Układy krystalograficzne
Tematyka ćwiczeń
- definicje minerału i kryształu
- przekształcenia symetryczne
- elementy symetrii
- układy krystalograficzne, a pokrój kryształów
POJ
CIA PODSTAWOWE I ELEMENTY KRYSTALOGRAFII
MINERAA
 pierwiastek lub związek chemiczny, który w stanie naturalnym jest krystaliczny, powstały w
wyniku procesów geologicznych lub kosmologicznych.
SUBSTANCJE MINERALNE  nie objęte powy\
szą definicją składniki Ziemi i ciał kosmicznych.
Mogą nimi być:
- bezpostaciowe ciała stałe (obsydian, allofany, węgle)
- substancje ciekłe (woda, ropa naftowa, rtęć rodzima)
- substancje gazowe (gaz ziemny, CO2)
Substancje mineralne nie mają uporządkowanej budowy wewnętrznej, a zazwyczaj równie\
ściśle
zdefiniowanego składu chemicznego.
CIAA
O KRYSTALICZNE to ciało jednorodne i anizotropowe pod względem co najmniej jednej
własności. Ciało krystaliczne o prawidłowej, wielościennej postaci zewnętrznej wykształconej samorzutnie
to KRYSZTAA
. Ciało krystaliczne charakteryzuje się uporządkowaną budową wewnętrzną.
Uporządkowanie w ciałach krystalicznych występuje najczęściej w trzech kierunkach, nie le\
Ä…cych w jednej
płaszczyz
nie (periodyczność przestrzenna), rzadziej wzdłu\
dwóch kierunków (periodyczność w
płaszczyz
nie)  np. grafit, kaolinit. Uporządkowanie wzdłu\
jednego kierunku (periodyczność wzdłu\

prostej) występuje w niektórych substancjach organicznych.
Charakterystyka minerału jako ciała krystalicznego obejmuje określenie zarówno jego budowy wewnętrznej,
jak i zewnętrznej. W odniesieniu do budowy wewnętrznej u\
ywamy terminu struktura (krystaliczna), który
oznacza sposób przestrzennego rozmieszczenia atomów. W sposób ścisły określamy strukturę, podając
współrzędne X, Y, Z poszczególnych atomów w układzie osi krystalograficznych. Mówiąc o zewnętrznej
budowie kryształu, czyli jego postaci geometrycznej, u\
ywamy terminów: morfologia, pokrój, postać
zewnętrzna kryształu.
SYMETRIA  prawidłowe powtarzanie się w przestrzeni pewnego motywu według określonego przepisu.
Takim motywem mo\
e być w przypadku kryształu atom lub grupa atomów, gdy bierzemy pod uwagę jego
sieć krystaliczną, bądz
te\
element jego postaci zewnętrznej, np. ściana. Nale\
y jednak pamiętać o tym, \
e
niektóre przekształcenia symetryczne rządzące poło\
eniami atomów w krysztale nie odzwierciedlają się w
jego morfologii.
PRZEKSZTAA
CENIA SYMETRYCZNE (OPERACJE SYMETRYCZNE) to przepisy
określające, w jaki sposób następuje powtarzanie się pewnego motywu kryształu. Odpowiadają im elementy
symetrii, będące zbiorami punktów nie ulegających przemieszczeniu w czasie tych operacji.
Do oznaczenia elementów symetrii stosujemy symbole graficzne i literowe. Najczęściej stosuje się 3 systemy
symboli literowych elementów symetrii punktowej:
- Kreutza-Zaremby
- Schönfliesa
- Hermanna-Manguina (międzynarodowy)  zalecany przez Międzynarodową Unię Krystalograficzną
Przekształcenia symetryczne mo\
na podzielić na:
- proste (I rodzaju)  sprowadzajÄ… siÄ™ do jednej operacji
- zło\
one (II rodzaju)  są iloczynem przekształceń
PRZEKSZTAA
CENIA SYMETRYCZNE PROSTE
INWERSJA  przekształcenie względem punktu zwanego ŚRODKIEM lub CENTRUM SYMETRII.
Środek symetrii (C) ma tę własność, \
e ka\
da przechodzÄ…ca przez niego prosta napotyka w tej samej
odległości, w przeciwnych kierunkach, te same motywy powierzchni lub struktury kryształu. Nie ulega on
przemieszczeniu w czasie przekształcenia. Inwersja przekształca ka\
dy motyw niepunktowy w poło\
enie
antyrównoległe, tzn. równoległe i przeciwnie skierowane.
