id2183687 pdfMachine by Broadgun Software - a great PDF writer! - a great PDF creator! - http://www.pdfmachine.com http://www.broadgun.com 1. Definicja wyznacznika i sposoby jego obliczania
Wyznacznikiem kwadratowej macierzy liczbowej A nazywamy liczbê oznaczan¹
wyznacznik
macierzy
symbolem det A lub I A I, okreœlon¹ w nastêpuj¹cy sposób
a
gdy macierz jest stopnia
1
11
,
n
n
det
A
1
j
1
a
gdy macierz jest stopnia
2
1 A 1
,
n
j
j
j1
Wyra¿enie A nazywamy dopeùnieniem algebraicznym elementu a i liczymy i j
i j
dopeùnienie
algebraiczne
wedùug schematu:
i j
A
1
wyznacznik powstaùy z wyznacznika macierzy A poprzez wykreœlenie i j
i- tego wiersza i j-tej kolumny.
UWAGA.
Wyznacznik macierzy jest zdefiniowany wy ù¹cznie dla macierzy kwadratowych.
..........................................................................................
Wyznaczniki macierzy stopnia drugiego ( n=2) obliczamy nastêpuj¹co: obliczanie
wyznaczników
macierzy
1
a 1
1
a 2
1
a 1
1
a 2
det
1
a 1 a 22 a 21 1
a 2
stopnia
a 21
a 22
a 21
a 22
drugiego
-
+
..........................................................................................
Do
obliczania
wyznaczników
macierzy
stopnia
trzeciego
( n=3)
sùu¿y obliczanie
wyznaczników
schemat Sarrusa.
macierzy
stopnia
trzeciego -
schemat
1
a 1
1
a 2
1
a 3
1
a 1
1
a 2
1
a 3
Sarrusa
det
a 21
a 22
a 23 a 21
a 22
a 23
a
31
a 32
a 33
a 31
a 32
a 33
1
a 1
1
a 2
1
a 3
+
-
a
21
a 22
a 23
+
-
-
+
1
a 1 a 22 a 33 a 21 a 32 1
a 3 a 31 1
a 2 a 23 1
a 3 a 22 a 31 a 23 a 32 1
a 1 a 33 1
a 2 a 21
Schemat Sarrusa nie pozwala na obliczanie wyznaczników macierzy stopnia n 3 .
...........................................................................................
PRZYK£AD
1
1
1
Obliczy
ã wyznacznik macierzy A
2
3
1
4
5
1
Rozwi
¹zanie
1 1
1
det A 2
3
1 3 10 4 12 5 2 6
4
5
1
1 1
1
2
3
1
...........................................................................................
minor
Minorem macierzy typu n n przynale¿nym do elementu a nazywamy wyznacznik
i j
macierzy
macierzy typu ( n ) 1 ( n )
1 , któr¹ otrzymamy usuwaj¹c z macierzy wiersz oraz kolumnê na przeciêciu których znajduje siê ten element (skreœlamy i-ty wiersz i j-t¹
kolumnê).
...........................................................................................
PRZYK£AD
1
a 1
1
a 2
1
a 3
a
a
11
12
a
a
a
minor e
lementu a to
21
22
23
23
3
a 1
3
a 2
3
a 1
3
a 2
3
a 3
...........................................................................................
Rozwiniêcie Laplace’a umo¿liwia efektywne obliczanie wyznaczników macierzy rozwiniêcie Laplace’a -
wy¿szych stopni ( n ≥ 4). Pozwala zamieniã obliczanie wyznacznika macierzy stopnia n na obliczanie wyznaczników macierzy stopnia ( n-1). Prawdziwe jest nastêpuj¹ce twierdzenie:
Twierdzenie Laplace’a
a 11 a 12 a 1 n a 21 a 22 a Wyznacznik
2 n równy jest sumie iloczynów ka¿dego elementu dowolnego
a 1 a 2 a n
n
nn
wiersza (kolumny) i odpowiadaj¹cego temu elementowi dopeùnienia algebraicznego, tzn.
det A a
rozwini
1 A 1 a 2 A 2 a A
êcie
i
i
i
i
in
in
(rozwini
wzglêdem
êcie wzglêdem i-tego wiersza) wiersza
lub
rozwini
det
êcie
A a
1 A 1
a 2 A 2 a A k
k
k
k
nk
wzgl
nk
êdem
(rozwiniêcie wzglêdem k-tej kolumny) kolumny
...........................................................................................
PRZYK£AD
3
2
0 1
0
0
1 2
Obliczyã wyznacznik macierzy
A
dokonuj¹c rozwiniêcia wzglêdem
2
1 1
1
3
0
1 2
drugiej kolumny.
Rozwi
¹zanie
3
2
0 1
0
1
2
3 0 1
0
0
1 2
det
A
(
2 )
1 1 2 2
1
1 1 ( )
1 3 2 0 1 3
2
1 1 1
3
1
2
3 1 2
3 0
1 2
2
3
( 4 6 4) (6 3 6) 2
9 ( )
3 1
8 3 15
...........................................................................................
PRZYK£AD
1
3
2
2
2
1
0
2
Obliczy
ã
wyznacznik
macierzy
B
dokonuj¹c rozwiniêcia
0
1
1
0
1
0
1
1
wzgl
êdem trzeciego wiersza.
Rozwi¹zanie
1
3
2
2
1
2
2
1
3
2
2
1
0
2
det
B B
( )
1 ( )
1 3 2 2
0
2 1 ( )
1 3 3 2
1
2
0
1
1
0
1
1
1
1
0
1
1
0
1
1
1 (4 4 ( )
2 4) 1 (1 6 (2) ) 6 2
1
1
...........................................................................................