Prognozowanie cen

Niemal wszystkie akcje zmieniają swoje ceny codziennie, a duża ich część w sposób niemal ciągły. Wykresy cen przedstawiają, w
zależności od nastawienia obserwatora, efekt równoważenia się sił popytu i podaży, dyskontowanie przyszłych zdarzeń, reakcje na
wydarzenia historyczne, efekt manipulacji akcjami, wpływ kosmosu bądź też całkowicie przypadkowe ruchy Browna. Te bądź
jeszcze inne przyczyny zmian cen usiłuje się wykorzystać w analizie historycznych przebiegów i próbie prognozowania
przyszłego zachowania cen. Analiza techniczna, fundamentalna, portfelowa, teoria chaosu, okienka Carolana, przetwarzanie
widma sygnału (DSP) czy teoria behawioralna to tylko niektóre elementy zaadaptowane z innych, bardziej naukowych dziedzin.
Wydawałoby się, że te wymienione oraz inne metody stosowane przez inwestorów mają niewiele punktów wspólnych. A jednak
istnieje wspólna podstawa wszystkich metod służących do prognozowania cen. Dobrze jest, jeśli inwestorzy zdają sobie sprawę z
tych domyślnych i niewypowiedzianych założeń. Nie dla wszystkich jest to jednak oczywiste. Dzisiejszy artykuł ma za zadanie
uświadomienie czytelnikom istnienia wspólnych korzeni i w miarę przystępne wytłumaczenie ich znaczenia. Nie podaję co
prawda sposobu na omijanie pułapek, jednak dzięki świadomości ich istnienia inwestorzy będą mogli projektować skuteczniejsze
strategie inwestycyjne.

Szeregi czasowe

Zachowanie poszczególnych akcji zapisane w postaci kolejnych cen i przekształcone do postaci graficznej to dla każdego
inwestora wykres ceny. Bardzo podobne przebiegi i szeregi liczb są znane i używane w wielu dziedzinach nauki. Jako że szeregi te
opisują za pomocą kolejnych liczb zachowanie pewnego zjawiska w czasie, bardzo często określa się je mianem szeregów
czasowych. Warto pamiętać, że upływ czasu w szeregu czasowym nie musi następować w sposób jawny. Szeregami czasowymi
będą również parametry kolejnych elementów schodzących z taśmy produkcyjnej czy grubość blachy w walcowni mierzona na
przykład co 100 metrów wyprodukowanego materiału. W skrajnym przypadku można przyjąć, że wystarczy aby kolejne wartości
szeregu były efektem pomiaru podawanym w taki sposób, aby zachowana była relacja kolejności pojawiania się pewnego faktu
zarówno w naturze jak i w szeregu. W praktyce szeregiem czasowym będzie więc zbiór kolejnych wartości szczytów i dołków
cenowych (bez określenia kiedy wystąpiły) lub nawet odległości między kolejnymi ekstremami podawanymi w sesjach.

Kolejne zdarzenia występujące w szeregach czasowych tworzą pewien proces. Tak więc to, co dla inwestora jest wykresem cen,
dla specjalisty zajmującego się na przykład teorią informacji, jest graficzną interpretacją szeregu czasowego opisującego proces
zmian cen. Po co tak komplikować sobie życie? Istnieje jeden przekonywujący powód. Ujednolicone i unormowane nazewnictwo
powoduje, że specjaliści z różnych dziedzin wiedzą, że rozmawiają na ten sam temat. Fizyk rozumie matematyka, który korzysta z
pomysłów specjalisty od teorii informacji. Ten rozumie dylematy specjalisty od teorii sterowania, które zasygnalizował mu
znajomy student po wykładzie z ekonometrii. Do dyskusji może się też włączyć elektronik, który zastanawia się nad przyczynami
zakłóceń i nieprzyjemnego szumu w konstruowanym wzmacniaczu. Mimo tego, że inwestor powinien włączyć się bez problemu
do tej rozmowy wiedząc, o czym ci ludzie rozmawiają, często miewa z tym problemy.

