Zadanie, któremu odpowiada cała przestrze zdarze Dystrybuanta zmiennych losowych:

x1,x2,…,xk

Zdarzenie losowe- mo liwy wynik eksperymentu. S one

elementarnych nazywamy zdarzeniem pełnym i oznaczamy .

To prawdopodobie stwo przej cia przez zmienn losow X warto ci k=1,2,3,4,…

zdarzeniami

P( X = x )

Zdarzenie niemo liwe, to zdarzenie, któremu odpowiada zbiór mniejszej od dowolnie wybranej liczby rzecz. x.

R

niezdeterminowanymi. Elementarne zdarzenia losowe-

pusty i oznaczamy je ∅. Dwa zdarzenia s rozł czne je li ich F(x)=P(X<x)

takie, które mog si zdarzy na jeden sposób.

zbiory zdarze elementarnych nie maj elementów wspólnych,

1) dystrybuanta jest funkcja okre lon w dziedzinie liczb rzecz. w F ( x) = ∑ ( X = x ) - przepis 1.Dodawanie- jest to polegaj ce na zaj ciu conajmniej

K

wspólnych ich iloczyn jest zdarzeniem niemo liwym: A∩B=∅

przedziale x ∈ (− ;

∞ +∞)

jednego ze zdarze A i B lub obydwu tych zdarze ;

xR< x

Prawo rozdzielalno ci dodawania wzgl dem mno enia:

C=A∪B. 2.Iloczyn- zdarzenie polegaj ce na zaj ciu

2)Funkcja niemalej ca, zało enie: x1>x2

A∪B(B1∩B2∩…∩Bk)=(A∪B1)∩(A∪B2) ∩…∩(A∪Bk)

wyznaczania dystrybuanty według rozkładu

zarówno zdarzenia A jak i B; C=A∩B. 3.Ró nica-

W pewnych przypadkach zbiory zdarze tworz układ zupełny prawdopodobie stwa zmiennej losowej.

zdarzenie polegaj ce na zaj ciu zdarzenia A i nie zaj ciu

zdarze .

F(x1)=P(X<x1)=P(X<x2)+P(x2≤X≤x1)

Według rysunku:

zdarzenia B; C=A-B. 4.Dopełnienie zdarze - Zdarzenie Mamy zbiór zdarze losowych A1,A2…Ak, tworzy układ

F(x1)≥F(x2)

- mo na ustali zbiór warto ci zmiennej losowej

zupełny zdarze , je li zdarzenia te s parami rozł czne, a ich

- mo na ustali rozkład prawdopodobie stwa zmiennej losowej polegaj ce na nie zaj ciu zdarzenia A; B= A .

suma jest zdarzeniem pewnym.

3) Prawdopodo0bie stwo tego e zmienna losowa przyjmuje warto

Zdarzenie pewne- zdarzenie, któremu odpowiada cała

1)Ai∩Aj=∅ i≠j 2) U(przy k=1 nad k) AK=

nie mniejsza od - ∞ jest rowna=0 F (−∞ ) = P( X < −∞ ) =0

ZMIENNE LOSOWE WIELOWYMIAROWE:

przestrze zdarze elementarnych Ω tj. przestrze , która

Definicja aksjomatyczna prawdopodobie stwa:

Zmienna losowa wielowymiarowa – uporz dkowany zespół N

obejmuje wszystkie mo liwe rezultaty eksperymentu.

F +∞ = P X < +∞ - prawdopodobie stwo tego = 1

1)

0≤P(A)≤1

(

)

(

)

jednoznacznych i rzeczywistych funkcji x1(w), x2(w), … ,

Zdarzenie niemo liwe- zdarzenie, któremu odpowiada

2)

P( )=1

Dystrybuanta jest to funkcja, której wykres mie ci si w przedziale xN(w), których ka demu zdarzeniu elementowemu w

zbiór pusty ∅ tj. zbiór niezawieraj cy adnego zdarzenia

3)

P(A∪B)=P(A)+P(B)

od 0 do 1 i jest funkcj niemalej c .

przyporz dkowuje układ liczb rzeczywistych (x1,x2,x3,…,xn)

elementarnego.

