56

4.

Zasada zmiany pędu (zasada zmiany ilości ruchu)

Zasada zmiany pędu dla układu ciał stałych ma postać:

∑

∑

=

P

U

m

dt

d

r

r

,

gdzie:

−

m masy poszczególnych ciał,

−

Ur

ich prędkości,

∑

−

Pr

suma sił zewnętrznych wywołująca zmianę pędu,

W przypadku ciągłego ośrodka płynnego zasadę zmiany pędu można zapisać w postaci:

∑

∫

=

P

U

dm

dt

d

r

r

,

gdzie:

−

dm

masy poszczególnych elementów płynu

Rozpatrzmy powierzchnię kontrolną S obejmującą objętość V płynu jak przedstawiono to na

rysunku. Na masę tę mogą działać następujące siły:

- grawitacyjne

(często można je pominąć),

- wypadkowa sił ciśnieniowych wywieranych przez otaczającą masę płynu lub ściany

przewodu stanowiące część powierzchni kontrolnej S, (

∫∫

−

S

dS

n

pr

), znak minus wynika stąd,

że siły te działają na rozpatrywaną masę płynu (objętą powierzchnią S) ze zwrotem
przeciwnym do wektora jednostkowego nr kierunku normalnego elementarnego pola dS,

- od zmiany prędkości (

U

dS

ρU

S

n

r

⋅

∫∫

),

- siły zewnętrzne (

z

Pr

).

Stosując zasadę pędu dla przepływów możemy napisać ogólne równanie zmiany pędu, jakiej ulega
masa płynu przepływająca w czasie dt przez obszar objęty powierzchnią S:

∫∫

∫∫

+

−

=

⋅

S

z

S

n

P

dS

n

p

U

dS

ρU

r

r

r

,

gdzie:

−

dS

ρU

n

wydatek masowy,

−

nr

wektor jednostkowy, normalny do powierzchni S,

−

Ur

prędkość.

Reakcja strumienia płynu na powierzchnię kontrolną będzie równa siłom zewnętrznym ze znakiem
minus:

z

P

R

−

=

.

57

Rozpatrzmy kilka najczęściej spotykanych przypadków zastosowania zasady zmiany pędu do
wyznaczenia siły reakcji hydrodynamicznej na ciało stałe:

a) Strumień objętości płynu Q przepływa przez zakrzywiony przewód o zmiennym przekroju

(kolano). Powierzchnią kontrolną będzie ścianka przewodu (Rys. 4.1). Wzór na reakcję
będzie mieć postać (forma wektorowa)

G

P

P

)

U

U

ρQ(

R

2

1

2

1

r

r

r

r

r

r

+

+

+

−

=

gdzie:

−

1

Pr

siła ciśnieniowa w przekroju 1-1,

−

2

Pr

siła ciśnieniowa w przekroju 2-2,

−

G

r

ciężar płynu w rozpatrywanym przewodzie.

Rys.

4.1

Rys.

4.2

b) Dla przepływu prostoosiowego pionowego przez dyfuzor (zmiana przekroju poprzecznego)

(Rys. 4.2)

(

)

G

U

U

ρQ

S

p

S

p

R

2

1

1

1

2

2

−

−

−

−

=

.

c) Dla swobodnego strumienia wypływającego stycznie na ściankę nieruchomą, zakrzywiona

(Rys. 4.3):

(

)

(

)

cosα

1

ρQU

U

U

ρQ

R

2x

1x

x

−

=

−

=

,

(

)

ρQUsinα

U

U

ρQ

R

2y

1y

y

−

=

−

=

2

y

2

x

R

R

R

+

=

.

Rys. 4.3

Rys. 4.4

Rys. 4.5

58

d) Dla swobodnego strumienia wypływającego na ściankę płaską nieruchomą, ustawioną

prostopadle do prędkości strumienia (Rys. 4.4):

ρQU

R

R

0,

R

x

y

=

=

=

.

Jeśli ścianka jest pochyła (Rys. 4.5), to

ρQUsinα

R

0,

R

n

t

=

=

.

Wydatki:

(

)

(

)

cosα

1

2

Q

Q

,

cosα

1

2

Q

Q

2

1

−

=

+

=

.

e) Oddziaływanie strumienia na powierzchnie ruchome.

Dla ścianki prostopadłej poruszającej się z prędkością

u, której kierunek jest zgodny z

kierunkiem prędkości strumienia (Rys. 4.6),

(

)

U

u

U

ρQ

R

2

−

=

.