OBRÓT  to przekształcenie polegające na obrocie wokół pewnych kierunków, zwanych osiami symetrii.
OŚ SYMETRII (L) stanowi zbiór punktów nie ulegających przemieszczeniu w czasie przekształcenia,
tzw. niezmiennik przekształcenia. Osie symetrii są to więc kierunki, wokół których następuje przy obrocie
powtarzanie identycznych poło\
eń określonego motywu powierzchni lub struktury kryształu.
360
Krotność osi n to iloraz , w którym ą jest najmniejszym kątem obrotu, po jakim następuje powtórzenie
Ä…
identycznego poło\
enia motywu w przestrzeni. W krystalografii mo\
liwe sÄ… osie 1, 2, 3, 4 i 6-krotna, przy
czym oÅ› jednokrotna ma znaczenie jedynie formalne.
OŚ POLARNA  to rodzaj osi symetrii łączącej ró\
nie wykształcone motywy powierzchni kryształu  np.
wierzchołek i środek ściany lub krawędzi. Obecność osi polarnej w krysztale odzwierciedla się w niektórych
jego własnościach fizycznych, np. piroelektryczności. Przeciwieństwem osi polarnych są OSIE
DWUBIEGUNOWE.
ODZWIERCIEDLENIE to przekształcenie względem płaszczyzny zwierciadlanej, zwanej równie\

płaszczyzną symetrii. PA
ASZCZYZNA SYMETRII (P) przeprowadza ka\
dy motyw powierzchni lub
struktury kryształu w motyw równowa\
ny w ten sposób, \
e ka\
dy odcinek Å‚Ä…czÄ…cy analogiczne punkty
przekształcanego elementu jest prostopadły do tej płaszczyzny i przedzielony przez nią na dwie równe
części. Obecność płaszczyzny symetrii objawia się więc w krysztale tym, \
e mo\
na go podzielić na dwie
części mające się do siebie jak przedmiot i jego odbicie w zwierciadle. Takie dwa motywy, symetryczne
względem płaszczyzny, nazywamy enancjomorficznymi (przykładowo lewa i prawa dłoń).
TRANSLACJA to przekształcenie polegające na równoległym przesunięciu jakiegoś motywu budowy
wewnętrznej kryształu w określonym kierunku o stały odcinek. W wyniku translacji uzyskujemy periodyczne
rozmieszczenie tych motywów wzdłu\
prostych równoległych.
PRZEKSZTAA
CENIA SYMETRYCZNE ZA
OśONE  to kombinacje przekształceń polegające na
tym, \
e wykonujemy kolejno dwie operacje symetryczne pomijając pośrednie poło\
enia przekształcanego
motywu. Tak sprzÄ™\
one działanie dwóch operatorów nazywamy iloczynem przekształceń, w
przeciwieństwie do sumy przekształceń, gdzie poło\
enia pośrednie są uwzględniane.
Do przekształceń zło\
onych zaliczamy:
- obrót inwersyjny (elementem symetrii jest oś inwersyjna)
- obrót zwierciadlany (elementem symetrii jest oś zwierciadlana, czyli przemienna)
- obrót śrubowy (elementem symetrii jest oś śrubowa; mo\
e być prawa lub lewa)
- odzwierciedlenie poślizgowe (elementem symetrii jest płaszczyzna poślizgu)
Ze względu na charakter powstałego wskutek przekształcenia utworu wyró\
nia się przekształcenia:
- zamknięte (punktowe)  inwersja, obrót, odzwierciedlenie
- otwarte (przestrzenne)  translacja
Rozpatrując symetrię postaci zewnętrznej kryształów i ich budowy wewnętrznej mo\
na zauwa\
yć, \
e
dopuszcza ona współwystępowanie pewnych przekształceń symetrycznych. Wszystkie dopuszczalne w
krystalografii kombinacje przekształceń symetrycznych (elementów symetrii) mo\
na wyprowadzić
matematycznie za pomocą teorii grup, a w przypadku symetrii punktowej równie\
za pomocÄ… rozwa\
ań
geometrycznych.
Dopuszczalne kombinacje elementów symetrii punktowej nazywamy GRUPAMI PUNKTOWYMI.
Własnością takiej grupy jest, \
e mo\
e ona przekształcać nieskończone trójwymiarowe sieci lub wielościany
krystalograficzne w ten sposób, by co najmniej jeden ich punkt nie zmienił przy tym poło\
enia. IstniejÄ… 32
grupy symetrii punktowej. Grupy te nie zawierają translacji jako elementu twórczego, nie wystarczają więc
do opisania symetrii budowy wewnętrznej kryształów, ale wyczerpująco określają symetrię ich postaci
zewnętrznych. 32 grupom symetrii punktowej odpowiadają 32 tzw. klasy symetrii.
