4. Stan naprężenia i odkształcenia (wersja 1  listopad)
Przestrzenny jednorodny stan naprężenia
Rozpatrujemy ciało w kartezjańskim prostokątnym układzie
współrzędnych. Stan naprężenia w danym punkcie ciała określamy (Rys.
4.1), wycinając myślowo w otoczeniu rozpatrywanego punktu elementarny
prostopadłościan o bokach dx, dy, dz . Krawędzie prostopadłościanu są
równoległe do układu osi współrzędnych. Stan naprężenia w danym
punkcie jest określony jeżeli znamy jego składowe występujące na ścianach
prostopadłościanu.
Rys. 4.1
Oznaczenie i znakowanie
Naprężenia normalne (Rys. 4.1) oznaczamy symbolem � z pojedynczym
�
�
�
indeksem wskazującym kierunek osi do której naprężenie jest równoległe.
Za dodatnie naprężenia normalne przyjmujemy naprężenia rozciągające.
Naprężenia styczne oznaczone są dwoma indeksami : pierwszy oznacza do
jakiej osi jest prostopadła płaszczyzna działania naprężenia stycznego,
drugi zaś oś do której naprężenie styczne jest równoległe. Naprężenia
styczne uważamy za dodatnie gdy na ścianie o normalnej dodatniej zwrot
ich jest zgodny z ze zwrotem osi współrzędnych. Gdy normalna zewnętrzna
ma zwrot przeciwny, przeciwne są również dodatnie zwroty naprężeń
stycznych.
Wytrzymałość materiałów I Sz. Lutomirski 1/10
4. Płaski ogólny stan naprężenia (wersja 1  listopad)
Stan naprężenia w dowolnym rozpatrywanego ciała może być określony
przez dziewięć składowych stanu naprężenia.
Wobec równości naprężeń stycznych �xy = �yx , �zx = �xz , �zy = �yz liczba
niezależnych składowych naprężeń w punkcie redukuje się do sześciu.
Płaski ogólny (niejednorodny) stan naprężenia
Równania równowagi i ruchu dla PSN
Rozpatrujemy cienką płaską tarczę o grubości jednostkowej
znajdującą się w równowadze (Rys. 4.2a i b). Obciążeniem tarczy są siły
masowe i siły przyłożone na brzegu tarczy równolegle do jej płaszczyzn i
równomiernie rozłożone na grubości.
Rys. 4.2
Przykł.: rozwinięcie wyrażenia �x w szereg Taylora w postaci
�' (0) �'' (0)
x x
�x(dx) = �x (0) + (dx - 0) + (dx - 0)2 + ...
1! 2!
"�ad 1 "2�ad
bc ad
x x
� = � + dx + dx2 +...
x x
"x 2 "x2
Wytrzymałość materiałów I Sz. Lutomirski 2/10
4. Płaski ogólny stan naprężenia (wersja 1  listopad)
Po pominięciu wielkości małych wyższego rzędu otrzymamy
"�ad
bc ad
x
� = � + dx. (4.1)
x x
"x
W analogiczny sposób postępujemy z pozostałymi naprężeniami (Rys. 4.2c).
Na rys. 4.2c siły masowe przypadające na jednostkę objętości ciała
oznaczono X, Y. Siły te są zaczepione w środku elementu p. C.
Dla elementu abcd (rys. 4.2a i c), zapisujemy trzy równania
równowagi (i ruchu)
ŁMC = 0, ŁX = 0, ŁY = 0.
Pola obciążonych ścianek prostopadłościanu wynoszą: dx*1, dy*1.
"�
dy dx dy
yx
ŁM = -� dx + � dy - (� + dy) dx +
c yx xy yx
2 2 "y 2
"�
dx
xy
(� + dx) dy = 0
xy
"x 2
Po pominięciu wielkości małych trzeciego rzędu i podzieleniu przez dx*dy
otrzymamy:
�xy = �yx (4.2)
Zasada wzajemności naprężeń stycznych.
