Metoda róŜnic skończonych
MRS została zaproponowana przez A. Thom’a w latach
dwudziestych XX wieku, pod nazwą „metoda kwadratów”,
dla rozwiązania nieliniowego równania hydro-
dynamicznego.
Od tego czasu, metoda znalazła zastosowania w
Od tego czasu, metoda znalazła zastosowania w
rozwiązywaniu róŜnych problemów polowych.
Techniki róŜnic skończonych oparte są na przybliŜeniach,
które pozwalają na zastąpienie równania róŜniczkowego
przez równania róŜnic skończonych. Te przybliŜenia mają
formę algebraiczną, wiąŜą wartość zmiennej zaleŜnej w
punkcie regionu rozwiązania z wartościami w kilku
sąsiednich punktach.
Rozwiązanie problemu metodą róŜnic skończonych zamyka się w
trzech krokach:
(1) podzielenie regionu rozwiązania na siatkę węzłów,
(2) przybliŜenie danego równania róŜniczkowego przez
równowaŜne równanie róŜnicowe, co opowiada zaleŜności
zmiennej zaleŜnej w punkcie regionu rozwiązania od jej
wartości w punktach sąsiednich,
(3) rozwiązywanie równań róŜnicowych podlegających określonym
warunkom brzegowym i/lub warunkom początkowym.
Szczegółowy sposób postępowania jest podyktowany przez naturę
rozwiązywanego problemu, region rozwiązania , i warunki
brzegowe.
Najczęściej uŜywane wzory siatki dla problemów
dwuwymiarowych
(a) prostokątna,
(b) skośna,
(b) skośna,
(c) trójkątna,
(d) kołowa.
Dla danej funkcji f(x) moŜna
aproksymować jej pochodną
(nachylenie, lub tangens) w
punkcie P
Konstrukcja przybliŜenia (aproksymacji) danego
równania róŜniczkowego róŜnicami skończonymi.
przez nachylenie łuku PB
dane przez formułę
progresywnej róŜnicy
funkcji
lub przez nachylenie łuku
AP dane przez formułę
wstecznej róŜnicy funkcji
lub przez nachylenie łuku
AB dane przez formułę
centralnej róŜnicy funkcji
Drugą pochodną f (x) w P moŜna aproksymować jako:
Jakiekolwiek przybliŜenie wartości pochodnej przez dyskretny
układ punktów nazywa się przybliŜeniem róŜnicy skończonej.
czyli
Zaprezentowane interpretacja róŜnic skończonych jest raczej
intuicyjna. Bardziej ogólne wyraŜenie moŜna uzyskać z rozwinięcia
intuicyjna. Bardziej ogólne wyraŜenie moŜna uzyskać z rozwinięcia
funkcji w szereg Taylor’a.
Dodając te równania otrzymamy:
gdzie O(
∆
x)
4
jest błędem wprowadzonym przez obcięcie szeregu.
Mówimy, Ŝe ten błąd jest rzędu (
∆
x)
4
lub po prostu O(
∆
x)
4
. Co
oznacza, Ŝe O(
∆
x)
4
jest nie większy niŜ (
∆
x)
4
. Zakładając, Ŝe błąd
ten jest pomijalny otrzymamy:
ten jest pomijalny otrzymamy:
Czyli taki sam wynik jak z rozwaŜań intuicyjnych.
Odejmując rozwinięcia funkcji w szeregi, i pomijając wyraŜenia
rzędu (
∆
x)
3
otrzymamy:
WyŜsze rzędy aproksymacji uzyskuje się przez uwzględnienie większej
liczby elementów szeregu. Nieskończona ilość elementów oznacza
liczby elementów szeregu. Nieskończona ilość elementów oznacza
wyraŜenie dokładne. Z powodów praktycznych szeregi są obcinane po
wyraŜeniach rzędu drugiego. W kaŜdym rozwiązaniu dokonanym
metodą róŜnic skończonych występuje taki błąd.
Przykład zastosowania
gdzie:
M
k
- moment siły w k-tym przekroju belki (obciąŜenie belki)
E - moduł Younga (materiał belki)
E - moduł Younga (materiał belki)
J
k
- moment bezwładności k-tym przekroju belki
∆
x - skala podziału belki (przyjęta z góry)
Zbadać ugięcie belki (rys)
gdzie:
a) dana belka
b) wykres momentów
c) ugięcie belki
Z rys a) określamy wartość
momentów w p. 1, 2,.....,5
Wyznaczamy równania
róŜnicowe w p. 1, 2, 3, 4, 5 :
Daje to następujący układ równań:
układ 5 równań z 5 niewiadomymi
W postaci macierzowej:
Rozwiązanie (np. za pomocą pakietu MatLab):
Więc ostatecznie:
co jest wynikiem ścisłym
(zgodnym z obliczeniami analitycznymi)
Wniosek:
Dokonano
"prawidłowej"
dyskretyzacji belki - dobrano właściwą ilość punktów k = 1....6.
Stosując metodę róŜnic skończonych do znalezienia funkcji
Φ
(x, t),
dzielimy region rozwiązania w płaszczyźnie x−t na prostokąty lub
siatki o bokach
∆
x i
∆
t.
Współrzędne x, t i
funkcja
Φ
(x, t), w
punkcie P:
Aproksymacja pochodnych
Φ
w
węźle i,j przez centralną róŜnicę
funkcji:
Ekwiwalentne równanie róŜnicowe
Równanie paraboliczne
Równanie dyfuzji
progresywna formuła róŜnicowa dla t
i centralna dla x.
