Wykład 26
Optyka falowa. Zasada Huyghensa - Fresnela
Opis rozchodzenia się światła oparty na pojęciu promieni jest zadowalający tylko do
chwili, gdy rozmiary soczewek, szczelin i innych urządzeń optycznych jest znacznie większy
od długości fali światła. Gdy ten warunek nie jest spełniony, ważną role zaczyna odgrywać
falowa natura światła. Podstawowymi zjawiskami wynikającymi z tego, że światło jest falą
elektromagnetyczna, są zjawiska dyfrakcji i interferencji. Przed tym jak zacząć rozważać
zjawiska interferencji i dyfrakcji światła rozważmy zasadę Huyghensa - Fresnela.
Wyobraz
my sobie najpierw, że pomiędzy z
ródłem S i punktem obserwacyjnym P nie
ma żadnego ekranu, wówczas pole elektryczne w punkcie będzie całkowicie określone
P
ES
przez pole fali świetlnej emitowanej przez z
ródło S :
E1(P) = ES
. (26.1)
We wzorze (26.1) świadomie nie rysujemy nad wektorami strzałki; przechodzimy bowiem do
prostszego opisu światła (skalarnego światła), w którym nie interesujemy się jak jest
r�
skierowany w punkcie wektor . Teraz wyobraz
my sobie, że pomiędzy z
ródłom
P E1(P)
światła S i punktem został wprowadzony nieprzezroczysty ekran z otworem, ale otwór w
P
tym ekranie jest zamknięty  zatyczką , wykonaną z tego samego materiału. Wówczas
korzystając z zasady superpozycji pól elektrycznych możemy zapisać:
E2 (P) = ES + Eekran + Ezatyczki = 0 , (26.2)
E2 (P) Eekran
gdzie jest całkowitym polem fali świetlnej w punkcie . Przez oznaczyliśmy
P
P, Ezatyczki
pole elektryczne w punkcie które wytwarza ekran z otworem, a oznacza pole
P,
elektryczne w punkcie z
ródłem którego jest zatyczka zamykającej otwór. Oczywiście,
ponieważ ekran jest nieprzez
roczysty i otwór jest zasłonięty, pole w punkcie musi być
P
równe zero.
Eekran Ezatyczki
Fizyczne pochodzenie pola i pola nie jest wcale takie tajemnicze; materia
składa się przecież z ładunków elektrycznych, które pod wpływem zewnętrznych pól
elektrycznych będą wykonywać drgania wytwarzając dzięki temu te dodatkowe pola o tej
samej częstości.
335
Przy odsłoniętym otworze (oczywiście jest to sytuacja, która nas najbardziej interesuje)
pole elektryczne w punkcie wynosi:
P
E3 (P) = ES + Eekran = -Ezatyczki . (26.3)
ct
czoło fali
nowe położenie
w chwili
czoła fali
t = 0
Jest to bardzo interesujący i może trochę zaskakujący wynik; pole pochodzące od fali świetlnej
za ekranem z otworem jest, z dokładnością do znaku, równe polu pochodzącemu od zatyczki
zasłaniającej otwór. Wynik ten stanowi podstawę tzw zasady Huyghensa-Fresnela która
stwierdza, że każdy punkt czoła fali może być uważany za z
ródło nowych fal kulistych
t
(fikcyjne oscylatory Huyghensa). Położenie czoła fali po czasie będzie dane przez
powierzchnię styczną do tych fal kulistych Metoda Huyghensa daje się zastosować jakościowo
do wszelkich zjawisk falowych.
336
Interferencja. Doświadczenie Younga
Zjawisko interferencji fal polega na nakładaniu się fal i wytwarzaniu ciemnych i
jasnych plam na ekranie . Istnienie interferencji dla światła było po raz pierwszy wykazane
przez Thomasa Younga w 1801 r.
S0
Young oświetlił światłem słonecznym ekran, w którym był zrobiony mały otwór .
S1 S2
Przechodzące światło padało następnie na drugi ekran z dwoma otworami i . Za
otworami powstają i rozchodzą się dalej dwie, nakładające się fale kuliste. Warunki
stosowalności optyki geometrycznej nie są spełnione i na szczelinach następuje ugięcie fal.
Mamy do czynienia z optyką falową.
S1
S0
S2
Jeżeli umieścimy ekran w jakimkolwiek miejscu, tak aby przecinał on nakładające się na
siebie fale to możemy oczekiwać pojawienia się na nim ciemnych i jasnych plam następujących
po sobie kolejno.
