Blok 8: Ruch harmoniczny.

Wahadło matematyczne

ZESTAW ZADAŃ NA ZAJĘCIA

Uwaga: w poniższych zadaniach przyjmij, że wartość przyspieszenia ziemskiego jest równa r

2

| g |= 10 m / s .

RUCH HARMONICZNY

1. W ruchu harmonicznym klocka o masie m = 1

,

0 kg zaczepionego na sprężynie i

poruszającego się po poziomym stole bez tarcia, zależność położenia klocka od czasu wyraża si

π

ę wzorem: x(t) = 1

,

0 5 sin(4π ⋅ t + ) , gdzie stałe podane są w podstawowych jednostkach

2

SI, a x = 0 jest położeniem równowagi. Oblicz: amplitudę, fazę początkową, okres, częstość drgań, maksymalne przyspieszenie, maksymalną prędkość, całkowitą energię mechaniczną układu. Oblicz, w jakiej odległości od położenia równowagi znajdował się klocek w chwili t = 0 .

2. W ruchu harmonicznym zależność położenia ciała o masie m = ,

0 05 kg od czasu wyraża się

wzorem: x(t) = ,

0 02 sin 1

( 2π ⋅ t + )

π , gdzie stałe podane są w podstawowych jednostkach SI, a

x = 0 jest położeniem równowagi. W chwili t = T / 4 , gdzie T jest okresem drgań ciała, oblicz: fazę ruchu, wartość prędkości chwilowej, wartość przyspieszenia chwilowego, wartość siły sprężystości, energię kinetyczną i energię potencjalną sprężystości.

3. W ruchu harmonicznym zależność położenia ciała od czasu wyraża się wzorem: x(t) = 1

,

0 sin(7π ⋅ t) , gdzie stałe podane są w podstawowych jednostkach SI, a x = 0 jest położeniem równowagi. W chwili, gdy wychylenie ciała z położenia równowagi jest równe połowie amplitudy i zgodne ze zwrotem wybranej osi OX, oblicz:

• ile razy energia kinetyczna jest większa od energii potencjalnej

sprężystości

• stosunek wartości prędkości chwilowej ciała do wartości prędkości

maksymalnej

• stosunek wartości przyspieszenia chwilowego ciała do wartości

przyspieszenia maksymalnego

4. Zależność energii całkowitej oscylatora harmonicznego od amplitudy drgań przedstawiono na wykresie:

5. Aby rozciągnąć pojedynczą sprężynę o ∆x należało zadziałać siłą o wartości F. Sprężynę rozcięto na dwie połowy. Siłą o jakiej wartości należy zadziałać, aby rozciągnąć jedną z połówek o ∆x ?

Projekt jest współfinansowany z Europejskiego Funduszu Społecznego

w ramach programu operacyjnego KAPITAŁ LUDZKI

1

BLOK 8 ZADANIA

6. Pojedynczą sprężynę rozciągamy w taki sposób, aby siła powodująca

odkształcenie zawsze równoważyła aktualną siłę sprężystości. Przy

wydłużeniu pojedynczej sprężyny o x1 siła sprężystości ma wartość 1

F .

Oblicz rozciągnięcie każdej ze sprężyn w przypadku pokazanym na

rysunku, gdy dwie takie sprężyny połączymy i zadziałamy na nie siłą o

wartości 1

F .

7. Praca wykonana przy rozciąganiu układu sprężyn z poprzedniego zadania jest: A) cztery razy mniejsza niż w przypadku rozciągania jednej sprężyny siłą o wartości 1

F

B) dwa razy mniejsza niż w przypadku rozciągania jednej sprężyny siłą o wartości 1

F

C) taka sama jak w przypadku rozciągania jednej sprężyny siłą o wartości 1

F

D) dwa razy większa niż w przypadku rozciągania jednej sprężyny siłą o wartości 1

F

E) cztery razy większa niż w przypadku rozciągania jednej sprężyny siłą o wartości 1