Definicja klasyczna prawdopodobie stwa:

Dowód e dystrybuanta jest f. nie malej c :

nazywamy N-wymiarow zmienn losow i oznacza j

Zdarzenie rozł czne- dwa zdarzenia A i B s rozł czne,

Prawdopodobie stwem zdarzenia A nazywamy stosunek liczby

F(x1)=P(X<x1)=P(X<x2)+P(x2≤X≤x1)

b dziemy (X1, X2, … , Xn).

je eli ich iloczyn jest zdarzeniem niemo liwym; A∩B=∅.

zdarze elementarnych sprzyjaj cych zaj ciu zdarzenia A do

P(x2≤X≤x1)=F(x1)-F(x2)

Dystrybuanta dla zmiennej losowej wielowymiarowej:

Je eli do zdarzenia A dodamy zdarzenia A to otrzymamy

liczby wszystkich zdarze elementarnych:

Przyjmujemy, e x1 b dzie troche wi ksze od x2:

Dystrybuant zmiennej losowej N-wymiarowej(X1, X2, .. , Xn)

zdarzenie A. Tak samo jest z mno eniem

P(A)=m/n m- liczba zdarze elementarnych sprzyjaj cych;

X1=x2+ε

Nazywamy funkcj :

Zdarzenie pewne- zdarzenie, któremu odpowiada cała

sprzyjaj cych- liczba wszystkich zdarze elementarnych.

F(x1,x2,x3,…,xn)=P(X1<x1,X2<x2,...,Xn<xn)

przestrze zdarze elementarnych Ω tj. przestrze , która

P(x2≤X≤x2+ε)=F(x2+ε)-F(x2) ε>0

Definicja geometryczna prawdopodobie stwa:

Mo na przedstawi j jako sum zdarze rozł cznych.

obejmuje wszystkie mo liwe rezultaty eksperymentu.

P(x ≤ X ≤ x +

F x +

− F x

2

2

ε)

( 2 ε )

(

)

(losujemy punkt z odcinka)…. Pcd- Prawdopodobie stwo

2

=

Dystrybuanta zmiennej wielowymiarowej jest f. niemalej c

Zdarzenie niemo liwe- zdarzenie, któremu odpowiada

wylosowania punktu odcinka AB b dzie punktem cd.

ε

ε

ka dego z argumentów. Funkcja nie mo e male :

zbiór pusty ∅ tj. zbiór niezawieraj cy adnego zdarzenia

Pcd= (d-c)/(b-a)

'

'

≥

elementarnego.

P(x ≤ X ≤ x +

F x +

− F x

F ( x , x ,..., x ,..., x ) F( x , x ,..., x ,..., x ) 1

2

n

N

1

2

N

N

2

2

ε)

( 2 ε

Definicja statyczna prawdopodobie stwa:

)

(

)

2

Zdarzenie rozł czne- dwa zdarzenia A i B s rozł czne, lim

= lim

Je eli przy wielokrotnym powtarzaniu jakiego do wiadczenia, w ε →

0

ε

ε →0

ε

je eli ich iloczyn jest zdarzeniem niemo liwym; A∩B=∅.

wyniku którego mo e zaj zdarzenie A, cz sto tego zdarzenia Je eli zbiór warto ci dystrybuanty jest przeliczany, to zmienn

Je eli do zdarzenia A dodamy zdarzenia A to otrzymamy

zaczyna oscylowa do około pewnej liczby P, to liczb P mo na dF( x)

P( x ≤ X ≤ x + ε )

losow N-wymiarow nazywamy dyskretn , je eli natomiast

2

2

=

=

zdarzenie A. Tak samo jest z mno eniem;

przyj za prawdopodobie stwo zdarzenia A.

lim

p( x )

F(x1,x2,…,Xl) jest ró niczkowalna to zmienn losow

2

ε 0

→

ε

Prawa de Morgana:

Prawdopodobie stwa warunkowe:

dx

x= x 2

nazywamy zmienn ci gł .

