Chemia Równania ró»niczkowe 29 kwietnia/6 maja 2009
I. Równanie ró»niczkowe Bernouliego jest postaci:
dy + f(x)y = g(x)yr. (r ∈ R \ {0,1})
dx
Zauwa»my, »e funkcja staªa y ≡ 0 zawsze speªnia to równanie. Mo»emy teraz zaªo»y¢
y 6= 0 i rozwi¡zujemy , dziel¡c obie strony równania przez yr i podstawiaj¡c z = y1−r.
Dostajemy wtedy równanie liniowe niejednorodne:
1
dz + f(x)z = g(x).
1 − r dx
A takie równania ju» umiemy rozwi¡zywa¢.
II. Równanie zupeªne
Równanie P (x, y) + Q(x, y)dy = 0 nazywamy zupeªnym, gdy istnieje funkcja dx
F (x, y) taka, »e
∂F
∂F
(∗)
= P,
= Q.
∂x
∂y
Przy rozs¡dnych zaªo»eniach, aby powy»ej zapisane równanie byªo zupeªne potrzeba i wystarcza, by w caªej dziedzinie zachodziªo: ∂Q = ∂P . Rozwi¡zaniem ogólnym
∂x
∂y
takiego równania jest funkcja zadana w postaci uwikªanej: F (x, y) = C. Funkcj¦
F mo»na znale¹¢ caªkuj¡c obustronnie jedno z równa« (∗) i wstawiaj¡c wynik do drugiego.
III. Czynnik caªkuj¡cy
Czynnik caªkuj¡cy, to funkcja rzeczywista µ(x, y) taka, »e równanie : dy
µ(x, y)[P (x, y) + Q(x, y)
] = 0
dx
jest zupeªne.
Je±li µ1 = 1 (∂P − ∂Q) jest funkcj¡ wyª¡cznie zmiennej x, to µ tak»e jest funkcj¡
Q
∂y
∂x
tylko zmiennej x i speªnia równanie µ0(x) = µ
µ(x)
1(x).
Je±li µ2 = 1 (∂Q − ∂P ) jest funkcj¡ wyª¡cznie zmiennej y, to µ tak»e jest tylko P
∂x
∂y
funkcj¡ zmiennej y i speªnia równanie µ0(y) = µ
µ(y)
2(y).
IV. Równania wy»szych rz¦dów o staªych wspóªczynnikach
Poni»sze rozwa»ania b¦dziemy stosowa¢ praktycznie tylko dla n = 2. Rozwa»my równanie: any(n) + an−1y(n−1) + . . . + a2y00 + a1y0 + a0y = 0. Wypisujemy tzw.
wielomian charakterystyczny, który jest postaci anλn + an−1λn−1 + . . . + a2λ2 +
a1λ + a0 i znajdujemy jego pierwiastki (z krotno±ciami). Teraz mo»na skonstruowa¢
tzw. baz¦ przestrzeni rozwi¡za« w nast¦puj¡cy sposób:
Je±li wielomian ma pierwiastek rzeczywisty λ krotno±ci k to dopisujemy do bazy rozwi¡za« funkcje eλt, teλt, . . . , tk−1eλt.
Je±li wielomian ma pierwiastki zespolone postaci a ± bi krotno±ci k to dokªadamy do bazy rozwi¡za« 2k funkcji:
eat cos bt, teat cos bt, . . . , tk−1eat cos bt, eat sin bt, teat sin bt, . . . tk−1eat sin bt W ten sposób otrzymujemy baz¦ zªo»on¡ z n funkcji v1, . . . , vn. Ogólne rozwi¡zanie naszego równania jest wówczas postaci Pn c
i=1
ivi, gdzie ci s¡ liczbami rzeczywistymi.
Je±li prawa strona jest niezerowa, stosujemy uzmiennianie staªych (jak w poprzed-nim przypadku) lub korzystamy z metody przewidywa«, któr¡ poznamy pó¹niej.
1. a) dy + y + y2 sin x = 0, b) xdy − y = y2, c) xy0 + y = y2 ln x, dx
dx
d) (x2 − y3)y0 = x, e) y0 + y + y2 = 0.
y
x
2. a) x−y +(2y −x)y0 = 0, b) ey −(2y −xey)y0 = 0, c) dy = −ex(1+ey), d) dy = −ex(1+ey).
dx
ey (1+ex)
dx
ey (1+ex)
3. a) y + (2x − yey)dy = 0, b) (1 − x2y) + x2(y − x)y0 = 0, c) x2 + y − xy0 = 0, dx
d) xy2 + y − xy0 = 0, e) x sin y + y + (x2 cos y + x ln x)y0 = 0,
f) 2x tg y + (x2 − 2 sin y)y0 = 0.
4. a) y000 = y, b)y(4) − 5y(3) + 4y00 + 3y0 + 9y = 0, c)y00 − 4y = 0, d) y00 − y0 − 2y = 0
e)y00 + y0 + y = 0, f) y00 − 2y0 + 2y = 0.
Dobrej zabawy!
Grzesiek Kosiorowski