Równania ró¿niczkowe cz¹stkowe (r.r.cz.)rzêdu drugiego.
Równanie ró¿niczkowe cz¹stkowe liniowe wzglêdem najwy¿szych pochodnych ma postaæ: (1)
Równanie (1) mo¿e byæ sprowadzone do trzech ró¿nych, w zale¿noœci od warotœci wspó³czynników, postaci koanonicznych: Eliptycznej:
u + u + G (>, 0, u, u , u ) = 0
(a 2 -4 a a < 0 )
>>
00
>
0
12
11
22
Hiperbolicznej: u - u + G (>, 0, u, u , u ) = 0
>>
00
>
0
lub
u + G (>, 0, u, u , u ) = 0
(a 2 - 4a a > 0 )
>0
>
0
,
12
11
22
parabolicznej: u + G (>, 0, u, u , u ) = 0
(a 2 - 4a a = 0 )
>>
>
0
12
11
22
Aby sprowadziæ równanie (1) do postaci kanonicznej wprowadza siê odwracaln¹ transforamcjê zmiennych (zamiana zmiennych):
> = > (x, y ), 0 = 0 (x, y)
Dokonuj¹c ró¿niczkowania z uy¿ciem nowych zmiennych >,0 otrzymujemy: u = u > + u 0
x
> x
0
x
u = u > + u 0
y
> y
0
y
u = u >2 + 2 u > 0 + u 02 +u > + u 0
xx
>>
x
>0
x
x
00
x
>
xx
0
xx
u = u > > + u (> 0 +> 0 ) + u 0 0 + u > + u 0
xy
>>
x
y
>0
x
y
y
x
00
x
y
>
xy
0
xy
u = u >2 + 2 u > 0 + u 02 +u > + u 0
yy
>>
y
>0
y
y
00
y
>
yy
0
yy
Podstawiaj¹c powy¿sze wyra¿enia na pochodne do równania (1) otrzymujemy: A u +A u + A u + G = 0
(2)
11
>>
12
>0
22
00
gdzie
A = a > 2 + a > > + a > 2
11
11
x
12
x
y
22
y
A = 2a > 0 + a ( > 0 +> 0 ) + 2 a > 0
12
11
x
x
12
x
y
y
x
22
y
y
A = a 02 + a > > + a 02
22
11
x
12
x
y
22
y
>(x,y) 0(x,y) nale¿y tak wybraæ aby otrzymaæ równanie (2) jak w naprostszej postaci: tzn. Np A =0, itd.. W wyznaczeniu 11
transforamcji pomocne jest twierdzenie: Twierdzenie: 1) je¿eli z=n(x,y) jest rozwi¹zaniem szczególnym równania (tzn. za > wstawiamy n): a > 2 + a > > + a > 2 = 0
(A = 0)
(*)
11
x
12
x
y
22
y
11
to zwi¹zek n(x,y)=C jest ca³k¹ ogóln¹ równania ró¿niczkowego zwyczajnego: a dy2 - a dx dy + a dx2 = 0
(**)
11
12
22
2) Je¿eli n(x,y) = C przedstawia sob¹ ca³kê ogóln¹ równania ró¿niczkowego zwyczajnego(**) to funkcja z=n(x,y) spe³nia równanie (*).
Równanie (**) mo¿na wyraziæ w postaci dwóch równañ nastêpuj¹co: (3)
Aby wiêc przekszta³ciæ r.r.cz do jego formy kanonicznej wprowadzamy >, 0 bêd¹ce rozwi¹zaniem równañ (3).
Ca³kiogólne równañ (3) nale¿y wyraziæ w postaci: n (x,y)=C , n (x,y)=C . Aby wiêc przekszta³ciæ rrcz. do formy kanonicznej 1
1
2
2
wprowadza siê zamianê zmiennych u¿ywaj¹c >=n (x,y), 0=n (x,y). Dla równania hiperbolicznego ()>0) mamy dwie 1
2
charakterystyki: >=n (x,y), 0=n (x,y). Dla równania parabolicznego ()=0) mamy jedn¹ charakterystykê i do zamiany zmiennych 1
2
u¿ywamy >=n (x,y), 0=y (lub 0=x). Dla równania eliptycznego ()<0) nie ma charakterystyk rzeczywistych i do zamiany 1
zmiennych u¿ywamy >=Re[n (x,y)], 0=Im[n (x,y)], gdzie Re[ ] oznacza czêœæ rzeczywist¹, Im[ ] czêœæ urojon¹ wyra¿enia.
1
2
H.K
(5 grudzieñ 2005)