P(A/B) – prawdopodobie stwo warunkowe A je eli B

∪

=

∩

;

Definicja g sto ci prawdopodobie stwa: G sto

A

B

A

B

P(A/B)=P(A∩B)/P(B)

≤ ≤ +ε

wielowymiarowego rozkładu zmiennej losowej ci głej

A ∩ B =

A

∪ B ; A∩B=B∩A;

Je eli P(B)>0 to prawdopodobie stwem warunkowym zdarzenia d (

F )

x

(

P x X

x

)

definiujemy wzorem:

=lim

= (

p )

x - G sto

A∪B=B∪A; Wła ciwo ci przemienno ci i ł czno ci

A przy warunku, e zaszło zdarzenie B nazywamy iloraz

( ≤

≤ + ∆

ε 0

→

ε

P x

X

x

x)

zdarze : 1.Prawo rozdzielno ci mno enia wzgl dem

prawdopodobie stwa iloczynu zdarze A i B przez

dx

ρ( x) = lim

dodawania: A∩(B ∪B ∪B ∪…∪B

prawdopodobie stwo zdarzenia P.

1

2

3

N)=(A∩B1)∪(A∩B2)

prawdopodobie stwa zmiennej losowej ci głej

x

∆ →0

x

∆

∪…∪ (A∩B

ci dodawania

TWIERDZENIE BAYESA:

G sto prawdopodobie stwa zmiennej losowej ci głej jest pochodn N); 2.Prawo rozdzielno

(

wzgl dem

1 ≤

1 ≤ 1

∆

+ ,...,

1

≤ ≤ +

Px X x

x

x

X

x

P( B \ A ) * P( A ) P(B)>0

dystrybuanty:

N

N

N

mno enia:A∪(B ∩B ∩B ∩…∩B

P( A \ B)

p=ρ x

( , x ,.. x

., )

1

2

3

N)=(A∪B1)∩(

1

2

=lim

dF ( x)

N

n

=

n

n

∆ →

∑ N

p( x) =

x 0

A∪B

1

x

2)∩…∩( A∪BN).

∆2→0

∆ ... x

1 ∆

P( B \ A ) * P( A )

dx

x

N

Układ zupełny zdarze - Zdarzenia A1, A2…Ak tworz

l

l

Je eli dystrybuanta funkcji losowej jest funkcj ró niczkow z układ zupełny je eli zdarzenia te s parami rozł czne a ich

l =1

wyj tkiem sko czonej liczby argumentów to zmienn losow

Funkcja g sto ci prawdopodobie stwa spełnia dwa

suma jest zdarzeniem pewnym Ω tzn.: A ∩A

i

j=∅ dla i≠j

P( A

B)

P( B \ A ) * P( A )

nazywamy ci gł .

podstawowe warunki:

(i,j=1,2,3…N) A ∪A ∪…∪A

n ∩

P( A \ B)

1

2

N=UAn=Ω. Zdarzeniom

n

=

=

n

n

G sto prawdopodobie stwa jest to funkcja nieujemna.

losowym mo emy przypisywa liczby.

P( B)

∑ N

1) p x x

x

N

≥

( ,

,...,

)

0

1

2

P( B \ A ) * P( A )

……

Prawdopodobie stwo- pewna f-cja, która zdarzeniom

l

l

x1=x2+ε

+∞ +∞ +∞

losowym przypisuje warto ci liczbowe; P(A)=A-

l=1

2) ∫ ∫ ∫

-

p( x , x ,..., x ) dx , dx ,..., dx prawdopodobie stwo zdarzenia A

1

2

N

1

2

N = 1

P(x2≤X≤x1)=F(x2+ε)-F(x2) p(x)=dF(x)/dx

b>a

Aksjomatyczna definicja

…….

−∞ −∞ −∞

Prawdopodobie stwo przyj cia przez zmienn losowa X warto ci z prawdopodobie stwa1.Prawdopodobie stwo P(A)

P(A\B)=P(A)

jest to warunek normalizacyjny.

przedziału <a,b> wyra a si jako całka z g sto ci

dowolnego zdarzenia losowego A nie mo e by liczb

P(B\A)= P( B ∩ )

A

P( )

A * P( B)

ROZKŁADY Ł CZNE BRZEGOWE WARUNKOWE.

=

=

ujemn z drugiej strony nie mo e przekracza warto ci 1;

P( B)

prawdopodobie stwa p(x) tej zmiennej losowej w tym przedziale.

Rozkład ł czny- opisuje zdarzenia mi dzy zmiennymi X, Y.