"�
"�
yx
x
ŁX = -� dy + (� + dx)dy + (� + dy)dx +
x x yx
"x "y
2
" u
- � dx + Xdxdy = 0 (= �dxdy )
yx
2
"t
Po podzieleniu obu stron równania przez dxdy i redukcji
2
"�
"� " u
xy
x
+ + X = 0 (= � ) (4.3)
2
"x "y "t
W analogiczny sposób z warunku ŁY=0 otrzymamy drugie
różniczkowe równanie równowagi
Wytrzymałość materiałów I Sz. Lutomirski 3/10
4. Płaski ogólny stan naprężenia (wersja 1  listopad)
2
"� "�
" v
y xy
+ + Y = 0 (= � ) (4.4)
2
"y "x "t
Po pominięciu sił masowych w równaniach (4.3) i (4.4) znikają wyrazy
zawierające X, Y, i �. Jeżeli jedyną siłą masową jest ciężar własny ciała
(X = 0, Y = - p), to wówczas równania (4.3), (4.4) mają postać (4.5 i 4.6):
"�
"�
xy
x
+ =0 (4.5)
"x "y
"� "�
y xy
+ -p=0 (4.6)
"y "x
W równaniach (4.5) i (4.6) występują trzy niewiadome składowe stanu
naprężenia. Zagadnienie wyznaczenia naprężenia w kontinuum jest więc
statycznie niewyznaczalne. Dodatkowe równania umożliwiające znalezienie
naprężeń napiszemy wykorzystując warunki brzegowe. Element brzegowy
ma kształt graniastosłupa o przekroju trójkątnym (por. rys. 4.2d).
Składowe obciążenia zewnętrznego tego elementu oznaczono X, Y .
Warunki brzegowe  dwa dodatkowe równania .
ŁX=XdA-�xdAcos�-�yxdAsin�=0
ŁY=YdA-�ydAsin�-�xydA cos�=0
Po skróceniu i podzieleniu przez dA i uwzględnieniu �xy = �yx
X = �x cos � + �xy sin �
(4.7)
Y = �y sin � + �xy cos�
Równania równowagi wewnętrznej (4.3) i (4.4) lub (4.5) i (4.6) wraz z
warunkami brzegowymi (4.7) tworzą komplet warunków statycznych
płaskiego stanu naprężenia.
Wytrzymałość materiałów I Sz. Lutomirski 4/10
4. PSN Naprężenia główne (wersja 1  listopad)
Naprężenia główne
Stan naprężenia w wybranym punkcie  a (A) jest określony przez trzy
jego składowe �x, �y, i �xy (Rys. 4.3).
Naprężenia w punkcie  a można również wyrazić przez naprężenia
główne �1, �2 i kąt Ćn pod jakim działa naprężenie �1 w stosunku do
dodatniego kierunku osi x.
Poszukujemy naprężeń �Ć, i �Ć w przekroju nachylonym pod dowolnym
kątem Ć w stosunku do osi y. A następnie znajdziemy płożenie przekroju
w którym naprężenia styczne �Ć = 0, naprężenia normalne działające w
tym przekroju nazywamy naprężeniami głównymi.
Rys. 4.3
Wytrzymałość materiałów I Sz. Lutomirski 5/10
4. PSN Naprężenia główne (wersja 1  listopad)
Oznaczamy przez dA pole ścianki bc graniastosłupa (rys. 4.4a)
i piszemy dwa równania równowagi
Rys. 4.4
Łn= 0;
�Ć dA  (�x dA cosĆ) cosĆ - (�y dA sinĆ) sinĆ  (�xy dA cosĆ) sinĆ - (�yx dA
sinĆ) cosĆ =0.
Łt = 0;
�Ć dA  (�x dA cosĆ) sinĆ - (�y dA sinĆ) cosĆ  (�xy dA cosĆ) cosĆ - (�yx dA
sinĆ) sinĆ =0.
Skąd po uproszczeniu i redukcji uzyskamy:
�Ć = �x cos2 Ć + �y sin2 Ć + 2�xy sinĆ cosĆ, (*)
�Ć = (�x - �y) sinĆ cosĆ  �xy (cos2 Ć  sin2 Ć. (**)
Podstawiając: sin2 Ć = 0,5 (1  cos2Ć), cos2 Ć = 0,5 (1 + cos2Ć), oraz, że
sinĆ cosĆ = 0,5 sin2Ć będziemy mieli:
�x + �y �x - �y
��= + cos2� + �xy sin 2�, (4.8)
2 2
�x - �y
(4.9)
��= sin 2� - �xy cos2�
2
Wytrzymałość materiałów I Sz. Lutomirski 6/10
4. PSN Naprężenia główne (wersja 1  listopad)
Poszukujemy takiej wartości kąta Ćn przy której �Ć osiąga wartości
ekstremalne
"�� �x-�y
=-2(( )sin 2�-�xy cos2�)=0
"� 2
a zatem warunek ekstremum  nachylenie przekroju głównego
2�xy
tg2�n= (4.10)
�x-�y
A
atwo zauważyć, że identyczny wzór (4.10) otrzymamy kładąc we wzorze
(4.9) �Ć = 0. W przekrojach głównych naprężenia styczne nie występują.
Z warunku (4.10) otrzymamy dwie wartości kąta
Ćn i Ćn  = Ćn + Ą/2,
Podstawiając Ćn i Ćn  do (4.8) trzymamy dwie wartości naprężeń
głównych �n i �n  w przekrojach wzajemnie prostopadłych. Większe z
nich oznaczamy �1 a mniejsze �2.