Rys.

4.6 Rys.

4

.7

Dla ścianki zakrzywionej (Rys. 4.7):

(

) (

)

cosα

1

U

u

U

ρQ

R

2

x

−

−

=

,

(

)

sinα

U

u

U

ρQ

R

2

y

−

−

=

.

PRZYKŁADOWE ZADANIA

Zadanie 4.1

(poz. bibl. [6], zad. 3.3.5, str. 51)

Ciecz doskonała o gęstości

ρ

wypływa z dyszy o

średnicy

D z prędkością U unosząc ściankę której

ciężar wynosi

G. Na jakiej wysokości H ścianka

pozostanie w równowadze? Zadanie rozwiązać dla
dwóch przypadków: ścianki płaskiej, oraz ścianki o
kształcie czaszy kulistej.

Dane:

Wyznaczyć:

ρ

, D, U, G

H

59

Rozwiązanie:

W stanie równowagi, napór hydrodynamiczny

R musi zrównoważyć ciężar ścianki G, czyli:

G

R

=

Dla ścianki płaskiej:

1

ρQU

R

=

Prędkość

U

1

wyznaczamy z równania Bernoulli’ego, odniesionego do przekrojów

0 i 1:

H

γ

p

2g

U

0

γ

p

2g

U

1

2

1

0

2

+

+

=

+

+

,

w którym:

a

1

0

p

p

p

=

=

,

zatem:

2gH

U

U

2

1

−

=

Podstawiając do zależności

1

ρQU

R

=

wzór

2gH

U

U

2

1

−

=

oraz wiedząc, że:

U

4

πD

Q

2

=

,

otrzymamy:

2gH

U

U

4

πD

ρ

R

G

2

2

−

=

=

,

skąd wysokość:



























−

=

2

2

2

ρU

πD

4G

U

2g

1

H

.

Dla ścianki półkolistej:

(

)

(

)

.

U

U

ρQ

R

2

1

−

−

=

Prędkości

U

1

i

U

2

wyznaczamy analogicznie, jak dla ścianki płaskiej, a zatem:

2gH

U

U

U

2

2

1

−

=

=

,

stąd:

2gH

U

U

2

πD

ρ

R

G

2

2

−

=

=

,

wobec tego szukana wysokość

H wynosi:



























−

=

2

2

2

ρU

πD

2G

U

2g

1

H

.

60

Zadanie 4.2

(poz. bibl. [6], zad. 3.3.3, str. 51)

Przez przewód z kolanem o średnicy

D = 80 mm przepływa

woda ze strumieniem objętości

Q = 0,08 m

3

s

-1

. Pomijając

straty, obliczyć napór strumienia wody na ścianki przewodu.
Część dopływowa kolana usytuowana jest pod kątem

α

1

=

π/6

względem poziomu, a wypływowa – pod kątem

α

2

=

π/3. W

przekroju dopływowym i wypływowym panuje ciśnienie
otoczenia

p

a

. Tarcie pominąć.

Dane:

Wyznaczyć:

D

=

80

mm

R

Q = 0,08 m

3

s

-1

α

1

=

π/6

α

2

=

π/3

p

a

Rozwiązanie:

Składowe naporu hydrodynamicznego odpowiednio wynoszą:

(

)

2x

1x

x

U

U

ρQ

R

−

=

,

(

)

2y

1y

y

U

U

ρQ

R

−

=

,

gdzie:

1

1x

Ucosα

U

=

,

2

2x

Ucosα

U

−

=

,

1

1y

Usinα

U

=

,

2

2y

Usinα

U

=

,

stąd:

(

)

2

1

x

cosα

cosα

ρQU

R

+

=

,

(

)

2

1

y

sinα

sinα

ρQU

R

−

=

.

Podstawiając:

2

πD

4Q

U

=

,

otrzymamy:

(

)

2

1

2

2

x

cosα

cosα

πD

Q

4ρ

R

+

=

(

)

2

1

2

2

y

sinα

sinα

πD

Q

4ρ

R

−

=

.

Napór całkowity (wypadkowy):

2

y

2

x

R

R

R

+

=

,

czyli:

(

) (

)

(

)

(

)

2

1

2

2

2

1

1

2

2

1

2

2

α

α

cos

1

2

πD

Q

4ρ

sinα

sinα

cosα

cosα

πD

Q

4ρ

R

+

+

=

−

+

+

=

.

