3. CAŁKA KRZYWOLINIOWA SKIEROWANA

1. Obliczyć całki:

1.1

∫

K

 xy  dxydy

, 

       gdzie K jest:   (1) odcinkiem



AB

łączącym punkty

A 0,0

i

B2a ,0

,

 

(2) odcinkiem



BA

,

(3) łukiem cykloidy

{

x=a t−sin t

y=a1−cost

,

1.2

∫

K

 xy  dxydy

, gdzie K jest górną połową elipsy

{

x=2  cos t

y=3 sin t

,

1.3

∫

−K

x

2 

dy−y

2 

dx

x

5 
3

y

5 

3

, gdzie K jest łukiem asteroidy

{

x=a cos

3 

t

y=a sin

3 

t

od punktu 

A a ,0

do

                                       punktu

B 0, a

,

1.4

∫

K

xy

2

dx −ydy , gdzie K jest dodatnio zorientowaną krzywą zamkniętą utworzoną 

     z łuku paraboli

y=1− x

2

, x , y0

, łuku okręgu

x

2

y

2

=1, x0

 

                                   i odpowiednich odcinków osi Ox i Oy,

1.5

∫

K

y

2 

dx−x

2 

dy , gdzie K okręgiem o środku w punkcie (1,1) i promieniu 1

                                         skierowanym ujemnie,

1.6

∫

K

yz dxz



a

2

−y

2

dyxydz , gdzie K jest łukiem linii śrubowej

{

x=a cost

y=a sin t

z=

bt

2 

od

             punktu przecięcia z płaszczyzną

z=0

do punktu przecięcia z płaszczyzną

z=b

.

1.7

∫

K

y

2 

dxz

2 

dyx

2 

dz , jeżeli K jest częścią krzywej

x

2

y

2

z

2

=a

2

, x

2 

 y

2

=ax ,

                                             

z0, a0

, przebieganej w kierunku przeciwnym do ruchu

     wskazówek zegara dla obserwatora umieszczonego na dodatniej półosi Ox (dla 

xa

).

2. Stosując wzór Greena, obliczyć całki: 

2.1

∫

K

2x

2

−11y dx4xsin y dy , jeżeli K jest okręgiem

x

2

y

2

=9

skierowanym

                                                                ujemnie, 

2.2

∫

K

2xdx− x2  y dy jeżeli K jest brzegiem trójkąta ABC o wierzchołkach

                                           

A −1,0 , B 0,2 , C 2,0

skierowanym dodatnio,

1

2.3

∫

K

y cos x dxsin x dy jeżeli K jest łamaną CBA, 

A −1,0 , B 0,2 , C 2,0

,

2.4

∫

K

e

−x

2

−y

2





cos 2xy dxsin 2xydy



, gdzie K jest okręgiem

x

2

y

2

=R

2

skierowanym

                                                                   dodatnio. 

3. Sprawdzić czy całka nie zależy od drogi calkowania i obliczyć ją:

3.1

∫

0,0

3,1



2xy

y

2 



x1



dx



x

2 





x1



dy ,

3.2

∫

1,

2, 



1−

y

2

x

2

cos

y
x



dx



sin

y
x



y
x

cos

y
x



dy ,

3.3

∫

1,1,1

0,2 ,3



1−

1

y



y
z



dx



x
z



x

y

2



dy−

xy

z

2

dz .

4. Stosując całkę krzywoliniową skierowaną obliczyć pole figury ograniczonej podaną krzywą:

4.1

{

x=acost

y=b sin t

0 t2 

,

4.2

{

x=a cos

3 

t

y=asin

3 

t

0 t2 

,

4.3

 xy 

2

=ax , a0

i osią Ox.

5. Obliczyć pracę pola sił 

F

po krzywej 

K

, jeżeli:

5.1

F=

[

−x

2

y , xy

2 

]

, K jest brzegiem obszaru ograniczonego krzywymi 

y=x

2

,

     

y=x 2

zorientowanym dodatnio,

5.2

F=

[

yz , zx , xy

]

, K jest K jest łukiem linii śrubowej

{

x=a cost

y=a sin t

z=

bt

2 

,

0 t2 

.

6. Sprawdzić czy następujące pola wektorowe są potencjalne, jeśli tak, wyznaczyć potencjał:

6.1 F=

[

x

2

y cos x , y

3 

sin x

]

,  

6.2 F=

[

x2xe

y

, y−x

2 

 xe

y

]

,

6.3 F=

[

yz e

xz

 y

2

, e

xz

2xyzsin  yz , xye

xz

 ysin yz

]

,

6.4 F=

[

xxyz , y

2 

xz , z

3

xy

]

,

6.5 F=

[

2xyz , 3y

2 

 xz , 4z

3

xy

]

.

2