Procesy stochastyczne

Proces stochastyczny jest to zbiór zachowań pewnego układu, zależny od upływu czasu oraz od występowania zjawisk losowych.
W układzie tym czas jest zmienną niezależną, co oznacza, że nie zacznie on płynąć szybciej lub wolniej na skutek pojawiania się
efektów tego procesu. Zgodnie z tą definicją procesem stochastycznym będzie zmiana cen akcji w przypadku, gdy nie znamy jej
przyszłej wartości bądź możemy ją określić wyłącznie związkami statystycznymi. Jednak definicję tą spełni również inwestycja,
składająca się z akcji, których przyszłe zachowanie jest całkowicie deterministyczne i przewidywalne, ale moment realizacji
naszych zleceń jest przypadkowy i nie zależy od nas (na przykład opóźnienie realizacji naszego zlecenia wynika z obciążenia
łącza nie związanego z liczbą zleceń). W tym drugim przypadku stochastyczność procesu wynika z losowego momentu włączania
akcji do portfela (lub usuwania), a nie z nieznajomości ich przyszłego zachowania. W praktyce przyjmuje się definicję, że proces
stochastyczny jest to takie zjawisko (reprezentowane liczbowo przez szereg czasowy), w którym przyszła wartość opisująca stan
zjawiska nie jest pewna (przyszłe liczby opisujące je mogą przyjmować różne wartości, przy czym żadna z nich nie pojawi się z
prawdopodobieństwem równym 1).

Klasycznymi przypadkami procesów stochastycznych są przyszłe wartości zmiennych opisujących pogodę (temperatura, ciśnienia
czy kierunek bądź siła wiatru). Dobrym przykładem może być wypełnianie się niżu. Wiadomo, że kiedyś musi się wypełnić i
przesunąć na wschód. Można nawet w pewien sposób oszacować drogę, którą się przesunie i czas potrzebny na podniesienie się
ciśnienia wewnątrz niżu do wartości średniej. Nie da się tego jednak zrobić w sposób dokładny. Czyli mimo pewnych ściśle
określonych ram zachowania, dokładne zachowanie nie jest znane. Podobnie jest ze zmianami cen na giełdzie. Jakkolwiek każdy
silny spadek kiedyś musi się skończyć, nigdy nie mamy pewności kiedy to nastąpi.

Ciągi Markowa

Ciąg Markowa to taki proces stochastyczny, w którym określone są związki probablistyczne przyszłych zdarzeń w zależności od
wcześniej występujących. Klasyczny, prosty przykład to zjawisko w którym prawdopodobieństwo, że jutrzejsza zmiana będzie
miała ten sam znak co dzisiejsza jest większe, niż to, że znak będzie przeciwny. Tak określony proces jest ciągiem Markowa
pierwszego rzędu, to znaczy jutrzejsze zachowanie zależy (w sensie statystycznym) tylko i wyłącznie od dzisiejszej zmiany. Jeśli
prawdopodobieństwo jutrzejszego zachowania zależy od dzisiejszej i wczorajszej zmiany wtedy jest to proces drugiego rzędu.
Jeśli jutrzejsze zachowanie jest całkowicie niezależne od wcześniejszych notowań mamy do czynienia z ciągiem Markowa
zerowego rzędu (bez względu jakie było zachowanie historyczne przyszłe zmiany będą określone takimi samymi związkami
prawdopodobieństw). Warto zauważyć, że właśnie takie założenie jest wykorzystywane w analizie portfelowej. Tak więc nawet
fakt, że przyszłość nie zależy od przeszłości może być w jakiś sposób wykorzystany w procesie inwestycyjnym.

Korzystając z definicji rzędu procesu stochastycznego opisanego modelem Markowa można określić istotę sporu pomiędzy
zwolennikami i przeciwnikami teorii efektywności rynku. Otóż zwolennicy efektywności rynku, czyli ci którzy uważają że
wszystkie dotychczasowe zdarzenia są już odzwierciedlone w cenie akcji, są tak na prawdę zwolennikami tezy, że zachowanie
akcji na giełdzie jest procesem Markowa zerowego rzędu. Przeciwnicy, którzy nie akceptują teorii rynku efektywnego i wskazują
na liczne anomalie w zachowaniu cen, są tak na prawdę zwolennikami tezy, że jest to proces Markowa o rzędzie wyższym od zera.

Zwolennicy skuteczności analizy technicznej, bazującej na klasycznych wskaźnikach, mogą być bez problemu zaliczeni do
zwolenników tezy, że zmiany cen na giełdzie są procesem Markowa wysokiego rzędu. Otóż wskaźniki techniczne to wszak nic
innego, jak złożenie wcześniejszych wartości procesu (czyli cen) z użyciem liniowych, bądź bardziej skomplikowanych
algorytmów (czyli wzorów tych wskaźników). Jeżeli więc inwestor uznaje na przykład wpływ RSI wyliczanego na bazie ostatnich
14 sesji, na przyszłe zachowanie ceny to możemy (z pewnym przybliżeniem) uznać go za zwolennika tezy iż ceny są procesem
Markowa 14 rzędu. Praktyczne zastosowanie prawdopodobieństwa warunkowego (występującego w regułach Markowa) polega w
tym przypadku na określeniu jaki jest związek pomiędzy zachowaniem RSI a przyszła ceną. Jeśli na przykład w dotychczasowych
przebiegach regularnie (w 7 przypadkach na 10) powtarzały się wzrosty cen po przebiciu przez RSI od dołu wartości 30 oznacza
to, że warunkowe prawdopodobieństwo wzrostu w takiej sytuacji wynosi 70 procent. Do przykładu tego wrócę w dalszej części
artykułu, gdyż zastosowałem tu niejawnie pewne założenie.