Suma kątów:

2

π

3

π

6

π

α

α

2

1

=

+

=

+

,

zatem:

61

2

2

πD

ρQ

2

4

R

=

,

a po podstawieniu wartości liczbowych, napór wypadkowy:

1802

(0,08)

3,14

(0,08)

1000

2

4

2

2

=

⋅

⋅

⋅

=

R

N

Zadanie 4.3

(poz. bibl. [6], zad. 3.3.4, str. 51)

Przewodem o zmiennym przekroju kołowym i zakrzywionym
pod kątem

π, płynie ciecz o gęstości

ρ

. Maksymalna średnica

przewodu jest równa

D, minimalna – d, a promień krzywizny

–

r. Wyznaczyć moduł oraz określić położenie wektora naporu

hydrodynamicznego, jeżeli ciśnienie na dopływie wynosi

p,

strumień objętości przepływającej cieczy równy jest

Q, a

przepływ obywa się bez tarcia. Przewód leży w płaszczyźnie
poziomej.

Dane:

Wyznaczyć:

Q,

ρ

, p, D, d, r

R

Rozwiązanie:

Moduł wektora naporu hydrodynamicznego

R jest równy sumie modułów naporów składowych R

1

i

R

2

, czyli:

2

1

R

R

R

+

=

,

gdzie:

4

πD

)

ρU

(p

R

2

2

1

1

1

+

=

,

4

πd

)

ρU

(p

R

2

2

2

2

2

+

=

,

Prędkości

U

1

i

U

2

odpowiednio wynoszą:

2

1

πD

4Q

U

=

i

2

2

πd

4Q

U

=

,

natomiast ciśnienie w przekroju

2 wyznaczamy z równania Bernoulli’ego:

ρ

p

2

U

ρ

p

2

U

2

2

2

1

2

1

+

=

+

;

Stąd:













−

+

=

4

4

2

2

1

2

d

1

D

1

π

ρ

8Q

p

p

.

Po odpowiednich podstawieniach oraz uwzględniając, że

p

1

= p, otrzymamy:

4

πD

D

π

ρ

16Q

p

R

2

4

2

2

1













+

=

,

4

πd

d

1

D

1

π

ρ

8Q

p

R

4

4

4

2

2

2

























+

+

=

,

a zatem całkowity napór hydrodynamiczny:

62

(

) (

)

2

2

2

4

2

2

2

d

D

d

πD

d

D

Q

2ρ

4

πp

R

+













+

+

=

.

Położenie wektora naporu hydrodynamicznego

R, czyli jego odległość od osi x, wyznaczamy z

twierdzenia, iż moment sił wypadkowej względem dowolnego punktu równy jest sumie momentów
sił składowych, a więc:

r

R

r

R

e

R

2

1

−

=

⋅

,

stąd:

(

)

R

R

R

r

e

2

1

−

=

.

(

)

(

)(

)

(

)

(

)(

)

2

2

2

2

2

2

4

2

2

2

2

2

2

2

4

2

d

D

d

D

Q

8ρ

d

pD

π

r

d

D

d

D

Q

8ρ

d

pD

π

e

+

+

+

−

−

−

=

.

Zadanie 4.4

(poz. bibl. [7], zad. 5.11, str. 96)

Struga cieczy idealnej o gęstości

ρ i strumieniu

objętości

Q wypływa z dyszy z prędkością U.

Struga uderza w płytę prostokątną, ustawioną pod
katem

α

do osi dyszy i rozdziela się na dwie strugi

o strumieniach

Q

2’

i

Q

2”

odpowiednio. Przyjmując,

iż ciecz na płycie płynie z jednakową prędkością w
obu kierunkach i pomijając tarcie, obliczyć reakcje
dynamiczną strugi oraz strumienie

Q

2’

i

Q

2”

.

Dane:

Wyznaczyć:

ρ

, Q, U,

α

Q

2’

, Q

2”

, R

Rozwiązanie:

Reakcja dynamiczna

R ma kierunek prostopadły do osi płyty. Obliczamy ją z równania zasady

zmiany pędu:

2

1

)

U

Q

(ρ

)

U

Q

(ρ

R

r

r

r

−

=

Strumień pędu w przekroju dolotowym

1:

U

ρQ

)

U

Q

(ρ

1

r

r =

.