Równanie hyperboliczne
Ekwiwalentne równanie róŜnicowe
Równanie falowe
Równanie eliptyczne (Poisson’a)
Równanie dla węzła i,j
centralna formuła róŜnicowa
Gdy
równanie Laplace’a
Schemat moŜna przedstawić symbolicznie :
(a) Aproksymacja drugiego rzędu,
(b) Aproksymacja czwartego rzędu
Otrzymujemy układ równań algebraicznych, którego macierz,
najczęściej, jest macierzą rzadką.
Powstaje
konieczność
stosowania
odpowiednich
technik
rozwiązywania takich układów równań zarówno ze względu na
błędy obliczeń jak równieŜ na ich szybkość, związaną głównie z
błędy obliczeń jak równieŜ na ich szybkość, związaną głównie z
wielkością pamięci MC.
[A] macierz rzadka (ma wiele elementów zerowych)
[X] macierz kolumnowa nieznanych wartości (free nodes)
[B] macierz kolumnowa znanych wartości (fixed nodes)
Metoda pasmowa
[B] macierz kolumnowa znanych wartości (fixed nodes)
Rozwiązanie przez odwrócenie macierzy
lub eliminację Gaussa.
Poza metodą pasmową do rozwiązania układu równań najczęściej stosuje się
metody:
–iteracyjną (kolejnych przybliŜeń)
–nadrelaksacyjną
–przebiegania
–mieszaną (iteracji i przebiegania)
W metodzie iteracyjnej węzłom granicznym przypisujemy zadane wartości A
S
, a
pozostałym wartości dowolne (np. zerowe albo oczekiwane). Następnie korzystając
z uzyskanych zaleŜności obliczamy wartości A w kaŜdym węźle, korzystając z
danych węzłów sąsiednich. Jest to pierwsze przybliŜenie. Następnie powtarzamy
danych węzłów sąsiednich. Jest to pierwsze przybliŜenie. Następnie powtarzamy
operację tyle razy, aŜ dla funkcji siatkowej A
h
w kaŜdym węźle uzyskamy zadaną
dokładność
( )
( )
ε
≤
−
+
j
h
j
h
A
A
1
max
gdzie: j = 1,2,3 ... numer kolejny iteracji
e - załoŜona dokładność
Proces iteracji moŜna przyspieszyć stosując metodę nadrelaksacji tzn. zastępując
równanie:
(
)
1
,
,
1
1
,
,
1
,
4
1
−
−
+
+
+
+
+
=
=
k
i
k
i
k
i
k
i
k
i
ś
r
A
A
A
A
A
A
( )
( )
( )
(
)
j
k
i
ś
r
j
k
i
j
k
i
A
A
r
A
A
,
,
1
,
−
+
=
+
równaniem
(
)
k
i
ś
r
k
i
k
i
A
A
r
A
A
,
,
,
−
+
=
gdzie r - współczynnik relaksacji
Gdy r = 1 metoda relaksacji jest równowaŜna metodzie iteracyjnej. Przyjęcie r>1
(zwykle 1,1 - 1,3) uzyskujemy znaczne przyspieszenie redukcji błędu.
Za bardziej skuteczną od metody iteracyjnej uwaŜa się metodę przebiegania z
wykorzystaniem tzw. schematu niejawnego.
W rozwiązaniu numerycznym problemu
fizycznego występują trzy rodzaje
nieuniknionych błędów:
• błędy modelowania,
• błędy obcinania (dyskretyzacji)
• błędy zaokrągleń
KaŜdy z tych błędów obniŜa jakość
KaŜdy z tych błędów obniŜa jakość
rozwiązania.
Błędy modelowania wynikają z załoŜeń przyjętych w modelu
matematycznym. Np. układ nieliniowy moŜe być zamodelowany
równaniem liniowym.
Błędy obcinania wynikają z obcięcia wyrazów nieskończonego
szeregu Taylora. Mogą być zmniejszone przez zmniejszenie
wymiarów siatki (h) lub uwzględnienie większej liczby wyrazów
szeregu (aproksymacja wyŜszych rzędów).
Błędy zaokrągleń wynikają z dokładności obliczeń komputera.
Mogą być zmniejszone przez zastosowanie arytmetyki liczb
podwójnej precyzji lub najlepiej, liczb całkowitych.
Zalety metod róŜnicowych
1. Łatwa konstrukcja siatki, szczególnie prostokątnej,
2. Proste wzory dla siatki ze stałym krokiem,
3. Oszczędne w wymaganiach co do pamięci mc,
4. Łatwa organizacja algorytmu, proste zagęszczanie,
przez połowienie siatki i metody iteracyjne szybko zbieŜne
dzięki dobremu startowi,
5. MoŜna stosować do ośrodków niejednorodnych
i anizotropowych oraz do ośrodków nieliniowych.
Wady metod róŜnicowych
1. Kłopoty z dopasowaniem siatki do obszaru,
2. Trudności z warunkami brzegowymi i związana z tym często
utrata dokładności,
3. Konieczność równomiernego podziału i związana z tym duŜa
liczba węzłów,
4. Poprawa dokładności obliczeń w zasadzie tylko przez
4. Poprawa dokładności obliczeń w zasadzie tylko przez
zagęszczenie podziału.