Złożone działanie
sił wewnętrznych
w prętach prostych
Jeżeli siły wewnętrzne nie redukują się wyłącznie do siły
podłużnej N, poprzecznej T i momentu gnącego Mg czy
N T Mg
momentu skręcającego Ms, to przypadki takie nazywa się
Ms
złożonymi zagadnieniami wytrzymałości
prętów.
NAPR
ŻENIA W
NAPR
ŻENIA W
PR
CIE
PR
CIE
ROZCI
GANYM
ROZCI
GANYM
LUB ŚCISKANYM
LUB ŚCISKANYM
I ZGINANYM
I ZGINANYM
Rozpatrzymy pręt prosty obciążony układem dwóch sił P
równoważących się (rys.1).Ich prosta działania nie pokrywa się z
osią pręta, ma jednak jej kierunek. Obciążenie takie określa się
jako rozciąganie mimośrodowe.
rozciąganie mimośrodowe
Osie y i z są głównymi osiami bezwładności przekroju. Jako
głównymi osiami bezwładności przekroju
siły wewnętrzne w dowolnym przekroju występują:
" siła podłużna N = P
siła podłużna N = P
" moment gnący Mg = Pa.
moment gnący Mg = Pa
Jest to więc zagadnienie równoczesnego rozciągania i zginania,
które z uwagi na to, że wektor momentu gnącego ma kierunek
głównej osi bezwładności przekroju, jest zginaniem prostym.
zginaniem prostym
�r �g �r+�g
z
N n
N
x
B
P
P
Mg
Mg
P
y
(Rys.1)
Naprężenie spowodowane rozciąganiem w dowolnym
rozciąganiem
N P
punkcie B wynosi
� = =
r
A A
a naprężenie od zginania
zginania
Mg
Pa
�g = y = y
Iz Iz
W obu przypadkach wywołany stan naprężenia jest jednoosiowy.
Składając naprężenia �r i �g, otrzymujemy naprężenie całkowite
naprężenie całkowite
P Pa
� = �r + �g = + y
A Iz
a
lub po podstawieniu Iż=Aiz2 (gdzie iż - promień bezwładności
przekroju względem osi z)
�# ś#
P a
ś# ź#
� = 1 + y
ś# ź#
2
A
i
z
�# #
Porównując � = 0, otrzymujemy równanie osi obojętnej
osi obojętnej
a
1 + y = 0
o
2
i
z
Jest to równanie linii prostej, równoległej do osi z, przesuniętej
względem niej o
n = -i2 / a
z
Na rys. (1) oś obojętna linii przecina przekrój pręta;
zmniejszając mimośród a możemy ją odsunąć poza przekrój
pręta. Wówczas wystąpią wyłącznie naprężenia dodatnie,
choć o zmiennych wartościach.
Na przykładzie pręta ściskanego mimośrodowo siłą P (rys.2)
rozważymy przypadek , gdzie oprócz działania siły osiowej
występuje zginanie ukośne.
zginanie ukośne
W dowolnym przekroju pręta
wystąpią: siła podłużna N = - P i moment gnący Mg = Pa,
powodujący zginanie ukośne
zginanie ukośne
z
x
P
y
a
z
N
Mg
ą
a
y
Rys.3
Rys.2
Moment gnący rozkłada się na dwa momenty zginania prostego.
Moment gnący rozkłada się na dwa momenty zginania prostego
Mgy= -Pzp i Mgz= Pyp, gdzie yp i zpsą odległościami prostej
Mgy= -Pzp i Mgz= Pyp,
działania P od gnącego w punkcje o współrzędnych y i z,
otrzymujemy
Mgyz Mgzy
N
�= + -
A Iy Iz (2)
z
I( yI ,zI )
x
Oś obojętna
Yp
P
Zp
y
m
a
n
z
II(yII ,zII )
N
Mg
Mgz
ą
m
y
Mgy
a
z
n
y Naprężenia
Rys.3
Rys.2
Pzp Pyp
P
Po wstawieniu odpowiednich wyrażeń
� = - - z - y
(2)
A Iy Iz
na N, Mgy, Mgz otrzymujemy
N, Mgy, Mgz
�# ś#
P
ś#1+ zp z+ yp yź#
Iz = Ai2
Podstawiając za � = -
Iy = Ai2
z
y
Aś# i2 i2 ź# (3)
y z
�# #
zp yp
Po porównaniu � = 0 otrzymujemy
� = 0
1+ zo + yo = 0
i2 i2 (4)
y z
Jest to równanie miejsca geometrycznego punktów, w którym
naprężenie równe jest zeru. Miejscem tym jest linia prosta nie
przechodząca przez środek przekroju. Jest to oś obojętna.
oś obojętna.