Należy pamiętać, że proces Markowa bazuje wyłącznie na rozkładzie prawdopodobieństw warunkowych. Może się więc zdarzyć,
że mamy do czynienia z deterministycznym procesem chaotycznym, w którym jutrzejsze zachowanie określone jest ścisłym
wzorem, a mimo to proces będzie sprawiał wrażenie, że jest zerowego rzędu (to znaczy zupełnie nie zależy od przeszłości).
Wynika to z faktu, że bardzo podobne, niemal identyczne zachowanie historyczne może skutkować zupełnie różnym
zachowaniem w przyszłości. Tak więc mimo tego, że proces chaotyczny oznacza się istnieniem tak zwanej długoterminowej
pamięci zachowania wykrycie tej zależności może być trudne bądź niemożliwe. Czytelnków zainteresowanych problemami
chaosu odsyłam do książki Edgara Petersa bądź moich wcześniejszych artykułów w Parkiecie i Profesjonalnym Inwestorze. Poza
chaotycznym charakterem zjawiska przyczyną trudności w oznaczeniu rzędu procesu Markowa mogą być nieciągłości w funkcji
określających jutrzejsze zachowanie w zależności od dzisiejszego. Może też zajść sytuacja odwrotna. Proces będzie miał charakter
ciągu Markowa wyższego rzędu, czyli prawdopodobieństwo poszczególnych wartości jutrzejszych zmian będzie zależało od
wcześniejszych zmian. Nie jest to jednak gwarancją tego, że mamy do czynienia z zaszumionym procesem deterministycznym.

Stacjonarność procesu

Po przybliżeniu czytelnikom idei ciągu Markowa mogę przystąpić do wyjaśnienia problemu najważniejszego dla prognozowania
cen czyli stacjonarności procesu, a w zasadzie jej braku. Niestacjonarność to zjawisko, które jest źródłem większości niepowodzeń
inwestorów giełdowych, próbujących wyznaczyć przyszłe ceny akcji na giełdzie.

Definicja, która zapewne w pierwszym momencie może się okazać trudna do zrozumienia mówi, że proces stacjonarny to taki
proces, w którym związki probabilistyczne są stałe i nie zależą od zmiennej niezależnej. Bardziej opisowe określenie
stacjonarności mówi, że prawdopodobieństwo wystąpienia pewnej sytuacji nie zmienia się w miarę upływu czasu. Możemy teraz
powrócić do rozważań o RSI i prawdopodobieństwie wystąpienia wzrostu albo spadku. Otóż jeśli proces ten jest stacjonarny
oznacza to, że wyznaczone w przeszłości prawdopodobieństwa będą w przyszłości takie same. Tak więc jeśli przebicie od dołu
wartości 30 przez RSI skutkowało kiedyś wzrostem z prawdopodobieństwem 70 procent, to w przyszłości pozostanie tak samo.
Gorzej niestety, jeśli proces nie jest stacjonarny. W takim przypadku historycznie wyznaczone prawdopodobieństwo warunkowe
zmieni się. Może się więc okazać, że ta sama sytuacja skutkuje teraz prawdopodobieństwem wzrostu aż w 75 lub tylko w 65
procentach.

Fakt, że proces nie jest stacjonarny, nie przekreśla jednak ostatecznie możliwości zarabiania na giełdzie. Otóż może się okazać, że
jakkolwiek w miarę upływu czasu zależności opisujące zmiany cen nie są stałe, to są one zmienne według znanych i rozpoznanych
reguł. Taka teza jest wykorzystywana przez inwestorów uwzględniających w swoich systemach analizę fundamentalną. Czysta
analiza wskaźników ekonomicznych opisujących spółkę nie mówi nam co prawda o jutrzejszym zachowaniu spółki, pozwala
jednak określić jak zmienią się relacje cen. Tak więc zmiana współczynników fundamentalnych będzie powodować, że proces nie
będzie stacjonarny, lecz charakterystyka będzie zmienna w sposób dający się (przynajmniej częściowo) przewidzieć. Również
zwolennicy okienek Carolana oraz wpływów położenia gwiazd na ruchy giełdowe mogą być zaliczeni do tej grupy inwestorów. W
ich przypadku niestacjonarność o znanych regułach zmian polega na tym, że w określonych momentach czasowych akcje będą
zachowywały się w pewien ściśle zdeterminowany sposób, natomiast zachowanie w pozostałym okresie nie będzie określone.