Opis symetrii rozmieszczenia atomów w krysztale wymaga wprowadzenia przekształceń zawierających
translacjÄ™. Kombinacja samych translacji daje tzw. GRUPY TRANSLACYJNE (grupy Bravais go). Jest
ich 14 i odpowiada im 14 typów sieci translacyjnych.
Do opisania rzeczywistych kryształów niezbędne jest zastosowanie wszystkich przekształceń symetrii
punktowej, translacji oraz przekształceń zło\
onych zawierajÄ…cych translacjÄ™. Utworzone przy ich pomocy
grupy nazywamy GRUPAMI PRZESTRZENNYMI. Istnieje 230 grup przestrzennych.
Ka\
dej substancji krystalicznej mo\
na przyporządkować taki prawidłowy zbiór punktów w przestrzeni,
zwany SIECI
PRZESTRZENN
, \
e ka\
da ściana kryształu danej substancji będzie równoległa do
odpowiedniej płaszczyzny przechodzącej przez co najmniej trzy punkty nie le\
Ä…ce na jednej prostej. Punkty
te reprezentują w rzeczywistości środki cię\
kości atomów lub ich ugrupowań. Najprostszym elementem sieci
jest PUNKT IDENTYCZNY (W
ZEA
SIECIOWY). PoddajÄ…c go translacji o pewien odcinek
uzyskujemy PROST
SIECIOW
, będącą zarazem siecią jednowymiarową (liniową). Odległość
sąsiednich punktów nazywamy okresem (periodem) identyczności a, a odpowiedni wektor przemieszczenia
podstawowym wektorem translacji. Je\
eli ka\
dy punkt prostej sieciowej poddamy translacji b w kierunku
nierównoległym do a, uzyskamy PA
ASZCZYZN
SIECIOW
, będącą siecią dwuwymiarową (płaską).
PoddajÄ…c z kolei ka\
dy punkt płaszczyzny sieciowej trzeciej translacji c, nierównoległej do wektorów a i b,
uzyskujemy SIEĆ PRZESTRZENN
. Jest to tzw. SIEĆ PRYMITYWNA, poniewa\
zawiera tylko
jeden rodzaj punktów identycznych. Dla jednoznacznego określenia przestrzennej sieci prymitywnej
potrzebna jest znajomość trzech podstawowych translacji a, b i c oraz zawartych miÄ™dzy nimi kÄ…tów Ä…, ², Å‚,
przy czym Ä… jest kÄ…tem miÄ™dzy b i c, ² - miÄ™dzy a i c, a Å‚ - miÄ™dzy a i b. Tych sześć wielkoÅ›ci nazywamy
PARAMETRAMI SIECI.
Istnieje ścisły związek pomiędzy sieciową budową wewnętrzną kryształu a jego zewnętrzną postacią
geometrycznÄ…. Ujmuje go ZASADA PARALELIZMU (prawo sieciowe)  ka\
dej ścianie kryształu
odpowiada zbiór równoległych do niej płaszczyzn sieciowych, a ka\
dej krawędzi  zbiór równoległych
prostych sieciowych. Ściany pojawiające się na realnych kryształach są równoległe do płaszczyzn
sieciowych wykazujących najgęstsze obsadzenie przez węzły reprezentujące atomy.
W ka\
dej sieci przestrzennej mo\
na wyró\
nić powtarzający się motyw  KOMÓRK

ELEMENTARN
(równoległościan elementarny), której krawędzie utworzone są przez 3 najkrótsze
translacje a, b, c, a w naro\
ach znajduje siÄ™ osiem najbli\
szych punktów identycznych. Jako komórkę
elementarną obieramy z reguły ten równoległościan, który oparty jest o najkrótsze wektory translacji. Od tej
zasady odstępujemy tylko wtedy, gdy wybór dłu\
szej translacji prowadzi do komórki o prostszej geometrii.
Sześć wielkoÅ›ci: a, b, c, Ä…, ², Å‚ nazywamy PARAMETRAMI KOMÓRKI ELEMENTARNEJ.
W celu analitycznego opisania poło\
enia w przestrzeni elementów morfologii lub struktury kryształu,
spośród elementów sieci obieramy osie odniesienia, zwane OSIAMI KRYSTALOGRAFICZNYMI.
