Egzamin z Równań Różniczkowych, 25 VI 2013
1. godz. 9.00 Zadanie wstępne
Zadanie
Odp.
1. Równanie charakterystyczne pewnego równania różniczkowego liniowego 4
y 1 = 1
rzędu o stałych współczynnikach ma pierwiastki r 1 = 0 , r 2 = − 2 , y 2 = e− 2 x
r 3 = 2 i , r 4 = − 2 i . Wyznaczyć rozwiązania szczególne tego równania różnicz-y 3 = cos 2 x
kowego tworzące fundamentalny układ rozwiązań.
y 4 = sin 2 x
2. Rozwiązać równanie:
y0 = y00 .
y = C 1 + C 2 ex
Rozwiązanie:
y00 − y0 = 0
r 2 − r = 0 = ⇒ r( r − 1) = 0
równanie charakterystyczne
r 1 = 0 = ⇒ y 1 = 1
r 2 = 1 = ⇒ y 2 = ex
∞
3. Wyznaczyć obszar zbieżności szeregu X sin n x .
x /
∈ { π + kπ; k ∈ Z }
2
n=1
Rozwiązanie:
Podstawiamy y = sin x∞
Szereg geometryczny X yn jest zbieżny ⇐⇒ y ∈ ( − 1 , 1) n=1
sin x ∈ ( − 1 , 1) ⇐⇒ x /
∈ { π + kπ; k ∈ Z }
2
4. Narysować wykres sumy szeregu Fouriera funkcji (
− 1 , x ∈ ( −π, 0)
f ( x) =
na przedziale [ −π, 2 π]
3 , x ∈ (0 , π)
Rozwiązanie:
S( x) = f ( x)
dla x ∈ ( −π, 0) ∪ (0 , π) bo f ( x) jest ciągła
S( x) = − 1
dla x ∈ ( π, 2 π)
bo S( x) jest okresowy
− 1 + 3
S( x) =
= 1
dla x ∈ {−π, 0 , π, 2 π}
warunki Dirichleta
2
1
5. Dla jakiej wartości p ∈ R krzywizna krzywej p = ±
(
5
x = p cos t
K :
t ∈ [0 , 2 π)
y = p sin t
dla t = π jest równa 5 ?
Rozwiązanie:
Krzywa K to okrąg o promieniu R = |p| . Krzywizna okręgu w każdym punkcie 1
1
jest równa κ =
=
.
R
|p|
1
1
= 5 = ⇒ p = ±
|p|
5
1
1. godz. 10.00 Zadanie wstępne
Zadanie
Odp.
1. Czy funkcje f 1( x) = 1 , f 2( x) = x , f 3( x) = x 2 tworzą fundamentalny układ Tak
rozwiązań pewnego równania różniczkowego liniowego 3 rzędu o stałych współ-
czynnikach? Odpowiedź uzasadnić.
Rozwiązanie:
f 1( x) f 2( x) f 3( x) 1 x x 2
W ( x) = f 0 ( x)
f 0 ( x)
f 0 ( x) = 0 1 2 x = 2 6= 0
1
2
3
f 00( x) f 00( x) f 00( x) 0 0
2
1
2
3
− 1
2. Rozwiązać równanie
y0 = y 2 .
y = x + C
Rozwiązanie:
lub
d y
d y
= y 2 = ⇒ = ⇒
= d x
rozdzielamy zmienne
y = 0
d x
y 2
Z
d y
Z
1
− 1
=
d x = ⇒ −
= x + C = ⇒ y =
y 2
y
x + C
∞ ( − 1) nx 2 n
3. Rozwinąć w szereg Maclaurina funkcję f ( x) = e−x 2
X
n!
Rozwiązanie:
n=0
∞ ( −x 2) n
∞ ( − 1) nx 2 n
f ( x) = X
= X
, x ∈ ( −∞, ∞)
n!
n!
n=0
n=0
Korzystamy z rozwinięcia funkcji g( x) = ex 4. Dla jakiej wartości parametru p ∈ R suma szeregu Fouriera funkcji p = − 1
(
1
, x ∈ ( −π, 0)
f ( x) =
x + p , x ∈ (0 , π)
przyjmuje w punkcie x = 0 wartość równą 0 ?
Rozwiązanie:
f (0+) + f (0 −)
p + 1
S(0) =
=
= 0 = ⇒ p = − 1
2
2
5. Wyznaczyć wektor normalny główny krzywej opisanej równaniem
[ − 1 , 4 , 1]
−
→
r ( t) = [ t , t 2 , et] dla t = 0 .
