METODY OBLICZENIOWE DLA INŻYNIERÓW

Analiza matematyczna II: szereg Taylora, całkowanie

ROZWIJANIE W SZEREG TAYLORA

Rozwijanie funkcji jednej zmiennej

taylor ( wyraż enie, punkt 1, n) Rozwijanie funkcji wielu zmiennych

mtaylor ( wyraż enie, punkt 2, n) Oznaczenia:

wyraż enie – wyrażenie algebraiczne oznaczające rozwijaną funkcję.

punkt 1 – równanie np. x = x 0 określające punkt, wokół którego rozwijany jest szereg.

punkt 2 – zbiór lub lista równań określających punkt, wokół którego rozwijany jest szereg.

n – (opcjonalny argument) liczba wyrazów rozwinięcia. Domyślnie program oblicza sześć wyrazów rozwinięcia funkcji

CAŁKOWANIE

Całka nieoznaczona

int ( wyraż enie, symbol)

Całka oznaczona

int ( wyraż enie, symbol = a.. b) Oznaczenia:

wyraż enie – całkowane wyrażenie.

symbol – nazwa zmiennej ze względu na którą całkujemy.

a, b – liczby oznaczające granice całkowania. Jeśli liczby te zadane są w formie zmiennoprzecinkowej do całkowania użyte są metody numeryczne.

1. a) Rozwinąć w szereg Taylora funkcję f ( x) = cos 3

( x) w punkcie =

x

0 dla domyślnej

wartości n określającej liczbę wyrazów rozwinięcia.

b) Następnie w jednym układzie współrzędnych wykreślić funkcję oraz szereg.

Uwaga: Przed wykreśleniem szeregu należy, za pomocą komendy convert z opcją polynom, zamienić go na wyrażenie typu wielomianowego.

x

e

2. a) Rozwinąć w szereg Taylora funkcję f ( x) =

w punkcie

=

x

1 dla n = 3 i n = 8 .

x

2

b) W jednym układzie współrzędnych wykreślić funkcję oraz szeregi.

c) Obliczyć wartość funkcji f ( x) oraz wartość każdego rozwinięcia w x = 5

−

.

Odp: f(-5) = 0.2156, ( n = 3) 1.1604, ( n = 8) 0.2119

3. a) Rozwinąć w szereg Taylora funkcję dwóch zmiennych

2

f ( x, y) = x ln( y) w π

punkcie

=

x

π,

=

y

dla n = 3 i n = 9 .

2

b) Podać wartość funkcji f ( x, y) oraz każdego rozwinięcia w punkcie x = 5, y = 3 .

Odp. f(5,3) = 27.4653, ( n = 3) 26.8084, ( n = 9) 27.4448

4. Obliczyć całki:

2

x

x

1

a) ln( x

x ) dx

∫

Odp:

2

ln( x ) x −

x ln( x) −

2

4

π

2

1

b) ∫

2

cos ( x) sin(2 x) dx Odp:

2

0

2



x



3

1−

2

4





39π

c)

2

∫  ∫ ( x + y) dy dx Odp:





2

−

2

2

x





−3

1−



4



5. Znaleźć pole powierzchni obszaru ograniczonego krzywymi o równaniach: x

1

4

= −

+

y

x

5 i y 2 = e2 +1 .

Wskazówka: a) Wykreślić obie krzywe. b) Określić granice całkowania rozwiązując odpowiednie równania. c) Obliczyć odpowiednią całkę oznaczoną.

Odp: 6.1818