 | Pobierz cały dokument 2007.05.14.prawdopodobie.stwo.i.statystyka.pdf Rozmiar 59 KB |
Egzamin dla Aktuariuszy z 14 maja 2007 r.
Prawdopodobieństwo i Statystyka
Zadanie 1
ν = ,
2 α = 4
E(
3
X − 3 X > 3)
2
2
8 2
16
P( X > )
3 =
=
=
2 + 3 3
125 3
375
E(
2
2
⋅
( X − )
3 2 X > 3)
2
2 2
4 4
16
P( X > )
3 =
=
=
2 + 3 3 ⋅ 2
25 3
75
4
2
16
P( X > )
3 =
=
2
2 + 3
25
2
2
16 252
16 252
25
25
25
25
75 − 25
50
ODP =
−
=
−
=
−
=
=
75 16
375 16
3
15
3
9
9
9
Zadanie 2
3
X
X
bin
1 +
2 ≅
− ;
4
4
2
4
4
6
3 1
P(
X = 3 P X =
1
) (
3
2
) 3 4 4
4
ODP =
P(
=
=
X + X = 6
1
2
)
9
4
6
21
3
1
6
4 4
Zadanie 3
−
P( X >
)
10 θ
= e 0
10
łatwe
θ
X – ilość szkód większych od 10 (bo takie obserwujemy)
∞
∞
n
P( X = k) = ∑ P( X = k N = n) P( N = n) = ∑ n −
n k
10 θ
0 k
100 θ
λ
λ
e
(1− e ) −
−
−
e
=
k
n!
n= k
n= k
∞
l
n
100 θ
k
100 θ
n!
−
=
100 θ
k
1
e
(1− 100 θ
e
)
∞
−
n−
−
k λ
− λ
e
( −
− e
)
∑
e
= n − k = l = ∑
k + l − λ
λ
e
=
( n
k)! k!
n!
k l
! !
n= k
−
l =0
−100 θ
k
100
l
θ
100
k
θ
e
− λ k λ( −
1
100
e
θ ) ∞ [ λ(
−
−
1 − e
)] − λ( −
1
100
e
θ )
( −
−
e
λ
)
=
e
λ e
∑
− −
e
=
100
λe
θ
e
k!
l
k
l =
!
!
0
2
−
f ( x x > 10)
x
θ
10 θ
= 20 xe
e 0
( 1−00 θ 4
λe
)
100 θ
−
−∑ x
θ 2
λe
4
i
40 θ
L =
−
e
( θ
2 ) Π x e
e 0
i
24
ln L = 4 ln λ − 40 θ
0 − ln 24 −
−
λe 100 θ + 4 ln( θ
2 ) + ∑ ln X
2
400
i − ∑ X
θ i +
θ
∂
4
1
− 00
= −
θ
e
=
−
0
100
→
θ
e
λ
= 4
∂ λ λ
∂ =
−100
4
2
4
1
100 λe
θ + − ∑ X
ˆ
ˆ
0
400
1200
0
,
4
i moŜna
i
= →
+ −
= → θ =
λ =
e
∂ θ
θ
θ
200
sprawdzić, Ŝe to max
Zadanie 4
P( I po I
II l
osowaniu b
rak c
zarnych)
LICZ
c
=
(1cz,4b) (3b,2c) (4b,1c)
MIAN
2 4 1
8
LICZ =
=
5 5 5
125
MIAN = P( A ∧ Ic) + P( A ∧ Ib) 2 4 1
3 2 1
8
6
14
=
+
=
+
=
5 5 5
5 5 5
125
125
125
8 125
8
4
ODP =
=
=
125 14
14
7
Zadanie 5
P( N = 0) = P( X
0 > a )
P( N = )
1 = P( X
,
0 ≤ a X 0 + X 1 > a ) P( N = k) = P( X
,
,...,
...
,
...
0 ≤ a X 0 + X 1 ≤ a X 0 + + X k−1 ≤ a X 0 + + X k−1 + X k > a) =
= P( X
0 + ... + X −1 ≤ a, X 0 + ... + X
> a
k
k
)
czyli P( N = k) = P( Y ≤ a, Y + X > a)g dzi
e Y ≅ Γ( k, λ) a ∞
k
a
k
= ∫ ∫ − λx λ
k −1 − λy
λe
y
e
dxdy = ∫ λ
k −1 − λy − λ( a− y y
e
e
) dy =
Γ( k)
Γ( k)
0 a− y
0
a
k
k
k
k
− λa k
− λa
k
= ∫ λ
 | Pobierz cały dokument 2007.05.14.prawdopodobie.stwo.i.statystyka.pdf rozmiar 59 KB |
