
2
+ x;
(j) y = x
2
sin x;
(k) y =
sin x
x−5
;
9
Wyszukiwarka
Podobne podstrony:
Elementy przebiegu zmienności funkcji. Twierdzenie de l’Hospitala, Analiza matematyczna
AMI 21 Przebieg zmiennosci fun Nieznany (2)
10 Matematyczny opis zmienności
przebieg zmienności funkcji
Badanie przebiegu zmienności funkcji
Przebieg zmiennosci funkcji Z Zadanie domowe id 834520
01 Statystyka Matematyczna Zaoczne Zmienna Skokowaid 2946
elementy przebiegu zmienności f , wyklad
AMI 21.1. Przebieg zmienności funkcji. Zbadać
Przebieg zmiennosci funkcji Z Rozwiazanie zadania domowego id
01 Statystyka Matematyczna Zaoczne Zmienna Skokowa
AMI 21 1 Przebieg zmienności funkcji Zbadać
Badanie przebiegu zmiennosci funkcji
Przebieg zmienności funkcji
elementy przebiegu zmienności f , lista zadan
8 badanie przebiegu zmienności funkcji
Badanie przebiegu zmienności funkcji
Badanie przebiegu zmienności funkcji obejmuje trzy etapy, Badanie przebiegu zmienności funkcji obejm
Badanie przebiegu zmienności funkcji
więcej podobnych podstron