http://www-users.mat.umk.pl/~pjedrzej/matwyz.html

1

Opis przedmiotu

Celem przedmiotu jest wykształcenie u studentów podstaw ję-

zyka matematycznego i opanowanie przez nich podstawowych

pojęć dotyczących zbiorów, relacji i funkcji oraz umiejętności

związanych z operowaniem liczbami zespolonymi, macierzami i

wyznacznikami.

2

Program wykładu

1. Elementy logiki. Zdania proste i zdania złożone, wartość lo-

giczna zdania, tautologie, metoda zero-jedynkowa, funkcje zda-

niowe i kwantyfikatory, prawa rachunku kwantyfikatorów.

2. Zbiory i odwzorowania. Działania na zbiorach, iloczyn karte-

zjański. Funkcje różnowartościowe, ”na” i wzajemnie jednoznacz-

ne. Składanie funkcji, funkcja odwrotna. Obraz i przeciwobraz

zbioru poprzez funkcję.

3. Relacje. Własności relacji binarnych, funkcje jako relacje, gra-

fy i macierze relacji binarnych. Relacje częściowego porządku,

elementy ekstremalne, porządek liniowy. Relacje równoważności,

zasada abstrakcji, zbiór ilorazowy, konstrukcje zbiorów liczbo-

wych.

3

4. Liczby zespolone. Definicja, interpretacja geometryczna i try-

gonometryczna, własności, wzór de Moivre’a, pierwiastki, zasad-

nicze twierdzenie algebry.

5. Macierze i wyznaczniki. Działania na macierzach, macierz od-

wrotna. Definicja i własności wyznaczników, rozwinięcie Lapla-

ce’a.

6.Układy równań liniowych. Metoda eliminacji Gaussa. Twierdze-

nie Kroneckera – Capelliego. Wzory Cramera.

4

Literatura

B. Gleichgewicht, Algebra, OW GiS.

T. Jurlewicz, Z. Skoczylas, Algebra liniowa 1, 2, OW GiS.

J. Kraszewski, Wstęp do matematyki, WNT.

H. Rasiowa, Wstęp do matematyki współczesnej, PWN.

K. Ross, Ch. Wright, Matematyka dyskretna, PWN.

5

Oznaczenia zbiorów:

N = {0, 1, 2, 3, . . .} – zbiór liczb naturalnych z zerem,

N

1

=

{1, 2, 3, . . .} – zbiór liczb naturalnych bez zera,

Z = {. . . , −2, −1, 0, 1, 2, . . .} – zbiór liczb całkowitych,

Q – zbiór liczb wymiernych,

R – zbiór liczb rzeczywistych.

6

Przykłady zdań w matematyce

Zdania prawdziwe:

• „

1
3

+

1
6

=

1
2

”,

„ 3

|6”,

„

√

2

6∈ Q”,

• „Jeśli x = 1, to x

2

= 1” (x oznacza daną liczbę rzeczywistą),

• „Jeśli a

2

+ b

2

= c

2

, to trójkąt o bokach długości a, b, c jest

prostokątny” (a, b, c oznaczają dane liczby dodatnie),

Zdania fałszywe: „ 2 + 2 = 5”, „

√

2

∈ Q”, „Q ⊂ Z”.

7

Pytanie.

Czy prawdziwe jest zdanie:

Jeśli trójkąt o bokach długości a, b, c jest prostokątny, to

a

2

+ b

2

= c

2

?

(a, b, c – dane liczby dodatnie)

8

Zdanie posiadające jedną z dwóch wartości logicznych: „prawda”

lub „fałsz”, nazywamy zdaniem logicznym.

Zdania logiczne oznaczamy literami p, q, r, . . ..

Złożone zdania logiczne są zbudowane z innych zdań logicz-

nych za pomocą spójników logicznych: jednoargumentowego

∼ i dwuargumentowych ∨, ∧, ⇒, ⇔, Y.

9

Negacja

∼ p – „nie p”, „nieprawda, że p” – negacja zdania p

Zdanie

∼ p jest:

– prawdziwe, gdy p jest fałszywe,

– fałszywe, gdy p jest prawdziwe.

Przykład: „ 1 nie jest liczbą pierwszą”,

dokładniej: „nieprawda, że 1 jest liczbą pierwszą”.

Zdanie

∼ p jest negacją zdania p: „ 1 jest liczbą pierwszą”.

10

Koniunkcja

p ∧ q – „ p i q” – koniunkcja zdań p i q

Zdanie p ∧ q jest:

– prawdziwe, gdy oba zdania p i q są prawdziwe,

– fałszywe, gdy co najmniej jedno ze zdań p i q jest fałszywe.

Przykład: „ 2 jest liczbą pierwszą i parzystą”,

dokładniej: „ 2 jest liczbą pierwszą i 2 jest liczbą parzystą”.

Jest to koniunkcja p ∧ q, gdzie

p oznacza zdanie „ 2 jest liczbą pierwszą”,

a q oznacza zdanie „ 2 jest liczbą parzystą”.