Rozważmy teraz doświadczenie Younga ilościowo. Zakładamy, że światło padające jest
monochromatyczne czyli zawiera tylko jedną długość fali. Na rysunku punkt jest dowolnym
P
r1 r2 S1 S2 bS2
punktem na ekranie, odległym o i od wąskich szczelin i . Linia na rysunku
PS2 S1 S2
poprowadzona tak, aby = bP . Oba promienie wychodzące ze szczelin i są zgodne
w fazie, gdyż pochodzą z tego samego czoła fali płaskiej. Ponieważ drogi, po których
docierają te fali do punktu są różne, ich fazy w punkcie mogą być różne. Odcinki bP i
P P
337
PS2 S1b
są równe, a zatem o różnice faz decyduje różnica dróg optycznych czyli odcinek .
S1b
Aby w punkcie P było maksimum, długość odcinka musi spełniać warunek:
P
r2
r1
� y
S2
O
d
S1 b �
D
S1b = m m = 0,1,2,K� , (26.4)
, gdzie
lub
m = 0,1,2,K� . (26.5)
d �" sin� = m , gdzie

Jest tak dlatego, że po przebyciu odcinka równego faza fali powtarza się, więc dla drogi
m fali w punkcie P będą znów zgodne w fazie, tak samo jak na początku tej drogi.
O
Zauważmy, że każdemu maksimum powyżej punktu odpowiada położone symetrycznie
O O m = 0
maksimum poniżej punktu . W punkcie mamy , a zatem w tym punkcie istnieje
centralne maksimum.
S1b
Dla uzyskania minimum w punkcie P , odcinek musi zawierać połówkową liczbę
długości fal, to jest:
1
�łm �ł
S1b = + �"  m = 0,1,2,K�
�ł �ł , gdzie , (26.6)
2
�ł łł
lub
1
�łm �ł
d �"sin� = + �"  m = 0,1,2,K� . (26.7)
�ł �ł , gdzie
2
�ł łł
338
Spójność - koherencja
Podstawowym warunkiem powstania stabilnego dobrze określonego obrazu
S1 S2
interferencyjnego jest, aby fale świetlne które przybywają z punktów i miały dokładnie
(kx
określoną różnicę faz, która nie zmienia się w czasie. (Przypomnimy, że faza -�t)
określa
E(x,t) = E0 cos(kx -�t)
stan fali
w danym miejscu i czasie). Mówimy więc, że dla obserwacji
S1 S2
obrazu interferencyjnego z
ródła fal interferencyjnych i muszą spełniać warunek
spójności (koherencji) czasowej.
Innym rodzajem spójności jest tzw. spójność przestrzenna, która wiąże się ze stopniem
r�
korelacji pomiędzy kierunkami fal świetlnych (kierunkami wektorów falowych )
k
emitowanymi przez różne obszary z
ródła światła. Warunek spójności przestrzennej jest
automatycznie spełniony dla z
ródła punktowego, natomiast dla z
ródła o skończonych
wymiarach to nie jest tak.
Jeżeli szczeliny S1 i S2 zastąpimy przez dwa niezależne z
ródła fal (np. żarówki) to nie
otrzymamy prążków interferencyjnych, ekran będzie oświetlony prawie równomiernie.
Interpretujemy to w ten sposób, że różnica faz dla fal pochodzących z niezależnych z
ródeł
zmienia się w czasie w sposób nieuporządkowany. Mówimy, że te z
ródła są niespójne,
niekoherentne.
Zasada superpozycji
Zjawisko interferencji (a również zjawisko dyfrakcji o którym mowa będzie póz
niej)
związane są z nakładaniem się różnych fal, pochodzących z różnych otworów (lub z różnych
fragmentów jednego otworu w przypadku dyfrakcji), oświetlonych tą samą falą padającą. By
zatem opisać te zjawiska, powinniśmy znalez
ć rozkład natężeń wynikający z nakładania się w
obszarze za otworem, czy otworami,  fragmentów tej samej fali.