Mogą to być krawędzie kryształu, lub krawędzie komórki elementarnej. Wszystkie typy sieci, które mo\
na
opisać za pomocą tego samego układu osi krystalograficznych, grupujemy w jeden UKA
AD
KRYSTALOGRAFICZNY. Kryształy nale\
ące do jednego układu wykazują pewne wspólne cechy
symetrii narzucone przez dany system osiowy. Do ka\
dego układu zaliczamy kilka klas krystalograficznych,
wykazujÄ…cych pewnÄ… SYMETRI
MINIMALN
. Układ ograniczony jest jednak równie\
przez ilość i
rodzaj dopuszczalnych elementów symetrii  tzw. SYMETRI
MAKSIMUM.
Pełna charakterystyka układów krystalograficznych obejmuje parametry sieci, symetrię minimum i
maksimum. Pięć układów ma trzy osie krystalograficzne X, Y, Z, dwa pozostałe natomiast (trygonalny i
heksagonalny) mają wspólny system czterech osi X1, X2, X3, Z, ró\
niÄ… siÄ™ natomiast symetriÄ… minimum.
Kryształy układu trygonalnego mo\
emy opisać równie\
za pomocą układu trzech osi krystalograficznych,
obranych spośród krawędzi komórki romboedrycznej. Niekiedy zastępuje się więc układ trygonalny
układem romboedrycznym, niekiedy te\
klasy układu trygonalnego są włączane do heksagonalnego, a
wówczas liczba układów redukuje się do sześciu.
Ka\
dej substancji krystalicznej mo\
na przyporządkować taki prawidłowy zbiór punktów w przestrzeni,
zwany SIECI
PRZESTRZENN
, \
e ka\
da ściana kryształu danej substancji będzie równoległa do
odpowiedniej płaszczyzny przechodzącej przez co najmniej trzy punkty nie le\
Ä…ce na jednej prostej.
Dla jednoznacznego określenia
przestrzennej sieci prymitywnej (czyli
takiej, która zawiera tylko jeden
rodzaj punktów identycznych)
potrzebna jest znajomość trzech
podstawowych translacji a, b i c oraz
zawartych miÄ™dzy nimi kÄ…tów Ä…, ², Å‚,
przy czym ą jest kątem między b i c,
² - miÄ™dzy a i c, a Å‚ - miÄ™dzy a i b.
Tych sześć wielkości nazywamy
PARAMETRAMI SIECI. W
ka\
dej sieci przestrzennej mo\
na wyró\
nić powtarzający się motyw  KOMÓRK
ELEMENTARN

(równoległościan elementarny), której krawędzie utworzone są przez 3 najkrótsze translacje a, b, c, a w
naro\
ach znajduje siÄ™ osiem najbli\
szych punktów identycznych. Sześć wielkoÅ›ci: a, b, c, Ä…, ², Å‚ nazywamy
PARAMETRAMI KOMÓRKI ELEMENTARNEJ. W celu analitycznego opisania poło\
enia w
przestrzeni elementów morfologii lub struktury kryształu, spośród elementów sieci obieramy osie
odniesienia, zwane OSIAMI KRYSTALOGRAFICZNYMI. Wszystkie typy sieci, które mo\
na opisać
za pomocą tego samego układu osi krystalograficznych, grupujemy w jeden UKA
AD
KRYSTALOGRAFICZNY.
Stosunki kÄ…towe i osiowe
Układ
parametry ściany Symetria minimum Symetria maksimum
krystalograficzny kąty międzyosiowe
jednostkowej
Trójskośny L1 lub C C
Ä… `" ² `" Å‚ `" 90° a `" b `" c
Jednoskośny L2 lub P L2+P+C
Ä… = Å‚ = 90° `" ² a `" b `" c
Rombowy 3L2 lub L2+2P 3L2+3P+C
Ä… = ² = Å‚ = 90° a `" b `" c
Tetragonalny L4 lub L4s L4 (L4s)+4L2+5P+C
Ä… = ² = Å‚ = 90° a = b `" c
Heksagonalny L6 L6+6L2+7P+C
Ä…1 = Ä…2 = Ä…3 = 90° a1 = a2 = a3 `" c
(L3 lub L6s)*
Å‚ = 120°
Regularny a = b = c 4L3 lub 4L6s 3L4+4L6s+6L2+9P+C
Ä… = ² = Å‚ = 90°
*
do układu heksagonalnego zaliczamy się najczęściej tak\
e dwie klasy o symetrii trójkrotnej