P( )

A

P( )

A

b

b

0≤P(A)≤1. 2.Prawdopodobie stwo P(Ω) jest równe 1; ( )

P( X = x , Y = y ) - prawdopodobie stwo ł czne p( x) dx = dF x dx =

P(Ω)=1. 3.Je eli A∩B=∅ tzn. je eli A i B s zdarzeniami

Dwa zdarzenia A i B s zdarzeniami niezale nymi, je eli:

∫

∫

F ( b) − F ( a)

K

L

rozł cznymi to prawdopodobie stwo sumy tych zdarze

P(A\B)=P(A)*P(B)

dx

(oba warunki musz si zdarzy ) k=1,2,.. L=1,2,…

a

a

jest równe sumie prawdopodobie stw poszczególnych

JEDNOWYMIAROWE ZMIENNE LOSOWE: x(w)

Warunek normalizacyjny dla rozkładu ł cznego:

b

zdarze P(A∪B)=P(A) ∪P(B).

- przykład zmiennej losowej dyskretnej to kostka

k

l

P( a ≤ X ≤ b) = ∫ p( x) dx

- dla rozkładu

Prawdopodobie stwo sumy dwóch dowolnych zdarze

- przykład zmiennej losowej ci głej to termometr

( X , Y )∑ ∑ P( X = x , Y

y )

1

K

= l =

jest równe sumie poszczególnych prawdopodobie stw

Zmienne losowe okre lamy jako spełniaj ce okre lone warunki a

k =1

l=1

zmniejszonej o prawdopodobie stwo ich iloczynu;

funkcje w dziedzinie losowych zdarze elementarnych, których

+∞

- warunek normalizacyjny dla g sto ci

ł cznego

P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(A∩B).

przeciwdziedzin s zbiory liczbowe.

∫ p( x) dx =1

Rozkład rozł czny-

=

- mo na przedstawi

Prawdopodobie stwo zdarzenia niemo liwego jest

x- zmienna losowa

P( X

x )

∞

−

L

równe zero; P(∅)=0

Je li zbiór warto ci ma charakter dyskretny, to zmienn losow jako sum L-zdarze rozł cznych

prawdopodobie stwa

Prawdopodobie stwo warunkowe prawdopodobie stwo

nazywa b dziemy zmienn losow dyskretn . Natomiast, je li

Je eli g sto prawdopodobie stwa jest pochodn dystrybuanty to zdarzenia A pod warunkiem B; P(A|B). Je eli P(B)>0 to

Wszystkie przypadki, gdy X=

to rozkłady rozł czne

zbiór warto ci jest zbiorem ci głym to zmienn losow b dziemy x s

L

dystrybuanta musi by całk z g sto ci prawdopodobie stwa.

prawdopodobie stwo warunkowe zdarzenia A przy

okre la jako zmienn losow ci gł .

F ( x) =

L

warunku, e zaszło zdarzenie B b dziemy nazywa

X1,x2,x3,…,xk – zbiór warto ci zmiennej dyskretnej

∫

P( X , x )

P( X

x , Y

y )

ilorazem prawdopodobie stwa iloczynu zdarze A i B

L

= ∑

= L

=

P( X = x ) - prawdopodobie stwo tego, e zmienna losowa x L

z

z

przez prawdopodobie stwo zdarzenia B; Tw. o

k

p(x)=dF(x)/dx

( )

L=1

p( x) =

dF x

[

d

] x = F ( z) − F (−∞

∫

∫

)

przyjmie warto xk.

prawdopodobie stwie zupełnym Je eli zdarzenia

ROZKŁAD BRZEGOWY:

dx

A

układ zdarze , do dal ka dego

K=1,2,3,…,k - rozkład prawdopodobie stwa

−∞

−∞

1,A2,…,AN tworz

L

zdarzenia A:

∑ k

P( X = x )

P( X

x , Y

y )

P(A)=P(A|A

k

= ∑

= k

=

P( X = x ) 1 - warunek normalizacyjny z

x

l

1)P(A1)+P(A|A2)P(A2)+…+P(A|AN)P(AN);

k

=

P(A) wyst puj ce w tym wzorze jest nazywane

L=1

k =1

F ( z) = ∫ p( x) dx

F ( x) =

p( z) dz

∫

prawdopodobie stwem zupełnym zdarzenia A

Zmienne losowe ci głe:

Znaj c rozkład ł czny pary X, Y otrzymujemy rozkład

Tw. Bayesa: Niech zdarzenia A1,A2,…,AN tworz układ

−∞

−∞

brzegowy zmiennej X.