Podstawą opisu zjawisk interferencji i dyfrakcji jest tzw. zasada superpozycji, związana
z problemem nakładania się różnych fal i wynikająca z liniowości równania falowego:
r� r� r� r�
r� r� r�
1 "2 (E1 + E2 ) 1 "2E1 r� "2E2 , (26.8)
1
"(E1 + E2 ) + a" "E1 + + "E2 + = 0
2 2 2
c2 "t c2 "t c2 "t
r� r�
Jeżeli E1 i E2 są rozwiązaniami równania falowego to prawa strona jest równa zeru, zatem
r� r�
lewa strona też musi być równa zeru, a to oznacza, że fala ( E1+ E2 ) też jest rozwiązaniem
339
równania falowego.
Zasada superpozycji mówi, że całkowite pole elektromagnetyczne jest sumą wszystkich
pól występujących w danej objętości.
Natężenie fali świetlnej w zapisie zespolonym
W ośrodku izotropowym dla fali płaskiej na wykładzie 23 otrzymaliśmy wzór
�0� �" H (z,t) = �0� �" Ey (z,t)
(wzór (23.65)). Korzystając ze związków: n = � �" � ,
x
c = 1/ �0�0
, zapiszmy:
�0� �0 �" c �0 �" c
H = �" Ey = �� �" Ey = n �" Ey
,
x
�0� � �
n
gdzie jest współczynnikiem załamania ośrodka.
� H" 1
W przypadku materiałów niemagnetycznych przenikalność , a zatem natężenie
fali (czyli wektor Poyntinga - Umowa) można przedstawić następującym wzorem:
r� r� r�
2
S a" S = E � H = �0cn �" E
. (26.9)
Powyższy wzór jest bardzo ważny; wyraża on bowiem mierzalną wielkość, jaką jest
wektor Poyntinga - Umowa, poprzez pole elektryczne, które występuje w teorii (równaniach
Maxwella).
Na ogół mierzymy nie chwilowe ale średnie w czasie wartości natężenia wiązki światła.
r� r� r�
r�
Dla fali płaskiej E = E0 �" cos(k �" r -�t) mamy
t
r�r� r�r�
�ł łł
1 1 1
2 2 2 2
E = E0 cos2 (kr - �t) = E0 �"
, (26.10)
�ł1+ t cos[2(kr - �t)]dtśł = 2 E0
+"
2
�ł 0 �ł
r�r�
t
r�r� / / sin[2(kr - �t)]
1
cos[2(kr - �t )]dt = - t "
ponieważ wyraz dąży do zera, gdy .
+"
t 2�t
0
Okazuje się, że zapis zespolony może być dla obliczania wartości średnich w czasie
r� r� r� r� r�
r� r�
bardzo przydatny. W zapisie zespolonym E = E0 �" cos(k �" r -�t) = E0 �" exp[i(k �" r -�t)], a
zatem wzór (26.10) możemy zapisać w postaci
340
r� r� r�
2
1 1
2
E = E �" E" = E0
. (26.11)
2 2
Podstawiając (26.11) do wzoru (26.9) znajdujemy:
r� r�
2
1
2
I a"< S >= �0cn�" < E >= �0cn �" E
. (26.12)
2
Natężenie w doświadczeniu Younga
S1 S2
Obliczymy teraz natężenie światła w doświadczeniu Younga. Niech zatem i będą
r� r�
z
ródłami fal monochromatycznych kulistych o tej samej częstości i polaryzacji ( E1 || E2 ),
odległych od siebie o a.
Zgodnie z (23.60b) oraz z zasadą superpozycji w punkcie obserwujemy falę świetlną
P
r�
, która jest sumą fal pochodzących z obu z
ródeł:
E
r� r� r�
E = E1 + E2 =
r� r�
,
E01 E02
= exp[i(k1r1 -�t)] + exp[i(k2r2 - �t)]
r1 r2
k1 k2 S1 S2
gdzie i są liczbami falowymi fal ze z
ródeł i . Ponieważ długości obu tych
k1 = k2 = �n / c a" k
wektorów są równe ( ) mamy dalej:
r� r� r�" r�"
�0 r� 2 1
I = cn �" E0 = �0cn[(E1 + E2)�"(E1 + E2)]
2 2
. (26.13)
2 2
1 E01 1 E02 E01E02
= �0cn + �0cn + �0cn cos[k(r1 - r2 )]
2 r12 2 r22 r1r2
341
� = 1
Tu założyliśmy, że . Ostatecznie:
I = I1 + I2 + 2 I1I2 �" cos� , (26.14)
gdzie:
2 2
1 E01 1 E02
I1 = �0cn I2 = �0cn
, (26.15)
2 r12 2 r22
i
r1 - r2
� = k(r1 - r2 ) = 2Ą . (26.16)

Warto zwrócić uwagę, że w wyrażeniu (26.14) na natężenie światła w punkcie , oprócz
P
S1 S2
natężeń światła emitowanego przez dwa z
ródła i występuje pewien dodatkowy wyraz
mieszany (tzw. wyraz interferencyjny), którym się teraz zajmiemy dokładniej. Wyraz
interferencyjny może być zarówno dodatni i ujemny, zależnie od wartości parametru � ,
r1
zależnego od różnicy dróg ( - r2
). Maksymalne i minimalne natężenia wyniosą odpowiednio:
m = 0,ą1,ą2,K�
I = I1 + I2 + 2 I1I2 - interferencja konstruktywna, � = 2Ąm , ,
1
� = 2Ą (m + ) m = 0,ą1,ą2,K�
I = I1 + I2 - 2 I1I2 - interferencja destruktywna, , .