W obszarze kontrolnym (

1-2’-2”) struga dzieli się na dwie, więc:

(

)

2"

2"

2'

2'

2

U

ρQ

U

ρQ

U

ρQ

r

r

r

+

=

.

Wektory trzech sił występujących w równaniu

2

1

)

U

Q

(ρ

)

U

Q

(ρ

R

r

r

r

−

=

tworzą trójkąt jak na rysunku.

Wynika stąd:

ρQUsinα

R

=

.

Rzutowanie wektorów wielkości z równania

2

1

)

U

Q

(ρ

)

U

Q

(ρ

R

r

r

r

−

=

na kierunek styczny do płyty,

czyli prostopadle do

R daje nowe równanie. Zakładając, że

U

U

U

"

2

'

2

r

r

r

=

=

, a więc

'

2

"

2

U

U

r

r

−

=

,

otrzymamy:

(

)

U

Q

U

Q

cos

QU

0

"

2

'

2

−

−

=

ρ

α

ρ

lub

"

2

'

2

Q

Q

cos

Q

−

=

α

.

Są tu dwie niewiadome

Q

2’

i

Q

2”

, ale powiązane warunkiem ciągłości strugi:

"

2

'

2

Q

Q

Q

+

=

.

Rozwiązanie układu równań z dwóch powyższych równań daje:

63

2

cos

1

Q

Q

,

2

cos

1

Q

Q

"

2

'

2

α

α

−

=

+

=

.

Zadanie 4.5

(poz. bibl. [3], zad. 3.5.4, str. 68)

Woda wypływa ze zbiornika przez kolano o średnicy

d = 40

mm do atmosfery. Wylot z kolana skierowany jest do góry
pod kątem

α

= 60

o

do poziomu i znajduje się na wysokości

h

= 1 m od wlotu. Wysokość słupa wody w zbiorniku wynosi
H = 7 m. Określić reakcję strumienia cieczy na kolano,
traktując wodę jako płyn doskonały.

Dane:

Wyznaczyć:

d = 40 mm

R

h = 1 m
H = 7 m

α

= 60

o

Rozwiązanie:

Reakcje składowe:

(

)

1

1

2x

1x

x

S

p

U

U

Q

ρ

R

+

−

=

,

(

)

2y

1y

y

U

U

Q

ρ

R

−

=

.

Zapisując równanie Bernoulli’ego dla przekrojów

0 i 2 wyznaczamy prędkość wody w rurze:

h

2g

U

H

2

+

=

,

stąd

h)

2g(H

U

−

=

= 10,8 m/ s.

Składowe prędkości:

0,5U

Ucos60

U

U,

U

0

2x

1x

=

=

=

0,866U

Ucos30

U

0,

U

0

2y

1y

=

=

=

Strumień objętości:

U

4

πd

Q

2

=

= 0,01 m

3

/s

Ciśnienie:

gH

p

1

ρ

=

.

Reakcje:

(

)

1

1

x

S

p

0,5U

U

ρQ

R

+

−

=

= 131 N

(

)

0,866U

U

ρQ

R

y

−

=

= -72 N

2

y

2

x

R

R

R

+

=

= 149 N

Zadanie 4.6

(poz. bibl. [6], zad. 3.3.1, str. 50)

Z przystawki o średnicy

D = 80 mm i d = 20 mm wypływa woda ze

średnią prędkością

U = 15 m/s. Pomijając różnicę ciśnień, obliczyć

reakcję hydrodynamiczną, wywieraną przez strumień cieczy na
przystawkę.

64

Dane:

Wyznaczyć:

d = 20 mm

R

D = 80 mm
U = 15 m/s

Rozwiązanie:

Reakcja

R w ruchu ustalonym strumienia cieczy wynosi:

)

U

ρQ(U

R

1

−

=

.

Strumień objętości

Q oraz prędkość U

1

obliczamy z równania ciągłości:

4

πD

U

4

πd

U

Q

2

1

2

=

=

,

wobec tego

4

πd

U

Q

2

=

oraz

2

2

1

D

d

U

U

=

.

Podstawiając dwa powyższe równania do zależności

)

U

ρQ(U

R

1

−

=

otrzymujemy:













−

=

2

2

2

2

D

d

1

4

πd

U

ρ

R

.

