Chemia Równania ró»niczkowe 13 maja 2009

I. Metoda przewidywa«.

Niektóre równania liniowe niejednorodne mo»na rozwi¡zywa¢ szybciej. Wystar-

czy w tym celu rozwi¡za¢ równanie jednorodne, oraz przewidzie¢ jedno, szczególne

rozwi¡zanie równania niejednorodnego. Rozwi¡zania ogólne, zgodnie z wynikiem

zadania, b¦d¡ sum¡ rozwi¡zania szczególnego i rozwi¡za« równania jednorodnego.

Poni»sze prawietwierdzenia pokazuj¡, w jaki sposób mo»na w niektórych sytuac-

jach przewidywa¢ szczególne rozwi¡zanie równania niejednorodnego.

Prawietwierdzenie 1. Dla równania postaci y0 + ay = W (x)ebx, gdzie a, b ∈ R,

a W jest wielomianem, istnieje rozwi¡zanie szczególne postaci y1 = W1(x)ebx, gdzie

W1 jest wielomianem stopnia co najwy»ej o jeden wi¦kszego ni» W .

Warto zwróci¢ uwag¦, »e to prawietwierdzenie dziaªa równie», gdy z prawej strony

jest sam wielomian - wystarczy podstawi¢ b = 0.

Prawietwierdzenie 2. Dla równania postaci y0 +ay = P (x) sin(bx)+Q(x) cos(bx),

gdzie a, b ∈ R, a P, Q s¡ wielomianami, istnieje rozwi¡zanie szczególne postaci y1 =

P1(x) sin(bx) + Q1(x) cos(bx), gdzie P1 i Q1 s¡ wielomianami stopnia co najwy»ej o

jeden wi¦kszego ni» maksimum stopni P i Q.

By obliczy¢, jak wygl¡daj¡ konkretne wielomiany w rozwi¡zaniu szczególnym,

podstawiamy ogóln¡ posta¢ rozwi¡zania szczególnego do równania i dostajemy ªatwe

do rozwi¡zania równania na wspóªczynniki w wielomianach.

Czasami zdarza si¦, »e prawa strona jest jak¡± sum¡ prawych stron wyst¦puj¡cych

w powy»szych twierdzeniach (np. w jednym z zada« z egzaminu prawa strona wynosi

x + cos x). Wtedy u»ywamy prawietwierdze« do równa«, których prawymi stronami

s¡ skªadniki tej sumy, a przewidzianym rozwi¡zaniem b¦dzie suma rozwi¡za« tych

równa« (kto nie wie, o co chodzi w tym zdaniu, stanowczo powinien pojawi¢ si¦ na

¢wiczeniach, równie» duchem).

II. Niejednorodne równania liniowe wy»szych rz¦dów

Dla równania any(n) + an−1y(n−1) + . . . + a2y00 + a1y0 + a0y = f(x) korzystamy

z metody przewidywa« - pojedyncze szczególne rozwi¡zanie przewidujemy w takiej

postaci jak w przypadku równa« pierwszego rz¦du, a nast¦pnie dodajemy do niego

ogólne rozwi¡zanie równania jednorodnego, by uzyska¢ ogólne rozwi¡zanie równania

niejednorodnego.

Rozwi¡» równania:

1. Rozwi¡» poni»sze równania, u»ywaj¡c metody przewidywa«:

a) y0 − y = 2ex, b) y0 + 3y = e7x, c) dy + y = 2x2 − 2x + 1, d) dy + 4y = 5 sin 3x.

dx

dx

2. Rozwi¡» równania:

a) y000 − 3y0 + 2y = 2; b)y00 + y = 4 sin t; c)y(4) + 3y00 − 4y = t2 − 1

3. Du»o przykªadów do ¢wiczenia z Krysickiego/Wªodarskiego.

4. Koniecznie - równania ró»niczkowe z egzaminów.

Dobrej zabawy!

Grzesiek Kosiorowski