Ekstrema warunkowe
I. Ekstrema warunkowe
Ekstremum warunkowe jest to ekstremum funkcji na jakim± zbiorze. Nie musi
ono by¢ ekstremum lokalnym tej funkcji na zbiorze wi¦kszym, wi¦c metody poszuki-
wa« ekstremum lokalnego mog¡ zawie±¢. Zasadniczo u»ywamy dwu metod: albo
redukujemy zmienne (ta metoda najcz¦±ciej nie dziaªa, ale proste zadania przy jej
pomocy mo»na zrobi¢ szybciej), albo metod¡ mno»ników Lagrange'a.
Redukcja polega po prostu na tym, »e z warunku wyliczamy niektóre zmienne,
które nie s¡ dane w postaci uwikªanej, co mo»e sprowadzi¢ zadanie do zwykªego
liczenia ekstremów lokalnych.
II. Metoda mno»ników Lagrange'a - warunek konieczny istnienia ekstremum
warunkowego
Szukamy ekstremum funkcji o warto±ciach rzeczywistych f(x1, x2, . . . , xn) przy
warunku ϕ(x1, x2, . . . , xn) = 0 (tzn. warunek ten okre±la zbiór, na którym szukamy
tego ekstremum).
W celu wskazania punktów podejrzanych o bycie ekstremum deniujemy funkcje
fλ = f + λϕ, gdzie λ ∈ R. Zauwa»my, »e ekstrema jednej z takich funkcji musz¡
by¢ te» ekstremami warunkowymi (dla ϕ = 0 zachodzi fλ = f). Zatem, punkty, w
których funkcja mo»e mie¢ ekstremum to ( ¯
x1, . . . , ¯
xn), takie, »e ( ¯
x1, . . . , ¯
xn, ¯
λ) jest
rozwi¡zaniem ponizszego ukªadu (n + 1) równa« :
( ∂Fλ = 0
∂xi
.
ϕ = 0
Sprawdzenie, czy te punkty to naprawd¦ ekstrema oraz sprawdzenie ich typu to
kwestia nieco trudniejsza i zb¦dna do rozwi¡zywania typowych zada« z egzaminu.
III. Ekstrema warunkowe globalne
Typowym zadaniem, które mo»e si¦ przytra¢ na egzaminie jest zagadnienie
poszukiwania ekstremów funkcji na zbiorze M. W tej sytuacji, podobnie jak w przy-
padku jednowymiarowym, nale»y znale¹¢ punkty podejrzane o bycie ekstremum
lokalnym wewn¡trz zbioru oraz podejrzane o bycie ekstremum warunkowym na
brzegu zbioru (który oczywi±cie w tym celu trzeba wyznaczy¢ - czasami dziel¡c go na
cz¦±ci), obliczeniu warto±ci funkcji w tych punktach i wybranie warto±ci najmniejszej
i najwi¦kszej. Uwaga! Punkty osobliwe brzegu (naro»niki) te» s¡ kandydatami na
ekstrema!
1. Poszuka¢ ekstremów poni»szych funkcji, przy zadanym warunku, u»ywaj¡c redukcji
zmiennych:
a) f(x, y) = xy; x + y = 1, b)f(x, y, z) = xyz; x2 + y2 + z2 = 1, x + y + z = 1,
c) f(x, y) = cos2 x + sin2 y; x − y = π, d) f(x, y) = x2 + y2; xy = 1,
4
e) f(x, y) = (2 − x2 − y2)2; |x| + |y − 1| = 1.
2. Znale¹¢ ekstrema globalne poni»szych funkcji metod¡ Lagrange'a przy zadanym warunku:
a) f(x, y) = xy; x2 + y2 ≤ 2, b)! f(x, y) = x + 2y; x2 + y2 ≤ 5,
c) f(x, y, z) = x − 2y + 2z; x2 + y2 + z2 ≤ 1, d) f(x, y, z) = x2 + y2 + z2; x2 + y2 + z2 ≤ 1, 4
9
e) f(x, y, z) = x3yz2; x + y + z = 6, x, y, z > 0.
3. Przerobi¢ zadania o ekstremach lokalnych z egzaminów.
Dobrej zabawy!
Grzesiek Kosiorowski