F

8. Dwie identyczne sprężyny oraz dwie kule o ciężarach Q1 i Q2

( Q >

2

Q1) zawieszono kolejno tak, jak na rysunkach. Wydłużenia

x1 i x 2 górnej sprężyny oraz y1 i y2 - dolnej w obu przypadkach

spełniają zależność:

A) x =

1

x 2 i y =

1

y 2

B) x =

1

x 2 i y >

1

y 2

C) x <

1

x 2 i y >

1

y 2

D) x <

1

x 2 i y =

1

y 2

WAHADŁO MATEMATYCZNE

9. Kuleczka na nici stanowi wahadło matematyczne. Jeśli masę kuleczki zwiększymy czterokrotnie a długość nici zmniejszymy dwukrotnie, to ile razy zmieni się okres drgań wahadła?

10. Wahadło matematyczne o okresie zawieszono w windzie i wyznaczono okres jego drgań własnych: T = 5 s , gdy winda spoczywa. Oblicz okres drgań wahadła, jeżeli winda:

• porusza się w górę z przyspieszeniem

m

a = 3

2

s

• porusza się w górę z opóźnieniem

m

a = 3

2

s

11. Wahadło matematyczne o okresie T = 5 s zawieszono w autobusie. Oblicz okres drgań wahadła, jeżeli autobus:

• rusza z przystanku z przyspieszeniem

m

a = 2

2

s

• hamuje z opóźnieniem

m

a = 2

2

s

Projekt jest współfinansowany z Europejskiego Funduszu Społecznego

w ramach programu operacyjnego KAPITAŁ LUDZKI

2

BLOK 8 ZADANIA

ZESTAW ZADAŃ DO SAMODZIELNEGO ROZWIĄZANIA

1. Pojedynczą sprężynę rozciągamy w taki sposób, aby siła

powodująca odkształcenie zawsze równoważyła aktualną siłę

sprężystości. Przy wydłużeniu pojedynczej sprężyny o x1 siła

sprężystości ma wartość 1

F . Oblicz rozciągnięcie każdej ze

sprężyn w przypadku pokazanym na rysunku, gdy dwie takie

sprężyny połączymy i zadziałamy na nie siłą o wartości 1

F .

2. Zależność okresu drgań wahadła matematycznego od jego długości poprawnie przedstawiono na wykresie:

3. Na dwóch sprężynach o współczynnikach sprężystości k1 i k 2 i jednakowych długościach początkowych, zaczepionych u sufitu zawieszono ciężarki o jednakowych masach. Jeżeli wydłużenie sprężyny (2) jest dwa razy większe od wydłużenia sprężyny (1), to: A) k = ⋅

1

2 k 2

B) k = ⋅

1

4 k 2

C) k =

1

k 2

D) 2 ⋅ k =

1

k 2

4. Ciało wykonuje drgania harmoniczne. W położeniu równowagi:

A) szybkość ciała osiąga wartość maksymalną, a przyspieszenie jest równe zeru B) przyspieszenie ciała osiąga wartość maksymalną, a szybkość jest równa zeru C) szybkość i przyspieszenie przyjmują wartości maksymalne

D) szybkość i przyspieszenie przyjmują wartości minimalne

5. Na sprężynie o małej masie zwieszono ciało o masie 1 kg. Oblicz okres drgań tego odważnika, jeżeli pod wpływem siły 1 N sprężyna wydłuża się o 0,5 cm.

6. W tym samym czasie jedno z dwóch wahadeł matematycznych wykonało 12 pełnych wychyleń, zaś drugie z nich – 18 pełnych wychyleń. Różnica długości wahadeł wynosi 10 cm.

Oblicz długości wahadeł.

7. Oblicz energię potencjalną ciała o masie m = 1

,

0 kg wykonującego drgania harmoniczne o

amplitudzie A = 30 mm z częstotliwością f = 20 Hz po czasie t

1

= T od wychylenia z

4

położenia równowagi.

Projekt jest współfinansowany z Europejskiego Funduszu Społecznego

w ramach programu operacyjnego KAPITAŁ LUDZKI

3

BLOK 8 ZADANIA