Wykład 3, 10 X 2011

1. Układy współrzędnych. Przeliczanie współrzędnych w różnych układach na płaszczyźnie, gdy ob-

serwatorzy są w dowolnym położeniu i osie układów są dowolnie położone; trójkąt obserwacyjny.
Przykład.

2. Translacja układu o wektor p~i + q~j = [p, q], jako przypadek szczególny zmiany układu współrzędnych:

~i

0

= ~i, ~j

0

= ~j. Wtedy (x, y) = (p + x

0

, q + y

0

). Zatosowanie do przesuwania wykresu funkcji (44-47).

3. Twierdzenie Talesa. Funkcje trygonometryczne kąta ostrego. Definicja jest poprawna dzięki twierdze-

niu Talesa (proporcja nie zależy od rozmiarów trójkąta, tylko od kątów) (29-30,89-90).

4. Rozszerzanie funkcji trydonometrycznych na kąty rozwarte (a także zerowy i prosty). Wzory sin α =

sin(180 − α), cos α = − cos(180 − α) (33-34,91-92).

5. Wzory na cos(α + β) i sin(α + β).

6. Miara łukowa kąta i rozszerzanie funkcji trygonometrycznych na kąty dowolne. Wykresy funkcji

trygonometrycznych (89-84).

7. Przykład: graficzne rozwiązywanie równań trygonometrycznych.

8. Umiejscowienie liczb zespolonych na płaszczyźnie w układzie współrzędnych; liczbie a+bj odpowiada

punkt o współrzędnych (a, b). Na liczbę zespoloną możemy też patrzeć, jak na wektor zaczepiony w
początku układu współrzędnych. Wtedy dodawaniu liczb zespolonych odpowiada dodawanie wekto-
rów (zastosowanie do prądów zmiennych).

9. Postać trygonometryczna liczby zespolonej z = r(cos ϕ + j sin ϕ), argument ϕ i moduł r = |z| =

√

a

2

+ b

2

. Mnożenie liczb zespolonych w postaci trygonometrycznej: moduły się mnożą, a argumenty

dodają. Interpretacja geometryczna mnożenia liczb zespolonych, związek z obrotem.

10. Liczby zespolone o module jeden (okrąg jednostkowy), napis e

jϕ

= cos ϕ + j sin ϕ; związki e

j(ϕ

1

+ϕ

2

)

=

e

jϕ

1

+e

jϕ

2

oraz (e

jϕ

)

n

= e

jnϕ

. Zastosowanie do potęgowania liczb zespolonych. Przykład: odgadnięcie

pierwiastka kwadratowego z j jako

1+j

√

2

.