Dla danych liczbowych oraz gęstości wody

ρ

=1000 [kg m

-3

] reakcja wyniesie:

R = 66,25 N

Zadanie 4.7

(poz. bibl. [3], zad. 3.5.5, str. 68)

Zbiornik o wymiarach

15

15

20

c

b

a

×

×

=

×

×

cm

3

podwieszono w

sposób pokazany na rysunku. Z otworu w ścianie zbiornika,
umieszczonego na głębokości

h = 13,5 cm, wypływa woda

(średnica otworu

d = 1 cm). Obliczyć, o jaką odległość e zbiornik

przesunie się na skutek reakcji wypływającej wody. Ciężar
zbiornika

G

z

= 4 N; opory tarcia pominąć. Odległość otworu od

punktów podwieszenia

H = 30 cm.

Dane:
V =

15

15

20

c

b

a

×

×

=

×

×

cm

3

Wyznaczyć:

d = 1 cm

e

h = 13,5 cm
H = 30 cm
G

z

= 4 N

Rozwiązanie:

Moment względem punktu M:

e

G

H

R

⋅

=

⋅

,

skąd:

G

H

R

e

⋅

=

.

Reakcja:

QU

ρ

R

=

,

gdzie:

−

= 2gh

U

równanie Torricelli’ego.

Strumień objętości:

65

gh

2

4

d

Q

2

π

=

,

zatem:

2

d

π

h

g

ρ

R

2

=

= 0,208 N.

Ciężar naczynia z wodą:

g

Vρ

G

G

z

+

=

= 4+44,145 = 48,145 N,

Podstawiając do wzoru na

e otrzymujemy:

e = 0,0013 m.

Zadanie 4.8

(poz. bibl. [7], zad. 5.10, str. 95)

Struga wody o przekroju

S = 0,005 m

2

, wylatując z dyszy,

opływa symetrycznie stożek o kącie wierzchołkowym

2α = 60

o

.

Jaki musi być strumień masy strugi

m& , aby stożek pod

działaniem siły osiowej

P = 700 N poruszał się pod prąd z

prędkością

u = 8 m/s ? Tarcie pominąć.

Dane:

Wyznaczyć:

S = 0,005 m

2

m&

P = 700 N
u = 8 m/s
α = 30

o

Rozwiązanie:

Siła

P musi pokonać reakcję dynamiczną strugi R. Zachodzi tu ruch złożony, w którym struga ma

prędkość względem stożka na wlocie

u

U

w

+

=

, gdzie

U

jest prędkością wypływu z dyszy

(niewiadoma). Na wylocie ze stożka struga jest odchylona o kąt

α

, a więc składowa osiowa

prędkości względnej wynosi tam

cosα

w

. Zmianie pędu ulega strumień o natężeniu (względnym)

w

S

Q

⋅

=

, wobec tego wystąpi reakcja dynamiczna:

).

cosα

(1

u)

S(U

ρ

)

cosα

(1

w

Q

ρ

R

2

−

+

=

−

=

Podstawiając

P

R

= , rozwiązujemy względem

U

:

(

)

u

cos

1

S

P

U

2

1

−













−

=

α

ρ

U = 23,6 [m s

-1

]

Struga wody musi mieć strumień masy:

U

S

m

ρ

=

&

= 118 kg /s.

Zadanie 4.9

(poz. bibl. [7], zad. 5.8, str. 95)

Struga powietrza o prędkości

U

1

i strumieniu objętości

Q

wdmuchiwana jest pod kątem

α

1

na górną połówkę kuli o

ciężarze

G. Struga, odchylając się, wytwarza reakcję

dynamiczną

R, która równoważy ciężar kuli. Określić kierunek

(

α

2

) i prędkość

U

2

strugi odchylonej. Tarcie pominąć.

Dane:

Wyznaczyć:

Q, U

1

, α

1

, G

U

2

, α

2

Rozwiązanie:

Wzór na reakcję dynamiczną wynika z zasady zmiany pędu:

(

)

2

1

U

U

ρQ

R

r

r

r

−

=

66

lub po zrzutowaniu wektorów na kierunki: poziomy

x i pionowy y:

(

)

0

cos

cos

2

2

1

1

=

−

=

α

α

ρ

U

U

Q

R

x

(

)

G

U

U

Q

R

y

=

−

=

2

2

1

1

sin

sin

α

α

ρ

.

Aby obliczyć kąt

α

1

, przekształcamy zależność na

y

R

do postaci:

Q

G

U

U

ρ

α

α

−

=

1

1

2

2

sin

sin

i dzielimy lewą stronę przez

2

2

cos

α

U

, prawą przez

1

1

cos

α

U

, ponieważ z zależności na

x

R

wynika

1

1

2

2

cos

cos

α

α

U

U

=

otrzymujemy:

1

1

1

2

cos

α

ρ

α

α

QU

G

tg

tg

−

=

.