2
E01 = E02 I1 = I2 a" I0
Jeśli natężenia obu składowych fal są równe, , czyli , to:
�
I = 2I0 (1+ cos� ) = 4I0 �" cos2
, (26.17)
2
przy czym warunki na interferencję konstruktywną i destrukcyjną są takie same jak
poprzednio.
Zauważmy, że wykorzystując równanie (26.16), warunek na interferencję
konstruktywną można zapisać w postaci:
r1 - r2 =  �" m m = 0,ą1,ą2,K�
, gdzie , (26.18)
a  jest długością fali.
342
Zwróćmy uwagę, że postać tego warunku przypomina geometryczną definicję
hiperboli; hiperbola jest to zbiór (czyli miejsce geometryczne) punktów M , dla każdego z
których bezwzględna wartość różnicy odległości od dwóch danych punktów nazywanych
ogniskami hiperboli, jest wielkością stałą. jak widać, ze wzoru (26.18), to właśnie w
S1 S2
ogniskach hiperboli powinny znalez
ć się z
ródła światła i . Równanie hiperboli w
x, y
współrzędnych ma postać:
x2 y2
- = 1 , (26.19)
a2 b2
r1
gdzie a = m / 2 - r2 =  �" m = 2a 2c = d
( ), , a
b = c2 - a2 .
Podkreślimy, że w rzeczywistości warunek interferencji konstruktywnej będzie
spełniony dla punktów M leżących na hiperboloidzie obrotowej, otrzymanej przez obrót
x y = L
hiperboli z rysunku wokół osi . Jeśli w odległości od z
ródeł światła wstawimy płaski
ekran, to przecięcia płaszczyzny ekranu z hiperboloidami spełniającymi warunek
konstruktywnej interferencji dadzą jasne prążki. Wydawałoby się, że prążki te powinny być
opisane hiperbolami, to byłoby oczywiście dokładnie prawdą, gdyby nasza wyjściowa
hiperboloida była stożkiem; przecięcia stożka płaszczyznami to są przecież krzywe stożkowe,
ale czym są przecięcia płaszczyzną hiperboloidy obrotowej? Inna rzecz, że na ogół odległość
ekranu L od z
ródeł będzie znacznie większa od odległości pomiędzy nimi; o tyle większa, że
x
nawet dla prążków niskich rzędów będzie znacznie większe od a = m / 2
(a to dlatego, że
y
b
będzie znacznie większe od ). Zatem z równania po pominięciu
y = ąb (x / a)2 -1
343
y E" bx / a
jedynki otrzymujemy przybliżony wzór i hiperboloida przechodzi w stożek.
A
atwo zauważyć, że pomiędzy prążkami jasnymi, dla których warunek konstruktywnej
interferencji jest spełniony, wystąpią prążki ciemne, dla których spełniony będzie warunek
xy
x
interferencji destrukcyjnej. W płaszczyz
nie współrzędna będzie opisywać położenie
y
prążka na ekranie, a współrzędna oznaczać będzie odległość ekranu od z
ródeł światła, tak
jak pokazano na rysunku.
x E" ąay / b y = L
Ponieważ: , biorąc pod uwagę, że a = m / 2 , , a odległość z
ródeł
d = 2c , znajdujemy:
a m 
xm = y = L H" m �" L
. (26.20)
b d
2 c2 - a2
m
Otrzymaliśmy wzór podający odległość na ekranie prążka rzędu od prążka zerowego (w
P0
punkcie ).