Jeżeli na podstawie wzoru (4.10) obliczymy wartości sin2Ćn i cos2Ćn i
podstawimy do (4.8) wówczas otrzymamy naprężenia główne w
postaci:
�x+�y 1
�1,2= ą (�x-�y)2+4�2 (4.11)
xy
2 2
Elementy prostopadłościany na którego ściankach działają naprężenia
główne przedstawiono na rys 4.4b.
Poszukujemy takiej wartości kąta Ćt przy której �Ć osiąga wartości
ekstremalne. Na podstawie równania (4.9) otrzymamy
"�� �x-�y
=2(( )cos2�+�xy sin 2�)=0
"� 2
a zatem warunek ekstremum
�x-�y
tg2�t=- (4.12)
2�xy
Porównując otrzymany rezultat z równaniem (4.10) łatwo spostrzegamy,
że tg2Ćn = - ctg2Ćt.
Wytrzymałość materiałów I Sz. Lutomirski 7/10
4. PSN Naprężenia główne (wersja 1  listopad)
Ponieważ - ctgĆ = tg(0,5Ą + Ć), czyli - ctg2Ćt = tg(0,5Ą + 2Ćt)
Ą
tg2�n = tg( + 2�t )
2
a stąd
Ą
�t = �n - . (4.13)
4
Widzimy, że naprężenia styczne osiągają wartości ekstremalne w
płaszczyznach nachylonych pod kątem 45� w stosunku do przekrojów
głównych (por. rys. 4.4c)
Dla dwóch wartości kąta Ćt i Ćt  , otrzymamy ekstremalne wartości
naprężeń stycznych. Obliczając jak poprzednio wartości sin2Ćt i cos2Ćt i
podstawimy do (4.9) wówczas otrzymamy ekstremalne naprężenia
styczne w postaci
1
�max,min=ą (�x-�y)2+4�2 (4.14)
xy
2
Elementy prostopadłościany na którego ściankach działają ekstremalne
naprężenia styczne przedstawiono na rys 4.4c.
Porównując ze sobą równości (4.14) i (4.11) otrzymujemy znaną już
zależność
�1-�2
�max= (4.15)
2
Zależności pomiędzy składowymi �x , �y , �xy (por (4.8) i (4.9)), a
naprężeniami głównymi �1 , �2 , (por (4.11)) mogą być przedstawione za
pomocą koło Mohra.
Rys. 4.5
Wytrzymałość materiałów I Sz. Lutomirski 8/10
4. PSN Rozciąganie dwukierunkowe. Koło Mohra (wersja 1  listopad)
Komentarz......
Gdy �1 = �2 > 0, to koło Mohra sprowadza się do punktu i wówczas � = 0, a
� � �
� � �
� � �
każdy kierunek jest kierunkiem głównym. Stan ten to równomierne
wszechstronne rozciąganie np. ...
Gdy �1 = �2 < 0...........................................
� �
� �
� �
Gdy �1 > 0 i = �2 = 0, to jest liniowy stan naprężenia
� �
� �
� �
Rozciąganie dwukierunkowe
Jeżeli dla płaskiego stanu naprężenia styczne �xy = �yx = 0 to naprężenia �x
� � �
� � �
� � �
i �y są naprężeniami głównymi. Przekroje w których one występują
�
�
�
nazywamy przekrojami głównymi. Naprężenia w przekroju nachylonym
pod kątem Ć i � Ą
� = Ć + Ą/2 (Rys. 4.6) można otrzymać ze wzorów
� Ą
� Ą
podanych na dzisiejszym wykładzie i oznaczonych (*) i (**) kładąc w nich
�xy = 0
Rys.4.6
�Ć = �1 cos2 Ć + �2 sin2 Ć (+)
�Ć = (�1  �2) sinĆ cosĆ (++)
Powyższe wzory można przedstawić w postaci
�1 + �2 �1 - �2
��= + cos2�,
2 2
�1 - �2
��= sin 2�.
2
Wytrzymałość materiałów I Sz. Lutomirski 9/10
4. PSN Przykład. Koło Mohra (wersja 1  listopad)
W przekroju prostopadłym � Ą
� = Ć + Ą/2 otrzymamy
� Ą
� Ą
�1 + �2 �1 - �2
��= - cos2�,
2 2
�1 - �2
��= - sin 2�.
2
Powyższe zależności można odwzorować na kole Mohra.
Przykład
Dany jest płaski element abcd (Rys. 4.7a) poddany naprężeniom
�x = [MPa], �y = [MPa], �xy = [MPa]. Wyznaczyć naprężenia
� � �
� � �
� � �
główne i nachylenie przekroju głównego.
Rys. 4. 7
Wytrzymałość materiałów I Sz. Lutomirski 10/10