Aby obliczyć prędkość

2

U

, podnosimy do kwadratu wyrażenia stojące po obu stronach równań

Q

G

U

U

ρ

α

α

−

=

1

1

2

2

sin

sin

i

1

1

2

2

cos

cos

α

α

U

U

=

, a następnie sumujemy stronami:

2

1

1

2

1

2

2

sin

2













+

−

=

Q

G

U

G

G

U

U

ρ

α

ρ

.

Z powyższych obliczeń wynika, że struga załamuje się

(

)

2

1

α

α

>

i zostaje przyhamowana

(

)

2

1

U

U

>

.

Zadanie 4.10

(poz. bibl. [6], zad. 3.3.10, str. 52)

Z dyszy o średnicy D = 25 mm wypływa woda z
prędkością średnią U = 10 m/s i uderza w ruchomą
łopatkę, zakrzywioną pod kątem α = π/3. Obliczyć
napór hydrodynamiczny R, jeżeli prędkość unoszenia
łopatki u = 2 m/s. Przyjąć gęstość wody ρ = 1000
kg/m

3

.

Dane:

Wyznaczyć:

D =

25

mm

R

U = 10 m/s

u = 2 m/s
ρ = 1000 kg/m

3

α = π/3

Rozwiązanie:

W chwili działania strumienia cieczy na łopatkę, jego prędkość względna:

u

U

w

+

=

,

a strumień objętości przepływu:

(

)

u

U

4

D

w

4

D

Q

2

2

−

=

=

π

π

Poszczególne składowe naporu hydrodynamicznego są odpowiednio równe:

)

w

u)(w

(U

4

πD

ρ

)

w

ρQ(w

R

2x

1x

2

2x

1x

x

−

−

=

−

=

)

w

u)(w

(U

4

πD

ρ

)

w

ρQ(w

R

2y

1y

2

2y

1y

y

−

−

=

−

=

.

W związku z tym, że składowe prędkości wynoszą:

,

0

w

,

u

U

w

y

1

x

1

=

−

=

67

α

α

sin

)

u

U

(

w

,

cos

)

u

U

(

w

y

2

x

2

−

=

−

−

=

,

więc:

)

cosα

(1

u)

(U

4

πD

ρ

R

2

2

x

+

−

=

,

sinα

u)

(U

4

πD

ρ

R

2

2

y

−

−

=

.

Wypadkowa siła naporu hydrodynamicznego:

2

y

2

x

R

R

R

+

=

,

dlatego:

α

α

π

ρ

2

2

2

2

sin

)

cos

1

(

)

u

U

(

4

D

R

+

+

−

=

.

Po przekształceniu pierwiastka:

2

cos

2

sin

)

cos

1

(

2

2

α

α

α

=

+

+

,

wyrażenie określające R przybierze postać

2

cos

)

u

U

(

4

D

R

2

2

α

π

ρ

−

=

.

Po wprowadzeniu danych liczbowych,

R

= 54,4 N.

ZADANIA DO SAMODZIELNEGO ROZWIĄZANIA

Zadanie 4.11

(poz. bibl. [3], zad. 3.5.2, str. 67)

Jednorodna płaska płyta, obracająca się wokół osi O, jest
podtrzymywana w położeniu poziomym przez pionowy strumień
wody, wypływającej z rury z prędkością U = 15 m/s. Średnica
rury d = 20 mm. Odległość wylotu rury od osi obrotu płyty
wynosi h = 4 m. Obliczyć ciężar płyty, jeżeli jej długość L = 50
cm, a punkt zetknięcia się strumienia z płytą leży w odległości l =
35 cm od osi obrotu. Przy wypływie wody do góry pominąć opór
powietrza, uwzględnić jednak przyspieszenie ziemskie.

Odpowiedź

: G = 65,3 N

Zadanie 4.12

(poz. bibl. [6], zad. 3.3.2, str. 50)

Strumień cieczy doskonałej, której gęstość wynosi ρ, wypływa z
dyszy i uderza w idealnie gładką płytę o ciężarze G oraz długości L.
Płyta może obracać się wokół łożyska 0, oddalonego o h od osi
dyszy. Wiedząc, że strumień objętości wypływającej cieczy wynosi
Q

, a średnica dyszy jest równa D, wyznaczyć składowe reakcji w

łożysku, a także kąt

α

, o jaki wychyli się płyta, aby zachować stan

równowagi.