Dla prążków ciemnych można łatwo pokazać, że
1 
x H" (m + ) �" L
1 . (26.21)
m+
2 d
2
Otrzymaliśmy ogólne wzory podające odległości na ekranie prążków jasnych i
P0
ciemnych od prążka zerowego (w punkcie ).
Wzory (26.20) i (26.21) łatwo zrozumieć. Dla dostatecznie dużych można przyjąć,
L
r1 r2
że i są praktycznie równoległe i że różnica dróg dla obu promieni jest równa " . Mamy
wówczas dla małych ą jednocześnie (patrz rysunki):
r1 - r2 " m �" 
= = = siną H" ą , (26.22)
d d d
344
x
= tgą H" ą . (26.23)
L
Ze wzorów (26.22) i (26.23) natychmiast wynika wzór (26.20).
Ponieważ, jak widać ze wzorów (26.22) i (26.23)
L
x E" L �"ą = �" (r1 - r2 )
,
d
a
� = k(r1 - r2 )
,
345
otrzymujemy następujący wzór na fazę funkcji opisującej rozkład natężeń na ekranie od
x
współrzędnej :
kd
� = k(r1 - r2 ) = �" x
.
L
Interferencja w cienkich błonkach
Barwy cienkich błonek, baniek mydlanych, plam np. oleju na wodzie są wynikiem
n
interferencji. Na rysunku pokazana jest warstwa o grubości d i współczynniku załamania .
Warstwa jest oświetlona przez rozciągłe z
ródło światła monochromatycznego. W z
ródle
istnieje taki punkt S , że dwa promienie wychodzące z tego punktu mogą dotrzeć do oka po
a
przejściu przez punkt . Promienie te przebiegają różne drogi gdyż jeden odbija się od górnej,
a
a drugi od dolnej powierzchni błonki. To czy punkt będzie jasny czy ciemny zależy od
a
wyniku interferencji fal w punkcie . Fale te są spójne, bo pochodzą z tego samego punktu
z
ródła światła. Jeżeli światło pada prawie prostopadle to geometryczna różnica dróg pomiędzy
obu promieniami wynosi prawie 2d .
oko
S
powietrze
a
warstwa
n
d
powietrze
a
Można więc oczekiwać, że maksimum interferencyjne (punkt jasny) wystąpi gdy
odległość 2d będzie całkowitą wielokrotnością długości fali. Okazuje się, że tak nie jest z
trzech powodów:
n
1) długość fali odnosi się do długości fali w błonce , a nie do jej długości w
powietrzu  . Oznacza to, że musimy rozważać drogi optyczne, a nie geometryczne.
346
Przypomnimy, że prędkość fali jest związana z częstotliwością (barwą) i długością fali
wzorem: � =  �"� .
2) Przy przejściu do innego ośrodka zmienia się prędkość i długość fali, a
częstotliwość pozostaje bez zmiany. Ponieważ przy przejściu z powietrza do materiału o
n n n
współczynniku załamania prędkość maleje razy: � = c / n , to długość fali też maleje
n =  / n
razy: .
n
3) Można wykazać, że fala odbijając się od ośrodka optycznie gęstszego (większe )
zmienia swoją fazę o Ą . Natomiast gdy odbicie zachodzi od powierzchni ośrodka rzadszego
optycznie fala odbija się bez zmiany fazy. Oznacza to, że promień odbity od górnej
powierzchni błonki zmienia fazę, a promień odbity od dolnej granicy nie.
Możemy teraz uwzględnić wszystkie te czynniki tj. różnice dróg optycznych oraz
zmiany faz przy odbiciu. Dla dwóch promieni pokazanych na rysunku warunek na maksimum
ma postać
2d = mn + n / 2 m = 0,ą1,ą2,K�
- interferencja konstruktywna , .
n / 2
Czynnik opisuje zmianę fazy przy odbiciu (od górnej powierzchni) bo zmiana fazy o
n =  / n
jest równoważna różnicy dróg równej połowie długości fali. Ponieważ
1800
otrzymujemy więc
1
�łm �ł
2dn = + m = 0,ą1,ą2,K�
�ł �ł - interferencja konstruktywna , .
2
�ł łł
Analogiczny warunek na minimum ma postać
m = 0,ą1,ą2,K�
2dn = m - interferencja destruktywna , .
347