Z2007/8

str 1

W5

Interpolacja

Interpolacja Lagrange'a (uzupełnienia)

Zadanie intepolacyjne Lagrange'a polega na znalezieniu wielomianu Ln , stopnia nie wyższego niż n, spełniającego warunki interpolacji

Ln(xi) = f(xi) dla i = 0,1, ... ,n .

Wielomian Ln nazywamy wielomianem interpolacyjnym Lagrange'a funkcji f opartym na wę złach x0, x1, ... , xn .

TWIERDZENIE. Zadanie interpolacyjne Lagrange'a na jednoznaczne rozwiązanie.

DOWÓD. Szukany wielomian zapiszemy w postaci n

j

L

=

⋅ (**) n(x)

a

∑ j x

j = 0

Zadanie interpolacji

Ln(xi) = yi dla i = 0, 1, ... ,n

prowadzi do układu n+1 równań liniowych Va = y z 1

 x





( )2

( )n

0

x0

. .

x0 

 a0 

 y0 





 

 

1 x

(x )2 . . (x )n

a

 1 

y

 1 

V

1

1

1

= 

 , a =

, y =

.



 

 

.

.

.

. .

. 

.

.





 

 

 a 

 y 

1

 x ( )2

( )n

n

n

n

xn

. .

xn 

Macierz Vandermonde'a jest macierzą nieosobliwą dla układu różnych węzłów. Zatem układ Va = y ma dokładnie jedno rozwiązanie. Istnieje wielomian postaci (**) i jest on wyznaczony jednoznacznie.

Wielomian interpolacyjny Ln można przedstawić w postaci n

L

=

⋅φ

,

n(x)

a j j(x)

∑

j = 0

gdzie układ funkcji φ , φ , ... , φ stanowi bazę przestrzeni W (przestrzeni wielomianów stopnia 0

1

n

n

nie wyższego niż n).

Rozpatrzymy bazę wielomianów tworzących :

n

(x − x )

k

l

, j = 0,1, ... ,n

j(x) = ∏

(x − )

j

xk

k = 0(k≠ j)

Z2007/8

str 2

W5

x − x

x − x

Dla n = 1 (2 w

1

0

ęzły) l0(x) =

l1(x) =

x −

−

0

x1

x1

x0

Z

a

u

w

a

ż

m

y ,że aj = yj , j = 0, 1, ... ,n , więc

n

L

=

⋅

n(x)

yj lj(x)

∑

j = 0

Jest to tzw. postać Lagrange'a wielomianu interpolacyjnego.

x − x

x − x

Dla n =1 (2 w

1

0

ęzły) L

=

⋅ +

⋅

1(x)

y0

y1

x −

−

0

x1

x1

x0

Dla n =2 (3 węzły)

(x − x )⋅( − )

( − )⋅( − )

( − )⋅( − )

1

x

x2

x

x0 x

x2

x

x0 x

x1

L

=

⋅ +

⋅ +

⋅

2(x)

(

y0

y1

y2

x −

)⋅( − )

( − )⋅( − )

( − )⋅( − )

0

x1

x0

x2

x1

x0 x1

x2

x2

x0

x2

x1

Zadanie. Znaleźć wielomian interpolacyjny Lagrange'a dla funkcji określonej tablicą wartości f(0) = 1, f(2) = 3, f(3) = 2.

Postać Newtona

 0 1





 2 3 1



2



 L

=

+ ⋅( −

− ⋅( − ⋅( −

2(x)

1

1 x

0)

x

0) x

2)

3

3 2

1



−

2

−





3 

Postać Lagrange'a

(x − 2)⋅(x − 3)

( − )⋅(x − 3)

(x − 0)⋅(x − 2)

L

=

⋅

x

0

+

⋅ +

⋅

2(x)

1

3

2

(0 − 2)⋅(0 − 3)

(2 − 0)⋅(2 − 3)

(3 − 0)⋅(3 − 2)

W praktycznych obliczeniach najczęściej stosuje się postać Newtona. W tym przypadku łatwo oblicza się wartości wielomianu w dowolnym punkcie (wystarczy trochę zmodyfikować schemat Hornera).

Ponadto, w łatwy sposób, można dołączyć dodatkowy węzeł, gdyż

Ln(x) = Ln-1(x) + f 0, 1, ... , n pn(x),

gdzie Ln-1 jest wielomianem interpolacyjnym funkcji f opartym na węzłach x0, x1, ... , xn-1.

Otrzymywanie postaci naturalnej poprzez rozwiązywanie układu równań z macierzą Vandermonde'a nie jest zalecana ze względu na duży koszt i złe uwarunkowanie tej macierzy. Natomiast postać Lagrande'a ma duże znaczenie teoretyczne. Jest ona wykorzystywana przy wyprowadzeniu wielu formuł obliczeniowych opartych na wielomianowych przybliżeniach, np. wielu wzorów całkowania numerycznego.