G sto prawdopodobie stwa i dystrybuanta w sposób równorz dny zupełny zdarze . Dla dowolnego zdarzenia B o

PRAWDOPODOBIE STWO WARUNKOWE:

P( *

*

x ≤ X < x + x

∆ )

prawdopodobie stwie P(B) ró nym od zera mamy

opisuje zmienn losow ci gł .

P( A ∩ B)

Zmienne losowe dyskretne:

n=1,2…N Je eli

P( A \ B) =

P( *

*

x ≤ X < x + x

∆ )

(

P |

B A) (

PA)

F ( *

x ) = P(

*

X < x )

P( B)

(

PA | )

B

N

=

n

n

lim

= p( *

x )

(

P |

B )

A (

P )

A PB A PA

PB A PA

1

1 + ( |

) ( )

2

2 +.. +

. ( | ) (

N

N +

)

∆ x→0

x

∆

*

x

- jedna z warto ci, jak mo e przynie zmienna dyskretna

P( X = x , Y = y ) zdarzenia A zdarzeniami rozł cznymi o

K

L

1,A2,…,An s

P( X = x \ Y = y ) =

K

L

sumie A i je li dla ka dego j=1,2,…,n zdarzenia Aj i B s

P( Y = y )

niezale ne, to zdarzenia A i B s niezale ne; Zdarzenia A

*+

*

L

P( x ≤ X < x + x

∆ )

F x

=

F x +ε

- g sto

(

)

lim (

)

i B nazywamy niezale nymi, je eli prawdopodobie stwo

lim

= p( x)

ε→∞

ich iloczynu jest równa iloczynowi ich

∆ x→0

x

∆

L=const. K=1,2,3,…,k

*

*

*

*

≤

≤

+ ε =

+ ε −

prawdopodobie stw P(A∩B)=P(A)*P(B).

prawdopodobie stwa zmiennej losowej ci głej.

P( x

X

x

)

F ( x

)

F ( x )

Rozkład warunkowy zmiennej X przy ustalonej zmiennej

Jednowymiarowe zmienne losowe Zmienne losowe

WŁA CIWO CI:

X=const.

gdy ε → 0 to :

okre lamy jako spełniaj ce okre lone warunki funkcje w

1) p(x)>0 - funkcja g sto ci prawdopodobie stwa >0

dziedzinie losowych zdarze elementarnych których

*

*+

*

- tutaj mamy uskok

p( x* ≤ X < x* + x

∆ ) ≈ p( x*) x

∆

=

=

−

P( X

t )

F ( x )

F ( x )

przeciwdziedzin s zbiory liczbowe Dystrybuanta jest f-

dystrybuanty

cj okre lon w dziedzinie liczb rzeczywistych w

P(a<x<b)

przedziale od + do – niesko czono ci. Zmienna losowa

*

Dla jakiego x mamy uskok dystrybuanty, gdy

jest typu ci głego, je eli jej dystrybuanta F(x) jest f-cj

*+

*

ci gł i przeliczana jest liczba argumentów, dla których nie

→

≠

b

∞

(

F x )

(

F x ) to wysoko tego uskoku jest

b

jest ona ró niczkowalna. Zmienna losowa jest typu

P(a<x<b)= ∫

dyskretnego, je eli jej dystrybuanta jest typu

p( x) dx je eli =

- zdarzenie

∫ p( x) dx

prawdopodobie stwem P(

*

X = x )

schodkowego. G sto prawdopodobie stwa to

a

a→∞

pochodna dystrybuanty; p(x)=dF(x)/dx. Warunek

pewne =1

normalizacyjny dla zmiennych losowych dyskretnych

wymaga, aby suma wszystkich prawdopodobie stw, z

2) warunek normalizacyjny dla zmiennych losowych ci głych: jakimi zmienna dyskretna przyjmuje swoje warto ci była

równa jedno ci; ∑P(X=xn) =1

+∞

p( x)

∫

dx = 1

−∞