Odpowiedź:

α

cos

πD

Q

4ρ

R

2

2

2

AX

=

;

α

sin2

πD

Q

2ρ

G

sinα

cosα

πD

Q

4ρ

G

R

2

2

2

2

AY

+

=

+

=

; .

L

D

Gπ

h

Q

8ρ

arcsin

α

2

2

=

68

Zadanie 4.13

(poz. bibl. [7], zad. 5.40, str. 102)

Struga wody wypływa przez otwór D

0

= 1cm w dnie zbiornika z prędkością

początkową U

0

= 4 m/s. Spadając swobodnie z wysokości H = 2 m, uderza w

płaszczyznę poziomą. Obliczyć reakcję dynamiczną strugi.


Odpowiedź:

R = 2,33 N.

Zadanie 4.14

(poz. bibl. [5], zad. 5.2.11, str. 94)

Z rurki o średnicy d wypływa strumień idealnej cieczy o gęstości ρ pionowo w
górę z prędkością U do czaszy półkolistej, jak pokazano to na rysunku.
Obliczyć, na jakiej wysokości h będzie utrzymywana czasza, jeśli całkowity jej
ciężar wynosi G.

Odpowiedź:

2

2

2

2

πρd

G

g

U

2

2g

U

h













−

=

Zadanie 4.15

(poz. bibl. [5], zad. 5.2.6, str. 93)

Woda płynie z motopompy wężem do prądownicy
umieszczonej na jego końcu. Średnica otworu
prądownicy u wylotu wynosi d = 2 cm, a przy wężu
D

= 8cm. Obliczyć, z jaką siłą działa prądownica na

strażaka utrzymującego ją poziomo, jeśli prędkość
wypływu wody wynosi U = 15 m/s. Opory cieczy w
prądownicy pominąć.

Odpowiedź:

R = - 66,22 N.

Zadanie 4.16

(poz. bibl. [7], zad. 5.45, str. 103)

Pozioma struga wody o strumieniu masy

m&

= 300 kg/s i średnicy d = 0,1 m uderza prostopadle w

płytę. Jaką siłą P trzeba hamować płytę, aby poruszała się z prądem z prędkością u = 10 m/s ?

Odpowiedź:

R = 6,25 kN.

Zadanie 4.17

(poz. bibl. [3], zad. 3.5.6, str. 69)

Poziomy strumień wody uderza o łopatkę wygiętą, jak
pokazano na rysunku. Obliczyć składowe reakcje R

x

i R

y

dla

przypadków, gdy:
a) łopatka jest nieruchoma,
b) łopatka przesuwa się z prędkością u = 2 m/s w kierunku

zgodnym z kierunkiem prędkości strumienia.

Pominąć opór powietrza i odchylenie strumienia od poziomu.
Dane: U = 10 m/s, Q = 5 dm

3

/s, α = 60

o

.

69

Odpowiedź:
a)

)

cosα

ρQU(1

R

x

+

=

= 75 N;

ρQUsinα

R

y

−

=

= - 43.3 N

b)

(

)

)

cosα

(1

U

u

U

ρQ

R

2

x

+

−

=

= 48 N;

(

)

sinα

U

u

U

ρQ

R

2

y

−

−

=

= - 27.7 N.

Zadanie 4.18

(poz. bibl. [6], zad. 3.3.12, str. 53)

Do koła Segnera o średnicy D doprowadzona jest woda, której
strumień objętości wynosi Q. Pomijając opory tarcia oraz straty
przepływu, wyznaczyć prędkość kątową wirowania

ω. Przyjąć

średnicę dysz wypływowych równą d wiedząc, że moment na
kole jest równy zeru.

Odpowiedź:

D

πd

4Q

ω

2

=

Zadanie 4.19

(poz. bibl. [6], zad. 3.3.15, str. 54)

W łopatkę turbiny Peltona, obracającą się ze stałą prędkością
obwodową u, uderza struga wody o polu przekroju równym S i
gęstości

ρ

. Prędkość strugi napływającej wynosi U

1

. Pomijając

siły tarcia i ciężkości, wyznaczyć reakcję hydrodynamiczną.

Odpowiedź:

2

1

u)

U

S(

2ρ

R

−

=

.