Teraz kilka zdań zupełnego czarnowidztwa i krakania (na wszelki wypadek przed napisaniem ich odpukałem w dolną, nie
malowaną stronę biurka). Gdyby przyjąć, że zachowanie cen akcji jest procesem niestacjonarnym o nieznanej zmianie sposobu

zachowania oznaczałoby to, że do prognozowania przyszłych cen potrzebna byłaby wiedza o przyszłym charakterze tego procesu,
natomiast zupełnie nieprzydatna byłaby wiedza o wcześniejszym zachowaniu. W skrócie oznacza to, że wyłącznie osoby
manipulujące rynkiem (przy założeniu, że jest to możliwe na większą skalę) mogłyby posiadać wiedzę jak zarobić na inwestycjach
giełdowych.

Warto przy tym rozróżnić niestacjonarność procesu od efektywności rynku. Rynek efektywny, jak wcześniej napisałem, jest
skutkiem tego, że zmiany cen są procesem Markowa zerowego rzędu. Dodatkowo, co wcześniej milcząco założyłem,
charakteryzuje go tak zwana słaba stacjonarność, która cechuje się stałością średniej i wariancji. Czyli ostatecznie na rynku
efektywnym ceny nie zależą od wcześniejszych. Natomiast w przypadku braku stacjonarności ceny zależą od poprzednich, lecz
nie ma pewności, że wiemy w jaki sposób.

W praktyce sprawa nie jest taka beznadziejna. Według moich szacunków zmiany cen nie są procesem stacjonarnym, jednak
zmienność zależności jest bardzo powolna. To znaczy system, który był dobry wczoraj będzie dobry jeszcze dzisiaj, a jutro będzie
tylko trochę gorszy. Kiedyś oczywiście może utracić swoje właściwości. Ponadto można podejrzewać, że zmiany cen składają się
z kilku (według mnie trzech) procesów o różnych charakterach. Bardzo prawdopodobne, że przynajmniej jeden z nich jest
stacjonarny, czyli jego parametry ustalone w przeszłości będą w przyszłości takie same.

Światełko nadziei

Spróbujmy zastanowić się po co inwestorowi wiedza, że

przebieg cenowy to tak naprawdę szereg czasowy opisujący

niestacjonarny stochastyczny proces Markowa wysokiego rzędu

. Czy wiedza ta daje mu jakąkolwiek przewagę nad

inwestorem, który nie jest świadomy tego mocno teoretycznego faktu. Otóż tak. Podstawowym sukcesem jest to, że dokładnie
określony został problem nękający inwestorów. Osoby bazujące na różnych technikach mogą porozmawiać wspólnym językiem
na temat tego, że historycznie dobrze dobrane systemy inwestycyjne nie zawsze sprawdzają się w przyszłości. Można też
całkowicie zrezygnować z niektórych kierunków poszukiwań, na rzecz innych. Co więcej można poprosić o pomoc teoretyków z
innych dziedzin. Nareszcie będą oni mogli zająć się rozważaniami merytorycznymi zamiast wyjaśniać inwestorom znaczenie
trudnych pojęć.

Podstawowym wnioskiem, który należy wyciągnąć z tego artykułu jest konieczność testowania systemów inwestycyjnych na
notowaniach, nie uwzględnianych w czasie konstruowania systemu (podobnie jak to się robi w przypadku nauki sieci
neuronowych). Jeśli więc stosujemy na przykład optymalizację wskaźników technicznych należy sprawdzać, jak szybko
optymalne zestawy parametrów tracą swoje właściwości. Jeśli udaje się nam wybrać pewien zestaw optymalnych wskaźników,
który już w następnym miesiącu generuje większość błędnych sygnałów należy zrezygnować z tego systemu. Możliwe, że
przyczyną jest zły wybór wskaźników tworzących system, nieprawidłowa funkcja celu bądź zły algorytm maksymalizujący.
Poszukiwanie nowych systemów powinno iść w kierunku wykrywania stacjonarnych bądź wolno zmiennych składowych procesu.
Oczywiście ułatwione zadanie mają inwestorzy amerykańscy, którzy dysponują bardzo długa historią notowań giełdowych. Dzięki
temu mają możliwość wykrywania powtarzających się zachowań, na które nakładają się inne, czasami znacznie bardziej
zyskowne działania.

Nie dajmy się więc zaślepić historycznymi, rewelacyjnymi wynikami naszego systemu lecz szukajmy takich, które sprawdzą się w
przyszłości. W końcu wiele osób twierdzi, że stworzyły taki system.