11

Alternatywa

p ∨ q – „ p lub q” – alternatywa zdań p i q

Zdanie p ∨ q jest:

– prawdziwe, gdy co najmniej jedno ze zdań p i q jest prawdziwe,

– fałszywe, gdy oba zdania p i q są fałszywe.

Przykład. Wybierzmy pewną liczbę całkowitą x i rozważmy zda-

nie: „ x < 1 lub x > −1”.

Jest to alternatywa p ∨ q, gdzie p oznacza zdanie „ x < 1”, a q

oznacza zdanie „ x > −1”.

W przypadku x = 0 oba zdania są prawdziwe i alterantywa też

jest zdaniem prawdziwym.

12

Alternatywa rozłączna

p Y q – „p albo q” – alternatywa rozłączna zdań p i q

Zdanie p Y q jest:
– prawdziwe, gdy jedno ze zdań p, q jest prawdziwe, a drugie

fałszywe,

– fałszywe, gdy oba zdania p i q są jednocześnie prawdziwe lub

jednocześnie fałszywe.

Przykład. Rozważmy dwie (różne) proste na płaszczyźnie. Mó-

wimy: „Dane proste się przecinają albo są równoległe”. Jest to

alternatywa rozłączna p Y q, gdzie p oznacza zdanie „Dane proste
się przecinają”, a q oznacza zdanie „Dane proste są równoległe”.

13

Alternatywy rozłącznej (w zdaniu prawdziwym) używamy, gdy

chcemy podkreślić, że oba zdania nie mogą jednocześnie być

prawdziwe.

Uwaga. Jeśli zdanie p Y q jest prawdziwe, to zdanie p ∨ q też jest
prawdziwe, np.: „Dane proste się przecinają lub są równoległe”.

Jeśli zdanie p ∨ q jest prawdziwe, to zdanie p Y q nie musi być
prawdziwe, np.: „ 0 < 1 albo 0 > −1”.

14

Równoważność

p ⇔ q – „ p wtedy i tylko wtedy, gdy q”, „ p dokładnie wtedy, gdy

q” – równoważność zdań p i q.

Zdanie p ⇔ q jest:

– prawdziwe, gdy oba zdania p i q są jednocześnie prawdziwe lub

jednocześnie fałszywe,

– fałszywe, gdy jedno ze zdań p, q jest prawdziwe, a drugie fał-

szywe.

Przykład. Rozważmy czworokąt wypukły ABCD. Zdanie: „Czwo-

rokąt ABCD jest opisany na okręgu wtedy i tylko wtedy, gdy

AB + CD = AD + BC” jest równoważnością zdań p: „Czworokąt

ABCD jest opisany na okręgu” i q: „ AB + CD = AD + BC”.

15

Implikacja

p ⇒ q – „ jeśli p, to q”, „ p implikuje q” – implikacja o poprzedniku

p i następniku q

Jak określamy wartość logiczną implikacji?

16

Przykład.

Zdanie „ x = 1 ⇒ x

2

= 1” jest prawdziwe dla każ-

dej liczby rzeczywistej x. Zwróćmy uwagę na wartość logiczną

poprzednika oraz następnika tej implikacji dla poszczególnych

wartości x.

„ x = 1”

„ x

2

= 1”

dla x = 1

prawda

prawda

dla x = 0

fałsz

fałsz

dla x = −1

fałsz

prawda

17

Prawdziwość implikacji oznacza, że jeśli zdanie p jest prawdziwe,

to zdanie q też musi być prawdziwe (a jeśli p nie jest prawdziwe,

to q może być jakiekolwiek).

Zdanie p ⇒ q jest:

– prawdziwe, gdy oba zdania są prawdziwe, gdy oba zdania są

fałszywe oraz gdy zdanie p jest fałszywe, a zdanie q jest praw-

dziwe,

– fałszywe, gdy zdanie p jest prawdziwe, a zdanie q jest fałszywe.

18

Przy zapisywaniu bardziej skomplikowanych zdań logicznych uży-

wamy nawiasów, np.:

∼ (∼ p), (p ∧ q) ∨ r, (p ⇒ q)∧ ∼ (q ⇒ r).

Zdania (p∨q)∨r i p∨(q ∨r) mają zawsze tę samą wartość logiczną

(dlaczego?), więc nawiasy możemy opuścić: p ∨ q ∨ r. Podobnie

otrzymujemy zdanie p ∧ q ∧ r.

19

Zdanie p

1

∧ p

2

∧ . . . ∧ p

n

jest:

– prawdziwe, gdy każde ze zdań p

1

, p

2

, . . . , p

n

jest prawdziwe,

– fałszywe, gdy co najmniej jedno ze zdań p

1

, p

2

, . . . , p

n

jest fał-

szywe.