Największe wartości osiągają naprężenia ściskające i rozciągające na
konturze przekroju w punktach I i II (rys.3) najbardziej oddalonych
od osi obojętnej po obydwu jej stronach.
Równanie (4) możemy przedstawić
i2 i2zp
z
z
yo = - - zo
w postaci
yp i2yp
y (5)
2
z
i I
p
z z
- = tg ą
=
2
y
i I
Po podstawieniu za , (gdzie
p
y y
ą jest kątem nachylenia wektora momentu gnącego do osi z )
2
otrzymujemy i I
z z
y = - + z tg ą
o o
(6)
y I
p y
Iz
tg� = tgą .
Kąt nachylenia � osi obojętnej do osi z określa
Iy
Jest on taki sam, jak w zginaniu ukośnym.
Wyznaczmy odcinki m i n, jakie oś obojętna odetnie na
osiach y i z ( rys.3)
i2
i2
y
z
n = zy =0 = -
m=yz =0 =-
o
o
zp
(7)
yp
Niech sile P przyłożonej w punkcie B (rys. 4) odpowiada oś
P B
obojętna l.
l Przyjmuje się na niej dowolny punkt C (yc, zc). Aby
C (yc, zc).
zbadać jak będzie się zmieniało położenie punktu przyłożenia
siły P w przypadku obrotu osi obojętnej wokół punktu C, należy
P C
w równaniu osi obojętnej (4) wstawić za yo i zo stałe wartości yc i
zc, traktując yp i zp jako zmienne
Z
k
Jest to równanie linii prostej k
l1
B2
(ze względu na zmienne yp i zp).
yp B
zp B1
zc yc
y
1+ zp + yp = 0
C
i2 i2
y z
l2
l
Rys.4
z
Obrotowi linii dookoła jednego
m
punktu odpowiada przesuwanie
m.
się punktu przyłożenia siły po k
linii prostej.W przypadku gdy siłę
P przyłożymy w punktach B1, B2
B
l
leżących na osiach głównych
B
l
bezwładności przekroju, łatwo
0
wyznaczymy osie obojętne l1 i l2
yp
y
równoległe do odpowiednich osi
y p
głównych. Ich przecięcie
wyznacza punkt obrotu osi
punkt obrotu osi
obojętnej w przypadku
obojętnej
przesuwania się punktu
przyłożenia siły po prostej k.
Rys.5
p

z
p
z

n
n
RDZEC

RDZEC

PRZEKROJU
PRZEKROJU
Dla siły ściskającej w punkcje B1 (rys.6) wyznaczamy oś obojętna l1.
Przechodzi ona przez figurę przekroju, więc w obrębie przekroju
wystąpią naprężenia ściskające i rozciągające. Dla siły przyłożonej
w punkcje B2, leżącej na prostej przechodzącej przez punkt B1 i
środek przekroju, oś obojętna l2 będzie przechodzić równolegle do
osi l1, lecz poza przekrojem.
l2
l
z
l1
W przekroju
y
występują wyłącznie
naprężenia jednego
znaku (ściskające).
B2 B
B1
k
Rys.6
Miejsce geometryczne punktów przyłożenia siły (działającej
osiowo), dla których w przekroju występują naprężenia wyłącznie
jednego znaku , nazywa się rdzeniem (jądrem) przekroju.
rdzeniem (jądrem) przekroju
Kontur rdzenia wyznaczają punkty B (rys. 6), dla których osie
obojętne będą styczne do konturu przekroju, nie przecinając go.
z
l3
l4
1
5
a
Wyznaczeniem rdzenia
2
B
przekroju jest zadaniem
3
4
szczególnie prostym, gdy
przekrój jest wielokątem
y
(rys.7 )
l2
l1
A
l5
Rys.7
Równoczesne
Równoczesne
działanie momentu
działanie momentu
skręcającego i siły
skręcającego i siły
podłużnej lub
podłużnej lub
momentu gnącego
momentu gnącego
Technicznym przykładem równoczesnego skręcania i rozciągania
może być zawieszony pionowo wał turbiny wodnej.