Rozwiązanie:
˙
−
→
r ( t) = [1 , 2 t , et]
,
˙
−
→
r (0) = [1 , 0 , 1]
¨
−
→
r ( t) = [0 , 2 , et]
,
¨
−
→
r (0) = [0 , 2 , 1]
i
j
k
i
j
k
−
→
−
→
−
→
b = ˙
−
→
r × ¨
−
→
r = 1 0 1 = [ − 2 , − 1 , 2]
;
n = b × ˙
−
→
r = − 2 − 1 2 =
0 2
1
1
0
1
[ − 1 , 4 , 1]
2
y0 + y tg x = cos2 x
Rozwiązanie:
Jest to równanie liniowe. Rozwiązujemy równanie liniowe jednorodne: y0 + y tg x = 0
Rozdzielamy zmienne:
d y = − tg x d x
y
Z
d y
Z
sin x
=
−
d x
y
cos x
ln |y| = ln | cos x| + C
podstawiamy {t = cos x , d t = − sin x d x}
y = C cos x
Rozwiązujemy równanie liniowe niejednorodne:
y0 + y tg x = cos2 x
y = C( x) cos x
uzmienniamy stałą
Wtedy:
y0 = C0( x) cos x − C( x) sin x C0 cos x − C sin x + C sin x = cos2 x wstawiamy do równania
C0 = cos x
Z
C =
cos x d x = sin x + D
Stąd:
y = (sin x + D) cos x
Odpowiedź:
y = (sin x + D) cos x
3
3. Rozwiązać zagadnienie Cauchy’ego
x + y
xy0 − y = ( x + y) ln
x
y(1) = 1
Rozwiązanie:
Jest to równanie jednorodne. Podstawiamy:
y
z( x) =
= ⇒ y = zx = ⇒ y0 = z0x + z x
x + zx
x( z0x + z) − zx = ( x + zx) ln x
xz0 = ( z + 1) ln( z + 1)
Rozdzielamy zmienne:
d z
d x
=
( z + 1) ln( z + 1)
x
Z
d z
Z
d x
=
( z + 1) ln( z + 1)
x
Z
d z
d z
Z
d t
= {t = ln( z + 1) , d t =
} =
= ln |t| = ln | ln( z + 1) |
( z + 1) ln( z + 1)
z + 1
t
ln | ln( z + 1) | = ln |x| + C
ln( z + 1) = Cx
z + 1 = eCx = ⇒ z = eCx − 1
y = x( eCx − 1)
Podstawiamy x = 1 , y = 1
1 = eC − 1 = ⇒ eC = 2 = ⇒ C = ln 2
Stąd:
y = x( ex ln 2 − 1) Odpowiedź:
y = x( ex ln 2 − 1) 4
4. Rozwiązać zagadnienie początkowe
˙ x − y = 0
˙
y + 9 x = 0
x(0) = 1
y(0) = 0
Rozwiązanie:
y = ˙ x
z pierwszego równania
˙
y = ¨
x
różniczkujemy
¨
x + 9 x = 0
podstawiamy do drugiego równania
r 2 + 9 = 0
równanie charakterystyczne
r 2 = − 9 = ⇒
r 1 = 3 i , r 2 = − 3 i x = C 1 cos 3 t + C 2 sin 3 t y = ˙ x = − 3 C 1 sin 3 t + 3 C 2 cos 3 t Podstawiamy warunki początkowe:
(
(
C 1 = 1
C
= ⇒
1 = 1
3 C 2 = 0
C 2 = 0
Odpowiedź:
(
x = cos 3 t
y = − 3 sin 3 t
5
Z
5. Wyznaczyć przybliżoną wartość całki
ex 2 d x
wykorzystując trzy początkowe wy-
0
razy szeregu Maclaurina funkcji y = ex 2 .
Rozwiązanie:
∞ ( x 2) n
∞ x 2 n
x 4
x 6
x 8
y = X
= X
= 1 + x 2 +
+
+
+ . . .
n!
n!
2!
3!
4!
n=0
n=0
Przedział zbieżności tego szeregu: x ∈ ( −∞ , ∞) Skorzystaliśmy z rozwinięcia w szereg funkcji:
x 2
x 3
x 4
ex = 1 + x +
+
+
+ . . . , x ∈ R
2!
3!
4!
Przybliżamy funkcję:
x 4
y ≈ 1 + x 2 + 2
Przybliżamy całkę:
2
2
Z
Z
x 4
h
1
1
8
16
118
y d x ≈
(1 + x 2 +
) d x = x +
x 3 +
x 5i2 = 2 +
+
=
2
3
10
0
3
5
15
0
0
Odpowiedź:
2
Z
118
y d x ≈ 15
0
6
4
dla
x ∈ ( −π , − 1)
f ( x) =
− 4
dla
x ∈ (1 , π)
0
dla
x ∈ ( − 1 , 1)
Uzupełnić tę funkcje aby w przedziale [ −π, π] spełniała warunki Dirichleta. Sporządzić wykres. Wyznaczyć szereg Fouriera tej funkcji.
Rozwiązanie:
Funkcja ma spełniać warunki Dirichleta, więc w punktach nieciągłości: f ( − 1 −) + f ( − 1+) 4 + 0
f ( − 1) =
=
= 2
2
2
f (1 −) + f (1+)
0 + 4
f (1) =
=
= 2
2
2
f ( π−) + f ( −π+)
− 4 + 4
f ( −π) = f ( π) =
=
= 0
2
2
Ponieważ funkcja jest nieparzysta, więc an = 0
Dla n = 1 , 2 , 3 . . .
π
π
1
π
1 Z
2 Z
2 Z
2 Z
bn =
f ( x) sin nx d x =
f ( x) sin nx d x =
0 · sin nx d x +
− 4 sin nx d x =
π
π
π
π
−π
0
0
1
− 8 − cos nx π
8(cos nπ − cos n)
=
π
n
1
nπ
Szereg Fouriera jest więc następujący:
∞ 8(cos nπ − cos n)
S( x) = X
sin nx
nπ
n=1
7