Zdanie p

1

∨ p

2

∨ . . . ∨ p

n

jest:

– prawdziwe, gdy co najmniej jedno ze zdań p

1

, p

2

, . . . , p

n

jest

prawdziwe,

– fałszywe, gdy każde ze zdań p

1

, p

2

, . . . , p

n

jest fałszywe.

20

Ważna własność spójników logicznych:

Wartość logiczna zdania złożonego zależy jedynie od tego, w

jaki sposób jest ono zbudowane i jakie wartości logiczne mają

zdania składowe. Wartość logiczna zdania złożonego nie zależy

od konkretnej postaci (treści) zdań składowych.

Dlatego możemy rozważać wyrażenia utworzone poprawnie (za

pomocą spójników logicznych i nawiasów) z symboli p, q, r, itp.

Symbole te nazywamy zmiennymi zdaniowymi. Gdy w takim wy-

rażeniu podstawimy za zmienne zdaniowe konkretne zdania lo-

giczne, to otrzymamy złożone zdanie logiczne.

Uwaga. Jeśli to nie prowadzi do nieporozumień, to zmienne zda-

niowe i wyrażenia z nich utworzone możemy nazywać zdaniami.

21

Tautologie

Tautologią nazywamy wyrażenie, które ma wartość logiczną „praw-
da” dla dowolnego wartościowania zdań prostych.

Przykłady tautologii:

• p ⇒ p,

• p∨ ∼ p (prawo wyłączonego środka),

• ∼ (p∧ ∼ p) (prawo sprzeczności),

• (∼ p ⇒ p) ⇒ p (prawo Claviusa),

22

• (p ∧ q) ⇒ p,

• p ⇒ (p ∨ q),

• ∼ p ⇒ (p ⇒ q),

• ((p ⇒ q) ∧ (q ⇒ p)) ⇒ (p ⇔ q),

• (p ⇒ (q ⇒ r)) ⇒ ((p ⇒ q) ⇒ (p ⇒ r)).

23

• Prawo podwójnego przeczenia:

p ⇔∼ (∼ p).

• Prawa de Morgana:

∼ (p ∧ q) ⇔ (∼ p∨ ∼ q),

∼ (p ∨ q) ⇔ (∼ p∧ ∼ q).

• Metoda dowodu „nie wprost” jest oparta na tautologii

(p ⇒ q) ⇔ (∼ q ⇒∼ p).

• Metoda dowodu „przez sprzeczność” jest oparta na tautologii

(p ⇒ q) ⇔∼ (p∧ ∼ q).

24

Metoda zero-jedynkowa

Wartość logiczną „fałsz” oznaczamy symbolem 0, a wartość lo-

giczną „prawda” symbolem 1. Jeśli zdanie p jest fałszywe, to

piszemy v(p) = 0, a jeśli jest prawdziwe, to piszemy v(p) = 1.

Wartości logiczne zdań złożonych określiliśmy następująco:

v(p)

v(∼ p)

0

1

1

0

v(p)

v(q)

v(p ∨ q)

v(p ∧ q)

v(p ⇒ q)

v(p ⇔ q)

0

0

0

0

1

1

0

1

1

0

1

0

1

0

1

0

0

0

1

1

1

1

1

1

25

Przykład.

Wartość logiczną zdania złożonego

((p ⇒ q) ∧ (q ⇒ p)) ⇒ (p ∧ q)

dla poszczególnych wartościowań zdań prostych możemy obliczyć
następująco:

v(p) v(q)

v(p ⇒ q) v(q ⇒ p) v(p ∧ q)

0

0

1

1

0

0

1

1

0

0

1

0

0

1

0

1

1

1

1

1

v((p ⇒ q) ∧ (q ⇒ p))

v(((p ⇒ q) ∧ (q ⇒ p)) ⇒ (p ∧ q))

1

0

0

1

0

1

1

1

26

Szybszy sposób polega na tym, że nie wypisujemy poszczegól-

nych zdań składowych w oddzielnych kolumnach (np. p ⇒ q,

q ⇒ p i p ∧ q); piszemy tylko całe zdanie złożone, a wartości

logiczne poszczególnych zdań składowych wypisujemy pod tymi

zdaniami (dokładniej: pod ich spójnikami logicznymi). Gdy wy-

piszemy np. wartości logiczne zdań p ⇒ q i q ⇒ p, to wartości

logiczne zdania (p ⇒ q) ∧ (q ⇒ p) wypisujemy pod spójnikiem „ ∧”.

v(p)

v(q)

((p

⇒

q)

∧

(q

⇒

p))

⇒

(p

∧

q)

0

0

1

1

1

0

0

0

1

1

0

0

1

0

1

0

0

0

1

1

0

1

1

1

1

1

1

1

27

Przykład. Zdanie

(p ⇒ q) ∨ (q ⇒ p)

jest tautologią.

v(p) v(q) (p ⇒ q) ∨ (q ⇒ p)

0

0

1

1

1

0

1

1

1

0

1

0

0

1

1

1

1

1

1

1

28