Niech X – przestrzeń metryczna oraz niech E ⊂ X .
Definicja
Zbiór E nazywamy zwartym (ciągowo zwartym), jeśli
∀ x
⊂ E ∃ x
: lim x ∈ E.
n n∈ℕ
n k ∈ℕ
n
k
k ∞
k
i piszemy E∈Comp X.
Definicja
Przestrzeń metrycznną (X,d) nazywamy przestrzenią zwartą, jeśli X jest zbiorem zwartym.
Przykład
1) ∅ - zbiór zwarty
2) Zbiorem zwartym jest każdy zbiór skończony Twierdzenie
Niech
K n - przestrzeń metryczna ze standardową metryką, E⊂K n.
Wtedy
E ∈CompK n ⇔ E−domknięty i ograniczony.
Twierdzenie
Niech
X , d −przestrzeń metryczna, E⊂ X ,
U ∈ Top X dla j∈ J .
j
Wtedy
E ∈Comp X ⇔ [ E⊂ ∪ U ⇒ ∃{ j , ... , j }⊂ J : E⊂ U ∪...∪ U ]
j
1
r
j
j
j∈ J
1
u
(z każdego pokrycia zbioru E zbiorami otwartymi można wybrać podpokrycie skończone )
Twierdzenie (o zachowaniu zwartości) X ,Y −przestrzenie metryczne
E−zwarty w X
f ∈ C X
} ⇒ f[ E]−zwarty,
tzn. obraz ciągły zbioru zwartego jest zwarty.
- 1 -
Niech y
⊂ f [ E ].
n n∈ℕ
Wtedy ∀ n∈ℕ wybieramy x ∈ f −1[{ y }]∈ E .
n
n
Stąd
x
⊂ E ⇒
E - zwarty ∃ x ⊂ x : lim x ∈ E f ⇒
−ciągłe lim f x ∈ f [ E]
n n∈ℕ
n k ∈ℕ
n n∈ℕ
n
n
k
k ∞
k
k ∞
k
Wniosek (twierdzenie Weierstrassa o osiąganiu kresów) X ∈Comp
f : X ℝ
f ∈ C X }
f a=inf { f x: x∈ X }
⇒ ∃ a , b∈ X : { f b=sup{ f x: x∈ X }
- 2 -