Matura

Klasa 2 – Ciąg arytmetyczny

Poziom rozszerzony

1.

Suma szóstego i szesnastego wyrazu ciągu arytmetycznego jest równa 5, a iloczyn
wyrazu ósmego i dwunastego równy jest 3. Wyznacz wzór na wyraz ogólny ciągu.

2.

Jednym z pierwiastków trójmianu kwadratowego

c

bx

ax

y

+

+

=

2

jest

5

1

−

.

Współczynniki tego trójmianu

a, b, c ( w podanej kolejności ) tworzą ciąg

arytmetyczny, a ich suma wynosi 24. Oblicz drugi pierwiastek tego trójmianu.

3.

Wykaż, że jeśli liczby

(

)

c

b

a

,

,

tworzą ciąg arytmetyczny i jednocześnie liczby













c

b

a

1

,

1

,

1

tworzą ciąg arytmetyczny, to te liczby są jednakowe.

4.

Basia postanowiła codziennie biegać. Pierwszego dnia biegała 20 minut, a każdego
następnego dnia o 5 minut dłużej.

a)

którego dnia Basia będzie biegać 1,5 godziny,

b)

po ilu dniach łączny czas biegania przekroczy 10 godzin.

5.

Wyrazy

k

a

2

i

l

a

2

pewnego ciągu arytmetycznego spełniają warunek

0

2

2

=

+

l

k

a

a

.

Który wyraz ciągu jest równy zero?

6.

Dane są ciągi arytmetyczne ( 17, 21, …, ) oraz ( 16, 21, …, ) Oblicz sumę 100
początkowych liczb, które występują w jednym, jak i w drugim ciągu.

7.

Udowodnij, że jeśli trzy kolejne kąty czworokąta wpisanego w koło tworzą ciąg
arytmetyczny, to co najmniej dwa kąty tego czworokąta są proste.

8.

Miary kątów trójkąta prostokątnego tworzą ciąg arytmetyczny. Obwód tego trójkąta

wyraża się liczbą

(

)

1

3

6

+

⋅

cm. Oblicz długości boków tego trójkąta.

9.

Pierwszy wyraz ciągu arytmetycznego jest równy 1. Ponadto dla każdego

k suma k

pierwszych wyrazów tego ciągu wynosi

.

2

k

Wyznacz różnicę tego ciągu.

10.

W ciągu arytmetycznym dane są

m

a

n

a

n

m

1

,

1

=

=

. Oblicz

n

m

S

⋅

.