W celu określenia stanu naprężenia w wale wyznacza się oddzielnie
naprężenia styczne � jak dla skręcania i naprężenia normalne �
naprężenia styczne � naprężenia normalne �
jak dla rozciągania.
Do oceny wytrzymałościowej należy, opierając się na odpowiedniej
hipotezie wytrzymałościowej, obliczyć naprężenia zredukowane �red
naprężenia zredukowane �red
i porównać je z naprężeniem dopuszczalnym �dop.
naprężeniem dopuszczalnym �dop
W wale okrągłym (rys.8) naprężenie od rozciągania rozkłada się w
przekroju równomiernie
N
� =
A
Ms
�max =
Naprężenia styczne zaś są największe na obwodzie
Wo
�
�
Rys.8
Bardzo częstym i typowym w technice budowy maszyn przypadkiem
jest równoczesne zginanie i skręcanie wału. Jeżeli wał jest o
zginanie i skręcanie wału
przekroju kołowym, wówczas rozkład naprężeń w przekroju
przedstawia się jak na rys.9.
�MAX
�MAX
Ms
�max =
�
Wo
�
Mg
�max =
W
Rys.9
Uważając, że dla materiałów sprężysto - plastycznych (stali)
sprężysto - plastycznych
najstosowniejsza jest hipoteza energii odkształcenia
postaciowego (hipoteza Hubera  Misesa), obliczamy:
�#�# Mg ś#2 �# Ms ś#2 ś#
ś#ś# ź# +3ś# ź# ź#
ś#
�red = �2 +3�2 = d" �dop
max max
ś#ś# W ź#
Wo ź# ź#
�# #
�#�# # #
Uwzględniając, że dla przekroju kołowego stosunek wskaz
ników
przekroju kołowego
wytrzymałości wynosi Wo/W = 2, skąd Wo = 2W
3
2 2
Mg + Ms
4
�red = d" �dop
W
3
2 2
moment zredukowany lub
moment zredukowany
Mred = Mg + Ms
4
zastępczy
zastępczy
(11)
Dla materiałów sprężysto - plastycznych (stali) stosowana jest
sprężysto - plastycznych
także hipoteza maksymalnych naprężeń stycznych:
�#�# Mg ś#2 �# Ms ś#2 ś#
22
ś#ś#ź# ź#
�red = �max + 4�max = + 4ś# ź# d"�dop
ś#�# #�# # ź#
WWo #
�#
Uwzględniając, że dla przekroju kołowego stosunek wskaz
ników
przekroju kołowego
wytrzymałości wynosi Wo/W = 2, skąd Wo = 2W
3
4
2
2
Mg M2s
M ++ Ms 2
g
44
�red �dop
�red == d"d"�dop
W
W
22
2 2
moment zredukowany lub
moment zredukowany
Mred = M3 + Ms
Mred = Mg + Ms
g
4
zastępczy
zastępczy
(11)
Mred
warunek wytrzymałości dla wału
warunek wytrzymałości
d"�dop
W
zginanego i skręcanego
W przypadku gdy są określone: moment
32Mred
gnący i skręcający oraz naprężenia
d =
3
dopuszczalne, poszukuje się najmniejszej
najmniejszej
Ą�dop
dopuszczalnej średnicy wału
dopuszczalnej średnicy wału
Wzór na moment obrotowy
(skręcający) na wale
Momenty skręcające przekazywane na wał (za pomocą pasa czy
kół zębatych) można obliczyć z jednego z podstawowych wzorów
mechaniki, jeżeli znamy moc P przekazywaną na wał i prędkość
obrotową wału n z wzoru.
P P P
MS = = = 9554,14
2Ą �" n
� n
W ktorym :
60
P - moc w kW; n - prędkość obrotowa wału w obr/min;
Ms - moment skręcający w N � m
J m2 �" kg
W kg �" m
s s3
N �" m = = = = �" m = N �" m
s s s s2